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2025 年云南民族中学高考数学适应性试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
2025
1.已知 = (1 + )2025 ÷ 2 2 ，则 =( )
A. 2+ 2 B. C. 22 2 2
2
2 D.
2.在等比数列{ 1 }中， 3， 37是函数 ( ) = 3 + 4
2 + 9 1 的极值点，则 5 =( )
A. 4 B. 3 C. 3 D. 4
3.含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的
数开始交替地加减各数，例如{4,6,9}的“交替和”是 9 6 + 4 = 7；而{5}的交替和是 5，则集合 = { ∈
| 5 ≤ ≤ 4}的所有非空子集的“交替和”的总和为( )
A. 2048 B. 2024 C. 1024 D. 512
2
4.已知 cos( + 4 ) =
3 , 17 5 12 < <
7 2 +2
4，则 1 =( )
A. 28 B. 28 C. 21 D. 2175 75 100 100
5.已知圆台 1 2存在内切球 (与圆台的上、下底面及侧面都相切的球)，若圆台 1 2的上、下底面面积之

和与它的侧面积之比为 5：8，设球 的体积与圆台 1 分别为 12 1， 2，则 =( )2
A. 23 B.
3 C. 6 54 13 D. 11
6.已知直线 ： + = 0，圆 ： 2 + 2 6 + 5 = 0， ( 0, 0)为圆 上任意一点，则下列说法正确的
是( )
A. 2 2 0 2 50 + 0的最大值为 5 B. 的最小值为0 5
C. 3直线 与圆 相切时， =± 3 D.圆心 到直线 的距离最大为 4
7 .已知两个不相等的正实数 ， 满足 ln = 1 ，则下列结论一定正确的是( )
A. + = 1 B. = 1 C. + > 2 D. 0 < + < 1
8 | |.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点 ， 及动点 ，若| | = ( > 0 且 ≠ 1)，则
点 的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆(简称“阿氏圆”).在平面直角坐标系
中，已知 (0,0), (0, 2)，直线 1： + + 3 = 0，直线 2： + + 3 + 1 = 0，若 为 1， 2的交点，
3
则2 | | +
1
2 | |的最小值为( )
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A. 662 B. 6 3 2 C. 9 3 2 D. 66
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 ， 为随机事件， ( ) = 0.6， ( ) = 0.3，则下列结论正确的有( )
A.若 ， 为互斥事件，则 ( ∪ ) = 0.9

B.若 ， 为互斥事件，则 ( ∪ ) = 0.1
C.若 ， 相互独立，则 ( ∪ ) = 0.72

D.若 ( | ) = 0.3，则 ( | ) = 0.3
10.如图，由函数 ( ) = + 1 与 ( ) = ln( + 1)的部分图象可得一条
封闭曲线 ，则( )
A.函数 ( )和 ( )的图象对称
B. 上任意一点到原点的距离 ≤ 2
C.函数 ( ) = ( ) ( )有两个零点 1， 2，且 1 + 2 > 1
D.直线 + = 被 截得弦长的最大值为 2( 2)
11.定义数列{ }，满足 1 = 1， +1 = ( )，其中 ( ) = + ln(1 )，则( )
A. { }为单调递减数列 B.
1
+1 > 2
C. 2 +1 + 2 1 < 2 2 D.
2 2023
2024 < ( 3 )
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在( + 3) 的展开式中，各二项式系数的和与各项系数的和之比为 1：128，则 = ______．
13.已知平面向量 ， ， 满足 与 的夹角为锐角，| | = 4，| | = 2，| | = 1，且| + |的最小值为 3，向
量( 12 ) (
)的取值范围是______．
14.已知△ 的面积等于 1，若 = 1，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时， = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在锐角△ 中， ， ， 为角 ， ， 所对边，( 1) = sin( )且 = 2．
(1)求角 ；
(2)求△ 周长的取值范围．
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16.(本小题 15 分)
在平行四边形 中， = 2 = 2， 为 的中点，将等边 沿 折起，连接 ， ，且 = 2．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)点 在线段 上，且平面 与平面 4 17 | |所成角的余弦值为 17 ，求| |．
17.(本小题 15 分)
某运动员为了解自己的运动技能水平，记录了自己 1000 次训练情况并将成绩(满分 100 分)统计如下表所示．
成绩区间 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
频数 100 200 300 240 160
(1)求上表中成绩的平均值及上四分位数(同一区间中的数据用该区间的中点值为代表)；
(2)该运动员用分层抽样的方式从[50,80)的训练成绩中随机抽取了 6 次成绩，再从这 6 次成绩中随机选 2
次，设成绩落在区间[60,70)的次数为 ，求 的分布列及数学期望；
(3)对这 1000 次训练记录分析后，发现某项动作可以优化.优化成功后，原低于 80 分的成绩可以提高 10 分，
原高于 80 分的无影响，优化失败则原成绩会降低 10 分，已知该运动员优化动作成功的概率为 (0 < < 1).
在一次资格赛中，入围的成绩标准是 80 分.用样本估计总体的方法，求使得入围的可能性变大时 的取值范
围．
18.(本小题 17 分)
2 2
在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)
3
的长轴长为 4，离心率为 2 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 (4,0)， (0,2)，点 是椭圆上且在第三象限内的一点．
( )若△ 的面积为 4 + 2 2，求点 的坐标；
( )记直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求四边形 面积的最大值．
19.(本小题 17 分)
定义域为 的可导函数 = ( )满足，在曲线 = ( )上存在三个不同的点 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
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( 3, 3)( 1 < 2 < 3)，使得直线 与曲线 = ( )在点 处的切线平行(或重合).若 1， 2， 3成等差数列，
则称 ( )为“等差函数”；若 1， 2， 3成等差数列且 1， 2， 3均为整数，则称 ( )为“整数等差函数”．
(1)设 ( ) = 2 + ， ( ) = ，分别判断 ( )和 ( )是否为“整数等差函数”，直接写出结论；
(2)若 ( ) = 1 2+ 为“整数等差函数”，求实数 的最小值；
(3)已知 = ( )的导函数 = ′( )在 上为增函数，且存在一个正常数 ，使得对任意 ∈ ， ( + ) =
′( )成立，证明： ( )为“等差函数”的充要条件是 ( )为常值函数．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.7
13.[3 2 3, 3 + 2 3]
14. 817
15. 解：(1)根据已知( 1) = sin( )，

那么可得( 1) = sin( )，
所以 = sin( )，
因此 sin( + ) = sin( )，
所以 + = ，
可得 2 = ，根据 ≠ 0，可得 = 12，
根据 ∈ (0, ) ，可知 = 3．
(2) = + = 2 根据第一问知， 3， 3．
2
根据正弦定理知， = sin = 2 ，3 sin( 3 )
2 (2 3 ) 2

可得 = ， = 3，
2 (2 )
因此 2 + + = 2 + 3 +
3

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2[sin 3 + sin(
2 )] 3(1+ )
= 2 + 3 = 3 +
3 2 2
= 3 + 2 3
2 cos
= 3 + ．
2 2 tan

2
又因为三角形 是锐角三角形知， + > + > 2， 2，即 >

6， > 6，

又因为 + = 2 3，因此6 < < 2，所以12 < 2 < 4，
1 cos

6 1
3
tan 12 =
2
sin = 1 = 2 3，6 2
所以 tan 12 < tan 2 < tan 4，所以 2 3 < tan 2 < 1，
因此 3 + 3 < 3 +
3
tan
< 6 + 2 3，
2
因此三角形 周长的取值范围是(3 + 3, 6 + 2 3)．
16.解：(1)证明：依题意， = = = 1，∠ = 120°，在△ 中， = 2 30° = 3，
在△ ，△ 中， 2 + 2 = 2， 2 + 2 = 2，
则 ⊥ ， ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
(2)取 的中点 ，连接 ，则 ⊥ ，
由(1)知 ⊥平面 ，
而 平面 ，则 ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，
于是 ⊥平面 ，
过 作 // ，则 ⊥平面 ，
直线 ， ， 两两垂直，
以点 为原点，直线 ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系 ，
则 (0,0,0), (1,0,0), (0, 3, 0), ( 1 3 ，2 , 0, 2 )
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= (1,0,0), = ( 1 , 3, 3 ，2 2 )
设 = = ( 12 , 3,
3
2 ), 0 ≤ ≤ 1，
则 = + = ( +1 , 3 , 3(1 ) ，2 2 )
设平面 的法向量为 = ( , , )，
则 ⊥
= = 0
⊥
，则
= +1 + 3 + 3(1 )
，
2 2 = 0
取 = 2 ，得 = (0, 1,2 )，
而平面 的一个法向量为 = (0,0,1)，
设平面 与平面 所成角为 ，
| | = |cos < , > | = | | 2 4 17则 | || | = =( 1)2 ，+4 2 1 17
而 0 ≤ ≤ 1，解得 = 23，则
= 2 3
，
| |
所以| | = 2．
17.解：(1)依题意，平均值 = 1000 × (100 × 55 + 200 × 65 + 300 × 75 + 240 × 85 + 160 × 95) = 76.6，
因为 0.1 + 0.2 + 0.3 = 0.6 < 0.75，0.6 + 0.24 = 0.84 > 0.75，所以上四分位数落在区间[80,90)，
80 + 0.75 0.6且等于 0.24 × 10 = 86.25．
(2)由样本数据可知，训练成绩在[50,60) ∪ [70，80)，[60,70)之内的频数之比为 2：1，由分层抽样的方法
得，
从训练成绩在[50,80)中随机抽取了 6 次成绩，在[50,60) ∪ [70，80)之内的 4 次，在[60,70)之内的抽取了 2
次，
0 2 1 1 2
所以 可取的值有：0，1，2， ( = 0) = 2 4 = 6 = 2 ( = 1) = 2 4 = 8 2 1
26 15 5
，
26 15
， ( = 2) =
2
=
6 15
，
分布列为：
0 1 2
2 75
∴ ( ) = 0 × 2+ 1 × 8 15 15 + 2 × 15 =
2
3．
(3)设事件 1， 2， 3分别表示动作优化前成绩落在区间[70,80)，[80,90)，[90,100]，
则 1， 2， 3相互互斥，所以动作优化前，在一次资格赛中，
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入围的概率 ( 2 ∪ 3) = ( 2) + ( 3) =
240 + 1601000 1000 = 0.4，
设事件 为“动作优化成功”，则 ( | 1) = ( | 2) = ( ) = ，动作优化后，在一次资格赛中，
入围事件为： 1 ∪ 2 ∪ 3且事件 1 ， 2 ， 3相互互斥，
所以在一次资格赛中入围的概率 ( 1 , ∪ 2 ∪ 3) = ( 1 ) + ( 2 ) + ( 3) = ( 1) ( | 1) +
( 2) ( | 2) + ( 3)，
( ∪ ∪ ) = 300 240 160故 1 2 3 1000 + 1000 + 1000 = 0.54 + 0.16，
0.54 + 0.16 > 0.4 > 4 4由 解得 9，又因为 < 1，所以 的取值范围是( 9 , 1)．
2 = 4 = 2
18.解：(1) 3由题意可得 = 2 ，解得 = 1 ，
2 = 2 + 2 = 3
2
所以椭圆 的方程为
4 +
2 = 1．
(2)( )由 (4,0)， (0,2)可得| | = 2 5，因△ 的面积为 4 + 2 2，
故点 4+2 2到直线 的距离为 ，
5
2
设过点 1且与直线 平行的直线方程为 ： = 2 + ，与椭圆
+ 24 = 1 联立，
2
消去 ，可得 2 ，由 = 2 2( 2 1) = 0，解得 ，
2 + 1 = 0 =± 2
而当 = 2 4+2 2时，直线 ： + 2 2 = 0 与直线 ： + 2 4 = 0 的距离恰为 ，5
2
即点 即为直线 与椭圆的切点，将 = 2代入 2 +
2 1 = 0，
2
可得 + 2 + 1 = 0，解得2 = 2，因为点 在第三象限，所以 =
2，
2
故 点坐标为( 2, 2 )．2
( )设 ( 0, 0)，其中 0 < 0， < 0，则 20 0 + 4 20 = 4．

又因为 (4,0) 0，所以直线 ： = 0 4
( 4)，
= 0 4 2 令 ，所以 (0, 0 4 )，同理 (
0
0 0 2
, 0)．
所以四边形
1
的面积 = 2 | | | | =
1 (4 + 2 0 4 02 2 )(2 +0 0 4
)
20 +4 20 +4 0 = 2 × 0 8 0 16 0 +16 0 0 2 0 4 0 +8
0 0 2 0 4 0 +5= 8 × 0 0 2 0 4 0 +8
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= 8 24 0 0 2 0 4 0+8，
令 0 = 2 , 0 = , ∈ ( ,
3
2 )，
= 8 12所以 sin cos 2(sin +cos )+4，
2
令 + =
24
，则 ∈ [ 2, 1), = 1，故 = 8 2 ( 2)2+3，
故当 = 2时， + = 2sin( +

4 ) = 2 =
5
，即 4时，
也即 0 = 2, 0 =
2时，四边形 的面积取最大值为176+96 2．
2 49
19. + 解：(1)假设 1， 1 32， 3成等差数列，得 2 = 2 ，
设公差为 ，则 = 2 1 = 3 2 > 0，
2 2
对于 ( )：直线 的斜率 = 3 1 = 3+ 3 1 1 3 1 3
= 3 + 1 + 1，
1
因为 ′( ) = 2 + 1，
所以曲线 = ( )在点 处的切线斜率为 ′( 2) = 2 2 + 1．
由题意， = ′( 2) 3 + 1 + 1 = 2 2 + 1 恒成立，取 2 = 2， = 1，则 1， 2， 3成等差数列且均
为整数，故 ( )是“整数等差函数”．
对于 ( ) = 3 1 = 3 ，直线 的斜率 1 sin( 2+ ) sin( 2 ) 2 3 1
= = ．
3 1 2
因为 ′( ) = ，所以曲线 = ( )在点 处的切线斜率为 ( 2) = 2，

由题意 = ′( 2) 2 = 2 2( ) = 0，
若 2 ∈ ，则
1
2 ≠ ( + 2 ) ， ∈ 2 ≠ 0，
令 ( ) = ， ∈ (0, + ∞)，则 ′( ) = 1 ≤ 0 恒成立，所以 ( )在(0, + ∞)上单调递减，
所以 ( ) = < (0) = 0，即 < 0 在(0, + ∞)上恒成立，
即 < 0( > 0)恒成立，所以 2( ) = 0 无解，
故 ( )不是“整数等差函数”．
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(2)因为 ( )为“整数等差函数”，所以 1， 2， 3成等差数列且 1， 2， 3均为整数，
设公差为 ，则 = 2 1 = 3 2 > 0，且 ∈ ，
1
2
1
+ 2+ +
直线 的斜率 3 1 3 1 = = =
1 3
3 1 3 1 ( 2
，
1+ )(
2
3+ )
因为 ′( ) = 2 2 2( 2+ )2，所以曲线 = ( )在点 处的切线斜率为 ′( 2) = ，( 2+ )22
+ 2
由题意， = ′( 1 3 22) ( 2 = ，1+ )( 23+ ) ( 22+ )2
因为 1 = 2 ， 3 = 2 + ，
2 2 2
所以( 2 + )2 = ( 2 + )( 2 + ) 42 1 3 2 + 2 2 42 = 2 2 2 2 + 42 + 2 22 + 2 2 = 22 ，
又 = ( )的定义域为 ，有 > 0，则 ≥ 1 12，可取 2 = = 1 使等号成立，故 的最小值为2；
(3)证明：充分性，因为 ( )为常值函数，所以 ′( ) = 0 任意取等差数列 1， 2， 3( 1 < 2 < 3)，

则直线 的斜率 = 3 1 = 0，曲线 = ( )在点 处的切线斜率为 ′( 2) = 0，3 1
因为 = ′( 2)，所以 ( )为“等差函数”．
必要性，因为 ( )为“等差函数”，所以 1， 2， 3( 1 < 2 < 3)成等差数列，
设公差为 ，则 = 2 1 = 3 2 > 0，直线 的斜率 =
3 1 ( 3) ( 1)
=3 1 3
，
1
曲线 = ( )在点 处的切线斜率为 ′( 2)，
= ( ) ( 3) ( )由题意， 1 ′ 2 = ′( 2) ( 2 + ) ( 2 ) = 2 ′( 2)，3 1
令 ( ) = ( 2 + ) ( 2 ) 2 ( 2)， > 0，
则 ′( ) = ′( 2 + ) + ′( 2 ) 2 ′( 2) = ( 2 + + ) + ( 2 + ) 2 ( 2 + )，
令 ( ) = ( 2 + + ) + ( 2 + ) 2 ( 2 + )，
则 ′( ) = ′( 2 + + ) ′( 2 + )，
因为 ′( )在 上为增函数，所以 ( ) ≥ 0， ( )在(0, + ∞)上为增函数，
因为 (0) = 0，所以 ′( ) = ( ) ≥ 0， ( )在 上为增函数，
因为 (0) = 0，所以 ( ) ≥ 0 在(0, + ∞)上恒成立，又 ( ) = 0，
由 ( )的单调性知 ( ) = 0， ∈ (0, )，
故 ′( ) = 0， ∈ (0, )， ′( ) = 0， ∈ (0, )，
′( ) = ， ∈ ( + , + + )， 为常数，
( ) = ， ∈ ( 2 + 2 , + + 2 )，
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′( ) = 0， ∈ ( 2 + 2 , + + 2 )，
( ) = 0， ∈ ( 2 + 3 , 2 + + 3 )，
接下来，一方面，因为 ( + ) = ′( )，且 ′( )在 上为增函数，
所以 ( )在 上为增函数，故 ′( ) ≥ 0， ( ) ≥ 0，
由 ( ) = 0， ∈ ( 2 + 3 , 2 + + 3 )，
可得 ( ) = 0， ∈ ( ∞, 2 + + 3 )，
另一方面，因为 ( + ) = ′( )所以 ′( ) = 0， ∈ ( ∞, 2 + + 3 )，可得 ( ) = 0， ∈ ( ∞, +
+ 4 )，
以此类推， ( ) = 0 在 上恒成立，即 ( )为常值函数．命题得证!
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