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第22讲　与圆有关的位置关系
【考点梳理】
1．点和圆的位置关系(设d为点P到圆心的距离，r为圆的半径)：
(1)点P在圆上 d＝r；
(2)点P在圆内 d(3)点P在圆外 d>r．
2．直线和圆的位置关系
(1)设r是⊙O的半径，d是圆心O到直线l的距离．
直线和圆的位置关系 图形 公共点个数 圆心到直线的距离d与半径r的关系 公共点名称 直线名称
相交 2 d＜r 交点 割线
相切 1 d＝r 切点 切线
相离 0 d>r 无 无
(2)切线的性质：
①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
②推论1：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
③推论2：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
(3)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
(4)①切线长：经过圆外一点作圆的一条切线；这一点与切点之间的线段长度叫做点到圆的切线长．
②切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
3．三角形的外接圆和内切圆
名称 图形 内、外心 性质
三角形的外接圆 三边垂直平分线的交点称为三角形的外心 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等
三角形的内切圆 三条角平分线的交点称为三角形的内心 三角形的内心到三角形三条边的距离相等
【高频考点】
考点1：圆的切线的判定与性质
【例题1】如图，AB是⊙O的直径，且长为10，点P是AB下方的半圆上不与点A，B重合的一个动点，点C为AP的中点，延长CO交⊙O于点D，连接AD，过点D作⊙O的切线交PB的延长线于点E，连CE.
(1)若∠ADC＝30°，求的长；
(2)求证：△DAC≌△ECP；
(3)在点P运动过程中，若tan∠DCE＝，求AD的长．
【点拨】　(1)利用同弧所对圆周角与圆心角之间的关系，可求得∠DOB＝60°，利用弧长公式求的长；(2)先证得四边形DCPE是矩形，从而证明△DAC≌△ECP；(3)可以利用tan∠DCE在Rt△DAC中获得三边的数量关系，在Rt△AOC中建立方程求解．
【解答】　解：(1)∵∠ADC＝30°，OA＝OD，∴∠OAD＝30°.
∴∠DOB＝60°.
∴l＝＝.
(2)证明：连接OP.
∵AO＝OP，点C是AP的中点，∴∠DCP＝90°.
∵DE是⊙O的切线，∴∠CDE＝90°.
∵AB是⊙O的直径，∴∠APB＝90°.∴四边形DCPE是矩形．∴DC＝EP.
又∵AC＝CP，∠ACD＝∠CPE＝90°，∴△DAC≌△ECP(SAS)．
(3)由(2)知，四边形DCPE是矩形，△DAC≌△ECP，
∴∠ADC＝∠CEP＝∠DCE.
∵tan∠DCE＝，∴tan∠ADC＝.
∴设AC＝x，则DC＝2x，AD＝x.
在Rt△AOC中，OC＝2x－5，AO2＝AC2＋OC2，
∴52＝x2＋(2x－5)2，解得x1＝0(舍去)，x2＝4.
∴AD＝4.
归纳：1.切线的判定：在判定直线与圆相切时，若直线与圆的公共点已知，证明方法是“连半径，证垂直”；若直线与圆的公共点未知，证明方法是“作垂线，证半径”．这两种情况可概括为一句话：“有交点，连半径，无交点，作垂线”．
2．求线段长度时通常在构造的直角三角形中(注意直径所对的圆周角也可得直角三角形)利用三角函数或勾股定理求解，有时也需根据圆中相等的角得到相似三角形，根据相似三角形对应边成比例建立等式进行求解．
考点2：圆的切线综合应用
【例题2】已知：是的外接圆，连接并延长交于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点是弧上一点，连接，于点，且，求的值；
（3）在（2）的条件下，若，，求线段的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）1 （3）
【分析】（1）连接，根据三角形外角定理得，由圆心角是圆周角的一半得，再用外角定理得，两边加上等腰的两个相等底角得，即得；
（2）根据和的内角和，根据对顶角相等及第（1）问结论，转化成与，，相关的角，最后得到，即得；
（3）过作于，连接，如图所示，根据（1）（2）中结论，由垂径定理及等腰直角三角形的判定与性质确定，设，则，由三角形相似的判定与性质，根据相似比列方程求解得到的值，在中，由勾股定理求解即可得到答案．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
，，
，即，
，
，
，而，
，
，
，
，
，
；
（2）解：设与交于点，如图所示：
，且，
，
，
，
，
由（1）知，
，
，
，即，
，即，
，
；
（3）解：过作于，连接，如图所示：
由（1）知，由（2）知，
，
，
是等腰直角三角形，即，
设，则，
，，
，
，即，解得，
在等腰中，，
，
在中，由勾股定理可得．
【点睛】本题综合考查圆综合，涉及外角性质、圆周角与圆心角的关系、圆周角定理及其推理、等腰三角形的性质、对顶角相等、解直角三角形、垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点；其中角与辅助线的配合与等角的正切值相等得到边的比值关系起重要作用．
考点3：圆与其它知识的综合应用
【例题3】如图，为的直径，弦，连结，点E为上一点，，连结接并延长交于点F，交于点G．
（1）求证：；
（2）若，，求的长；
（3）若，记，请用含有x的代数式表示y．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【分析】（1）设，．则，结合三角形内角和定理得，根据，即有成立．
（2）连接，则有平分，即．得到．即可证明，有，即可求得．
（3）连接，则有，那么．结合，有，即．进一步证明，有即可．
【小问1详解】
证明：设，
．
，
．
，
，
，
，
即；
【小问2详解】
证明：连接，
，
平分，
，
．
，
．
，
，
．
∵，，
∴，
∵，，
∴，
．
【小问3详解】
解：连接，如图，
，
，
．
，
，
∵，
．
∵，
∴
∵，
∴，
，
∵，
∴，
．
【点睛】本题主要考查圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、垂径定理、相似三角形的判定和性质和比例的基本性质，解题的关键是熟悉相似三角形的性质和圆的知识．
【自我检测】
一、选择题：
1. （2024·上海·中考真题）在中，，，，点在内，分别以为圆心画，圆半径为1，圆半径为2，圆半径为3，圆与圆内切，圆与圆的关系是（ ）
A．内含 B．相交 C．外切 D．相离
【答案】B
【分析】本题考查圆的位置关系，涉及勾股定理，根据题意，作出图形，数形结合，即可得到答案，熟记圆的位置关系是解决问题的关键．
【详解】解：圆半径为1，圆半径为3，圆与圆内切，
圆含在圆内，即，
在以为圆心、为半径的圆与边相交形成的弧上运动，如图所示：
当到位置时，圆与圆圆心距离最大，为，
，
圆与圆相交，
故选：B．
2. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，若⊙A，⊙B的半径分别为1 cm,4 cm，则⊙A，⊙B的位置关系是(　　)
A．外切 B．内切 C．相交 D．外离
解析：如图所示，由勾股定理可得AB＝＝＝5(cm)，
∵⊙A，⊙B的半径分别为1 cm,4 cm，
∴圆心距d＝R＋r，∴⊙A，⊙B的位置关系是外切．
答案：A
3. （2024·福建·中考真题）如图，已知点在上，，直线与相切，切点为，且为的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了切线的性质，三角形内角和以及等腰三角形的性质，根据C为的中点，三角形内角和可求出，再根据切线的性质即可求解．
【详解】∵，为的中点，
∴
∵
∴
∵直线与相切，
∴，
∴
故选：A．
4. （2024·四川泸州·中考真题）如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作辅助线是解题关键．
根据圆的内接四边形的性质得，由得，由切线长定理得，即可求得结果．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，是的切线，根据切线长定理得，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
5.
二、填空题：
6.如图，为的切线，切点为，连接，与交于点，延长与交于点，连接，若，则的度数为 .
【分析】主要考察圆的切线性质、三角形的内角和等，中等偏易题型
【解答】切线性质得到
7. （2024·浙江·中考真题）如图，是的直径，与相切，A为切点，连接．已知，则的度数为

【答案】/40度
【分析】本题考查切线的性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．
【详解】解：∵与相切，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
8. （2024·内蒙古包头·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，点在四边形内部，过点作的切线交的延长线于点，连接．若，，则的度数为 ．
【答案】/105度
【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质等知识，连接，利用等边对等角得出，，利用切线的性质可求出，然后利用圆内接四边形的性质求解即可．
【详解】解∶连接，
∵，，
∴，，
∵是切线，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
故答案为：．
9. 在直角中，，，，点是内一点，满足，则的最小值为_______．
【答案】2
【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离．首先证明点P在以为直径的上，连接与交于点P，此时最小，利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点P在以为直径的上，连接交于点D，此时最小，
∴，
中，∵，，，
∴，
∴．
故答案为：2．
三、解答题：
10. （2024·广东·中考真题）如图，在中，．

(1)实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，长为半径作．求证：与相切．
【答案】(1)见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质定理，切线的判定等知识．熟练上述知识是解题的关键．
（1）利用尺规作角平分线的方法解答即可；
（2）如图2，作于，由角平分线的性质定理可得，由是半径，，可证与相切．
【详解】（1）解：如图1，即为所作；

（2）证明：如图2，作于，

∵是的平分线，，，
∴，
∵是半径，，
∴与相切．
11. 如图，是的外接圆，点E是的内心，AE的延长线交BC于点F，交于点D，连接BD，BE．
（1）求证：；
（2）若，，求DB的长．
【答案】（1）证明过程见详解; （2）DB=6.
【分析】（1）根据三角形的内心得到∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，根据圆周角定理推论得到∠DBC=∠CAD，结合三角形的外角性质，进而根据“等角对等边”证明结论；
（2）通过证明△DBF∽△DAB，利用对应边成比例求解即可．
【详解】解：（1）证明：∵E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，
根据圆周角定理推论，可知∠DBC=∠CAD，
∴∠DBC=∠BAE，
∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DE=DB；
（2）由（1）知∠DAB=∠CAD，∠DBF=∠CAD,
∴∠DBF=∠DAB.
∵∠D=∠D，
∴△DBF∽△DAB.
∴,
∵DE=DB，
∴,
∵，，
∴,
∴.
【点睛】本题主要考查了三角形的内心，圆周角定理推论，相似的判定与性质，涉及了等腰三角形的判定与性质，三角形的外角定理.关键是正确理解三角形的内心定义．
12. 如图，线段与相切于点，的一条弦，连接，交于另一点，交于点．
（1）如图1，经过圆心，连接，，求证：．
（2）如图2，不经过圆心．若，，，求的长．
【答案】（1）详见解析
（2）
【分析】本题主要考查切线的性质，垂径定理，勾股定理，平行的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）证明，，再根据，即可得到结论；
（2）设与相交于点，连接，根据三角函数得到，设，则，在中，，即，解得的值即可得到答案．
【小问1详解】
证明：，
．
，
．
，
．
，，
；
【小问2详解】
解：如图，设与相交于点，连接．
，
．
，
．
在中，设，则．
，
．
在中，，即，
解得，（舍去），
．
，
．
13. 如图，已知中为中的直径，交于点D，E为的中点，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，．
（1）求证：为的切线；
（2）连接交于点M，若，，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，易证，可推出，根据三角形内角和定理易证，即可证明；
（2）连接，证明，得到，设，则，根据，即，求出；求出，，，根据，求出，即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，
∵E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵为中的半径，
∴为的切线；
【小问2详解】
解：连接，
∵为中的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
整理得：，
解得：或（舍去）；
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理、解直角三角形、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，掌握以上知识点是解题的关键．
14. （2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，中，，，经过B，C两点，与斜边交于点E，连接并延长交于点M，交于点D，过点E作，交于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，延长，交于点，连接根据直径所对的圆周角是直角求出，得，，由可得，从而可证明是的切线；
（2）由得，即，证明，得，由得，故可得，由勾股定理求出，得，由勾股定理求出，，根据求出，进一步求出
【详解】（1）证明：连接，延长，交于点，连接如图，
∵
∴是等腰直角三角形，
∴
∵是的直径，
∴
∴
∴
∴
∵
∴即
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在等腰直角三角形中，,
∴，
解得，，
∴，
∴
在中，
∴，
又，
∴
∴
∴
∴
15. 如图1，在中，直径垂直弦，连结，弦平分分别交于点与的延长线交于点．
（1）求证：；
（2）如图1，当时，求；
（3）如图2，当时，求．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由垂径定理得，由圆周角定理得，进而可证；
（2）连接，利用圆的内接四边形的性质和相似三角形的判定定理得到，利用（1）的结论得到，利用相似三角形的性质得到，，则G为AH的黄金分割点，利用黄金分割的知识解答即可；
（3）连结，利用线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质得到，则；利用全等三角形的判定与性质，菱形的判定定理得到四边形为菱形，再利用圆周角定理和等边三角形的判定定理得到，为直径，最后利用相似三角形的判定与性质解答即可．
【小问1详解】
证明：直径弦
又
【小问2详解】
连接，
∵四边形为圆的内接四边形，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
，
，
∴，
，
，
，
为的黄金分割点，
；
【小问3详解】
连结，如图，
∵直径垂直弦，
∴垂直平分，
∴，
∴，
由（2）知：，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴
∴四边形为菱形，
∴，
∴垂直平分，
∴，为直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，圆的内接四边形的性质，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．
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第22讲　与圆有关的位置关系
【考点梳理】
1．点和圆的位置关系(设d为点P到圆心的距离，r为圆的半径)：
(1)点P在圆上 d＝r；
(2)点P在圆内 d(3)点P在圆外 d>r．
2．直线和圆的位置关系
(1)设r是⊙O的半径，d是圆心O到直线l的距离．
直线和圆的位置关系 图形 公共点个数 圆心到直线的距离d与半径r的关系 公共点名称 直线名称
相交 2 d＜r 交点 割线
相切 1 d＝r 切点 切线
相离 0 d>r 无 无
(2)切线的性质：
①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
②推论1：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
③推论2：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
(3)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
(4)①切线长：经过圆外一点作圆的一条切线；这一点与切点之间的线段长度叫做点到圆的切线长．
②切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
3．三角形的外接圆和内切圆
名称 图形 内、外心 性质
三角形的外接圆 三边垂直平分线的交点称为三角形的外心 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等
三角形的内切圆 三条角平分线的交点称为三角形的内心 三角形的内心到三角形三条边的距离相等
【高频考点】
考点1：圆的切线的判定与性质
【例题1】如图，AB是⊙O的直径，且长为10，点P是AB下方的半圆上不与点A，B重合的一个动点，点C为AP的中点，延长CO交⊙O于点D，连接AD，过点D作⊙O的切线交PB的延长线于点E，连CE.
(1)若∠ADC＝30°，求的长；
(2)求证：△DAC≌△ECP；
(3)在点P运动过程中，若tan∠DCE＝，求AD的长．
考点2：圆的切线综合应用
【例题2】已知：是的外接圆，连接并延长交于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点是弧上一点，连接，于点，且，求的值；
（3）在（2）的条件下，若，，求线段的长．
考点3：圆与其它知识的综合应用
【例题3】如图，为的直径，弦，连结，点E为上一点，，连结接并延长交于点F，交于点G．
（1）求证：；
（2）若，，求的长；
（3）若，记，请用含有x的代数式表示y．
【自我检测】
一、选择题：
1. （2024·上海·中考真题）在中，，，，点在内，分别以为圆心画，圆半径为1，圆半径为2，圆半径为3，圆与圆内切，圆与圆的关系是（ ）
A．内含 B．相交 C．外切 D．相离
2. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，若⊙A，⊙B的半径分别为1 cm,4 cm，则⊙A，⊙B的位置关系是(　　)
A．外切 B．内切 C．相交 D．外离
3. （2024·福建·中考真题）如图，已知点在上，，直线与相切，切点为，且为的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
4. （2024·四川泸州·中考真题）如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：
6.如图，为的切线，切点为，连接，与交于点，延长与交于点，连接，若，则的度数为 .
7. （2024·浙江·中考真题）如图，是的直径，与相切，A为切点，连接．已知，则的度数为

8. （2024·内蒙古包头·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，点在四边形内部，过点作的切线交的延长线于点，连接．若，，则的度数为 ．
9. 在直角中，，，，点是内一点，满足，则的最小值为_______．
三、解答题：
10. （2024·广东·中考真题）如图，在中，．

(1)实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，长为半径作．求证：与相切．
11. 如图，是的外接圆，点E是的内心，AE的延长线交BC于点F，交于点D，连接BD，BE．
（1）求证：；
（2）若，，求DB的长．
12. 如图，线段与相切于点，的一条弦，连接，交于另一点，交于点．
（1）如图1，经过圆心，连接，，求证：．
（2）如图2，不经过圆心．若，，，求的长．
13. 如图，已知中为中的直径，交于点D，E为的中点，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，．
（1）求证：为的切线；
（2）连接交于点M，若，，求的值．
14. （2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，中，，，经过B，C两点，与斜边交于点E，连接并延长交于点M，交于点D，过点E作，交于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
15. 如图1，在中，直径垂直弦，连结，弦平分分别交于点与的延长线交于点．
（1）求证：；
（2）如图1，当时，求；
（3）如图2，当时，求．
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