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第21讲　圆的基本性质
【考点梳理】
1．圆的基本概念及性质
(1)基本概念
①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆定点叫圆心，定长叫半径，以O为圆心的圆记作⊙O.
②弧和弦：圆上任意两点间的部分叫弧，连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，直径
是最长的弦．
③圆心角：顶点在圆心，角的两边与圆相交的角叫圆心角．
④圆周角：顶点在圆上，角的两边与圆相交的角叫圆周角．
⑤等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧．
(2)性质：
①对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是过圆心的任一条直线；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．
②旋转不变性：圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．
2．垂径定理及其推论
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理的推论：
①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦 ，并且平分弦所对的两条弧；
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
3．弦、弧、圆心角的关系定理及推论
①弦、弧、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
②推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
4．圆周角定理及推论：
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．
圆周角定理的推论：
①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等．
②半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
注意：圆周角定理运用在“同圆或等圆”中，一条弦对应两条弧，对应两个互补的圆周角；一条弧只对应一个圆心角，对应无数圆周角．
5．四边形和圆
圆内接四边形的对角互补，如图，∠D＋∠B＝180°，∠A＋∠C＝180°.
【高频考点】
考点1：垂径定理
【例题1】如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（　　）
A．3cm　　　　　　B． cm　　　　　　C．2.5cm　　　　　　D． cm
【考点】垂径定理
【分析】根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，再利用相似三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：连接OB，
∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm．在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2
解得：OE=3，∴OB=3+2=5，∴EC=5+3=8．在Rt△EBC中，BC=．
∵OF⊥BC，∴∠OFC=∠CEB=90°．
∵∠C=∠C，∴△OFC∽△BEC，∴，即，解得：OF=．
故选D．
归纳：1．垂径定理两个条件是过圆心、垂直于弦的直线，三个结论是平分弦，平分弦所对的优弧与劣弧．
2．圆中有关弦的证明与计算，通过作弦心距，利用垂径定理，可把与圆相关的三个量，即圆的半径，圆中一条弦的一半，弦心距构成一个直角三角形，从而利用勾股定理，实现求解．
3．事实上，过点E任作一条弦，只要确定弦与AB的交角，就可以利用垂径定理和解直角三角形求得这条弦长．
考点2：圆周角定理及其推论
【例题2】（2024·云南·中考真题）如图，是的直径，点、在上．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，圆周角定理，连接，由可得，进而由圆周角定理即可求解，掌握圆的有关性质是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴，
故选：．
归纳：利用圆周角定理在解答具体问题时，找准同弧所对的圆周角及圆心角，然后利用圆周角定理进行角度的相关计算，常作的辅助线有：已知直径，作其所对的圆周角；已知90°圆周角作其所对弦，即直径．同圆的半径相等，有时需要连接半径，用它来构造等腰三角形，
再根据等腰三角形等边对等角以及三线合一来进行证明和计算.
考点3：圆内接四边形
【例题3】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，连接，由是的直径得到，根据圆周角定理得到，得到，再由圆内接四边形对角互补得到答案.
【详解】解：如图，连接，

∵是的直径，
∴，
∵，
∴
∴
∵四边形是的内接四边形，
∴，
故选：B
归纳：1．找圆内角(圆周角，圆心角)和圆外角(顶角在圆外，两边也在圆外或顶点在圆上，一边在圆内，另一边在圆外)的数量关系时，常常会用到圆内接四边形的对角互补和三角形外角的性质．
2．在同圆或等圆中，如果一条弧等于另一条弧的两倍，则较大弧所对的圆周角是较小弧所对圆周角的两倍．
【自我检测】
一、选择题：
1. （2024·甘肃临夏·中考真题）如图，是的直径，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理推出．
由圆周角定理得到，由邻补角的性质求出．
【详解】解：，
，
．
故选：D．
2. （2024·湖南·中考真题）如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理可知，即可得到答案．
【详解】根据题意，圆周角和圆心角同对着，
，
，
．
故选：C．
3. 如图，点，，均在上，若，，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】本题考查了圆的性质和等腰三角形的性质，圆周角定理，关键是利用圆的半径相等和等腰三角形的性质．连接，根据，得，根据等边对等角得出，根据内角和定理和圆周角定理得出，进而根据即可求解．
【详解】解：如图，连接，
，
，
，
，
又
故选：B．
4. 如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（　　）
A. 25° B. 35° C. 45° D. 65°
【答案】A
【解析】
【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB=90°，然后根据∠CAB=65°求得∠ABC的度数，利用同弧所对的圆周角相等确定答案即可．
【详解】解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=65°，
∴∠ABC=90°-∠CAB=25°，
∴∠ADC=∠ABC=25°，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理的知识，解题的关键是了解直径所对的圆周角为直角，难度不大．
5. 如图，点在上，，连接并延长，交于点，连接，若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】先由两直线平行内错角相等、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质及三角形内角和得到、，从而确定，再由圆周角定理求解即可得到答案．
【详解】解：连接，如图所示：
，
，
，
，
在中，由三角形内角和定理得，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查圆中求角度，涉及圆的性质、平行线性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握圆中求角度的方法及基础知识是解决问题的关键．
二、填空题：
6. （2024·北京真题）如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则

【答案】55
【分析】本题考查了垂径定理的推论，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
先由垂径定理得到，由得到，故．
【详解】解：∵直径平分弦，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
7. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是________米．
【答案】
【解析】
【分析】连接交于，连接，根据垂径定理得到，根据勾股定理求出，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：连接交于，连接，
点为运行轨道的最低点，
，
（米，
在中，（米，
点到弦所在直线的距离米，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
8. （2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，内接于，是直径，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵内接于，是直径，
∴，
∵,，
∴
∴，
故答案为：．
9. 如图，的弦垂直平分半径，点是弦上一点，且，连接并延长交于点，连结，，设．
（1）当点是中点时，的度数为______°；
（2）连接，当时，则与之间的关系式为______．
【答案】 ①. 30 ②.
【分析】本题考查垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
（1）连接，设和相交于点，因为垂直平分，则，，，推出，因为，是中点，则，，所以，则，推出，则，即 的度数为；
（2）连接，由题可得，，则，设则由垂直平分，可得，，再证明，可得，从而得出，可得答案．
【详解】解：（1）连接，设和相交于点，
垂直平分，
，，，
，
，是中点，
，，
，
，
，
，
即 的度数为，
故答案为：30；
（2）连接，由题可得，，
，
设则
垂直平分，
，，
，
，
，
，
，
（负值舍去）
故答案为：．
三、解答题：
10. 如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，过点O分别作ON⊥CD于点N，OM⊥AB于点M，若ON=AB，证明：OM=CD．
【考点】垂径定理；全等三角形的判定与性质．
【分析】设圆的半径是r，ON=x，则AB=2x，在直角△CON中利用勾股定理即可求得CN的长，然后根据垂径定理求得CD的长，然后在直角△OAM中，利用勾股定理求得OM的长，即可证得．
【解答】证明：设圆的半径是r，ON=x，则AB=2x，
在直角△CON中，CN==，
∵ON⊥CD，
∴CD=2CN=2，
∵OM⊥AB，
∴AM=AB=x，
在△AOM中，OM==，
∴OM=CD．
11. 已知⊙O是△ABC的外接圆，且半径为4.
(1)如图1，若∠A＝30°，求BC的长；
(2)如图2，若∠A＝45°：
①求BC的长；
②若点C是的中点，求AB的长；
(3)如图3，若∠A＝135°，求BC的长．
图1 图2 　　图3
【点拨】　连接OB，OC，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，构建可解的等腰三角形求解．
【解答】　解：(1)连接OB，OC.
∵∠BOC＝2∠A＝60°，OB＝OC，∴△OBC是等边三角形．
∴BC＝OB＝4.
(2)①连接OB，OC.
∵∠BOC＝2∠A＝90°，OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形．
∵OB＝OC＝4，∴BC＝4.
②∵点C是的中点，∴∠ABC＝∠A＝45°.
∴∠ACB＝90°.∴AB是⊙O的直径．∴AB＝8.
(3)在优弧上任取一点D，连接BD，CD，连接BO，CO.
∵∠A＝135°，∴∠D＝45°.∴∠BOC＝2∠D＝90°.
∵OB＝OC＝4，∴BC＝4.
12.如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，
（1）求证：DE=DB；
（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．
【分析】（1）由角平分线得出∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，得出，由圆周角定理得出∠DBC=∠CAD，证出∠DBC=∠BAE，再由三角形的外角性质得出∠DBE=∠DEB，即可得出DE=DB；
（2）由（1）得：，得出CD=BD=4，由圆周角定理得出BC是直径，∠BDC=90°，由勾股定理求出BC= =4，即可得出△ABC外接圆的半径．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠BAC，AD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，
∴，
∴∠DBC=∠CAD，
∴∠DBC=∠BAE，
∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DE=DB；
（2）解：连接CD，如图所示：
由（1）得：，
∴CD=BD=4，
∵∠BAC=90°，
∴BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∴BC==4，
∴△ABC外接圆的半径=×4=2．
13. （2024·内蒙古包头·中考真题）如图，是的直径，是的两条弦，点与点在的两侧，是上一点（），连接，且．
(1)如图1，若，，求的半径；
(2)如图2，若，求证：．（请用两种证法解答）
【答案】(1)3
(2)见解析
【分析】（1）利用等边对等角、三角形内角和定理求出，结合，可得出，在中，利用勾股定理求解即可；
（2）法一：过O作于F，利用垂径定理等可得出，然后利用定理证明，得出，然后利用平行线的判定即可得证；
法二：连接，证明，得出，然后利用平行线的判定即可得证
【详解】（1）解∶∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
解得，
即的半径为3；
（2）证明：法一：过O作于F，
∴，
∵
∴，
又，，
∴，
∴，
∴；
法二：连接，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，灵活运用所学知识解题是解题的关键．
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第21讲　圆的基本性质
【考点梳理】
1．圆的基本概念及性质
(1)基本概念
①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆定点叫圆心，定长叫半径，以O为圆心的圆记作⊙O.
②弧和弦：圆上任意两点间的部分叫弧，连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，直径
是最长的弦．
③圆心角：顶点在圆心，角的两边与圆相交的角叫圆心角．
④圆周角：顶点在圆上，角的两边与圆相交的角叫圆周角．
⑤等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧．
(2)性质：
①对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是过圆心的任一条直线；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．
②旋转不变性：圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．
2．垂径定理及其推论
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理的推论：
①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦 ，并且平分弦所对的两条弧；
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
3．弦、弧、圆心角的关系定理及推论
①弦、弧、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
②推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
4．圆周角定理及推论：
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．
圆周角定理的推论：
①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等．
②半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
注意：圆周角定理运用在“同圆或等圆”中，一条弦对应两条弧，对应两个互补的圆周角；一条弧只对应一个圆心角，对应无数圆周角．
5．四边形和圆
圆内接四边形的对角互补，如图，∠D＋∠B＝180°，∠A＋∠C＝180°.
【高频考点】
考点1：垂径定理
【例题1】如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（　　）
A．3cm　　　　　　B． cm　　　　　　C．2.5cm　　　　　　D． cm
考点2：圆周角定理及其推论
【例题2】（2024·云南·中考真题）如图，是的直径，点、在上．若，，则（ ）
A． B． C． D．
考点3：圆内接四边形
【例题3】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【自我检测】
一、选择题：
1. （2024·甘肃临夏·中考真题）如图，是的直径，，则（ ）
A． B． C． D．
2. （2024·湖南·中考真题）如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
3. 如图，点，，均在上，若，，则( )
A. B. C. D.
4. 如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（　　）
A. 25° B. 35° C. 45° D. 65°
5. 如图，点在上，，连接并延长，交于点，连接，若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：
6. （2024·北京真题）如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则

7. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是________米．
8. （2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，内接于，是直径，若，则 ．
9. 如图，的弦垂直平分半径，点是弦上一点，且，连接并延长交于点，连结，，设．
（1）当点是中点时，的度数为______°；
（2）连接，当时，则与之间的关系式为______．
三、解答题：
10. 如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，过点O分别作ON⊥CD于点N，OM⊥AB于点M，若ON=AB，证明：OM=CD．
11. 已知⊙O是△ABC的外接圆，且半径为4.
(1)如图1，若∠A＝30°，求BC的长；
(2)如图2，若∠A＝45°：
①求BC的长；
②若点C是的中点，求AB的长；
(3)如图3，若∠A＝135°，求BC的长．
图1 图2 　　图3
12.如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，
（1）求证：DE=DB；
（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．
13. （2024·内蒙古包头·中考真题）如图，是的直径，是的两条弦，点与点在的两侧，是上一点（），连接，且．
(1)如图1，若，，求的半径；
(2)如图2，若，求证：．（请用两种证法解答）
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