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中小学教育资源及组卷应用平台
第29讲　统　计
【考点梳理】
1．调查方式
(1)普查：对对象进行的调全体查叫做全面调查(普查).
(2)抽样调查：从被考察的全体对象中抽取部分进行考察的调查方式叫做抽样调查.
(3)调查方式的选取：①调查的范围小，调查不具有破坏性，数据要求精确、全面时，选用全面调查；②所调查对象涉及面大、范围广，或受条件限制，或具有破坏性等时，一般采用抽样调查．
2．总体、个体、样本及样本容量
总体 所要考察对象的数目称为总体
个体 组成总体的每一个考察对象称为个体
样本 从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本
样本容量 样本中个体的全体_叫做样本容量
3.频数与频率
频数：对总的数据按一定的组距将其分组，一般我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数．
频率：每个小组中的频数与数据总数的比值为频率．频率反映了各组频数的大小在总数中所占的份量，频率之和等于1．
4．几种常见的统计图
条形统计图 条形统计图就是用长方形的高来表示数据的图形
折线统计图 用几条线段连成的折线来表示数据的图形
扇形统计图 用一个圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分在总体中所占总体大小，这样的统计图叫扇形统计图
频数分布直 方图 能显示各组频数分布的情况，显示各组之间频数的差别
5．数据的代表与波动
(1)平均数、中位数、众数
平均数 一般地，如果有n个数x1，x2，x3，…，xn，那么平均数x＝(x1＋x2＋x3＋…＋xn)．如果在n个数据中，x1出现了f1次，x2出现了f2次，…，xk出现了fk次，那么x＝.(f1＋f2＋…＋fk＝n)
中位数 将一组数据按大小顺序排列，位于最中间的一个数据(当数据的个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数当数据的个数是偶数时)，叫做这组数据的中位数
众数 一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数
(2)方差
设一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数x的差的平方分别是(x1－x)2，(x2－x)2，…，(xn－x)2.那么我们用它的平均数即s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]来衡量一组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差．方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小．
【高频考点】
考点1：调查方式及其数据的收集
【例题1】以下调查中，适宜全面调查的是（　　）
A．调查某批次汽车的抗撞击能力
B．调查某班学生的身高情况
C．调查春节联欢晚会的收视率
D．调查济宁市居民日平均用水量
【考点】抽样调查和全面调查
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【解答】解：A.调查某批次汽车的抗撞击能力，适合抽样调查，故A选项错误；
B.调查某班学生的身高情况，适合全面调查，故B选项正确；
C.调查春节联欢晚会的收视率，适合抽样调查，故C选项错误；
D.调查济宁市居民日平均用水量，适于抽样调查，故D选项错误．
故选：B．
归纳：1.一般来说，对于具有破坏性的、搜集整理及计算数据的工作量大、无法普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选择普查.2.明确总体、个体、样本、样本容量的含义：①总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；②个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体；③样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；④样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量．
考点2：数据的代表与波动
【例题2】一组数据：3，2，1，2，2的众数，中位数，方差分别是（　　）
A．2，1，0.4 B．2，2，0.4 C．3，1，2 D．2，1，0.2
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均）数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个．利用方差公式计算方差．
【解答】解：从小到大排列此数据为：1，2，2，2，3；数据2出现了三次最多为众数，2处在第3位为中位数．平均数为（3+2+1+2+2）÷5=2，方差为[（3﹣2）2+3×（2﹣2）2+（1﹣2）2]=0.4，即中位数是2，众数是2，方差为0.4．
故选：B．
归纳：平均数、中位数、众数和方差的选择及意义
1．均是用来刻画一组数据的平均水平，表示数据的集中趋势．
2．平均数：(1)应用平均数时，所有数都参与运用，能充分地利用数据所提供的信息，但当一组数据中存在极大值或极小值时，平均数则不能准确的表示数据的集中情况；(2)求一组数据的平均数时要注意该组数据的平均数是算术平均数还是加权平均数，再选取适当的公式进行求解．
3．中位数：(1)结合中位数的求解是按照大小顺序排列的特性，故中位数不会受到极大值或者极小值的影响，但这样使得所有信息不能充分利用；(2)求一组数据的中位数时首先要按照数据的大小顺序进行排列，再注意所求数据的总个数是奇数个还是偶数个．
4．众数：(1)很多实际问题中，人们最关心、最重视的是出现次数最多的数即该组数据的众数；(2)一组数据中众数可能不止一个．当一组数据中存在多个数据均是出现次数最多且出现次数相同，则这几个数据均为众数．
5．方差：要求比较两组或几组数据的稳定性，通过比较几组数据的方差的大小：方差越小，数据越稳定，数据的波动越小；方差越大，数据越不稳定，数据的波动越大．
考点3： 统计图的分析
【例题3】 “安全教育平台”是中国教育学会为方便学长和学生参与安全知识活动、接受安全提醒的一种应用软件.某校为了了解家长和学生参与“防溺水教育”的情况，在本校学生中随机抽取部分学生作调查，把收集的数据分为以下4类情形：.仅学生自己参与； .家长和学生一起参与；.仅家长自己参与； .家长和学生都未参与.
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查了________名学生；
（2）补全条形统计图，并在扇形统计图中计算类所对应扇形的圆心角的度数；
（3）根据抽样调查结果，估计该校2000名学生中“家长和学生都未参与”的人数.
【考点】扇形统计图，条形统计图
【解析】【解答】解：（1）一共调查家长和学生：80÷20%=400（人）。【分析】（1）有A类学生的人数除以其所占的百分比即可得到；（2）由（1）求得的总人数，分别减去其他类的人数就是B类的人数；C类所占扇形的圆心角度数：由C类人数和总人数求出C类所占的百分比，而C类在扇形占的部分是就是这个百分比，用它乘以360°即可得答案；（3）用“家长和学生都未参与”在调查中的百分比看成占2000人的百分比计算即可。
【答案】（1）400
（2）解：解：B类家长和学生有：400-80-60-20=240（人），补全如图；
C类所对应扇形的圆心角的度数：360°× =54°。
（3）解：解： （人）。答：该校2000名学生中“家长和学生都未参与”有100人。
归纳：统计图的分析中常见的设问有：
1．计算调查的样本容量：①样本容量＝各组频数之和；②样本容量＝.
2．利用统计图中的数据进行相关计算：
(1)补全统计图：
①未知组频数＝样本总量－其他组频数之和；
②未知组频数＝样本容量×该组频率；
③未知组频率＝1－其他组频率之和；
④未知组频率＝.
(2)计算扇形圆心角度数：某组对应扇形圆心角的度数＝该组所占的百分比(频率)×360°.
考点4： 统计的综合考查
【例题4】参加初中学业水平考试的人数简称“中考人数”．如图，某市根据2016﹣2024年中考人数及2024年上半年小学、初中各年级在校学生人数，绘制出2016﹣2032年中考人数（含预估）统计图如图：
根据以上信息，解决下列问题．
（1）下列结论中，所有正确结论的序号是______．
①2016﹣2031年中考人数呈现先升后降的趋势；
②与上一年相比，中考人数增加最多的年份是2021年；
③2016﹣2024年中考人数的波动比2024﹣2032年中考人数的波动大．
（2）为促进人口长期均衡发展，有效提高人口出生率，我国于2013﹣2021年先后实施了三项鼓励生育的政策，其中导致该市2032年中考人数较2031年增加的最主要原因是______．
A．2013年单独两孩政策
B．2015年全面两孩政策
C．2021年三孩生育政策
（3）2024年上半年，该市小学在校学生共有多少人？
【答案】（1）①③ （2）B
（3）2024年上半年，该市小学在校学生共有81.6万人
【解析】
【分析】该题考查了条形统计图及其特征，结合实际根据统计图逐个判断是解题的关键．
（1）观察统计图逐个判断即可；
（2）根据中考时间即可推测当时政策时间；
（3）由中考学生时间段推测小学六年的年龄段，继而计算所有人数即可得解．
【小问1详解】
解：由统计图可知：2016﹣2031年中考人数呈现的是先升后降的趋势，故①正确；
，，
与上一年相比，中考人数增加最多的年份是2020年，故②不正确；
2016﹣2024年中考人数的波动比2024﹣2032年中考人数的波动大，故③不正确；
故答案为：①③；
【小问2详解】
解：导致该市2032年中考人数较2031年增加的主要原因是2015年全面两孩政策的实施，
故选：B；
【小问3详解】
解：由统计图可知：2024年上半年，该市六年级至一年级小学生将是在2027﹣2032年参加中考的考生，
该市小学在校学生人数共有：（万人），
答：2024年上半年，该市小学在校学生共有81.6万人．
【自我检测】
一、选择题：
1.如图，下面是甲乙两位党员使用“学习强国APP”在一天中各项目学习时间的统计图，根据统计图对两人各自学习“文章”的时间占一天总学习时间的百分比作出的判断中，正确的是（　　）
A．甲比乙大 B．甲比乙小
C．甲和乙一样大 D．甲和乙无法比较
【分析】由扇形统计图可知，乙党员学习文章时间的百分比是20%，再由条形统计图求出甲党员学习文章的百分比，进行比较即可．
【解答】解：由扇形统计图可知，乙党员学习文章时间的百分比是20%，
由条形统计图求出甲党员学习文章的百分比是15÷（15+30+10+5）＝25%，
所以甲党员的百分比比乙党员的百分比大．
故选：A．
2. 某中学师生人数的扇形统计图如图所示，若九年级学生人数与教职工人数之和为600，则全校师生人数之和为（ ）
A. 1200 B. 1000 C. 1800 D. 1500
【答案】D
【分析】本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
求出九年级学生人数与教职工人数的占比，再拿600除以占比即可求解．
【详解】解：由题意得，教职工占比为：，
∴全校师生人数之和为（人），
故选：D．
3.如表是某公司员工月收入的资料．
月收入/元 45000 18000 10000 5500 5000 3400 3300 1000
人数 1 1 1 3 6 1 11 1
能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是（　　）
A．平均数和众数 B．平均数和中位数
C．中位数和众数 D．平均数和方差
【分析】求出数据的众数和中位数，再与25名员工的收入进行比较即可．
【解答】解：该公司员工月收入的众数为3300元，在25名员工中有13人这此数据之上，
所以众数能够反映该公司全体员工月收入水平；
因为公司共有员工1+1+1+3+6+1+11+1=25人，
所以该公司员工月收入的中位数为5000元；
由于在25名员工中在此数据及以上的有12人，
所以中位数也能够反映该公司全体员工月收入水平；
故选：C．
4. 南苑中学42个班每个班分别选出一位同学参加校园十佳歌手比赛，下表是各班选手得分的情况，则该校选手得分的众数和中位数分别为（ ）
选手得分 91 92 93 94 96 97
得分人数 5 7 10 12 6 2
A. 11，13 B. 92， 93 C. 94，93 D. 93，94
【答案】C
【分析】本题考查了众数和中位数，根据众数和平均数概念求解，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．
【详解】解：众数是一组数据中出现次数最多数据，
故众数是94
把数据按从小到大顺序排列，可得中位数．
故选：C．
5. 某班30名学生的身高情况如下表：
身高（m） 1.45 1.48 1.50 1.53 1.56 1.60
人数 x y 6 8 5 4
关于身高的统计量中，不随x，y的变化而变化的有（　　）
A. 众数、中位数 B. 中位数、方差
C. 平均数、方差 D. 平均数、众数
【答案】A
【分析】根据平均数，众数，中位数，方差的计算方法，进行判断即可．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴这组数据的众数为1.53，
将数据排序后，第15个和第16个数据均为：1.53，
∴中位数为，
即：中位数和众数不随x，y的变化而变化，
平均数，
∴平均数随着x，y的变化而变化，
∵方差与平均数有关，
∴方差随着x，y的变化而变化；
故选A．
【点睛】本题考查平均数，众数，中位数，方差，熟练掌握平均数，众数，中位数，方差的计算方法，是解题的关键．
二、填空题：
6. 某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下： ；
若这一组数据的中位数是，则的值为______；估计这200个工件中质量超过的个数是______．
【答案】 ①. ②.
【分析】本题考查的知识点是用样本估计总体，中位数的定义，解题关键是熟练掌握用样本估计总体．根据中位数的定义求出的值，再根据个工件中质量超过的个数有4个，再用超过的个数所占比例乘以总数即可求解．
【详解】解：根据题意：将除x的9个数据从小到大排列为：，
这一组数据的中位数是，
∴，解得：；
这一组数据的中质量超过的个数有4个，，
∴（个）
故答案为：，．
7.董永社区在创建全国卫生城市的活动中，随机检查了本社区部分住户五月份某周内“垃圾分类”的实施情况，将他们绘制了两幅不完整的统计图（A．小于5天；B.5天；C.6天；D.7天），则扇形统计图B部分所对应的圆心角的度数是　108°　．
【分析】先由A类别人数及其所占百分比求得总人数，再由各类别人数之和等于总人数求出B类别人数，继而用360°乘以B类别人数占总人数的比例即可得．
【解答】解：∵被调查的总人数为9÷15%＝60（人），
∴B类别人数为60﹣（9+21+12）＝18（人），
扇形统计图B部分所对应的圆心角的度数是360°×＝108°，
故答案为：108°．
8.甲、乙两名同学的5次射击训练成绩（单位：环）如下表．
甲 7 8 9 8 8
乙 6 10 9 7 8
比较甲、乙这5次射击成绩的方差S甲2，S乙2，结果为：S甲2　＜　S乙2．（选填“＞”“=”或“＜“）
【考点】W7：方差．
【分析】首先求出各组数据的平均数，再利用方差公式计算得出答案．
【解答】解：=（7+8+9+8+8）=8，
=（6+10+9+7+8）=8，
=[（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2]
=0.4；
=[（6﹣8）2+（10﹣8）2+（9﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2]
=2；
则S甲2＜S乙2．
故答案为：＜．
9.我市“创建文明城市”活动正如火如荼的展开．某校为了做好“创文”活动的宣传，就本校学生对“创文”有关知识进行测试，然后随机抽取了部分学生的测试成绩进行统计分析，并将分析结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
若该校有学生2000人，请根据以上统计结果估计成绩为优秀和良好的学生共有　 人．
【分析】先根据及格人数及其对应百分比求得总人数，总人数乘以优秀对应的百分比求得其人数，继而用总人数乘以样本中优秀、良好人数所占比例．
【解答】解：∵被调查的总人数为28÷28%＝100（人），
∴优秀的人数为100×20%＝20（人），
∴估计成绩为优秀和良好的学生共有2000×＝1400（人），
故答案为：1400．
10.某校拟招聘一名优秀数学教师，现有甲、乙、丙三名教师入围，三名教师师笔试、面试成绩如右表所示，综合成绩按照笔试占60%、面试占40%进行计算，学校录取综合成绩得分最高者，则被录取教师的综合成绩为分　78.8分　．
教师成绩 甲 乙 丙
笔试 80分 82分 78分
面试 76分 74分 78分
【考点】W2：加权平均数．
【分析】根据题意先算出甲、乙、丙三人的加权平均数，再进行比较，即可得出答案．
【解答】解：∵甲的综合成绩为80×60%+76×40%=78.4（分），
乙的综合成绩为82×60%+74×40%=78.8（分），
丙的综合成绩为78×60%+78×40%=78（分），
∴被录取的教师为乙，其综合成绩为78.8分，
故答案为：78.8分．
三、解答题：
11. 为庆祝中国共产主义青年团成立102周年，学校团委在八、九年级各抽取50名团员开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分，成绩如图所示：
平均数 众数 中位数 方差
八年级竞赛成绩 8 b c
九年级竞赛成绩 a 8 8
根据以上信息，回答下列问题．
（1）填空：______， ， ；
（2）现要给成绩突出的年级颁奖，请你选择相关的统计量进行分析，应该给哪个年级颁奖？
【答案】（1）8；7；8
（2）应该给九年级颁奖，理由见解析
【分析】本题主要考查了求加权平均数，众数，中位数和方差：
（1）根据加权平均数，众数和中位数的定义进行求解即可．
（2）九年级的众数比八年级的多，九年级的方差比八年级的小，由此即可求解；
【小问1详解】
解：由题意得，；
∵八年级成绩中得分为7分的有15人，人数最多，
∴八年级的众数；
把八年级50名学生的成绩从低到高排列，处在第25名和第26名的成绩分别为8分，8分，
∴八年级中位数，
故答案为：8；7；8；
【小问2详解】
解：九年级的众数比八年级的多，说明九年级大部分学生成绩优秀；
九年级的方差比八年级的小，说明九年级学生的成绩比较平稳，
∴应该给九年级颁奖．
12. 为了加强心理健康教育，某校组织八年级（1）（2）两班学生进行了心理健康常识测试（分数为整数，满分为10分），已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．
（1）请确定下表中a，b，c的值：
统计量 平均数 众数 中位数
（1）班 8 8 c
（2）班 a b 8
_______分，_______分，_______分；
（2）根据上表中各种统计量，说明哪个班的成绩更突出一些．
【答案】（1），，
（2）两个班级平均数与中位数一样大，但（2）班的众数比（1）班大，所以（2）班的成绩更突出一些．
【分析】（1）根据（1）中数据分别计算a，b，c的值即可；
（2）根据平均数、中位数及众数进行判断即可．
【小问1详解】
解：由题意知，（2）班10分的人数为（人），
∴
（2）班9分出现的最多，则（2）班的众数是9分，即，
把（1）班的成绩从小到大排列，中位数是第25、26个数的平均数，
则（1）的中位数是（分），即．
答：a，b，c的值分别为8，9，8；
【小问2详解】
解：根据表格可知，两个班级平均数与中位数相等，但（2）班的众数比（1）班大，所以（2）班的成绩更突出一些．
【点睛】本题主要考查统计的知识，熟练根据统计图得出相应的数据是解题的关键．
13. 某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据统计图中的信息解答以下问题；
（1）本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是______°，并把条形统计图补充完整；
（2）依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，则抽取的这部分学生书写成绩的众数是_______分，中位数是_______分，平均数是_______分；
（3）若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_____人：
（4）A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率．
【答案】（1）40；36；见解析
（2）70；70；66.5
（3）280 （4）
【分析】（1）由C等级人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以A等级人数所占比例即可得；
（2）由中位数，众数，平均数的定义结合数据求解即可；
（3）利用总人数乘以样本中A等级人数所占比例即可得；
（4）列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率．
【小问1详解】
本次抽取的学生人数是（人），
扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数是，
故答案40人、36°；
B等级人数为（人），
补全条形图如下：
【小问2详解】
由条形统计图可知众数为：70
由A、B、C的人数相加得：4+6+16=26>20，所以中位数为：70
平均数为：
【小问3详解】
等级达到优秀的人数大约有（人）；
【小问4详解】
画树状图为：
∵共有12种等可能情况，1男1女有6种情况，
∴被选中的2人恰好是1男1女的概率为．
【点睛】本题考查了扇形统计图，条形统计图，中位数，众数，平均数，树状图等知识点，解题时注意：概率所求情况数与总情况数之比．
14. 某校开展“天文知识竞赛”活动，并从全校学生中抽取了若干学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，总分为100分，共分成五个等级：A：；B：；C：；D：；E：）．并绘制了如下尚不完整的统计图．
a．抽取学生成绩等级人数统计表
等级 A B C D E
人数 m 9 10 4 2
其中扇形图中C等级区域所对应的扇形的圆心角的度数是．
c．抽取学生中等级C的成绩数据从小到大排列：
70，71，72，73，74，76，76，77，78，79
根据以上信息，回答下列问题：
（1）该抽样的样本容量为 ，抽取学生成绩的平均数是否一定满足 （填“是”或“否”）；
（2）全校1200名学生中，A等级的人数可以估计为 ；
（3）将抽取学生中等级为C的10人按分数分为两个天文知识学习小组：75分以上的同学组成甲组，75分以下的同学组成乙组．若从甲乙两组中分别随机抽取一人代表小组，他们的分数之差不低于8分的概率是 ；若有两位同学成绩均为75分，他们分别加入这两个小组后甲乙两小组成绩的方差分别记为，，则，的大小关系为： （填写或）．
【答案】（1）30、否
（2）200名 （3），
【分析】（1）由组频数及其圆心角所占比例可得样本容量，再根据加权平均数求解即可；
（2）总人数乘以样本中等级人数所占比例即可；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可；依据方差的定义计算即可．
【小问1详解】
解：该抽样的样本容量为，
，
抽取学生成绩的平均数，
所以抽取学生成绩的平均数可能位于，但不能确定一定位于该组，
故答案为：30、否；
【小问2详解】
解：全校1200名学生中，等级的人数可以估计为（名，
故答案为：200名；
【小问3详解】
列表如下：
70 71 72 73 74
76 6 5 4 3 2
76 6 5 4 3 2
77 7 6 5 4 3
78 8 7 6 5 4
由表知，共有20种等可能结果，其中他们的分数之差不低于8分的只有1种结果，
所以他们的分数之差不低于8分的概率为；
甲组数据为75、76、76、77、78、79，
其平均数为，
方差，
乙组数据为70、71、72、73、74、75，
其平均数为，
方差；
，
，
故答案为：，．
【点睛】本题考查扇形统计图、加权平均数、用样本估计总体及方差，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体是解答本题的关键．
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第29讲　统　计
【考点梳理】
1．调查方式
(1)普查：对对象进行的调全体查叫做全面调查(普查).
(2)抽样调查：从被考察的全体对象中抽取部分进行考察的调查方式叫做抽样调查.
(3)调查方式的选取：①调查的范围小，调查不具有破坏性，数据要求精确、全面时，选用全面调查；②所调查对象涉及面大、范围广，或受条件限制，或具有破坏性等时，一般采用抽样调查．
2．总体、个体、样本及样本容量
总体 所要考察对象的数目称为总体
个体 组成总体的每一个考察对象称为个体
样本 从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本
样本容量 样本中个体的全体_叫做样本容量
3.频数与频率
频数：对总的数据按一定的组距将其分组，一般我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数．
频率：每个小组中的频数与数据总数的比值为频率．频率反映了各组频数的大小在总数中所占的份量，频率之和等于1．
4．几种常见的统计图
条形统计图 条形统计图就是用长方形的高来表示数据的图形
折线统计图 用几条线段连成的折线来表示数据的图形
扇形统计图 用一个圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分在总体中所占总体大小，这样的统计图叫扇形统计图
频数分布直 方图 能显示各组频数分布的情况，显示各组之间频数的差别
5．数据的代表与波动
(1)平均数、中位数、众数
平均数 一般地，如果有n个数x1，x2，x3，…，xn，那么平均数x＝(x1＋x2＋x3＋…＋xn)．如果在n个数据中，x1出现了f1次，x2出现了f2次，…，xk出现了fk次，那么x＝.(f1＋f2＋…＋fk＝n)
中位数 将一组数据按大小顺序排列，位于最中间的一个数据(当数据的个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数当数据的个数是偶数时)，叫做这组数据的中位数
众数 一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数
(2)方差
设一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数x的差的平方分别是(x1－x)2，(x2－x)2，…，(xn－x)2.那么我们用它的平均数即s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]来衡量一组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差．方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小．
【高频考点】
考点1：调查方式及其数据的收集
【例题1】以下调查中，适宜全面调查的是（　　）
A．调查某批次汽车的抗撞击能力
B．调查某班学生的身高情况
C．调查春节联欢晚会的收视率
D．调查济宁市居民日平均用水量
考点2：数据的代表与波动
【例题2】一组数据：3，2，1，2，2的众数，中位数，方差分别是（　　）
A．2，1，0.4 B．2，2，0.4 C．3，1，2 D．2，1，0.2
考点3： 统计图的分析
【例题3】 “安全教育平台”是中国教育学会为方便学长和学生参与安全知识活动、接受安全提醒的一种应用软件.某校为了了解家长和学生参与“防溺水教育”的情况，在本校学生中随机抽取部分学生作调查，把收集的数据分为以下4类情形：A.仅学生自己参与B.家长和学生一起参与；C.仅家长自己参与；D.家长和学生都未参与.
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查了________名学生；
（2）补全条形统计图，并在扇形统计图中计算类所对应扇形的圆心角的度数；
（3）根据抽样调查结果，估计该校2000名学生中“家长和学生都未参与”的人数.
考点4： 统计的综合考查
【例题4】参加初中学业水平考试的人数简称“中考人数”．如图，某市根据2016﹣2024年中考人数及2024年上半年小学、初中各年级在校学生人数，绘制出2016﹣2032年中考人数（含预估）统计图如图：
根据以上信息，解决下列问题．
（1）下列结论中，所有正确结论的序号是______．
①2016﹣2031年中考人数呈现先升后降的趋势；
②与上一年相比，中考人数增加最多的年份是2021年；
③2016﹣2024年中考人数的波动比2024﹣2032年中考人数的波动大．
（2）为促进人口长期均衡发展，有效提高人口出生率，我国于2013﹣2021年先后实施了三项鼓励生育的政策，其中导致该市2032年中考人数较2031年增加的最主要原因是______．
A．2013年单独两孩政策
B．2015年全面两孩政策
C．2021年三孩生育政策
（3）2024年上半年，该市小学在校学生共有多少人？
【自我检测】
一、选择题：
1.如图，下面是甲乙两位党员使用“学习强国APP”在一天中各项目学习时间的统计图，根据统计图对两人各自学习“文章”的时间占一天总学习时间的百分比作出的判断中，正确的是（　　）
A．甲比乙大 B．甲比乙小
C．甲和乙一样大 D．甲和乙无法比较
2. 某中学师生人数的扇形统计图如图所示，若九年级学生人数与教职工人数之和为600，则全校师生人数之和为（ ）
A. 1200 B. 1000 C. 1800 D. 1500
3.如表是某公司员工月收入的资料．
月收入/元 45000 18000 10000 5500 5000 3400 3300 1000
人数 1 1 1 3 6 1 11 1
能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是（　　）
A．平均数和众数 B．平均数和中位数
C．中位数和众数 D．平均数和方差
4. 南苑中学42个班每个班分别选出一位同学参加校园十佳歌手比赛，下表是各班选手得分的情况，则该校选手得分的众数和中位数分别为（ ）
选手得分 91 92 93 94 96 97
得分人数 5 7 10 12 6 2
A. 11，13 B. 92， 93 C. 94，93 D. 93，94
5. 某班30名学生的身高情况如下表：
身高（m） 1.45 1.48 1.50 1.53 1.56 1.60
人数 x y 6 8 5 4
关于身高的统计量中，不随x，y的变化而变化的有（　　）
A. 众数、中位数 B. 中位数、方差
C. 平均数、方差 D. 平均数、众数
二、填空题：
6. 某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下： ；
若这一组数据的中位数是，则的值为______；估计这200个工件中质量超过的个数是______．
7.董永社区在创建全国卫生城市的活动中，随机检查了本社区部分住户五月份某周内“垃圾分类”的实施情况，将他们绘制了两幅不完整的统计图（A．小于5天；B.5天；C.6天；D.7天），则扇形统计图B部分所对应的圆心角的度数是　 　．
8.甲、乙两名同学的5次射击训练成绩（单位：环）如下表．
甲 7 8 9 8 8
乙 6 10 9 7 8
比较甲、乙这5次射击成绩的方差S甲2，S乙2，结果为：S甲2　　S乙2．（选填“＞”“=”或“＜“）
9.我市“创建文明城市”活动正如火如荼的展开．某校为了做好“创文”活动的宣传，就本校学生对“创文”有关知识进行测试，然后随机抽取了部分学生的测试成绩进行统计分析，并将分析结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
若该校有学生2000人，请根据以上统计结果估计成绩为优秀和良好的学生共有　 人．
10.某校拟招聘一名优秀数学教师，现有甲、乙、丙三名教师入围，三名教师师笔试、面试成绩如右表所示，综合成绩按照笔试占60%、面试占40%进行计算，学校录取综合成绩得分最高者，则被录取教师的综合成绩为分　 　．
教师成绩 甲 乙 丙
笔试 80分 82分 78分
面试 76分 74分 78分
三、解答题：
11. 为庆祝中国共产主义青年团成立102周年，学校团委在八、九年级各抽取50名团员开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分，成绩如图所示：
平均数 众数 中位数 方差
八年级竞赛成绩 8 b c
九年级竞赛成绩 a 8 8
根据以上信息，回答下列问题．
（1）填空：______， ， ；
（2）现要给成绩突出的年级颁奖，请你选择相关的统计量进行分析，应该给哪个年级颁奖？
12. 为了加强心理健康教育，某校组织八年级（1）（2）两班学生进行了心理健康常识测试（分数为整数，满分为10分），已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．
（1）请确定下表中a，b，c的值：
统计量 平均数 众数 中位数
（1）班 8 8 c
（2）班 a b 8
_______分，_______分，_______分；
（2）根据上表中各种统计量，说明哪个班的成绩更突出一些．
13. 某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据统计图中的信息解答以下问题；
（1）本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是______°，并把条形统计图补充完整；
（2）依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，则抽取的这部分学生书写成绩的众数是_______分，中位数是_______分，平均数是_______分；
（3）若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_____人：
（4）A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率．
14. 某校开展“天文知识竞赛”活动，并从全校学生中抽取了若干学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，总分为100分，共分成五个等级：A：；B：；C：；D：；E：）．并绘制了如下尚不完整的统计图．
a．抽取学生成绩等级人数统计表
等级 A B C D E
人数 m 9 10 4 2
其中扇形图中C等级区域所对应的扇形的圆心角的度数是．
c．抽取学生中等级C的成绩数据从小到大排列：
70，71，72，73，74，76，76，77，78，79
根据以上信息，回答下列问题：
（1）该抽样的样本容量为 ，抽取学生成绩的平均数是否一定满足 （填“是”或“否”）；
（2）全校1200名学生中，A等级的人数可以估计为 ；
（3）将抽取学生中等级为C的10人按分数分为两个天文知识学习小组：75分以上的同学组成甲组，75分以下的同学组成乙组．若从甲乙两组中分别随机抽取一人代表小组，他们的分数之差不低于8分的概率是 ；若有两位同学成绩均为75分，他们分别加入这两个小组后甲乙两小组成绩的方差分别记为，，则，的大小关系为： （填写或）．
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