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第20讲 矩形、菱形和正方形
【考点梳理】
1．矩形、菱形、正方形的性质
矩形 菱形 正方形
边 两组对边分别平行且相等. 两组对边分别__平行__，四条边都__相等 两组对边分别__平行__，四条边都__相等
角 四个角都是__直角 对角相等，邻角_互补 四个角都是_直角
对角线 ①互相平分；②相等 ①互相平分；②互相垂直；③每条对角线平分一组对角 ①互相平分；②互相垂直；③相等；④每条对角线平分一组对角
对称性 ①中心对称；②轴对称且有2条对称轴 ①中心对称；②轴对称且有2条对称轴 ①中心对称；②轴对称且有4条对称轴
面积 S＝ab(a、b表示长与宽) S＝mn(m、n表示两条对角线的长) S＝a2(a表示边长)
2.矩形、菱形、正方形的判定
矩形：①有一个角是直角的平行四边形； ②对角线相等的平行四边形； ③有三个角是直角四边形；
菱形：①有一组邻边_相等_的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等的四边形；
正方形：①一组邻边相等的矩形；②有一个角是直角的菱形；③对角线 互相垂直且相等的平行四边形。
3.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
【高频考点】
考点1：矩形性质与判定
【例题1】如图所示，已知正方形的顶点为正方形对角线的交点，连接．
（1）求证：；
（2）若，正方形的边长为2，线段与线段相交于点，，求正方形的边长．
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
【分析】（1）由正方形与正方形，对角线，可得，
，即可证得，因，则可利用“边角边”即可证两三角形全等
（2）方法一：过点作交于点，由于，由可得长，从而求得，即可求得，再通过，易证得，则有，求得即为正方形的边长;
方法二：因为DG⊥BD，利用同旁内角互补证DG∥OA，进而得△DMG∽△AMO。由DM和AM的长得相似比，再由OA的长求DG.最后在△ODG中根据勾股定理求OG.
【详解】解：（1）∵正方形与正方形，对角线，
∴，，,,
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴在和中，
，
∴.
（2）方法一：如图，过点作交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴在中，由勾股定理得:
，
∵，
∴，
∴，
∴，得，
则正方形的边长为.
方法二：
∵，
∴，
∴
∵DG⊥BD，
∴，
又∵,
∴,
∴DG∥OA，
∴,
又∵,
∴，
∴，
∴GD=，
∴在中，由勾股定理得:
∴，
∴正方形的边长为.
【点睛】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，比例的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，解决问题的关键是正确的运用相似三角形的性质和判定．
考点2：菱形的性质与判定
【例题2】如图，，两点均在菱形的对角线上，射线交边于点．
（1）如图1，若．
①求证：．
②过点作于点，求证：．
（2）如图2，射线交于点，若，，，求的长．
【答案】（1）①详见解析；②详见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据菱形性质得到，利用已知结合三角形内角和得到，从而得出结论；②连接，先证明，再证明，利用等角对等边得到，结合已知得出结论；
（2）连接，先推出四边形为平行四边形，利用菱形性质得到，得到，设，则，列式解出x的值即可．
【小问1详解】
①证明：四边形为菱形，
．
，
．
，，，
．
，
．
②证明：如图1，连接．
由（1）①，可得，，
，
．
又，
，
．
，
，
．
，
为中点，
；
【小问2详解】
解：如图2，连接．
，，
四边形为平行四边形．
∴，
∴，
∴，
四边形为菱形，
，，
．
设，则，
，
解得，（不合题意，舍去），
即的长为．
归纳：1.菱形判定的一般思路：首先判定四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的邻边相等判定是菱形，这是判定菱形的最基本思路，同时也可以考虑其他判定方法，例如若能判定平行四边形对角线垂直即可判定为菱形等；
2．应用菱形性质计算的一般思路：菱形四边相等；菱形对角线相互垂直：常借助勾股定理和锐角三角函数来求线段的长，有一个角为60°的菱形，60°所对的对角线将菱形分成两个全等的等边三角形．也可以根据菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，结合它的对称性得出的一些结论．
考点3： 正方形的性质与判定
【例题3】(如图，在正方形中，， 分别是，的中点，，相交于点，与相交于点，分别连接，，则下列结论错误的是（ ）
A. B. 平分 C. D.
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据正方形性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质逐项判断即可．
【详解】如图1，分别延长，相交于点，
正方形，
，，，
，
是的中点，
，
．
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
故选项结论正确；
如图2，过点作，与的延长线交于点，作于点．
同理可证，
，，，
，
，
，
，
平分，
故选项B结论正确；
，
．
，
，
，
故选项C结论正确；
∵，
∴四边形为正方形，
，，
，
故选项D结论错误．
故选：D.
注：正方形可以看作两个全等的等腰直角三角形以斜边为重合边拼接在一起．
【自我检测】
一、选择题：
1.面积为4的正方形的边长是（　　）
A．4的平方根 B．4的算术平方根
C．4开平方的结果 D．4的立方根
【分析】已知正方形面积求边长就是求面积的算术平方根；
【解答】解：面积为4的正方形的边长是，即为4的算术平方根；
故选：B．
2. 如图，由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形和正方形，连接并延长交线段于点M，若，给出下面四个结论：①M是的中点；②平分；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】A
【分析】根据全等三角形得到，通过为等边三角形，证明，即可判断①；，根据三角形内角和定理得，进而即可判断②；根据“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形拼成的，得到，即可判断③．
本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质
【详解】由题可知，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵为直角三角形，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴M是的中点；①正确．
∵，
∴，
∴，
∴平分，②正确．
∵，，
∵，，
∴，③错误．
故选：A．
3. 如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，连结，作于点于点于点K，交于点L．若正方形与正方形的面积之比为5，则的值等于（ ）
A. B. 4 C. D.
【答案】C
【分析】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是用含m的代数式表示相关线段的长度．
设交于P，过C作于N，设正方形边长为m，，证明可得，根据勾股定理可求得，，由得，，通过，进而求两个正方形的面积的比．
【详解】设交于P，过C作于N，如图：
设正方形边长为m，
∴正方形面积为，
∵正方形与正方形面积之比为5，
∴正方形的面积为，
∴，
由已知可得：，，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得或（舍去），
∴，，
AP=，
∴，即P为中点，
∵，
∴
∵，，
∴，
即
∴，，
∴
，
∴
故选：C．
4. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI上，若AC＋BC＝6，空白部分面积为10.5，则AB的长为（ ）
A. 3 B. C. 2 D.
【答案】B
【分析】根据余角的性质得到∠FAC＝∠ABC，根据全等三角形的性质得到S△FAM＝S△ABN，推出S△ABC＝S四边形FNCM，根据勾股定理得到AC2＋BC2＝AB2，解方程组得到3AB2＝57，于是得到结论．
【详解】解：∵四边形ABGF是正方形，
∴∠FAB＝∠AFG＝∠ACB＝90°，
∴∠FAC＋∠BAC＝∠FAC＋∠ABC＝90°，
∴∠FAC＝∠ABC，
在△FAM与△ABN中，
，
∴△FAM≌△ABN（AAS），
∴S△FAM＝S△ABN，
∴S△ABC＝S四边形FNCM，
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∵AC＋BC＝6，
∴（AC＋BC）2＝AC2＋BC2＋2AC BC＝36，
∴AB2＋2AC BC＝36，
∵AB2﹣2S△ABC＝10.5，
∴AB2﹣AC BC＝10.5，
∴3AB2＝57，
解得AB＝或﹣（负值舍去）．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握割补法得出图形面积之间的关系是解题关键．
5. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．点是正方形的中心，连接并延长交于点，连接，记的面积为，正方形的面积为．若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】本题主要考查了正方形．正方形的性质，等腰直角三角形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．连接，设，则是，则，则，
可得，最后可得答案．
【详解】解：如图，连接，
点是正方形的中心，
过点，
过点，
点上，
设，则是，则，
，
，
，，
．
故选：B
二、填空题：
6. 如图，射线都与线段垂直，点E在上，过点A作的垂线，分别交于点F、C，过点C作于点D.若，则_________.
【答案】
【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定、直角三角形的性质、相似三角形的性质等知识点，求得的比例关系是解答此题的关键．设，再说明，易得，那么，因此只需求得的比例关系即可．再证明，继而可得，联立，求得的比例关系即可解答．
【详解】解：设；
∵，
∴；
∴；
∴；
在中，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴四边形是矩形，
∴；
∴，即，
∴，解得或（舍去）；
∴．
故答案为：．
7. 将平行四边形的边与边分别绕点A、点B逆时针旋转，得到矩形， 若此时、D、B 恰好共线，，，那么边扫过的面积为（ ）
A. B. C. D. 9
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
连接，，以A为圆心，的长为半径，作,以B为圆心，的长为半径，作,平行四边形的面积就是扫过的面积.
【详解】解：连接，，以A为圆心，的长为半径，作,以B为圆心，的长为半径，作,
扫过的面积为,及，围成的面积，即平行四边形的面积就是扫过的面积.
由旋转可知，， ，
是平行四边形，
中，，
，
，
故选A．
8. 如图1，在菱形中，，，点E是边上的一动点．点P是对角线上一动点，设的长度为x，与的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中是图象上的最低点，则的值为 _____．
【答案】
【分析】从图2知，是的最小值，从图1作辅助线知；接下来求出，设与交于点，则求出，，最后得，所以．
【详解】解：如图，在边上取点，使得和关于对称，
连接，得，
连接，作，垂足为，
由三角形三边关系和垂线段最短知，
，
即有最小值，
菱形中，，，
在中，，
解得，
∵是图象上的最低点，
∴，
此时令与交于点，
由于，在中，
，又，
∴，
又的长度为，图2中是图象上的最低点，
∴，
又，
∴．
故答案：．
【点睛】本题考查动点及最小值问题，难点在于通过翻折点（轴对称），然后利用三角形三边关系及垂线段最短原理，判断出最小值为．
9. 如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处（不与重合），折痕为，若，，则点到的距离为______．
【答案】
【分析】本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．作于H ，，根据折叠的性质得到，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到为等边三角形，得到，设，则， 在中，，，则， 根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】解：作于H ，
由折叠性质可知，，
由题意得，，
四边形是菱形，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
设，则，
在中，，，
∴
在中，，
即，
解得，，
∴，
故答案为：
三、解答题：
10. 如图，在矩形中，，连接．
（1）尺规作图：作菱形，使得点E，F分别在边上（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）求（1）中所作的菱形的边长．
【答案】（1）见解析 （2）
【分析】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，菱形的判定与性质．
（1）作的垂直平分线交于点，交于点，连接，则四边形满足条件；
（2）根据垂直平分线的性质得到，设，则，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可．
【小问1详解】
如图所示．菱形即为所求．
理由：根据作图可得，
∵是矩形，
，
，
，
，
，
∴菱形．
【小问2详解】
是的中垂线，
，
∵是矩形，
∴，
设，则，
在中，，解得，
∴菱形的边长为．
11. 如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD上的点．
(1)若AE＝BF＝CG＝DH.求证：四边形EFGH是矩形；
(2)若E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2，求矩形ABCD的面积．
【点拨】(1)在矩形ABCD对角线上有条件，同时还在四边形EFGH对角线上有条件，所以可通过对角线判定矩形；(2)求矩形ABCD的面积可转化成求AC与DG的积或转化成AD与CD的积．
【解答】解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD.
∵AE＝BF＝CG＝DH，∴OE＝OF＝OG＝OH.
∴四边形EFGH是矩形．
(2)∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.
∵OE＝OA，OF＝OB，OG＝OC，OH＝OD，∴OE＝OF＝OG＝OH.
∴四边形EFGH是矩形．
∵DG⊥AC，OG＝2，∴OD＝4.∴DG＝2.
又∵AC＝4OF＝8，∴S△ADC＝AC·DG＝8.
∴S矩形ABCD＝2S△ADC＝16.
12. 如图，在矩形中，E，F分别在边，上，将四边形沿翻折，得到四边形，使得B点的对应点G落到边的延长线上，且，交于点M，延长交于点N，若，求的值．
【答案】
【分析】设，，求解，证明，可得，，可得，，证明，可得，结合，再建立方程进一步求解即可．
【详解】解：设，，
∵矩形，
∴，
∴，
由对折可得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
∴，
∴不符合题意；
当时，，（舍去），
∴；
【点睛】本题考查的是矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，二次根式的运算，锐角三角函数的应用，本题难度大，熟练的计算是解本题的关键．
13. 如图，在菱形中，，为对角线，点E是边延长线上的任意一点，连结交于点F，平分交于点G，若．
（1）__________；
（2）求菱形的面积；
（3）当时，求的值；
（4）当时，求的长．
【答案】（1）90 （2）
（3）
（4）
【分析】（1）由菱形性质得，，可证明，得，而，所以；
（2）过点作于，根据菱形性质得，再解直角三角形求得，再根据菱形的面积公式即可求解；
（3）由菱形的性质可知，则，设，则，求得，利用角平分线的性质可得，即可求解；
（4）由（2）可知，结合勾股定理可得，，则，由，可知，则，由（3）可知，，再证，得，求得，则，，由勾股定理得，根据即可求解．
【小问1详解】
解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
∵平分交于点，
，
．
故答案为：90；
【小问2详解】
在菱形中，，
过点作于，
∴，
∴菱形的面积；
【小问3详解】
在形中，，，
∴，
则，设，则，
∴，
设点到，的距离分别为，，点到的距离为，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
【小问4详解】
由（2）可知，则，
∴，则，
∵，
∴，则，
由（3）可知，，
∵，则
∴，
∴，
∴，则，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题重点考查菱形的性质、全等三角形的判定及性质、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键，．
14. 综合与实践
【问题情境】
如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线上，点B的对应点记为，折痕与边，分别交于点E，F．
【活动猜想】
（1）如图2，当点与点D重合时，四边形是哪种特殊的四边形？并给予证明．
【问题解决】
（2）如图1，当，，时，连接，则的长为______．
【深入探究】
（3）如图3，请直接写出与满足什么关系时，始终有与对角线平行？
【答案】（1）当点与点重合时，四边形是菱形，证明见解析；（2）4；（3）当时，始终有与对角线平行
【解析】
【分析】（1）由折叠可得：，，再证得，可得，利用菱形的判定定理即可得出答案；
（2）设与交于点，过点作于，利用勾股定理可得，再证明，可求得，进而可得，再由，可求得，，，运用勾股定理可得；
（3）设，则，利用折叠的性质和平行线性质可得：，再运用三角形内角和定理即可求得，利用解直角三角形即可求得答案．
【详解】解：（1）当点与点重合时，四边形是菱形，证明如下：
设与交于点，如图，
由折叠得：，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
四边形是菱形．
（2）四边形是矩形，，，，
，，，
，，
如图，设与交于点，过点作于，
由折叠得：，，，
，
，
，
，即，
，
，
，，
，
，即，
，，
，
；
（3）当时，始终有与对角线平行．
理由：如图，设、交于点，
四边形是矩形，
，，
，
设，则，
由折叠得：，，
，，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
；
∴当时，始终有与对角线平行．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，直角三角形性质，等腰三角形性质，平行线性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，涉及知识点多，综合性强，难度较大，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
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第20讲 矩形、菱形和正方形
【考点梳理】
1．矩形、菱形、正方形的性质
矩形 菱形 正方形
边 两组对边分别 . 两组对边分别__平行__，四条边都__ 两组对边分别__平行__，四条边都__
角 四个角都是__ 对角相等，邻角_ 四个角都是_
对角线 ①互相平分；②相等 ①互相平分；②互相垂直；③每条对角线平分一组对角 ①互相平分；②互相垂直；③相等；④每条对角线平分一组对角
对称性 ①中心对称；②轴对称且有2条对称轴 ①中心对称；②轴对称且有2条对称轴 ①中心对称；②轴对称且有4条对称轴
面积 S＝ab(a、b表示长与宽) S＝mn(m、n表示两条对角线的长) S＝a2(a表示边长)
2.矩形、菱形、正方形的判定
矩形：①有一个角是直角的 ； ②对角线相等的平行四边形； ③有三个角是 四边形；
菱形：①有一组邻边_ _的平行四边形；②对角线 的平行四边形；③四条边都相等的四边形；
正方形：①一组邻边相等的矩形；②有一个角是直角的菱形；③对角线 的平行四边形。
3.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
【高频考点】
考点1：矩形性质与判定
【例题1】如图所示，已知正方形的顶点为正方形对角线的交点，连接．
（1）求证：；
（2）若，正方形的边长为2，线段与线段相交于点，，求正方形的边长．
考点2：菱形的性质与判定
【例题2】如图，，两点均在菱形的对角线上，射线交边于点．
（1）如图1，若．
①求证：．
②过点作于点，求证：．
（2）如图2，射线交于点，若，，，求的长．
考点3： 正方形的性质与判定
【例题3】(如图，在正方形中，， 分别是，的中点，，相交于点，与相交于点，分别连接，，则下列结论错误的是（ ）
A. B. 平分 C. D.
【自我检测】
一、选择题：
1.面积为4的正方形的边长是（　　）
A．4的平方根 B．4的算术平方根
C．4开平方的结果 D．4的立方根
2. 如图，由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形和正方形，连接并延长交线段于点M，若，给出下面四个结论：①M是的中点；②平分；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
3. 如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，连结，作于点于点于点K，交于点L．若正方形与正方形的面积之比为5，则的值等于（ ）
A. B. 4 C. D.
4. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI上，若AC＋BC＝6，空白部分面积为10.5，则AB的长为（ ）
A. 3 B. C. 2 D.
5. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．点是正方形的中心，连接并延长交于点，连接，记的面积为，正方形的面积为．若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：
6. 如图，射线都与线段垂直，点E在上，过点A作的垂线，分别交于点F、C，过点C作于点D.若，则_________.
7. 将平行四边形的边与边分别绕点A、点B逆时针旋转，得到矩形， 若此时、D、B 恰好共线，，，那么边扫过的面积为 .
8. 如图1，在菱形中，，，点E是边上的一动点．点P是对角线上一动点，设的长度为x，与的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中是图象上的最低点，则的值为 _____．
9. 如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处（不与重合），折痕为，若，，则点到的距离为______．
三、解答题：
10. 如图，在矩形中，，连接．
（1）尺规作图：作菱形，使得点E，F分别在边上（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）求（1）中所作的菱形的边长．
11. 如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD上的点．
(1)若AE＝BF＝CG＝DH.求证：四边形EFGH是矩形；
(2)若E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2，求矩形ABCD的面积．
12. 如图，在矩形中，E，F分别在边，上，将四边形沿翻折，得到四边形，使得B点的对应点G落到边的延长线上，且，交于点M，延长交于点N，若，求的值．
13. 如图，在菱形中，，为对角线，点E是边延长线上的任意一点，连结交于点F，平分交于点G，若．
（1）__________；
（2）求菱形的面积；
（3）当时，求的值；
（4）当时，求的长．
14. 综合与实践
【问题情境】
如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线上，点B的对应点记为，折痕与边，分别交于点E，F．
【活动猜想】
（1）如图2，当点与点D重合时，四边形是哪种特殊的四边形？并给予证明．
【问题解决】
（2）如图1，当，，时，连接，则的长为______．
【深入探究】
（3）如图3，请直接写出与满足什么关系时，始终有与对角线平行？
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