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2024-2025 学年湖南省长沙一中高三（下）月考数学试卷（八）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1+ .已知 2 为纯虚数，则实数 的值为( )．
A. 2 B. 2 C. 1 12 D. 2
2.若集合 ， ， 满足： ，则 =( )
A. ∪ B. ∪ C. ∪ D. ∪
3.已知函数 = ( )的定义域和值域分别为[ 1,1]和[5,9]，则函数 = ( + 1)的定义域和值域分别为( )
A. [0,2]和[6,10] B. [ 2,0]和[6,10] C. [0,2]和[5,9] D. [ 2,0]和[5,9]
4.已知直线 ： = + 与圆 ：( 5)2 + ( 3)2 = 4 交于 ， 两点，则| | ≥ 2 3的一个充分不必要
条件是( )
A. ∈ [ 3, 1] B. ∈ [ 3,0] C. ∈ [ 3,2 2] D. ∈ [ 3,1]
5.有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取 1 个球，甲表示
事件“第一次取出的球的数字是 1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2”，丙表示事件“两次取出
的球的数字之和是 8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7”，则( )
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
6.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了著名的原理：“幂势既同，则积不容异”，这句话的意思是：夹在
两个平行平面之间的两个几何体.被平行于这两个平面的任意平面所截.如果截得的这两个截面的面积总相
等，那么这两个几何体的体积相等.一段弯曲的水管，如图(1)，其横截面为圆面，最大纵截面是由曲线 =
( 2 < <
3
2 )与两直线 =± 4 围成的平面区域，如图(2)，根据祖暅原理，计算该段水管的体积为( )
A. 4 2 B. 8 2 C. 2 3 D. 4 3
7 = .已知桌面上灯光的强度可以用 2 表示，其中 是灯与桌面上被照点的距离， 是光线与桌面的夹角，
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在半径为 1 的圆桌中心正上方安装一个吊灯，为使桌边最亮，吊灯应离桌面的高度为( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 32 2 3
8.如图，水平放置的正方形 的边长为 1，先将正方形 绕直线 向上旋转 45°，得到正方形 1 1，
再将所得的正方形绕直线 1向上旋转 45°，得到正方形 2 1 2，则平面 2 1 2与平面 所成的角的
大小为( )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 1.在二项式(2 )6 的展开式中，正确的说法是( )
A.常数项是第 3 项 B.各项的系数和是 1
C.偶数项的二项式系数和为 32 D.第 4 项的二项式系数最大
10.对于一个平面图形，如果存在一个圆能完全覆盖住这个平面图形，则称这个图形能够被这个圆完全覆盖，
其中我们把能覆盖平面图形的最小圆称为最小覆盖圆.下列曲线围成的图形的最小覆盖圆的半径为 2 的是
( )
2
A. | | + | | = 2 B. 4 +
2 = 1
4
C. 16 +

4 = 1 D.
4 + 4 2 2 = 4
11.在锐角△ 中， = 3 ，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则下列式子正确的是( )
A. = 4 B. 2 ≤ 2 C. < D. tan23 ≥ 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2 2 2 2
12.已知 > > 0 ，设椭圆 ： 2 + 2 = 1 的离心率为
6
1，双曲线 ： 2 2 = 1 的离心率为 2，且 1 2 = 2 ，
则双曲线 的渐近线的方程为______．
13.已知当 = 且 = 2 时，函数 ( ) = ( + )取得最大值，则 的值为 ．
14.若 > 1， > 1 ，恒有 < ( ) ，则正整数 的最大值为______. (参考数据： 2 ≈ 0.69)
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
某市为繁荣地方经济，大力实行人才引进政策，为了解政策的效果，统计了 2018 2023 年人才引进的数
量 (单位：万人)，并根据统计数据绘制了如图所示的散点图( 表示年份代码，年份代码 1 6 分别代表
2018 2023 年)．
(Ⅰ)根据散点图判断 = + 与 = + ( , , , 均为常数)哪一个适合作为 关于 的回归方程类型；(给
出结论即可，不必说明理由)
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的结果及表中的数据，求出 关于 的回归方程，并预测该市 2025 年引进人才的数量；
(Ⅲ)从这 6 年中随机抽取 4 年，记引进人才数量超过 4 万人的年数为 ，求 的分布列和数学期望．
参考数据：
6 6 6

( )2 ( )( ) ( )( )
=1 =1 =1
5.15 1.55 17.5 20.95 3.85

其中 = 166 =1
2.44
， = ， ≈ 11.47， 2.54 ≈ 12.68．
参考公式：对于一组数据( 1, 1)，( 2, 2)，…，( , )，其回归直线 = + 的斜率和截距的最小二乘

= =1 ( )( )

估计分别为： 2 , = ． =1 ( )
16.(本小题 15 分)
如图所示，圆锥的底面半径为 4，侧面积为 16 2 ，线段 为圆锥底面⊙ 的直径，点 在线段 上，且 =
3 ，点 是以 为直径的圆上一动点．
(1)当 = 时，证明：平面 ⊥平面 ；
(2)当三棱锥 的体积最大时，求 与平面 所成角的正弦值．
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17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = + 2．
(1) = 1当 4，求 ( )在区间( , )上的单调区间；
(2)若 ( ) ≤ 1 恒成立，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
2
已知椭圆 ： + 2 2 = 1( > 0)的右焦点为 ， 为椭圆 上一点，且| |的最大值为 2 + 1．
(1)求椭圆 的方程；
(2)圆 ： 2 + 2 = 2( ≤ 1)，直线 与圆 相切，并与椭圆 交于 ， 两点，且 ， 两点均在 轴右侧．
( ) = 6当 3 时，证明： ⊥ ，
( )是否存在 ，使得△ 的周长为定值，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
19.(本小题 17 分)
已知数列{ }满足 + { +1, +2} = { +1, +2}.
(1)若 2 = 2， 3 = 3，求 1， 4的值；
(2)若 1 ≠ 0，满足 ∈ ，恒有 ≤ 2025，求集合 = { ∈ | = 0}；
(3)若 1 2 3 1 ≠ 0，证明： 2 + 22 + 23 + … + 2 < 1 + 2．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. =± 22
13.43
14.3
15.解：(Ⅰ)根据散点图可知，选择 = + 更合适；
(Ⅱ)因为 = + ，所以两边同时取常用对数，得 = + ，
设 = ，则 = + ，先求 关于 的线性回归方程，


= 1+2+3+4+5+6
6
= 3.5 = =1 ( )( ) = 3.85因为 6 ， 6 2 =1 ( ) 17.5
= 0.22，

所以 = 0.22 = 1.55 0.22 × 3.5 = 0.78，

所以 = 0.22 +0.78，把 = 8 代入上式，得 = 2.54 = 12.68，
故预测该市 2025 年引进人才的数量为 12.68 万人；
(Ⅲ)这 6 年中，引进人才的数量超过 4 万人的年数有 3 个，所以 的所有可能取值为 1，2，3，
1 3
则 ( = 1) = 3 3 = 1，
46 5
2 2
( = 2) = 5 5 = 3，
46 5
3 1 ( = 3) = 3 3 = 1
46 5
，
所以 的分布列为：
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1 2 3
1 3 1
5 5 5
所以 ( ) = 4×36 = 2 或 ( ) = 1 ×
1 3 1
5+ 2 × 5 + 3 × 5 = 2，
即 ( ) = 2．
16.解：(1)证明：因为 垂直于圆锥的底面，所以 ⊥ ，
当 = 时，可得 = = ，所以 ⊥ ，
又因为 ∩ = ，且 ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ．
(2)由题意知： = = 4，
因为圆锥的侧面积为 16 2 ，
可得 × 4 × = 16 2 ，
解得 = 4 2，
所以 = 2 2 = 4，
当三棱锥 的体积最大时，只需△ 的面积最大，此时 为弧 的中点，
如图所示，以 为原点，建立空间直角坐标系，
因为 = 3 ，可得 (0, 4,0)， (0,4,0)， (0,0,4)， (3,1,0)，
则 = (0,4, 4)， = (3,1, 4)， = (0,4,4)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
则 = 4 + 4 = 0 ，
= 3 + 4 = 0
取 = 5，可得 = 3， = 3，
所以 = (5, 3,3)，
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设 与平面 所成角为 ，

= |cos < , > | = | | 6 3 86则
|
= =
|| | 86 43
，
所以直线 与平面 所成角正弦值为3 86．
43
17.解：(1)当 = 1 14时， ( ) = + 4
2，
( ) = + 1 = ( 1所以有 ′ 2 2 )，
当 ∈ (0, 3 )时， ′( ) = (
1
2 ) > 0，即 ( )在区间(0,

3 )上单调递增；

当 ∈ ( 3 , )时， ′( ) = (
1
2 ) < 0，即 ( )在区间(

3 , )上单调递减；
当 ∈ ( 3 , 0)时， ′( ) = (
1
2 ) < 0，即 ( )

在区间( 3 , 0)上单调递减；
当 ∈ ( , 3 )
1
时， ′( ) = ( 2 ) > 0，即 ( )在区间( ,

3 )上单调递增．
综上， ( )在区间( , ) 上的单调递增区间是( , 3 )和(0, 3 )，单调递减区间是(
, 0) ( 3 和 3 , )；
(2)由 ( ) = + 2，求导得： ′( ) = + 2 = ( 2 )，
因为 (0) = 1，所以要证明 ( ) ≤ 1 = (0)，
1
而当 2 ≤ 1，即 ≤ 2时， 2 ≥ 0，
此时 ∈ ( ∞,0)， ′( ) = ( 2 ) ≤ 0，则 ( )在区间( ∞,0)上单调递减，
且 ∈ (0, + ∞)， ′( ) = ( 2 ) ≥ 0，则 ( )在区间(0, + ∞)上单调递增，
此时有 ( ) ≥ (0) = 1，不满足题意，故舍去；
当 2 ≥ 1 1，即 ≥ 2时， 2 ≤ 0，
此时 ∈ ( ∞,0)， ′( ) = ( 2 ) ≥ 0 则 ( )在区间( ∞,0)上单调递增，
且 ∈ (0, + ∞)， ′( ) = ( 2 ) ≤ 0，则 ( )在区间(0, + ∞)上单调递减，
此时有 ( ) ≤ (0) = 1，满足题意；
1 1
当 1 < 2 < 1，即 2 < < 2时， 2 = 0，
在区间( , )上必存在两个根 1 ∈ ( , 0)， 2 ∈ (0, )，
所以当 ∈ ( 1, 0)， ′( ) = ( 2 ) < 0，则 ( )在区间( 1, 0)上单调递减，
且 ∈ (0, 2)， ′( ) = ( 2 ) > 0，则 ( )在区间(0, 2)上单调递增，
所以在区间( 1, 2)上恒有 ( ) ≥ (0) = 1，不满足题意，故舍去．
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1
综上可得：实数 的取值范围是{ | ≥ 2 }．
18.解：(1)设 ( 0, 0)，右焦点 ( , 0)，
根据两点间距离公式| |2 = ( 0 )2 + 20，
2 2
又因为椭圆方程 0 0 2 + 1 = 1，
2 2
则 2
2
0 = 1 0 2，代入可得| |
2 = ( )2 + 1 0 = 2 2 + 2 = ( 0 2 2 0 0 )
2
0 ，
所以| | = 0．
已知 0 ∈ [ , ]，当 0 = 时，| |取最大值 + ，
又| | 2 2 = 2 + 1，且 = 1，
联立 + = 2 + 1
2
，
2 = 1
由 2 2 = ( + )( ) = 1，
把 + = 2 + 1 代入得 = 2 1，
再与 + = 2 + 1 联立，
解得 = 2， = 1，
2
椭圆方程为 + 22 = 1．
(2)直线 与椭圆有两个在 轴右侧交点，斜率不为 0，
设 ： = + .直线 与圆 相切，
| | 6
根据点到直线距离公式 =
1+ 2 3
，
即 3 2 = 2( 2 + 1)，
联立方程并求相关量：
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= +
联立 2 2 ，
2 + = 1
消去 得( 2 + 2) 2 + 2 + 2 2 = 0，
2
则 1 + 2 =
2 2
2+2， 1 2 = 2+2，
= 4 2 2 4( 2 2)( 2 + 2) = 8(2 + 2 2) > 0．
( )证明： = 1 2 + 1 2 = ( 1 + )( 2 + ) + 2 21 2 = ( + 1) 1 2 + ( 1 + 2) + ，
2 2 2 2 2
将 1 +
2 2
与 2 2 3 2 22 1 2代入化简得：( + 1) 2+2 2+2 + = 2+2 ，
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再把 3 2 = 2( 2 + 1)代入得： = 0，
所以 ⊥ ．
( ) | |已知依题意 = ，
1+ 2
等式两边同时平方可得： 2 = 2(1 + 2)，
2 2(2+ 2 2) 2 2 2 ( 2 1) 2
已知| | = 1 + 2| | = 1 + 21 2 2+2 = 2+ 2 ，
2 2
由前面知道| | = 2 2 1, | | = 2 2 2，
2
可得| | + | | = 2 2 2 ( 1 + 2)，
又因为 1 = 1 + ， 2 = 2 + ，
所以 1 + 2 = 1 + 2 + 2 ，
| | + | | = 2 2 2 2
2 2
进而 2+2 = 2 2
2 2
2+ 2 ．
2
且 △ = | | + | | + | |，将| |与| | + | |
2 2
的表达式代入可得： △ = 2 2 2+ 2 +
2 2 2 ( 2 1) 2 2 ( 2 1) 2 2
2+ 2 = 2 2 + 2 2 2+ 2
2 2 ( 2 1) 2
= 2 2 2 2
2 + 2
( 2 2 ( 2 1) 2)( 2 + 2 ( 2 1) 2)
= 2 2 2 2
( 2 + 2)( 2 + 2 ( 2 1) 2)
4 ( 2 ( 2 1) 2)
= 2 2 2 2
( 2 + 2)( 2 + 2 ( 2 1) 2)
2 2 2
= 2 2 2 2 ( 1)( + ) ，
( 2+ 2)( 2 ( 2 1) 2+ 2)
故当 = 1 时，( 2 1) = 0，
则 △ = 2 2 2 2 ×
0 = 2 2．
( 2+ 2)( 2 ( 2 1) 2+ 2)
19.解：(1)已知 + { +1, +2} = { +1, +2}，且 ≥ 0．
当 = 1 时， 1 = | 2 3| = 1；
当 = 2 时， 2 = | 3 4| = 2，绝对值为 2 意味着 3 4 = 2 或者 4 3 = 2，
若 3 4 = 2，结合 1 = | 2 3| = 1 等条件可算出 4 = 1；
若 4 3 = 2，则 4 = 5．
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(2)因为 = | +1 +2| ≥ 0，且 ≤ 2025 = ，所以 2025 = | 2026 2027| ≤ 1，
2026 = 2027 =
那么 或者 ，2027 = 0 2026 = 0
若 = 0，则 2026 = 2027 = 0，根据递推关系会得出所有 = 0，这与 1 ≠ 0 矛盾．
若 > 0，当 2026 = ， 2027 = 0 时，通过 = | +1 +2|依次往前推，
2024 = | 2025 2026| = 0， 2023 = | 2024 2025| = ， 2022 = | 2023 2024| = ， 2021 = | 2022
2023| = 0，
能得到 ≤ 2025 时， = +3，此时 1 = 2026 = > 0 符合条件；
当 > 2025 时，同样根据递推关系能算出 2028 = ， 2029 = ，
已知 2028 = | 2029 2030| = 且 2030 = 0，因为 > 2025 时数列呈周期变化，周期 = 3，即 +3 = ，
要找使 = 0 的 的集合．在周期数列中，从 2030 = 0 开始，周期为 3，
设 = 3 1( ∈ )，当 取合适值时能涵盖所有使 = 0 的正整数 ，所以 = { ∈ | = 3 1, ∈
}，
当 2026 = 0， 2027 = 时，因为 ≤ 2025 时 = +3，那么 1 = 2026 = 0，不符合题意，舍去这种情况．
综上所得，所求的集合 = { ∈ | = 3 1, ∈ }．
(3)证明：由 = | +1 +2| ≥ | +2| | +1| = +2 +1，可得 +2 ≤ +1 + ．
= 1 + 2 3 21 22 + 23 + + 2 ，根据 +2 ≤ +1 + 进行放缩：
≤ 1 + 2 + 1+ 2 2 22 23 + +
2+ 1
2 ，
≤ 1 + 把右边式子拆分 2 + ( 1 2 2 2 3 1 2 4 23 + 24 + + 2 ) + ( 23 + 24 + + 2 )，
1
进一步变形为 ≤ 4 1 +
1 + 34 2 4
1 1 32 1 2 < 4 1 + 4 ，
1 1 1
移项可得4 < 4 1 + 4 2，即 < 1 + 2．
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