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第25讲　视图与投影
【考点梳理】
1．三视图
(1)主视图：从正面看到的图形；(2)左视图：从左面看到的图形；(3)俯视图：从上面看到的图形．
2．画“三视图”的原则
(1)位置：主视图；左视图；俯视图．
(2)三种视图边的关系：长对正，高平齐，宽相等．
(3)虚实：在画图时，看得见部分的轮廓线通常画成实线，看不见部分的轮廓线通常画成虚线．
3．几种常见几何体的三视图
4.投影
物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象．
(1)平行投影：太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影．
在同一时刻，物体高度与影子长度成比例．
物体的三视图实际上就是该物体在某一平行光线(垂直于投影面的平行光线)下的平行投影．
(2)中心投影：探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点出发的光线，像这样的光线所形成的投影称为中心投影．
5．立体图形的展开
(1)常见几何体的展开图
(2)正方体展开图的三种类型
第一类：“141”型，特点：四个连成一排，两侧各有一个正方形．如下图：
如图中数字“1”与“6”相对，“2”与“4”相对，“3”与“5”相对．
第三类：“222”型和“33”型，特点：两面三行，像楼梯；三面两行，两台阶．如图：
图中“1”与“4”，“2”与“5”，“3”与“6”相对．
6．立体图形的折叠
一个几何体能展开成一个平面图形，这个平面图形就可以折叠成相应的几何体，展开与折叠是一对互逆的过程.
【高频考点】
考点1：立体图形的展开与折叠
【例题1】由下面正方体的平面展开图可知，原正方体“中”字所在面的对面的汉字是（　　）
A．国 B．的 C．中 D．梦
【分析】正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面．
【解答】解：根据正方体相对的面的特点，“中”字所在的面的对面的汉字是“的”，
故选：B．
归纳：1．可通过具体操作强化空间观念，即熟练的进行平面图形与立体图形之间的互相转化．2．折叠与展开是一个互逆的过程，可通过折叠验证展开，也可通过展开验证折叠．
考点2：三视图
【例题2】下列几何体中，主视图和左视图不一样的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据各个几何体的主视图和左视图进行判定即可．
【详解】解：圆锥的主视图、左视图是完全相同的等腰三角形，因此选项A不符合题意；
三棱柱的主视图、左视图虽然都是长方形，但是两个长方形的宽不同，因此选项B符合题意；
圆柱的主视图、左视图是现状完全相同的长方形，因此选项C不符合题意；
球的主视图、左视图是大小相等的圆形，因此选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，掌握各种几何体的三视图的形状是正确判断的关键．
考点3： 涉及三视图计算问题
【例题3】图，一透明的敞口正方体容器ABCD－A′B′C′D′中装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α(∠CBE＝α)．
探究：如图①，液面刚好过棱CD，并与棱BB′交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图②所示．
解决问题：
(1)CQ与BE的位置关系是________，BQ的长是________dm；
(2)求液体的体积(提示：V液＝S△BCQ×高AB)；
(3)求液面到桌面的高度和倾斜角α的度数.
解：(1)平行　3(4分)
(2)V液＝×3×4×4＝24(dm3)．(7分)
(3)过点B作BF⊥CQ，垂足为F.
∵S△BCQ＝×3×4＝×5×BF，
∴BF＝dm，
∴液面到桌面的高度是dm.
∵在Rt△BCQ中，tan∠BCQ＝＝，
∴∠BCQ≈37°.由(1)可知CQ∥BE，
∴α＝∠BCQ≈37°.
归纳：一般把左视图画在主视图的右方，俯视图画在主视图的下方，并使得视图各部分的比例恰当。其中主视图、左视图的高度相等；主视图、俯视图的长度相等；左视图的宽度（横向）与俯视图的宽度（纵向）相等。写成口诀就是：“主俯长对正，主左高平齐、左俯宽相等”。
【自我检测】
一、选择题：
1. 砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图所示是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】本题考查了俯视图的概念，理解俯视图的概念是解题的关键．根据俯视图是从物体的上面看的图形即可解答．
【详解】解：∵从砚台上面看到的图形是

故选：C．
2. 如图，用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据圆锥体的立体图形判断即可．
【详解】用平行底面的平面截圆锥体，截面是圆形，
故选：B．
【点睛】本题考查了截面图形的判断，具有一定的空间想象力是解答本题的关键．
3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，主视图是在物体正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是从左向右观察到的图形，掌握三视图的定义是解题关键，根据三视图的定义即可解题．
【详解】解：根据三视图的位置判断，只有B选项符合题意，
故选：B．
4. 小明拿一个等边三角形木框在太阳下玩耍，发现等边三角形木框在地面上的投影不可能是（　　）
A. B. ● C. D.
【答案】B
【详解】竖直向下看可得到线段，沿与平面平行的方向看可得到C，沿与平面不平行的方向看可得到D，不论如何看都得不到一点．
故选B．
5. 如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，则它的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】本题考查了几何体的三视图，主视图是从几何体的正面看到的图形，据此即可作答．
【详解】解：依题意，主视图是，
故选：C．
二、填空题：
6.如图，一个正方体由27个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方块，得到一个新的几何体．若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走　4　个小立方块．
【分析】根据新几何体的三视图与原来的几何体的三视图相同解答即可．
【解答】解：若新几何体与原正方体的表面积相等，则新几何体的三视图与原来的几何体的三视图相同，所以最多可以取走4个小立方块．
故答案为：4
7.三棱柱的三视图如图所示，已知△EFG中，EF=8cm，EG=12cm，∠EFG=45°．则AB的长为　 cm．
【分析】根据三视图的对应情况可得出，△EFG中FG上的高即为AB的长，进而求出即可．
【解答】解：过点E作EQ⊥FG于点Q，
由题意可得出：EQ=AB，
∵EF=8cm，∠EFG=45°，
∴EQ=AB=×8=4（cm）．
故答案为：4．
8.一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9个小立方块，它的主视图和左视图如图所示，那么这个几何体的搭法共有　 种．
【分析】先根据主视图确定每一列最大分别为4，2，3，再根据左视确定每一行最大分别为4，3，2，总和要保证为16，还要保证俯视图有9个位置．
【解答】解：设俯视图有9个位置分别为：
由主视图和左视图知：①第1个位置一定是4，第6个位置一定是3；
②一定有2个2，其余有5个1；
③最后一行至少有一个2，当中一列至少有一个2；
根据2的排列不同，这个几何体的搭法共有10种：如下图所示：
故答案为：10．
9.图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝x2+2x，S左＝x2+x，则S俯是 .
A．x2+3x+2 B．x2+2 C．x2+2x+1 D．2x2+3x
【解答】解：∵S主＝x2+2x＝x（x+2），S左＝x2+x＝x（x+1），
∴俯视图的长为x+2，宽为x+1，
则俯视图的面积S俯＝（x+2）（x+1）＝x2+3x+2，
三、解答题：
10. 一个几何体的三视图如图所示(单位：mm)，你能画出这个几何体的图形吗？并求出其表面积和体积．
【解析】：该几何体如图所示．(4分)表面积为2×π×＋8π×10＋5×8－π××5＝(92π＋40)(mm2)；(8分)体积为π××10－π××5＝120π(mm3)．(12分)
11. 如图，花丛中有一路灯杆AB，在灯光下，大华在点D处的影长DE＝3米，他沿BD方向行走到点G，DG＝5米，这时他的影长GH＝5米．如果大华的身高为2米，求路灯杆AB的高度．
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解：∵CD∥AB，∴△ECD∽△EAB，
∴＝，即＝①.
∵FG∥AB，∴△HFG∽△HAB，
∴＝，即＝②.
由①②得＝，
解得BD＝7.5，∴＝，解得AB＝7.
答：路灯杆AB的高度为7 m.
12. 小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：
如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2 m，CE＝0.8 m，CA＝30 m(点A、E、C在同一直线上)．
已知小明的身高EF是1.7 m，请你帮小明求出楼高AB(结果精确到0.1 m)．
【解析】：如题图，过点D作DG⊥AB，分别交AB，EF于点G，H，则
EH＝AG＝CD＝1.2，
DH＝CE＝0.8，DG＝CA＝30.
∵EF∥AB，∴＝.
由题意，知FH＝EF－EH＝1.7－1.2＝0.5.
∴＝，解之，得BG＝18.75.
∴AB＝BG＋AG＝18.75＋1.2＝19.95≈20.0，
∴楼高AB约为20.0米．
13. 如图，在一座大厦(图中BC所示)前面30m的地面上，有一盏地灯A照射大厦，身高为1.6m的小亮(图中EF所示)站在大厦和灯之间，若小亮从现在所处位置径直走向大厦，当他走到距离大厦只有5m的D处时停下．
(1)请在图中画出此时小亮的位置(可用线段表示)及他在地灯照射下投在大厦BC上的影子；
(2)请你求出此时小亮的影长．
【解析】：(1)如图，DG为小亮的位置，BH为他在地灯照射下投在大厦BC上的影子；
(2)设此时小亮的影长BH为xm.依题意得GD⊥AB，CB⊥AB，
∴∠ADG＝∠ABH＝90°.
又∵∠DAG＝∠BAH，∴△ADG∽△ABH，∴＝.
由题意得AB＝30m，DG＝1.6m，BD＝5m，
∴AD＝AB－BD＝25m，
∴BH＝＝＝1.92(m)．
答：小亮此时的影长是1.92m.
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第25讲　视图与投影
【考点梳理】
1．三视图
(1)主视图：从正面看到的图形；(2)左视图：从左面看到的图形；(3)俯视图：从上面看到的图形．
2．画“三视图”的原则
(1)位置：主视图；左视图；俯视图．
(2)三种视图边的关系：长对正，高平齐，宽相等．
(3)虚实：在画图时，看得见部分的轮廓线通常画成实线，看不见部分的轮廓线通常画成虚线．
3．几种常见几何体的三视图
4.投影
物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象．
(1)平行投影：太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影．
在同一时刻，物体高度与影子长度成比例．
物体的三视图实际上就是该物体在某一平行光线(垂直于投影面的平行光线)下的平行投影．
(2)中心投影：探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点出发的光线，像这样的光线所形成的投影称为中心投影．
5．立体图形的展开
(1)常见几何体的展开图
(2)正方体展开图的三种类型
第一类：“141”型，特点：四个连成一排，两侧各有一个正方形．如下图：
如图中数字“1”与“6”相对，“2”与“4”相对，“3”与“5”相对．
第三类：“222”型和“33”型，特点：两面三行，像楼梯；三面两行，两台阶．如图：
图中“1”与“4”，“2”与“5”，“3”与“6”相对．
6．立体图形的折叠
一个几何体能展开成一个平面图形，这个平面图形就可以折叠成相应的几何体，展开与折叠是一对互逆的过程.
【高频考点】
考点1：立体图形的展开与折叠
【例题1】由下面正方体的平面展开图可知，原正方体“中”字所在面的对面的汉字是（　　）
A．国 B．的 C．中 D．梦
考点2：三视图
【例题2】下列几何体中，主视图和左视图不一样的是（ ）
A. B. C. D.
考点3： 涉及三视图计算问题
【例题3】图，一透明的敞口正方体容器ABCD－A′B′C′D′中装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α(∠CBE＝α)．
探究：如图①，液面刚好过棱CD，并与棱BB′交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图②所示．
解决问题：
(1)CQ与BE的位置关系是________，BQ的长是________dm；
(2)求液体的体积(提示：V液＝S△BCQ×高AB)；
(3)求液面到桌面的高度和倾斜角α的度数.
【自我检测】
一、选择题：
1. 砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图所示是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是（ ）
A. B. C. D.
3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）
A. B. C. D.
4. 小明拿一个等边三角形木框在太阳下玩耍，发现等边三角形木框在地面上的投影不可能是（　　）
A. B. ● C. D.
5. 如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，则它的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：
6.如图，一个正方体由27个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方块，得到一个新的几何体．若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走　　个小立方块．
7.三棱柱的三视图如图所示，已知△EFG中，EF=8cm，EG=12cm，∠EFG=45°．则AB的长为　 cm．
8.一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9个小立方块，它的主视图和左视图如图所示，那么这个几何体的搭法共有　 种．
9.图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝x2+2x，S左＝x2+x，则S俯是 .
三、解答题：
10. 一个几何体的三视图如图所示(单位：mm)，你能画出这个几何体的图形吗？并求出其表面积和体积．
11. 如图，花丛中有一路灯杆AB，在灯光下，大华在点D处的影长DE＝3米，他沿BD方向行走到点G，DG＝5米，这时他的影长GH＝5米．如果大华的身高为2米，求路灯杆AB的高度．
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12. 小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：
如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2 m，CE＝0.8 m，CA＝30 m(点A、E、C在同一直线上)．
已知小明的身高EF是1.7 m，请你帮小明求出楼高AB(结果精确到0.1 m)．
13. 如图，在一座大厦(图中BC所示)前面30m的地面上，有一盏地灯A照射大厦，身高为1.6m的小亮(图中EF所示)站在大厦和灯之间，若小亮从现在所处位置径直走向大厦，当他走到距离大厦只有5m的D处时停下．
(1)请在图中画出此时小亮的位置(可用线段表示)及他在地灯照射下投在大厦BC上的影子；
(2)请你求出此时小亮的影长．
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