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第26讲　图形的对称
【考点梳理】
1．轴对称与轴对称图形
(1)把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与原图形重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点．
(2)如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形 ，这条直线就是它的对称轴．
注意：轴对称图形是一个图形，轴对称是针对两个图形；轴对称图形的对称轴可能不止一条，轴对称的两个图形只有一条对称轴．
2．图形轴对称的性质
(1)轴对称性质：成轴对称的两个图形全等，对应边和对应角分别相等；如果两个图形关于某条对称轴对称，那么对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线；
(2)轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线，对应线段，对应角相等．
(3)常见轴对称图形
线段、角、等腰三角形、等边三角形、矩形、菱形、正方形、正多边形、圆等．
3．中心对称
(1)定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与原图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于对称中心的对称点；
(2)性质：关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分；成中心对称的两个图形全等．
4．中心对称图形
(1)定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做对称中心，这个点就是它的中心对称图形；
(2)常见的中心对称图形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、边数为偶数的正多边形、圆等．
5．中心对称与轴对称的区别与联系
区别：中心对称有一个对称中心——点，图形绕一点旋转180°，旋转后与另一个图形重合；轴对称有一条对称轴——直线，图形沿直线翻折，翻折后与另一个图形重合．
联系：如果一个轴对称图形有两条互相垂直的对称轴，那么它必是中心对称图形，这两条对称轴的交点就是它的对称中心，但中心对称图形不一定是轴对称图形．
6．图形的折叠
(1)折叠部分的图形折叠前后，关于折痕成轴对称，且两图形全等；
(2)折叠前后对应点的连线段被折痕垂直平分．
【高频考点】
考点1： 图形的对称
【例题1】下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】解：由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形”
根据定义，A、C、D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形.
故选：B.
考点2：轴对称与中心对称的应用
【例题2】如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，－1）、B（1，－2）、C（3，－3）.
（1）将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1;
（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2;
（3）请写出A1、A2的坐标.
【答案】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；
（3）A1（2，3），A2（-2，-1）．
【解析】
（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）利用所画图象得出对应点坐标．
此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．
归纳：1．边数为奇数的正多边形是轴对称图形，不是中心对称图形；边数为偶数的正多边形既是中心对称图形，又是轴对称图形．2．两个正多边形的组合图形，边数都是奇数或一个是偶数，一个为奇数，可能是轴对称图形，但一定不是中心对称图形．
考点3： 图形的折叠问题研究
【例题3】如图，现有三角形纸片，，折叠纸片，使得点与点重合，得到折痕，然后还原；再次折叠纸片，使得上的点与上的点重合，得到折痕，然后还原，且，，三条线段相交于同一点．
（1）若，，则________．（用含的式子表示）
（2）若，，，则的长为________．
【答案】 ①. ## ②. ##
【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据折叠性质得到垂直平分，得到，得出，根据直角三角形的性质得到，根据等边对等角得到，三角形内角和定理，三角形外角的性质，计算即可得到答案；
（2）作于点，求出，根据平行线分线段成比例得到，得到．
【详解】解：（1）根据题意得垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为；
（2）如图，作于点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
【自我检测】
一、选择题：
1. 下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
D、即是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
2. 在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中是中心对称图形的是（ ）
A. 等角螺旋线 B. 心形线 C. 四叶玫瑰线 D. 蝴蝶曲线
【答案】C
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握一个平面图形，绕一点旋转，与自身完全重合，此平面图形为中心对称图形，是解题的关键．
根据中心对称图形的定义，对选项逐个判断即可．
【详解】解：对于A选项，不是中心对称图形，不符合题意；
对于B选项，不是中心对称图形，不符合题意；
对于C选项，是中心对称图形，符合题意；
对于D选项，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
3.如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（　　）
A． B．1 C． D．2
【分析】先作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值．然后证明四边形ABNM′为平行四边形，即可求出MP+NP=M′N=AB=1．
【解答】解：如图，
作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值，最小值为M′N的长．
∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，
∴M′是AD的中点，
又∵N是BC边上的中点，
∴AM′∥BN，AM′=BN，
∴四边形ABNM′是平行四边形，
∴M′N=AB=1，
∴MP+NP=M′N=1，即MP+NP的最小值为1，
故选：B．
4. （2024·江苏连云港·中考真题）如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是，则图中阴影图形的周长是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平移的性质，利用平移的性质将阴影部分的周长转化为边长是的正方形的周长加上边长是的正方形的两条边长再减去，由此解答即可．
【详解】解：由图可得：阴影部分的周长为边长是的正方形的周长加上边长是的正方形的两条边长再减去，
阴影图形的周长是：，
故选：A．
5. （2024·青海·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，点的对称，属于简单题，求交点坐标是解题关键．
先求出点的坐标，再根据对称性求出对称点的坐标即可．
【详解】解：令，则，
解得：，
即点为，
则点A关于y轴的对称点是．
故选：A．
二、填空题：
6.如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．若AB＝6，AD＝10，则四边形CEFG的面积是 .
【分析】根据题意和勾股定理，可以求得AF的长，进而求得EF和DF的值，从而可以得到四边形CEFG的面积．
【解答】∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF，
∴∠BAF＝90°，AD＝BC＝BF＝10，
∴AF＝8，
∴DF＝2，
设EF＝x，则CE＝x，DE＝6﹣x，
∵FDE＝90°，
∴22+（6﹣x）2＝x2，
解得，x＝，
∴CE＝，
∴四边形CEFG的面积是：CE DF＝×2＝．
7. （2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限（不与点重合），且与全等，点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的性质．利用数形结合的思想是解题的关键．根据点在第一象限（不与点重合），且与全等，画出图形，结合图形的对称性可直接得出．
【详解】解：∵点在第一象限（不与点重合），且与全等，
∴，，
∴可画图形如下，
由图可知点C、D关于线段的垂直平分线对称，则．
故答案为：．
8. （2024·甘肃临夏·中考真题）如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ．
【答案】/
【分析】本题考查平移的性质，相似三角形的判定和性质，三线合一，根据平移的性质，推出，根据对应边上的中线比等于相似比，求出的长，三线合一求出的长，利用面积公式进行求解即可．
【详解】解：∵等腰中，，，
∴，
∵为中线，
∴，，
∴，，
∴，
∵将沿其底边中线向下平移，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
9. （2024·四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，当重合时，最小，最小值为，再进一步结合勾股定理求解即可.
【详解】解：如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，
∴当重合时，最小，最小值为，
∵，，在中，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：
三、解答题：
10. （2024·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形，使其是轴对称图形且点、均在格点上．
(1)在图①中，四边形面积为2；
(2)在图②中，四边形面积为3；
(3)在图③中，四边形面积为4．
【分析】本题考查网格作图、设计图案、轴对称的性质、平移的性质等知识点，根据轴对称的性质、平移的性质作图是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为2四边形即可．
（2）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为3四边形即可．
（3）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为4四边形即可．
【详解】（1）解：如图①：四边形即为所求；
（不唯一）．
（2）解：如图②：四边形即为所求；
（不唯一）．
（3）解：如图③：四边形即为所求；
（不唯一）．
11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD．
（1）求证：△ADE≌△CDB；
（2）若BC=，在AC边上找一点H，使得BH+EH最小，并求出这个最小值．
【分析】（1）只要证明△DEB是等边三角形，再根据SAS即可证明；
（2）如图，作点E关于直线AC对称点E'，连接BE'交AC于点H．则点H即为符合条件的点．
【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∠BAC=30°，E为AB边的中点，
∴BC=EA，∠ABC=60°．
∵△DEB为等边三角形，
∴DB=DE，∠DEB=∠DBE=60°，
∴∠DEA=120°，∠DBC=120°，
∴∠DEA=∠DBC
∴△ADE≌△CDB．
（2）解：如图，作点E关于直线AC对称点E'，连接BE'交AC于点H．
则点H即为符合条件的点．
由作图可知：EH=HE'，AE'=AE，∠E'AC=∠BAC=30°．
∴∠EAE'=60°，
∴△EAE'为等边三角形，
∴，
∴∠AE'B=90°，
在Rt△ABC中，∠BAC=30°，，
∴，，
∴，
∴BH+EH的最小值为3．
12. 实验探究：
(1)如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN.请你观察图1，猜想∠MBN的度数是多少，并证明你的结论；
(2)将图1中的三角形纸片BMN剪下，如图2，折叠该纸片，探究MN与BM的数量关系，写出折叠方案，并结合方案证明你的结论．
、
　　　　　 图1　　　　　　　　　 图2
【解析】：(1)猜想：∠MBN＝30°.
证明：连接AN.
∵直线EF是AB的垂直平分线，∴NA＝NB.
由折叠可知，BN＝AB，∴AB＝BN＝AN.
∴△ABN是等边三角形．
∴∠ABN＝60°.∴MBN＝∠ABM＝∠ABN＝30°.
(2)结论：MN＝BM.
折纸方案：如图2，折叠△BMN，使得点N落在BM上点O处，折痕为MP，连接OP.
证明：由折叠可知，△MOP≌△MNP，
由(1)可知，∠MBN＝30°，∴∠OMN＝60°.
∴MN＝OM，∠OMP＝∠NMP＝∠OMN＝30°＝∠B，∠MOP＝∠MNP＝90°.
∴∠BOP＝∠MOP＝90°.
又∵OP＝OP，
∴△MOP≌△BOP(AAS)．
∴MO＝BO＝BM.∴MN＝BM.
13. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是射线CB上的一个动点，把△DCE沿DE折叠，点C的对应点为C′.
(1)若点C′刚好落在对角线BD上时，BC′＝4；
(2)若点C′刚好落在线段AB的垂直平分线上时，求CE的长；
(3)若点C′刚好落在线段AD的垂直平分线上时，直接写出CE的长．
【解析】：(2)如图，连接CC′.
∵点C′在AB的垂直平分线上，
∴点C′在DC的垂直平分线上．
∴CC′＝DC′＝DC，
∴△DC′C是等边三角形．
∴∠CDE＝∠C′DE＝∠CDC′＝30°.
∴DE＝2CE.
设CE＝x，则DE＝2x，由勾股定理，得(2x)2－x2＝62.
解得x＝2，即CE的长为2.
(3)CE的长为9＋3或9－3.
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第26讲　图形的对称
【考点梳理】
1．轴对称与轴对称图形
(1)把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与原图形重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点．
(2)如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形 ，这条直线就是它的对称轴．
注意：轴对称图形是一个图形，轴对称是针对两个图形；轴对称图形的对称轴可能不止一条，轴对称的两个图形只有一条对称轴．
2．图形轴对称的性质
(1)轴对称性质：成轴对称的两个图形全等，对应边和对应角分别相等；如果两个图形关于某条对称轴对称，那么对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线；
(2)轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线，对应线段，对应角相等．
(3)常见轴对称图形
线段、角、等腰三角形、等边三角形、矩形、菱形、正方形、正多边形、圆等．
3．中心对称
(1)定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与原图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于对称中心的对称点；
(2)性质：关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分；成中心对称的两个图形全等．
4．中心对称图形
(1)定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做对称中心，这个点就是它的中心对称图形；
(2)常见的中心对称图形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、边数为偶数的正多边形、圆等．
5．中心对称与轴对称的区别与联系
区别：中心对称有一个对称中心——点，图形绕一点旋转180°，旋转后与另一个图形重合；轴对称有一条对称轴——直线，图形沿直线翻折，翻折后与另一个图形重合．
联系：如果一个轴对称图形有两条互相垂直的对称轴，那么它必是中心对称图形，这两条对称轴的交点就是它的对称中心，但中心对称图形不一定是轴对称图形．
6．图形的折叠
(1)折叠部分的图形折叠前后，关于折痕成轴对称，且两图形全等；
(2)折叠前后对应点的连线段被折痕垂直平分．
【高频考点】
考点1： 图形的对称
【例题1】下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
考点2：轴对称与中心对称的应用
【例题2】如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，－1）、B（1，－2）、C（3，－3）.
（1）将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1;
（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2;
（3）请写出A1、A2的坐标.
考点3： 图形的折叠问题研究
【例题3】如图，现有三角形纸片，，折叠纸片，使得点与点重合，得到折痕，然后还原；再次折叠纸片，使得上的点与上的点重合，得到折痕，然后还原，且，，三条线段相交于同一点．
（1）若，，则________．（用含的式子表示）
（2）若，，，则的长为________．
【自我检测】
一、选择题：
1. 下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中是中心对称图形的是（ ）
A. 等角螺旋线 B. 心形线 C. 四叶玫瑰线 D. 蝴蝶曲线
3.如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（　　）
A． B．1 C． D．2
4. （2024·江苏连云港·中考真题）如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是，则图中阴影图形的周长是（ ）

A． B． C． D．
5. （2024·青海·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：
6.如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．若AB＝6，AD＝10，则四边形CEFG的面积是 .
7. （2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限（不与点重合），且与全等，点的坐标是 ．
8. （2024·甘肃临夏·中考真题）如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ．
9. （2024·四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ．
三、解答题：
10. （2024·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形，使其是轴对称图形且点、均在格点上．
(1)在图①中，四边形面积为2；
(2)在图②中，四边形面积为3；
(3)在图③中，四边形面积为4．
11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD．
（1）求证：△ADE≌△CDB；
（2）若BC=，在AC边上找一点H，使得BH+EH最小，并求出这个最小值．
12. 实验探究：
(1)如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN.请你观察图1，猜想∠MBN的度数是多少，并证明你的结论；
(2)将图1中的三角形纸片BMN剪下，如图2，折叠该纸片，探究MN与BM的数量关系，写出折叠方案，并结合方案证明你的结论．
、
　　　　　 图1　　　　　　　　　 图2
13. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是射线CB上的一个动点，把△DCE沿DE折叠，点C的对应点为C′.
(1)若点C′刚好落在对角线BD上时，BC′＝4；
(2)若点C′刚好落在线段AB的垂直平分线上时，求CE的长；
(3)若点C′刚好落在线段AD的垂直平分线上时，直接写出CE的长．
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