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2024-2025学年浙教版八年级数学下学期第四章《平行四边形》竞赛题
一．选择题（共9小题，满分36分，每小题4分）
1．（4分）（2019 芗城区校级自主招生）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A．正七边形 B．正六边形 C．正五边形 D．正三角形
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、正七边形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、正六边形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；
C、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
2．（4分）（2018 薛城区校级自主招生）如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC＝4CF，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
【分析】由题意可知△ADE和△DEB同一底DE的高为△ABC的边BC上的高，又因平行四边形和阴影部分同底等高，则阴影部分的面积是平行四边形的面积的一半，从而问题得解．
【解答】解：∵四边形DCFE是平行四边形，
∴DE＝CF，DE∥CF，
∴三角形DEB的面积为：四边形DECF，
∵BC＝4CF，
∴DEBC，
∴S△ADE+S△DEBDE h BC h＝6，
故选：C．
3．（4分）（2024 汶上县自主招生）如图，在△ABC中，延长BC至D，使得CDBC，过AC中点E作EF∥CD（点F位于点E右侧），且EF＝2CD，连接DF．若AB＝8，则DF的长为（　　）
A．3 B．4 C．2 D．3
【分析】取BC的中点G，连接EG，根据三角形的中位线定理得：EG＝4，设CD＝x，则EF＝BC＝2x，证明四边形EGDF是平行四边形，可得DF＝EG＝4．
【解答】解：取BC的中点G，连接EG，
∵E是AC的中点，
∴EG是△ABC的中位线，
∴EGAB4，
设CD＝x，则EF＝BC＝2x，
∴BG＝CG＝x，
∴EF＝2x＝DG，
∵EF∥CD，
∴四边形EGDF是平行四边形，
∴DF＝EG＝4，
故选：B．
4．（4分）（2017 金牛区校级自主招生）平面直角坐标系中，已知 ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B（2，﹣1），C（﹣m，﹣n），则点D的坐标是（　　）
A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，2）
【分析】由点的坐标特征得出点A和点C关于原点对称，由平行四边形的性质得出D和B关于原点对称，即可得出点D的坐标．
【解答】解：∵A（m，n），C（﹣m，﹣n），
∴点A和点C关于原点对称，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴D和B关于原点对称，
∵B（2，﹣1），
∴点D的坐标是（﹣2，1）．
故选：A．
5．（4分）（2013 成都校级自主招生）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（　　）
A．7 B．9 C．10 D．11
【分析】根据勾股定理求出BC的长，根据三角形的中位线定理得到HGBC＝EF，EH＝FGAD，求出EF、HG、EH、FG的长，代入即可求出四边形EFGH的周长．
【解答】解：∵BD⊥DC，BD＝4，CD＝3，由勾股定理得：BC5，
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
∴HGBC＝EF，EH＝FGAD，
∵AD＝6，
∴EF＝HG＝2.5，EH＝GF＝3，
∴四边形EFGH的周长是EF+FG+HG+EH＝2×（2.5+3）＝11．
故选：D．
6．（4分）（2006 罗田县校级自主招生）如图，点P是平行四边形ABCD内一点，已知S△PAB＝7，S△PAD＝4，那么S△PAC等于（　　）
A．4 B．3.5 C．3 D．无法确定
【分析】根据平行四边形的对边相等，可得AB＝DC；再设假设P点到AB的距离是h1，假设P点到DC的距离是h2，将平行四边形的面积分割组合，即可求得．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，
假设P点到AB的距离是h1，假设P点到DC的距离是h2，
∴S△PABAB h1，S△PDCDC h2，
∴S△PAB+S△PDC（AB h1+DC h2）DC （h1+h2），
∵h1+h2正好是AB到DC的距离，
∴S△PAB+S△PDCS ABCD＝S△ABC＝S△ADC，
∵S△PAB+S△PDCS ABCD＝S△ABC＝S△ADC，
即S△ADC＝S△PAB+S△PDC＝7+S△PDC，
而S△PAC＝S△ADC﹣S△PDC﹣S△PAD，
∴S△PAC＝7﹣4＝3．
故选：C．
7．（4分）（2024 苍南县校级自主招生）如图，在三角形ABC中，AB＝11，AC＝15，点M是BC的中点，AD是∠BAC的角平分线，MF∥AD，则FC＝（　　）
A．14 B．13 C．12 D．11
【分析】过点M作MN∥AB，交AC于点N，先证明MN是△ABC的中位线，则MNAB＝5.5，NCAC＝7.5，再证FN＝MN＝5.5，进而可得出FC的长．
【解答】解：过点M作MN∥AB，交AC于点N，如图所示：
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴设∠BAD＝∠CAD＝α，则∠BAC＝2α
∵MF∥AD，
∴∠1＝∠CAD＝α，
∵点M是BC的中点，MN∥AB，
∴MN是△ABC的中位线，∠2＝∠BAC＝2α，
∴MNAB＝5.5，NCAC＝7.5，
∵∠2是△MNF的一个外角，
∴∠2＝∠1+∠3，
∴2α＝α+∠3，
∴∠3＝α，
∴∠1＝∠3＝α，
∵FN＝MN＝5.5，
∴FC＝FN+NC＝5.5+7.5＝13．
故选：B．
8．（4分）（2024 长寿区自主招生）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF．连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M．若BC＝6，则线段CM的长为（　　）
A． B．7 C． D．8
【分析】根据三角形中中位线定理证得DE∥BC，求出DE，进而证得△DEF∽BMF，根据相似三角形的性质求出BM，即可求出结论．
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DEBC6＝3，
∴△DEF∽△BMF，
∴2，
∴BM，
CM＝BC+BM．
故选：C．
9．（4分）（2014 和平区校级自主招生）如图，平行四边形ABCD周长20cm，两条对角线相交于点O，过O作AC的垂线EF，分别交AB，CD于E，F两点，连接AF，则三角形ADF周长为（　　）cm．
A．10 B．9 C．8 D．7
【分析】根据线段垂直平分线得出AF＝CF，利用平行四边形的性质解答即可．
【解答】解：∵在 ABCD中，
∴OA＝OC，
∵过O作AC的垂线EF，
∴AF＝FC，
∵在 ABCD中，
∴AD+DC＝10（cm），
∴△ADF的周长＝AD+DF+AF＝AD+DF+FC＝AD+DC＝10（cm），
故选：A．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
10．（4分）（2016 夏津县自主招生）一个正多边形，它的一个外角等于与它相邻内角的，则这个多边形是　正十边形　 ．
【分析】外角等于与它不相邻的内角的四分之一可知该多边形内角为144°，外角36°，根据正多边形外角和＝360°，利用360÷36即可解决问题．
【解答】解：∵一个正多边形它的一个外角等于与它相邻的内角的 ，
∴它的每一个外角＝180÷5＝36°，
∴它的边数＝360÷36＝10．
故答案为正十边形．
11．（4分）（2011 永嘉县校级自主招生）如图所示，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A的坐标为（8，0），OA＝2OC，∠AOC＝60°，直线yx+b恰好将平行四边形OABC分成面积相等的两部分，则b＝　　 ．
【分析】连接OB和AC交于M，过M作MN⊥OA于N，过C作CD⊥OA于D，根据平行四边形的性质得出过O的直线都把平行四边形的面积分为相等的两部分，求出CM＝AM，DN＝AN，得出MN是△ADC的中位线，求出OD、CD，求出MN，DN，求出M的坐标，代入即可求出b．
【解答】解：连接OB和AC交于M，过M作MN⊥OA于N，过C作CD⊥OA于D，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴过O的直线都把平行四边形的面积分为相等的两部分，
如过M的直线OB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝OA，OC＝AB，CM＝AM，
在△CBO和△AOB中
∵
∴△CBO≌△AOB（SSS），
∴S△AOB＝S△BOCS平行四边形AOCB，
∵在△COD中，∠CDO＝90°，OCOA＝4，∠OCD＝30°，
∴OD＝2，CD＝2，
∵MN⊥OA，CD⊥OA，
∴MN∥CD，
∵CM＝AM，
∴DN＝AN，
∴MNCD，ON＝OD+DN＝2（8﹣2）＝5，
即M的坐标是（5，），
代入yx+b得：b，
b．
故答案为：．
12．（4分）（2024 碑林区校级自主招生）已知，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，AE＝6，AF＝3且∠EAF＝60°，则AB＝　2　 ．
【分析】延长AF、EC交于点G，过点A作AH⊥BG于点H，根据平行四边形的性质利用AAS证明△ADF≌△GFC，根据全等三角形的性质求出AG＝6＝AE，进而推出△AEG是等边三角形，根据等边三角形的性质求出BC＝CG＝4，BG＝8，再根据勾股定理求解即可．
【解答】解：如图，延长AF、EC交于点G，过点A作AH⊥BG于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠D＝∠FCG，∠DAF＝∠G，
∵F分别是CD的中点，
∴DF＝CF，
∴△ADF≌△GFC（AAS），
∴AF＝FG＝3，
∴AG＝6＝AE，
又∠EAG＝60°，
∴△AEG是等边三角形，
∴AG＝EG＝6，
∵E是BC的中点，
∴BE＝EC，
设BE＝EC＝x，则AD＝2x，
∴CG＝2x，
∴EG＝3x＝6，
∴x＝2，
∴BG＝8，
在Rt△AGH中，∠G＝60°，AG＝6，
∴AH＝AG sin60°＝63，HGAG＝3，
∴BH＝BG﹣BH＝5，
∴AB2，
故答案为：2．
13．（4分）（2015 成都校级自主招生）如图，E、F是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q．若S△APD＝15cm2，S△BQC＝25cm2，则阴影部分的面积为　40　 cm2．
【分析】作出辅助线EF，因为△ADF与△DEF同底等高，所以面积相等，所以阴影图形的面积可解．
【解答】解：如图，连接EF
∵△ADF与△DEF同底等高，
∴S△ADF＝S△DEF，
即S△ADF﹣S△DPF＝S△DEF﹣S△DPF，
即S△APD＝S△EPF＝15cm2，
同理可得S△BQC＝S△EFQ＝25cm2，
∴阴影部分的面积为S△EPF+S△EFQ＝15+25＝40cm2．
故答案为40．
14．（4分）（2011 鼓楼区校级自主招生）如图，△ABC的三边长分别为3、5、6，BD与CE都是△ABC的外角平分线，M、N是直线BC上两点，且AM⊥BD于D，AN⊥CE于E，则DE的长等于 　7　 ．
【分析】由AM⊥BD，∠ABD＝∠MBD，得到∠BAD＝∠BMD，进一步推出MB＝AB，AF＝MF，同理CN＝AC，AE＝NE，即可得出答案．
【解答】解：∵BD是△ABC的外角平分线，
∴∠ABD＝∠MBD；
又∵AM⊥BD，
∴∠BAD＝∠BMD（等量代换），
∴MB＝AB（等角对等边），
∴AD＝MD（等腰三角形“三线合一”），
同理：CE＝AC，AE＝NE，
∴DE是△AMN的中位线，
∴DEMN
（MB+BC+CN）
（AB+BC+AC）
（3+5+6）
＝7．
故答案为：7．
15．（4分）（2023 惠民县自主招生）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是角平分线，AE是中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，则线段EF的长为　1　 ．
【分析】由等腰三角形的判定方法可知△AGC是等腰三角形，所以F为GC中点，再由已知条件可得EF为△CBG的中位线，利用中位线的性质即可求出线段EF的长．
【解答】解：∵AD是其角平分线，CG⊥AD于F，
∴△AGC是等腰三角形，
∴AG＝AC＝3，GF＝CF，
∵AB＝5，AC＝3，
∴BG＝2，
∵AE是中线，
∴BE＝CE，
∴EF为△CBG的中位线，
∴EFBG＝1
故答案为：1
16．（4分）（2016 新疆自主招生）如图，在 ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD＝5，AP＝8，则△APB的周长是　24　 ．
【分析】由平行四边形性质得出AD∥CB，AB∥CD，推出∠DAB+∠CBA＝180°，再证出AD＝DP＝5，BC＝PC＝5，得出DC＝10＝AB，然后证∠APB＝90°，最后由勾股定理求出BP＝6，即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB∥CD，
∴∠DAB+∠CBA＝180°，
又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB+∠PBA（∠DAB+∠CBA）＝90°，
在△APB中，∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝90°；
∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP＝∠PAB，
∵AB∥CD，
∴∠PAB＝∠DPA
∴∠DAP＝∠DPA
∴△ADP是等腰三角形，
∴AD＝DP＝5，
同理：PC＝CB＝5，
即AB＝DC＝DP+PC＝10，
在Rt△APB中，AB＝10，AP＝8，
∴BP6，
∴△APB的周长＝6+8+10＝24；
故答案为：24．
17．（4分）（2009 尤溪县自主招生）如图，在△ABC中，AB＝AC．M、N分别是AB、AC的中点，D、E为BC上的点，连接DN、EM．若AB＝13cm，BC＝10cm，DE＝5cm，则图中阴影部分的面积为　30　 cm2．
【分析】连接MN，根据中位线定理，可得出MN＝DE＝5cm；图中阴影部分的面积就是图中三个三角形的面积，由图可知，这三个三角形的底相等都是5cm，这三个三角形的高之和是从A点到BC的垂线段的长，利用勾股定理可求得高的值，据此可求出图中阴影部分的面积．
【解答】解：连接MN，则MN是△ABC的中位线，
因此MNBC＝5cm；
过点A作AF⊥BC于F，则AF12（cm）．
∵图中阴影部分的三个三角形的底长都是5cm，且高的和为12cm；
因此S阴影5×12＝30（cm2）．
故答案为：30．
三．解答题（共4小题，满分32分，每小题8分）
18．（8分）（2018 西湖区校级自主招生）如果用铁丝围成如图一样的平行四边形，需要用铁丝多少厘米？
【分析】根据平行四边形的性质解答即可．
【解答】解：∵用铁丝围成如图一样的平行四边形，
可得：6×12÷9＝8（cm），（12+8）×2＝40（cm）．
答：需要用铁丝40cm．
19．（8分）（2022 温岭市校级自主招生）如图，已知在平行四边形ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE、BF交于H，BF、AD的延长线交于G．
（1）求证：△BEH≌△DEC；
（2）若AB，AG＝5，连接CH，求CH的长．
【分析】（1）由DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，得∠BEH＝∠DEC＝∠BFC＝90°，可证明∠EBH＝∠EDC，∠EDB＝∠EBD＝45°，则BE＝DE，即可根据全等三角形的判定定理“ASA”证明△BEH≌△DEC；
（2）由平行四边形的性质得AB∥DC，BC∥AD，则∠ABG＝∠DFG＝90°，∠HBE＝∠AGB，所以sin∠HBE＝sin∠AGB，而BH＝DC＝AB，则EH＝ECBH＝1，即可根据勾股定理求得CH．
【解答】（1）证明：∵DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，
∴∠BEH＝∠DEC＝∠BFC＝90°，
∴∠EBH＝∠EDC＝90°﹣∠C，
∵∠BED＝90°，∠DBC＝45°，
∴∠EDB＝∠EBD＝45°，
∴BE＝DE，
在△BEH和△DEC中，
，
∴△BEH≌△DEC（ASA）．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，BC∥AD，
∴∠ABG＝∠DFG＝90°，∠HBE＝∠AGB，
∵AB，AG＝5，
∴sin∠HBE＝sin∠AGB，
∵△BEH≌△DEC，
∴BH＝DC＝AB，
∴EH＝ECBH1，
∴CH，
∴CH的长是．
20．（8分）（2019 麻城市校级自主招生）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，D是AB上一点，AC＝BD，P是CD中点．求证：APBC．
【分析】作辅助线，构建全等三角形和平行四边形，先证明四边形ACFD是平行四边形，得DF＝AC＝BD，DF∥AC，再证明△BDF是等边三角形，证明△ABC≌△BAF（SAS），可得结论．
【解答】证明：延长AP至点F，使得PF＝AP，连接BF，DF，CF，
∵P是CD中点，
∴CP＝DP，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∴DF＝AC＝BD，DF∥AC，
∴∠FDB＝∠BAC＝60°，
∴△BDF是等边三角形，
∴BF＝DF＝AC，∠ABF＝60°，
∴∠ABF＝∠BAC，
在△ABC和△BAF中，
∵，
∴△ABC≌△BAF（SAS），
∴AF＝BC，
∴APAFBC．
21．（8分）（2015 海淀区校级自主招生）已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E点，DF平分∠ADC 交线段AE于F点．
（1）如图1，若AE＝AD，求证：CD＝AF+BE；
（2）如图2，若AE：AD＝a：b，试探究线段CD、AF、BE之间所满足的等量关系，请直接写出你的结论．
【分析】（1）延长EA到G，使得AG＝BE，连接DG，根据四边形ABCD是平行四边形，推出AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，求出∠DAG＝90°＝∠GAD，根据SAS证△ABE≌△DAG，推出DG＝AB＝CD，∠1＝∠2，求出∠AFD＝∠GDF，推出DG＝GF＝AF+AG即可；
（2）延长EA到G，使得，连接DG，根据两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似，推出△ABE∽△DGA，推出∠1＝∠2，DG＝AB，代入即可求出答案．
【解答】解：（1）证明：延长EA到G，使得AG＝BE，连接DG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，
∵AE⊥BC于点E，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
∴∠AEB＝∠DAG＝90°，
∴∠DAG＝90°，
在△ABE和△DGA中
，
∴△ABE≌△DGA，
∴∠1＝∠2，DG＝AB，∠B＝∠G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠ADC，
∵∠B+∠1＝∠ADC+∠2＝90°，∠3＝∠4，
∴∠GDF＝90°﹣∠4，∠GFD＝90°﹣∠3，
∴∠GDF＝∠GFD，
∴GF＝GD＝AB＝CD，
∵GF＝AF+AG＝AF+BE，
∴CD＝AF+BE；
（2）bCD＝aAF+bBE
理由是：延长EA到G，使得，连接DG，
即AGBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，
∵AE⊥BC于点E，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
∴∠AEB＝∠DAG＝90°，
∴∠DAG＝90°，
即∠AEB＝∠GAD＝90°，
∵，
∴△ABE∽△DGA，
∴∠1＝∠2，，
∴∠GFD＝90°﹣∠3，
∵DF平分∠ADC，
∴∠3＝∠4，
∴∠GDF＝∠2+∠3＝∠1+∠4＝180°﹣∠FAD﹣∠3＝90°﹣∠3．
∴∠GDF＝∠GFD，
∴DG＝GF，
∵，AB＝CD（已证），
∴bCD＝aDG＝a（BE+AF），
即 bCD＝aAF+bBE．
第1页（共1页）2024-2025学年浙教版八年级数学下学期第四章《平行四边形》竞赛题
一．选择题（共9小题，满分36分，每小题4分）
1．（4分）（2019 芗城区校级自主招生）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A．正七边形 B．正六边形 C．正五边形 D．正三角形
2．（4分）（2018 薛城区校级自主招生）如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC＝4CF，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
3．（4分）（2024 汶上县自主招生）如图，在△ABC中，延长BC至D，使得CDBC，过AC中点E作EF∥CD（点F位于点E右侧），且EF＝2CD，连接DF．若AB＝8，则DF的长为（　　）
A．3 B．4 C．2 D．3
4．（4分）（2017 金牛区校级自主招生）平面直角坐标系中，已知 ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B（2，﹣1），C（﹣m，﹣n），则点D的坐标是（　　）
A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，2）
5．（4分）（2013 成都校级自主招生）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（　　）
A．7 B．9 C．10 D．11
6．（4分）（2006 罗田县校级自主招生）如图，点P是平行四边形ABCD内一点，已知S△PAB＝7，S△PAD＝4，那么S△PAC等于（　　）
A．4 B．3.5 C．3 D．无法确定
7．（4分）（2024 苍南县校级自主招生）如图，在三角形ABC中，AB＝11，AC＝15，点M是BC的中点，AD是∠BAC的角平分线，MF∥AD，则FC＝（　　）
A．14 B．13 C．12 D．11
8．（4分）（2024 长寿区自主招生）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF．连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M．若BC＝6，则线段CM的长为（　　）
A． B．7 C． D．8
9．（4分）（2014 和平区校级自主招生）如图，平行四边形ABCD周长20cm，两条对角线相交于点O，过O作AC的垂线EF，分别交AB，CD于E，F两点，连接AF，则三角形ADF周长为（　　）cm．
A．10 B．9 C．8 D．7
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
10．（4分）（2016 夏津县自主招生）一个正多边形，它的一个外角等于与它相邻内角的，则这个多边形是　　 ．
11．（4分）（2011 永嘉县校级自主招生）如图所示，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A的坐标为（8，0），OA＝2OC，∠AOC＝60°，直线yx+b恰好将平行四边形OABC分成面积相等的两部分，则b＝　　 ．
12．（4分）（2024 碑林区校级自主招生）已知，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，AE＝6，AF＝3且∠EAF＝60°，则AB＝　　 ．
13．（4分）（2015 成都校级自主招生）如图，E、F是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q．若S△APD＝15cm2，S△BQC＝25cm2，则阴影部分的面积为　　 cm2．
14．（4分）（2011 鼓楼区校级自主招生）如图，△ABC的三边长分别为3、5、6，BD与CE都是△ABC的外角平分线，M、N是直线BC上两点，且AM⊥BD于D，AN⊥CE于E，则DE的长等于 　　 ．
15．（4分）（2023 惠民县自主招生）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是角平分线，AE是中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，则线段EF的长为　　 ．
16．（4分）（2016 新疆自主招生）如图，在 ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD＝5，AP＝8，则△APB的周长是　　 ．
17．（4分）（2009 尤溪县自主招生）如图，在△ABC中，AB＝AC．M、N分别是AB、AC的中点，D、E为BC上的点，连接DN、EM．若AB＝13cm，BC＝10cm，DE＝5cm，则图中阴影部分的面积为　　 cm2．
三．解答题（共4小题，满分32分，每小题8分）
18．（8分）（2018 西湖区校级自主招生）如果用铁丝围成如图一样的平行四边形，需要用铁丝多少厘米？
19．（8分）（2022 温岭市校级自主招生）如图，已知在平行四边形ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE、BF交于H，BF、AD的延长线交于G．
（1）求证：△BEH≌△DEC；
（2）若AB，AG＝5，连接CH，求CH的长．
20．（8分）（2019 麻城市校级自主招生）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，D是AB上一点，AC＝BD，P是CD中点．求证：APBC．
21．（8分）（2015 海淀区校级自主招生）已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E点，DF平分∠ADC 交线段AE于F点．
（1）如图1，若AE＝AD，求证：CD＝AF+BE；
（2）如图2，若AE：AD＝a：b，试探究线段CD、AF、BE之间所满足的等量关系，请直接写出你的结论．
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