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安溪县俊民中学2024-2025学年高一年下学期第一次质量检测
数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．角的终边所在直线经过点，则有
A． B． C．D．
3．下列四个函数中，周期为π的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法中正确的是（ ）
A．单位向量都相等 B．若满足且与同向，则
C．对于任意向量，必有 D．平行向量不一定是共线向量
5．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
6．已知函数，则（ ）
A． B． C．1 D．
7．已知是两个相互垂直的单位向量，且向量，则（ ）
A． B． C． D．
8．在平行四边形中，，，，，则（ ）
A．1 B． C．2 D．3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．与终边相同的角有（ ）
A． B． C． D．
10．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点是边的中点
B．若，则点在边的延长线上
C．若，则点是的重心
D．若，且，则的面积是的面积的
11．函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的解析式
B．函数的单调递增区间为
C．函数的图象关于点对称
D．为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移一个单位长度
第II卷（非选择题92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若，那么 .
13．在等腰直角三角形中，，则 .
14．若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知，，且为第一象限角，为第二象限角，求的值.
16．（本小题满分15分）
化简求值：
（1）化简：
（2）求值，已知，求的值
17．（本小题满分15分）
已知，，且与的夹角为120°，求：
(1)；(2)若向量与平行，求实数的值．
18．（本小题满分17分）
某公园内有一块半径为15m的扇形空地如图所示，其中一侧靠墙，，公园准备在扇形空地上靠墙修建一个矩形广场，记．
(1)写出矩形广场的面积与之间的函数关系式；
(2)求矩形广场面积的最大值，并求出此时的大小．
19．（本小题满分17分）
在边长为4的等边中，D为BC边上一点，且.
(1)若P为内部一点（不包括边界），求的取值范围；
(2)若AD上一点K满足，过K作直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，的面积为，四边形BCNM的面积为，且，求实数k的最大值．安溪县俊民中学2024-2025学年高一年下学期第一次质量检测
数学试题参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A D D C C B A D BCD ACD ABD
8．D【详解】如图：
以为基底，则，，.
且，，
所以.故选：D
9．BCD【详解】与终边相同的角可表示为，
时，为；时，为；时，为；
故选：BCD.
10．ACD【详解】A中：即：
,则点是边的中点
B. ,则点在边的延长线上，所以B错误.
C. 设中点D,则,，由重心性质可知C成立.
D．且设
所以，可知三点共线，所以的面积是面积的，故选择ACD
11．ABD【详解】对于A，由图可知，，可得，
由，则，
两式相减得：所以①，
又因为，所以，结合①，，
因为，所以，
所以，故A正确；
对于B，，
解得：，故B正确；
对于C，令，解得：，
函数的图象关于点对称，所以C不正确；
对于D，将函数向右平移个单位得到，向上平移一个单位长度可得，故D正确.故选：ABD.
12．【详解】若，
，，，那么，故答案为：．
13．【详解】由题得,.
14．【详解】因为，由，得到，所以或，所以或，又因为存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，所以且，即且，解得.故答案为：
15．【详解】因为为第一象限角，为第二象限角，，，所以，
所.
16．（1）；（2）【详解】（1）原式，
（2）原式
17．(1)(2)【详解】（1），
所以.
（2）由于向量与平行，所以存在实数，使得，所以，解得.
18．(1)
(2)时，面积最大值．【详解】（1）因为，所以，又，所以，则
所以．
（2），所以，
所以当，即时，．
19．1．(1)(2)【详解】（1）取的中点，连接，则，
因为，可得，
又因为，即，所以，
故的取值范围为.
（2）由题意可得：，
则，
若，即，可得，
因为，
所以，
又因为三点共线，则，且，
可得，
所以，即，可得，即，
所以，
当，即时，实数k的最大值为.

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