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第28讲　图形的相似与位似
【考点梳理】
1．比例线段
(1)比例线段：已知四条线段a，b，c，d，若＝或a∶b＝c∶d，那么a，b，c，d叫做成比例线段，a，d叫做比例外，b，c叫做比例内项；若有＝，则b叫做a，c的比例中项．
(2)比例的基本性质及定理
①＝ ad＝bc；
②＝ ＝；
③＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0) ＝.
4．相似三角形的性质及判定
(1)相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
(2)相似三角形的判定
①平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似；
②两角对应相等，两三角形相似；
③两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
④三边对应成比例，两三角形相似；
⑤两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似；
⑥直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似．
5．射影定理
如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，则有下列结论．
(1)AC2＝AD·AB； (2)BC2＝BD·AB； (3)CD2＝AD·BD； (4)AC2∶BC2＝AD∶BD； (5)AB·CD＝AC·BC.
6．相似三角形的实际应用
(1)运用三角形相似的判定条件和性质解决实际问题的方法步骤：
①将实际问题所求线段长放在三角形中；
②根据已知条件找出一对可能相似的三角形；
③证明所找两三角形相似；
④根据相似三角形的性质，表示出相应的量；并求解．
(2)运用相似三角形的有关概念和性质解决现实生活中的实际问题．
如利用光的反射定律求物体的高度，利用影子计算建筑物的高度．同一时刻，物高与影长成正比，即＝.
7．相似多边形的性质
(1)相似多边形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
8．图形的位似
(1)概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形．这个点叫做位似中心．
(2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
(3)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于k或－k.
(4)利用位似变换将一个图形放大或缩小，其步骤为：①确定位似中心；②确定原图形中各顶点关于位似中心的对应点；③依次连接各对应点描出新图形
【高频考点】
考点1： 相似三角形的性质
【例题1】如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是（　　）
A．20 B．22 C．24 D．26
【分析】利用△AFH∽△ADE得到，所以S△AFH＝9x，S△ADE＝16x，则16x﹣9x＝7，解得x＝1，从而得到S△ADE＝16，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE的面积．
【解答】解：如图，
根据题意得△AFH∽△ADE，
设S△AFH＝9x，则S△ADE＝16x，
∴16x﹣9x＝7，解得x＝1，
∴S△ADE＝16，
∴四边形DBCE的面积＝42﹣16＝26．
故选：D．
归纳：1.在三角形问题中计算线段的长度时，若题中已知两角对应相等或给出的边之间存在比例关系，则考虑证明三角形相似，通过相似三角形对应边成比例列关于所求边的比例式求解.2．判定三角形相似的五种基本思路：(1)若已知平行线，可采用相似三角形的基本定理；
(2)若已知一对等角，可再找一对等角或再找该角的两边对应成比例； (3)若已知两边对应成比例，可找夹角相等； (4)若已知一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例； (5)若已知等腰三角形，可找顶角相等，或找一对底角相等，或找底和腰对应成比例．
考点2： 相似三角形的判定
【例题2】在正方形ABCD中，AB＝4，点P，Q分别在直线CB与射线DC上(点P不与点C，点B重合)，且保持∠APQ＝90°，CQ＝1，求线段BP的长．
解：分三种情况：设BP＝x.
①当P在线段BC上时，如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°.
∴∠BAP＋∠APB＝90°.
∵∠APQ＝90°，∴∠APB＋∠CPQ＝90°.
∴∠BAP＝∠CPQ，
∴△ABP∽△PCQ.
∴＝，∴＝，
∴x1＝x2＝2.
∴BP＝2；
②当P在CB的延长线上时，如图2，同理，得BP＝2－2；
③当P在BC的延长线上时，如图3，同理，得BP＝2＋2.
归纳：基本图形
(1)斜边高图形
有以下基本结论：
①∠BAD＝∠C，∠B＝∠DAC；
②△ADB∽△CDA∽△CAB.
(2)一线三等角
有以下基本结论：
①∠B＝∠C，∠BDE＝∠DFC；
②△BDE∽△CFD.
特殊地：若点D为BC中点，则有△BDE∽△CFD∽△DFE.
考点3：相似三角形的综合应用
【例题3】修建某高速公路，需要通过一座山，指挥部决定从E，D两点开挖一个涵洞．工程师从地面选取三个点A，B，C，且A，B，D三点在一条直线上，A，C，E也在同一条直线上，若已知AB＝27米，AD＝500米，AC＝15米，AE＝900米，且测得BC＝22.5米．
(1)求DE的长；
(2)现有甲、乙两个工程队都具备打通能力，且质量相当，指挥部派出相关人员分别到这两个工程队了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工程队打通这个涵洞比乙工程队打通这个涵洞多用25天；
信息二：乙工程队每天开挖的米数是甲工程队每天开挖的米数的1.5倍；
信息三：甲工程队每天需要收费3 500元，乙工程队每天需要收费4 000元．
若仅从费用角度考虑问题，试判断选用甲、乙哪个工程队比较合算．
【解析】：(1)连接DE.
∵AB＝27米，AD＝500米，
AC＝15米，AE＝900米，
∴＝＝.
又∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AED.
∴＝＝，即DE＝750米．
(2)设甲工程队每天开挖涵洞x米，则乙工程队每天开挖涵洞1.5x米，依据题意，得
－＝25，解得x＝10.
经检验，x＝10是原方程的解．
则1.5x＝15.
∴甲工程队打通这个涵洞的时间为＝75(天)，
甲工程队打通这个涵洞所需的费用为
75×3 500＝262 500(元)；
乙工程队打通这个涵洞的时间为
＝＝50(天)，
乙工程队打通这个涵洞所需的费用为
50×4 000＝200 000.
∵200 000＜262 500，
∴选用乙工程队较合算．
【自我检测】
一、选择题：
1.两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（　　）
A．： B．2：3 C．4：9 D．8：27
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：∵两三角形的相似比是2：3，
∴其面积之比是4：9，
故选：C．
2.如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m．BC=12.4m．则建筑物CD的高是（　　）
A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m
【分析】先证明∴△ABE∽△ACD，则利用相似三角形的性质得=，然后利用比例性质求出CD即可．
【解答】解：∵EB∥CD，
∴△ABE∽△ACD，
∴=，即=，
∴CD=10.5（米）．
故选：B．
3.如图 ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连结EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG＝（　　）
A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9
【分析】先设出DE＝x，进而得出AD＝3x，再用平行四边形的性质得出BC＝3x，进而求出CF，最后用相似三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：设DE＝x，
∵DE：AD＝1：3，
∴AD＝3x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝3x，
∵点F是BC的中点，
∴CF＝BC＝x，
∵AD∥BC，
∴△DEG∽△CFG，
∴＝（）2＝（）2＝，
故选：D．
4. 如图，是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点．若蜡烛的像为， 测量得到， 蜡烛高为， 则像的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．通过证明，得出，即可解答．
【详解】解：根据题意可得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
5.如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【分析】如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．设DE=a，则AE=3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可；
【解答】解：如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∵FN∥AD，
∴四边形ANFD是平行四边形，
∵∠D=90°，
∴四边形ANFD是解析式，
∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，
∵AN=BN，MN∥AE，
∴BM=ME，
∴MN=a，
∴FM=a，
∵AE∥FM，
∴===，
故选：C．
二、填空题：
6. 有一个侧面为梯形的容器，高为8cm，内部倒入高为6cm的水．将一根长为18cm的吸管如图放置，若有2cm露出容器外，则吸管在水中部分的长度为________cm．
【答案】12
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质等相关知识点，掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据相似三角形的判定得到，再利用相似三角形的对应边成比例即可得到的长．
【详解】解∶过点作，垂足为，过点作，垂足为，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴设，则，
∵的高为∶，
∴，
∴，
∴解得：，
故答案为：12．
7. 如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，如果标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.4m，楼高CD是________m．
【答案】10.5
【分析】先根据题意得出△ABE∽△ACD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出CD的值．
【详解】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴，
∵BE=1.2，AB=1.6，BC=12.4，
∴AC=14，
∴，
∴CD=10.5．
故答案为：10.5．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例的性质是解答此题的关键．
8. 如图，在中，，为上的一点，，且交于点．连接，设的面积为，的面积为，当时，的值为______．（用代数式表示）
【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，先根据平行线得出，由，，得到，设的高为h，进而得到的高为，进而即可求解．
【详解】解：，
，
，
，，
，
设的高为h，
同理得：的高为，
，
故答案为：．
9. 如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，此时液面宽度______．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
如图，作于，则，由题意知，，，则，证明，则，即，计算求解即可．
【详解】解：如图，作于，则，
由题意知，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，，
故答案为：．
三、解答题：
10.如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长．
【解析】：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD.
∵AB∥CD，∴∠D＝∠ABD.
∴∠D＝∠CBD.∴BC＝CD.
∵BC＝4，∴CD＝4.
∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE.
∴＝.
∴＝.∴AE＝2CE.
∵AC＝AE＋CE＝6，
∴AE＝4.
11.如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE．
【分析】设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，连接GF并延长交OE于点H，根据GF∥AC得到△MAC∽△MFG，利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可．
【解答】
解：设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，
连接GF并延长交OE于点H，
∵GF∥AC，
∴△MAC∽△MFG，
∴，，
即：，
∴，
∴OE＝32，
答：楼的高度OE为32米．
12.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8.线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D.
(1)求∠BDF的大小；
(2)求CG的长．
【解析】：(1)∵线段AD是由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，
∴∠DAB＝90°，AD＝AB＝10.
∴∠ABD＝45°.
∵△EFG是△ABC沿CB方向平移得到，
∴AB∥EF.
∴∠BDF＝∠ABD＝45°.
(2)由平移的性质，得AE∥CG，AB∥EF，
∴∠DEA＝∠DFC＝∠ABC，∠ADE＋∠DAB＝180°.
∵∠DAB＝90°，
∴∠ADE＝90°.
∵∠ACB＝90°，
∴∠ADE＝∠ACB.
∴△ADE∽△ACB.
∴＝.
∵AC＝8，AB＝AD＝10，
∴AE＝12.5，由平移的性质，得CG＝AE＝12.5.
13. 【感知】
如图1，在四边形中，点在边上（点不与A，B重合），．易证：（不要求证明）．
【探究】
（1）如图2，在四边形中，点在边上（点不与点A，B重合），．求证：；
【应用】
如图3，在中，．点在边上（点不与点A，B重合），连接，作与边交于点．
（2）当时，求的长；
（3）当是等腰三角形时，直接写出的长．
【答案】（1）见解析
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】[探究]（1）利用三角形外角的性质，得到，即可求解；
[应用]（2）通过三角形外角的性质，得到，利用相似三角形的性质，求解即可；
（3）分两种情况，、，分别求解即可．
【详解】[探究]（1）证明：是的外角，
，即．
，
．
又，
．
[应用]解：（2）设，则．
，
．
，
，
，
，即，
化简可得，
解得或，
即或．
（3）由（2）可得，，
，
则为等腰三角形，有两种情况，或．
当时，
由（2）可得，，
，
，
．
当时，，
则，
，
．
设，则，
，
则．
由可得，，即，
解得，
．
综上，或．
【点睛】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解一元二次方程，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
14.在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，作CM⊥AB交AB于点M，BN⊥AC交AC于点N．
(1)在图1中，求证：△BMC≌△CNB；
(2)在图2中的线段CB上取一动点P，过P作PE∥AB交CM于点E，作PF∥AC交BN于点F，求证：PE+PF＝BM；
(3)在图3中动点P在线段CB的延长线上，类似(2)过P作PE∥AB交CM的延长线于点E，作PF∥AC交NB的延长线于点F，求证：AM PF+OM BN＝AM PE．
【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，利用AAS定理证明；
(2)根据全等三角形的性质得到BM＝NC，证明△CEP∽△CMB、△BFP∽△BNC，根据相似三角形的性质列出比例式，证明结论；
(3)根据△BMC≌△CNB，得到MC＝BN，证明△AMC∽△OMB，得到＝，根据比例的性质证明即可．
【解答】证明：(1)∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵CM⊥AB，BN⊥AC，
∴∠BMC＝∠CNB＝90°，
在△BMC和△CNB中，
，
∴△BMC≌△CNB(AAS)；
(2)∵△BMC≌△CNB，
∴BM＝NC，
∵PE∥AB，
∴△CEP∽△CMB，
∴，
∵PF∥AC，
∴△BFP∽△BNC，
∴，
∴，
∴PE+PF＝BM；
(3)同(2)的方法得到，PE﹣PF＝BM，
∵△BMC≌△CNB，
∴MC＝BN，
∵∠ANB＝90°，
∴∠MAC+∠ABN＝90°，
∵∠OMB＝90°，
∴∠MOB+∠ABN＝90°，
∴∠MAC＝∠MOB，又∠AMC＝∠OMB＝90°，
∴△AMC∽△OMB，
∴
∴AM MB＝OM MC，
∴AM×(PE﹣PF)＝OM BN，
∴AM PF+OM BN＝AM PE．
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第28讲　图形的相似与位似
【考点梳理】
1．比例线段
(1)比例线段：已知四条线段a，b，c，d，若＝或a∶b＝c∶d，那么a，b，c，d叫做成比例线段，a，d叫做比例外，b，c叫做比例内项；若有＝，则b叫做a，c的比例中项．
(2)比例的基本性质及定理
①＝ ad＝bc；
②＝ ＝；
③＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0) ＝.
4．相似三角形的性质及判定
(1)相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
(2)相似三角形的判定
①平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似；
②两角对应相等，两三角形相似；
③两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
④三边对应成比例，两三角形相似；
⑤两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似；
⑥直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似．
5．射影定理
如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，则有下列结论．
(1)AC2＝AD·AB； (2)BC2＝BD·AB； (3)CD2＝AD·BD； (4)AC2∶BC2＝AD∶BD； (5)AB·CD＝AC·BC.
6．相似三角形的实际应用
(1)运用三角形相似的判定条件和性质解决实际问题的方法步骤：
①将实际问题所求线段长放在三角形中；
②根据已知条件找出一对可能相似的三角形；
③证明所找两三角形相似；
④根据相似三角形的性质，表示出相应的量；并求解．
(2)运用相似三角形的有关概念和性质解决现实生活中的实际问题．
如利用光的反射定律求物体的高度，利用影子计算建筑物的高度．同一时刻，物高与影长成正比，即＝.
7．相似多边形的性质
(1)相似多边形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
8．图形的位似
(1)概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形．这个点叫做位似中心．
(2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
(3)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于k或－k.
(4)利用位似变换将一个图形放大或缩小，其步骤为：①确定位似中心；②确定原图形中各顶点关于位似中心的对应点；③依次连接各对应点描出新图形
【高频考点】
考点1： 相似三角形的性质
【例题1】如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是（　　）
A．20 B．22 C．24 D．26
考点2： 相似三角形的判定
【例题2】在正方形ABCD中，AB＝4，点P，Q分别在直线CB与射线DC上(点P不与点C，点B重合)，且保持∠APQ＝90°，CQ＝1，求线段BP的长．
考点3：相似三角形的综合应用
【例题3】修建某高速公路，需要通过一座山，指挥部决定从E，D两点开挖一个涵洞．工程师从地面选取三个点A，B，C，且A，B，D三点在一条直线上，A，C，E也在同一条直线上，若已知AB＝27米，AD＝500米，AC＝15米，AE＝900米，且测得BC＝22.5米．
(1)求DE的长；
(2)现有甲、乙两个工程队都具备打通能力，且质量相当，指挥部派出相关人员分别到这两个工程队了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工程队打通这个涵洞比乙工程队打通这个涵洞多用25天；
信息二：乙工程队每天开挖的米数是甲工程队每天开挖的米数的1.5倍；
信息三：甲工程队每天需要收费3 500元，乙工程队每天需要收费4 000元．
若仅从费用角度考虑问题，试判断选用甲、乙哪个工程队比较合算．
【自我检测】
一、选择题：
1.两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（　　）
A．： B．2：3 C．4：9 D．8：27
2.如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m．BC=12.4m．则建筑物CD的高是（　　）
A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m
3.如图 ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连结EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG＝（　　）
A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9
4. 如图，是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点．若蜡烛的像为， 测量得到， 蜡烛高为， 则像的长为（ ）
A. B. C. D.
5.如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：
6. 有一个侧面为梯形的容器，高为8cm，内部倒入高为6cm的水．将一根长为18cm的吸管如图放置，若有2cm露出容器外，则吸管在水中部分的长度为________cm．
7. 如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，如果标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.4m，楼高CD是________m．
8. 如图，在中，，为上的一点，，且交于点．连接，设的面积为，的面积为，当时，的值为______．（用代数式表示）
9. 如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，此时液面宽度______．
三、解答题：
10.如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长．
11.如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE．
12.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8.线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D.
(1)求∠BDF的大小；
(2)求CG的长．
13. 【感知】
如图1，在四边形中，点在边上（点不与A，B重合），．易证：（不要求证明）．
【探究】
（1）如图2，在四边形中，点在边上（点不与点A，B重合），．求证：；
【应用】
如图3，在中，．点在边上（点不与点A，B重合），连接，作与边交于点．
（2）当时，求的长；
（3）当是等腰三角形时，直接写出的长．
14. 在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，作CM⊥AB交AB于点M，BN⊥AC交AC于点N．
(1)在图1中，求证：△BMC≌△CNB；
(2)在图2中的线段CB上取一动点P，过P作PE∥AB交CM于点E，作PF∥AC交BN于点F，求证：PE+PF＝BM；
(3)在图3中动点P在线段CB的延长线上，类似(2)过P作PE∥AB交CM的延长线于点E，作PF∥AC交NB的延长线于点F，求证：AM PF+OM BN＝AM PE．
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