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第27讲　图形的平移与旋转
【考点梳理】
1．图形的平移
(1)定义：在平面内，将某一图形沿着某个方向移动一定的距离，这种图形运动称为平移；平移不改变图形的大小和形状．
(2)平移的要素：平移方向、平移距离．
(2)性质：①平移后的图形与原来的图形全等；②对应线段平行且相等，对应角相等；③对应点所连的线段平行且相等．
2．图形的旋转
(1)定义：把一个图形绕着某一个点O转动一定角度的图形变换叫做旋转，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点；
(2)要素：确定一个旋转运动的条件是要确定旋转中心、旋转方向和旋转角度；
(3)性质：①对应点到旋转中心的距离相等；
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
③旋转前、后的图形全等.
【高频考点】
考点1： 关于平移问题
【例题1】在6×6方格中，将图①中的图形N平移后位置如图②所示，则图形N的平移方法中，正确的是( )
A．向下移动1格 B．向上移动1格 C．向上移动2格 D．向下移动2格
解析：结合图形按平移的定义判断．
【同步练】在由相同的小正方形组成的3×4的网格中，有3个小正方形已经涂黑，请你再涂黑一个小正方形，使涂黑的四个小正方形中，其中两个可以由另外两个平移得到，则还需要涂黑的小正方形序号是(D)
A．①或②　　　　B．③或④　　　　C．⑤或⑥　　　　D．①或⑨
解：根据题意可涂黑①和⑨，
涂黑①时，可将左上和左下两个黑色正方形向右平移1个单位即可得；
涂黑⑨时，可将左上和左下两个黑色正方形向右平移2个单位、再向下平移1个单位可得；
故选：D．
归纳：1．平移前后图形的形状、大小都不变，平移得到的对应线段与原线段平行且相等，对应角相等．2．判断时选择某一特殊点，验证其平移情况即可．
考点2： 关于旋转问题
【例题2】如图， 将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转角为α旋转到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1、BC1分别相交于点E、F.
(1)试判断A1D和CF的数量关系；
(2)当∠C＝α时，判定四边形A1BCE的形状并说明理由．
【分析】　(1)根据等腰三角形的性质得到AB＝BC，∠A＝∠C，由旋转的性质得到A1B＝AB＝BC，∠A＝∠A1＝∠C，∠A1BD＝∠CBC1，根据全等三角形的判定及性质即可求解；(2)由旋转的性质得到∠A1＝∠A，根据平角的定义得到∠DEC＝180°－α，在四边形A1BCE中，根据四边形的内角和得到∠A1BC＝360°－∠A1－∠C－∠A1EC＝180°－α，进而证得四边形A1BCE是平行四边形，由A1B＝BC即邻边相等的平行四边形是菱形即可证明．
解：(1)∵△ABC是等腰三角形，∴AB＝BC，∠A＝∠C，∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，∴A1B＝AB＝BC，∠A＝∠A1＝∠C，∠A1BD＝∠CBC1，在△BCF与△BA1D中，，∴△BCF≌△BA1D(ASA)，∴A1D＝CF；
(2)四边形A1BCE是菱形，∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转到△A1BC1的位置，∴∠A1＝∠A，∵∠ADE＝∠A1DB，∴∠AED＝∠A1BD＝α，∴∠DEC＝180°－α，∵∠C＝α，∴∠A1＝α，在四边形A1BCE中，∠A1BC＝360°－∠A1－∠C－∠A1EC＝180°－α，∴∠A1＝∠C，∠A1BC＝∠A1EC，∴四边形A1BCE是平行四边形，∴A1B＝BC，∴四边形A1BCE是菱形
归纳：图形的旋转为背景的探究问题，常涉及的设问有：探究两条线段的数量关系、特殊四边形形状的判定，解决此类问题，需掌握如下方法：
1．探究两条线段的数量关系一般指的是两条线段的倍数关系，常考虑利用特殊三角形、全等三角形、特殊四边形的性质或根据题中对应角的关系得到相似三角形，再根据相似三角形对应边成比例进行求解．
2．探究特殊四边形的形状，通常先判定该四边形是否是平行四边形，再结合旋转的性质，根据其边或角的之间的等量关系进一步判定其为哪种特殊的平行四边形．
考点3：关于旋转的综合探究问题
【例题3】问题：如图①，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为　BC=DC+EC　；
探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；
应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=9，CD=3，求AD的长．
【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；
（2）连接CE，根据全等三角形的性质得到BD=CE，∠ACE=∠B，得到∠DCE=90°，根据勾股定理计算即可；
（3）作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，DE，证明△BAD≌△CAE，得到BD=CE=9，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：（1）BC=DC+EC，
理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，
∴BC=BD+CD=EC+CD，
故答案为：BC=DC+EC；
（2）BD2+CD2=2AD2，
理由如下：连接CE，
由（1）得，△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，∠ACE=∠B，
∴∠DCE=90°，
∴CE2+CD2=ED2，
在Rt△ADE中，AD2+AE2=ED2，又AD=AE，
∴BD2+CD2=2AD2；
（3）作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，DE，
∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE=9，
∵∠ADC=45°，∠EDA=45°，
∴∠EDC=90°，
∴DE==6，
∵∠DAE=90°，
∴AD=AE=DE=6．
【自我检测】
一、选择题：
1.如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与A对应，则角α的大小为（　　）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【分析】根据题意确定旋转中心后即可确定旋转角的大小．
【解答】解：如图：
显然，旋转角为90°，
故选C．
2.已知点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（2，1）．将线段AB沿某一方向平移后，点A的对应点的坐标为（﹣2，1）．则点B的对应点的坐标为（　　）
A．（5，3） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，﹣1） D．（0，﹣1）
【分析】根据点A.点A的对应点的坐标确定出平移规律，然后根据规律求解点B的对应点的坐标即可．
【解答】解：∵A（1，3）的对应点的坐标为（﹣2，1），
∴平移规律为横坐标减3，纵坐标减2，
∵点B（2，1）的对应点的坐标为（﹣1，﹣1）．
故选：C．
3.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接BB'，若∠A′B′B=20°，则∠A的度数是　 　．
【解答】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，
∴BC=B′C，
∴△BCB′是等腰直角三角形，
∴∠CBB′=45°，
∴∠B′A′C=∠A′B′B+∠CBB′=20°+45°=65°，
由旋转的性质得∠A=∠B′A′C=65°．
故答案为：65°．
4.如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为（　　）
A．90°﹣α　　　　　　B．α　　　　　　C．180°﹣α　　　　　　D．2α
解：由题意可得：
∠CBD=α，∠ACB=∠EDB．
∵∠EDB+∠ADB=180°，∴∠ADB+∠ACB=180°．
∵∠ADB+∠DBC+∠BCA+∠CAD=360°，∠CBD=α，∴∠CAD=180°﹣α． 故选C．
5. 如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle 1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（　　）
A．5 B．4 C． D．
【分析】由△DQF∽△FQE，推出===，由此求出EQ、FQ即可解决问题．
【解答】解：如图，在等腰直角三角形△DEF中，∠EDF=90°，DE=DF，∠1=∠2=∠3，
∵∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°，
∴∠QEF=∠DFQ，∵∠2=∠3，
∴△DQF∽△FQE，
∴===，
∵DQ=1，
∴FQ=，EQ=2，
∴EQ+FQ=2+，
故选D
二、填空题：
6. 如图，绕点A逆时针旋转得到，点C在上，点C的对应点E在的延长线上，若，则________
【答案】##30度
【解析】
【分析】根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
【详解】解：绕点A逆时针旋转得到，
故答案为：．
7.如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是 .
【分析】如图，作B′H⊥y轴于H．解直角三角形求出B′H，OH即可．
【解答】解：如图，作B′H⊥y轴于H．
由题意：OA′＝A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，
∴AH′＝A′B′＝1，B′H＝，
∴OH＝3，
∴B′（﹣，3），
8. 如图，在中，，，，点为上一点，点在上，且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，．
（1）当点D是中点时，的最小值为______________ ；
（2）当，且点Q在直线上时，连接，则的值为_______________．
【答案】 ①. ②. 或
【分析】本题考查勾股定理，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，分两种情况进行讨论是解题的关键．
（1）根据勾股定理得到长，当点在上时，最小，计算即可；
（2）现根据三角形的面积求出长，然后利用勾勾股定理求出长，分两种情况：当点在上，当点在的延长线上，分别进行计算即可解答．
【详解】解：（1）当点是的中点时，如图所示，以为圆心，以长为半径作圆，交于点，则为最小值，
，，，
，
是的中点，
，
，
，
故答案为：；
；
（2）如图：
，
，
，
，
，
点、、在同一条直线上，由旋转得：
，
分两种情况：
当点在上，过点作，交于点，
，
，
，
即，
，
，
，
；
当点在的延长线上，过点作，交于点，
同理可得，
综上所述： 的值为或，
故答案为：或．
三、解答题：
9. 如图所示，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE＝CG，连接BG并延长交DE于F，将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′.
(1)判断四边形E′BGD是什么特殊四边形，并说明理由；
(2)由△BCG经过怎样的变换可得到△DAE′？请说出具体的变换过程．
解：(1)四边形E′BGD是平行四边形．理由：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，∴CE＝AE′，
∵CE＝CG，∴AE′＝CG，∴BE′＝DG，
∴四边形E′BGD是平行四边形；
(2)∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°.∵∠BCD＋∠DCE＝180°，∴∠BCD＝∠DCE＝90°.在△BCG和△DCE，，∴△BCG≌△DCE(ASA)；∴由△BCG绕点C顺时针旋转90°可得到△DCE，再绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′
10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．
【考点】旋转的性质、全等三角形的判定与性质
【分析】（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，由于∠ACB=90°，所以∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，所以∠ACD=∠BCE，从而可证明△ACD≌△BCE（SAS）
（2）由△ACD≌△BCE（SAS）可知：∠A=∠CBE=45°，BE=BF，从而可求出∠BEF的度数．
【解答】解：（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，
∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=45°，
由（1）可知：∠A=∠CBE=45°，
∵AD=BF，
∴BE=BF，
∴∠BEF=67.5°
11.
12.如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点
（1）求证：；
（2）若，，求的度数.
【解答】解：
（1）
（2）
13. 如图，在 中，，，，为边上的动点．连接，将绕点逆时针旋转得到，过点作，交直线于点．连接、，分别取、的中点、，连接，交于点．
（1）若点与点重合，则线段的长度为______．
（2）随着点的运动，与的长度是否发生变化？若不变，求出与的长度；若改变，请说明理由．
【答案】（1）
（2）不变，，
【解析】
【分析】（1）当点与点重合时，、、、、共线，，为的中位线，即可求出的长度．
（2）构造，使为的中位线，再构造，进而证得是等边三角形，得出．然后由和为等边三角形，推导出，然后再由，最后得出和的长度不变．
【小问1详解】
解：当点与点重合时，如图①，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，．
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∴是等边三角形，
∴．，
∴、、三点共线，
∵，，
∴、、、共线，
∵点、分别是，的中点，
∴．
∴．
故答案为：．
【小问2详解】
解：结论：不变．
如解图②，连接并延长到点，使得，连接，，延长，交于点，连接．延长至点，使得，连接，，设与交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，．
∵点为中点，
∴．
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，．
∵，，
∴，．
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵
∴．
在平行四边形中，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．，
由旋转得，，
∵，，
∴，，
∴，
又，，
∴（）．
∴，
∴为等边三角形．
∵点、为、的中点，
∴为的中位线，．
∵．
∴．即的长度不变；
∵和都为等边三角形．
∴，，，，
∴，
∴（）．
∴．
∵，
∴，
∴为等边三角形．
同理：为等边三角形．
∴．，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，，，
∴．
∵为的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴为中点，
∴，
∴．
故和的长度都不变．
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第27讲　图形的平移与旋转
【考点梳理】
1．图形的平移
(1)定义：在平面内，将某一图形沿着某个方向移动一定的距离，这种图形运动称为平移；平移不改变图形的大小和形状．
(2)平移的要素：平移方向、平移距离．
(2)性质：①平移后的图形与原来的图形全等；②对应线段平行且相等，对应角相等；③对应点所连的线段平行且相等．
2．图形的旋转
(1)定义：把一个图形绕着某一个点O转动一定角度的图形变换叫做旋转，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点；
(2)要素：确定一个旋转运动的条件是要确定旋转中心、旋转方向和旋转角度；
(3)性质：①对应点到旋转中心的距离相等；
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
③旋转前、后的图形全等.
【高频考点】
考点1： 关于平移问题
【例题1】在6×6方格中，将图①中的图形N平移后位置如图②所示，则图形N的平移方法中，正确的是( )
A．向下移动1格 B．向上移动1格 C．向上移动2格 D．向下移动2格
【同步练】在由相同的小正方形组成的3×4的网格中，有3个小正方形已经涂黑，请你再涂黑一个小正方形，使涂黑的四个小正方形中，其中两个可以由另外两个平移得到，则还需要涂黑的小正方形序号是(D)
A．①或②　　　　B．③或④　　　　C．⑤或⑥　　　　D．①或⑨
考点2： 关于旋转问题
【例题2】如图， 将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转角为α旋转到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1、BC1分别相交于点E、F.
(1)试判断A1D和CF的数量关系；
(2)当∠C＝α时，判定四边形A1BCE的形状并说明理由．
考点3：关于旋转的综合探究问题
【例题3】问题：如图①，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为　BC=DC+EC　；
探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；
应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=9，CD=3，求AD的长．
【自我检测】
一、选择题：
1.如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与A对应，则角α的大小为（　　）
A．30° B．60° C．90° D．120°
2.已知点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（2，1）．将线段AB沿某一方向平移后，点A的对应点的坐标为（﹣2，1）．则点B的对应点的坐标为（　　）
A．（5，3） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，﹣1） D．（0，﹣1）
3.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接BB'，若∠A′B′B=20°，则∠A的度数是（ ）
A．45°B．55° C．65° D．75°
4.如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为（　　）
A．90°﹣α　　　　　　B．α　　　　　　C．180°﹣α　　　　　　D．2α
5. 如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle 1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（　　）
A．5 B．4 C． D．
二、填空题：
6. 如图，绕点A逆时针旋转得到，点C在上，点C的对应点E在的延长线上，若，则________
7.如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是 .
8. 如图，在中，，，，点为上一点，点在上，且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，．
（1）当点D是中点时，的最小值为______________ ；
（2）当，且点Q在直线上时，连接，则的值为_______________．
三、解答题：
9. 如图所示，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE＝CG，连接BG并延长交DE于F，将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′.
(1)判断四边形E′BGD是什么特殊四边形，并说明理由；
(2)由△BCG经过怎样的变换可得到△DAE′？请说出具体的变换过程．
10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．
11.如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点
（1）求证：；
（2）若，，求的度数.
12. 如图，在 中，，，，为边上的动点．连接，将绕点逆时针旋转得到，过点作，交直线于点．连接、，分别取、的中点、，连接，交于点．
（1）若点与点重合，则线段的长度为______．
（2）随着点的运动，与的长度是否发生变化？若不变，求出与的长度；若改变，请说明理由．
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