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郫都区2024—2025学年度下期期中考试
高二 数学
说明：1．本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟．
所有试题均在答题卡相应的区域内作答．
第I卷（选择题 共58分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）
1．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
2．在等差数列中，若，则该数列的公差为（ ）
A． B． C．3 D．
3．设，若，则（ ）
A． B． C．1 D．In2
4．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
5．已知等差数列的公差，且成等比数列，则数列的前2025项和为（ ）
A． B． C．505 D．1013
6．已知数列，，且，将与的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则的前10项和为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如：，，此时称与为同构式.已知实数满足，，则（ ）
A．6 B．8 C． D．
多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分）
9．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是函数定义域内的极小值点
B．的单调减区间是
C．若方程有两个不同的实根，则
D．在定义域内有最小值，无最大值
10．以下命题正确的有（ ）
A．设等差数列的前项和分别为，若，则
B．数列满足，则
C．数列满足：，则
D．已知为数列的前项积，若，则数列的前项和为
11．设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，可能正确的是（ ）
A B C D
第II卷（非选择题 共92分）
注意事项： 必须使用0．5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答,作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0．5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效．
填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
已知是数列的前n项和，，则 ．
13．函数在时有极小值0，则 ．
14．若不等式恒成立，则的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共5小题共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．(本小题满分13分)
已知为椭圆：上一点，且点到两焦点距离之和为4，且椭圆离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值．
(本小题满分15分)
如图，在四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
17．(本小题满分15分)
已知函数．
(1)讨论的单调区间；
(2)若，求在区间上的最小值和最大值．
18．(本小题满分17分)
已知数列满足．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设，记数列的前n项和为．
（i）求；
（ii）若成立，求m的取值范围．
(本小题满分17分)
已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)证明：.
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高二数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A D C A D C A B AC BD ABC
12． 13．11 14．
15．解（1）由题可得， ..........................（2分）
又由得 ..........................（4分）
所以，椭圆的方程为 ..........................（5分）
（2）设直线与椭圆交于，两点，
联立方程组，
得， .............................（7分）
则， .............................（10分）
由于即， .............................（12分）
解得（显然满足）. .............................（13分）
注：如果没有判别式最后也没验证的扣2分，如果最后验证的可以不扣分!
16．解（1）法一：取中点，连接. .........................（1分）
在△中，分别为的中点，所以，
又，所以，四边形是平行四边形，
所以 . ................（5分）
又平面，，
所以平面. .............................（7分）
法二：因为底面，底面，所以，
又因为平面，
所以平面，即为平面的一个法向量，
如图以点为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则
，，，，，
由为棱的中点，得，
向量，，故，
又平面，所以平面； ............................（7分）
（2）因为，设平面的法向量为，
则，取， .............................（11分）
又平面的法向量，
设平面与平面夹角为，则， ..........................（14分）
所以平面与平面夹角的余弦值为. .........................（15分）
17.解：（1）由题知 .............................（2分）
当时，恒成立， .............................（4分）
且，........（6分）
综上，当时，
当时， .............（7分）
（2）因为，，因为，
当时，，所以函数在是减函数； .......................（9分）
当时，，所以函数在是增函数， ......................（11分）
，，
，则， .........................（14分）
故时，的最小值为，最大值为. .........................（15分）
18．解（1）因为，即，
所以数列是以为首项，3为公差的等差数列. .........................（4分）
（2）（i）由（1）知，
所以，
所以， .............................（5分）
所以，
，
所以 . ..........................（7分）
，
所以. ...........................（10分）
（ii）因为，
所以， ............................（12分）
令，不妨设的第项取得最大值，
所以，解得，
所以的最大值为， .............................（16分）
所以，即m的取值范围是. .............................（17分）
注：此问也可以探讨数列的单调性，得到后求解，请阅卷老师合理给分。
19．解（1）当时，，，， .............................（1分）
则，所以， ............................（2分）
所以曲线在点处的切线方程为，即.（4分）
（2）因为，恒成立，所以恒成立.（5分）
令，则， .........................（6分）
令，则且不恒为0，
即在上单调递减，则， . .......................（8分）
所以当时，且不恒为0，
所以在区间上单调递减，故，所以，
综上，实数的取值范围为. .........................（10分）
（3）取，由（2）得当时，，所以. （12分）
取，则有，
即， .....................（14分）
所以，，，， ...........................（16分）
将上述式子相加得，得证. .........（17分）
注：最后一问做法很多，请老师们酌情给分!

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