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第23讲　与圆有关的计算
【考点梳理】
1．弧长与扇形面积的相关计算
(1)半径为r的圆的周长：C＝2πr ；半径为r，n°的圆心角所对的弧长：l＝；
(2)半径为r的圆的面积：S＝πr2；半径为r，圆心角为n°，弧长为l的扇形面积：S扇形＝＝lr.
2．圆锥的侧面积和全面积
(1)圆锥与其侧面展开图的关系：圆锥侧面展开图是扇形；
圆锥底面周长＝其侧面展开所得扇形的弧长；圆锥母线长＝其侧面展开所得扇形的半径；
(2)圆锥侧面积＝＝πrl；
圆锥全面积＝侧面积＋底面积＝πrl＋πr2(r表示底面圆半径，l表示圆锥的母线长)．
3．求阴影部分面积的几种常见方法
(1)公式法：直接用公式求解；
(2)割补法：将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解；
(3)拼凑法：将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影移位后，组成规则图形求解；
(4)等积变形构造方程法：将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解；
(5)去重法：将阴影部分图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差求解．
【高频考点】
考点1：弧长计算
【例题1】（2024·江苏苏州·中考真题）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度） ．（结果保留）
【答案】
【分析】题目主要考查正多边形与圆，解三角形，求弧长，过点C作，根据正多边形的性质得出为等边三角形，再由内心的性质确定，得出，利用余弦得出，再求弧长即可求解，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．
【详解】解：如图所示：过点C作，
∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形，
∴，
∴为等边三角形，
∵圆心C恰好是的内心，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长为：，
∴花窗的周长为：，
故答案为：．
归纳：1．求弧长，要先确定两个要素，一是弧所在圆的半径，二是弧所在扇形的圆心角，再代入弧长公式计算即可．
2．同一正多边形的渐开线每部分弧所对的圆心角不变，半径后一段比相邻的前一段增加一个正多边形的边长．边长为a的正n边形的渐开线第m段弧长为.
考点2：阴影部分面积的计算
【例题2】如图，边长为的正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据正方形的性质以及切线的性质，求得的长，勾股定理求得的长，进而根据即可求解．
【详解】如图，连接, ，
边长为的正方形内接于，即，
，，为的直径，，
，分别与相切于点和点，
，
四边形是正方形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，
．
故选C．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
归纳：在圆中求阴影部分面积大致有以下方法：
(1)弓形或弓形的一部分可转化成扇形减去三角形的面积；
(2)新月形可以用扇形减去一个弓形的面积；
(3)可以利用等积变换求阴影部分的面积；
(4)可以利用轴对称、中心对称求阴影部分的面积；
(5)旋转形成阴影部分的面积，往往可以转化成求一个扇形的面积．
考点3： 关于圆锥的计算
【例题3】（2024·广东·中考真题）综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图1所示：
①一张直径为的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为的圆锥形过滤漏斗．
【实践操作】
步骤1：取一张滤纸；
步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中．
【实践探索】
(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明．
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留）
【答案】(1)能，见解析
(2)
【分析】本题考查了圆锥，解题的关键是：本号资料全部来源于微信*公众号：数学第六感
（1）利用圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长求出圆锥展开图的扇形圆心角，即可判断；
（2）利用圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长，求出滤纸围成圆锥形底面圆的半径，利用勾股定理求出圆锥的高，然后利用圆锥体积公式求解即可．
【详解】（1）解：能，
理由：设圆锥展开图的扇形圆心角为，
根据题意，得，
解得，
∴将圆形滤纸对折，将其中一层撑开，围成圆锥形，此时滤纸能紧贴此漏斗内壁；
（2）解：设滤纸围成圆锥形底面圆的半径为，高为，
根据题意，得，
解得，
∴，
∴圆锥的体积为．
【自我检测】
一、选择题：
1. 如图，扇形的面积和的长的数值均为，则半径（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 4
【答案】C
【分析】本题考查了扇形的弧长和面积公式，设半径为，，根据扇形的弧长和面积公式列方程即可解答，熟练利用扇形的弧长和面积公式是解题的关键．
【详解】解：根据题意可得：，
则，
故选：C．
2. 某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，，所在圆的圆心为O，点C，D分别在OA，OB上，已知消防车道半径OC=12m，消防车道宽AC=4m，，则弯道外边缘的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】确定半径OA，.根据弧长公式可得．
【详解】OA=OC+AC=12+4=16(m)，的长为： （m）,故选C .
【点睛】本题主要考查了弧长的计算公式，解题的关键是牢记弧长的公式．
3. 如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据折叠，，进一步得到四边形OACB是菱形；进一步由得到是等边三角形；最后阴影部分面积=扇形AOB面积-菱形的面积，即可
【详解】依题意：，
∴
∴四边形OACB是菱形
∴
连接OC
∵
∴
∴是等边三角形
同理：是等边三角形
故
由三线合一，在中：
故选：B
【点睛】本题考查菱形的判定，菱形面积公式，扇形面积公式；解题关键是发现是等边三角形
4. ．（2024·山东威海·中考真题）如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是求不规则图形的面积，几何概率，根据阴影部分面积等于扇形的面积，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴四边形是矩形，
∴
∴
∵点是的中点
∴
∴
∴
∴，，
点落在阴影部分的概率是
故选：B．
5. （2024·四川遂宁·中考真题）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求不规则图形的面积，过点作于，由垂径定理得，由勾股定理得，又根据圆的直径为米可得，得到为等边三角形，即得，再根据淤泥横截面的面积即可求解，掌握垂径定理及扇形面积计算公式是解题的关键．
【详解】解：过点作于，则，，
∵圆的直径为米，
∴，
∴在中，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴淤泥横截面的面积，
故选：．
二、填空题：
6. 已知圆锥的母线长为10，底面圆半径为5，则此圆锥的侧面积为______．
【答案】
【分析】根据圆锥的侧面积公式求解即可．
【详解】解：此圆锥侧面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查求圆锥的侧面积．掌握求圆锥的侧面积公式（为底面圆的半径，l为母线长）是解题关键．
7. 如图，利用一个半径为的定滑轮将砝码提起，如果定滑轮顺时针转动了，那么砝码被提起了 _______（结果保留π）．
【答案】
【分析】本题考查了求弧长，根据砝码被提起的长度等于半径为， 圆心角为 的弧长，即可求解．
【详解】解：，
∴砝码被提起了．
故答案为：．
8. 如图，矩形中，，．以点A为圆心，将边顺时针旋转，交于点，得到扇形，扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆半径是________．
【答案】##
【分析】本题主要考查了矩形的性质以及弧长公式的应用，先求出，再由弧长公式求出的长，进一步求出该圆锥的底面圆半径，熟练掌握弧长公式是解答本题的关键．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
，
，
的长，
该圆锥的底面圆半径为：，
故答案为：．
9. 如图，，分别与相切于点，，交于点，四边形是平行四边形，若，则________，劣弧________．
【答案】 ①. ## ②.
【分析】根据切线长定理得，结合平行四边形的性质推得、，通过三角函数可求得的长，通过弧长公式可求得劣弧的长．
【详解】解：如图，连接，
，分别与相切于点，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
劣弧，
在中，，
，
．
故答案为：，．
三、解答题：
10.如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE=ED；
（2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠AEO=90°，再利用垂径定理证明即可；
（2）根据弧长公式解答即可．
【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO=∠ADB=90°，
即OC⊥AD，
∴AE=ED；
（2）∵OC⊥AD，
∴，
∴∠ABC=∠CBD=36°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，
∴．
11. （2024·四川内江·中考真题）如图，是的直径，是的中点，过点作的垂线，垂足为点．

(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)若，，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】+（1）分别证明，，从而可得结论；
（2）连接，证明，可得，再进一步可得结论；
（3）连接、，证明四边形是矩形，可得，再证明，可得，可得，利用可得答案.
【详解】（1）证明：∵是的直径
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：连接

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（3）解：连接、

∵是的直径，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵是半径，是的中点，
∴，，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
12. （2024·湖北·中考真题）中，，点在上，以为半径的圆交于点，交于点．且．
(1)求证：是的切线．
(2)连接交于点，若，求弧的长．
【答案】(1)见解析
(2)弧的长为．
【分析】（1）利用证明，推出，据此即可证明结论成立；
（2）设的半径为，在中，利用勾股定理列式计算求得，求得，再求得，利用弧长公式求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
在和中，，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
设的半径为，
在中，，即，
解得，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴弧的长为．
【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，三角函数的定义，弧长公式．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
13.如图1，是小明设计一个的数学原理图．如图2将两块形状相同，大小不相同的直角三角形纸片放入中，其中，圆心O在直角边上．连接并延长，交于点F．若．
（1）求的半径．
（2）求证：
（3）求的长 ．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【分析】本题考查垂径定理，余角的性质，相似三角形的判定与性质，三角函数的定义，勾股定理．熟练掌握相关判定与性质是解题的关键．
（1）由垂径定理得，在中，由勾股定理求得．在中，由勾股定理求得，即，求解即可．
（2）先由余角性质得，再由等腰三角形的性质得，又由，即可由相似三角形的判定定理得出结论；
（3）根据，，可得，解得．在中，．再由（2）求解即可．
【小问1详解】
解：，圆心在边上，
．
在中，
．
在中，
，
，解得．
的半径为．
【小问2详解】
证明：，，
．
，
，
．
，
，
，即．
【小问3详解】
解：，，
，解得．
在中，．
，即，
．
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第23讲　与圆有关的计算
【考点梳理】
1．弧长与扇形面积的相关计算
(1)半径为r的圆的周长：C＝2πr ；半径为r，n°的圆心角所对的弧长：l＝；
(2)半径为r的圆的面积：S＝πr2；半径为r，圆心角为n°，弧长为l的扇形面积：S扇形＝＝lr.
2．圆锥的侧面积和全面积
(1)圆锥与其侧面展开图的关系：圆锥侧面展开图是扇形；
圆锥底面周长＝其侧面展开所得扇形的弧长；圆锥母线长＝其侧面展开所得扇形的半径；
(2)圆锥侧面积＝＝πrl；
圆锥全面积＝侧面积＋底面积＝πrl＋πr2(r表示底面圆半径，l表示圆锥的母线长)．
3．求阴影部分面积的几种常见方法
(1)公式法：直接用公式求解；
(2)割补法：将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解；
(3)拼凑法：将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影移位后，组成规则图形求解；
(4)等积变形构造方程法：将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解；
(5)去重法：将阴影部分图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差求解．
【高频考点】
考点1：弧长计算
【例题1】（2024·江苏苏州·中考真题）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度） ．（结果保留）
考点2：阴影部分面积的计算
【例题2】如图，边长为的正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
考点3： 关于圆锥的计算
【例题3】（2024·广东·中考真题）综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图1所示：
①一张直径为的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为的圆锥形过滤漏斗．
【实践操作】
步骤1：取一张滤纸；
步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中．
【实践探索】
(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明．
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留）
【自我检测】
一、选择题：
1. 如图，扇形的面积和的长的数值均为，则半径（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 4
2. 某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，，所在圆的圆心为O，点C，D分别在OA，OB上，已知消防车道半径OC=12m，消防车道宽AC=4m，，则弯道外边缘的长为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
4. ．（2024·山东威海·中考真题）如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
5. （2024·四川遂宁·中考真题）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：
6. 已知圆锥的母线长为10，底面圆半径为5，则此圆锥的侧面积为______．
7. 如图，利用一个半径为的定滑轮将砝码提起，如果定滑轮顺时针转动了，那么砝码被提起了 _______（结果保留π）．
8. 如图，矩形中，，．以点A为圆心，将边顺时针旋转，交于点，得到扇形，扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆半径是________．
9. 如图，，分别与相切于点，，交于点，四边形是平行四边形，若，则________，劣弧________．
三、解答题：
10.如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE=ED；
（2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长．
11. （2024·四川内江·中考真题）如图，是的直径，是的中点，过点作的垂线，垂足为点．

(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)若，，求阴影部分的面积．
12. （2024·湖北·中考真题）中，，点在上，以为半径的圆交于点，交于点．且．
(1)求证：是的切线．
(2)连接交于点，若，求弧的长．
13.如图1，是小明设计一个的数学原理图．如图2将两块形状相同，大小不相同的直角三角形纸片放入中，其中，圆心O在直角边上．连接并延长，交于点F．若．
（1）求的半径．
（2）求证：
（3）求的长 ．
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