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高二年级第二学期四月调研测试
数 学（创培班）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题“”的否定是
A． B．
C． D．
2．已知集合，则
A． B． C． D．
3．设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，则
A． B． C． D．
4．已知随机变量ξ服从正态分布，有下列四个命题：
4．甲： 乙：
4．丙： 丁：
4．若这四个命题中有且只有一个是假命题，则该假命题为
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．定义在R上的函数满足为奇函数，且为偶函数，若
6．则
A．1 B． C．0 D．
6．只用1，2，3这三个数字组成一个五位数，规定这三个数字必须全部使用，且同一数字不6．能相邻出现，这样的五位数共有
A．30个 B．36个 C．42个 D．48个
7．已知函数当时，函数的最大值、最小值分别为6．23、－4，则实数的取值集合为
A． B． C． D．
8．已知随机变量所有可能的取值为x，y，且，则下列说法正确的
8．是
8．A．存在 B．对任意
8．C．存在 D．对任意
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9． 已知a，b>0，则使得“a > b”成立的一个充分条件可以是
10．A． B． C． D．
10．已知函数，下列说法正确的是
A．存在实数，使得为偶函数
B．存在实数，使得为奇函数
C．任意，存在实数，使得
D．若在区间上单调递减，的最大值为
11．计算机显示的数字图像是由一个个小像素点组合而成的．处理图像时，常会通过批量调整11．各像素点的亮度，间接调整图像的对比度、饱和度等物理量，让图像更加美观．特别地，11．当图像像素点规模为1行列时，设第i列像素点的亮度为，则该图像对比度计算公11．式为．已知某像素点规模为1行列的图像第i列像素点的亮度11．，现对该图像进行调整，有2种调整方案：11．①；②，则
11．A．使用方案①调整，当时，
11．B．使用方案②调整，当时，
11．C．使用方案①调整，当时，
11．D．使用方案②调整，当，时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．设随机变量，则 ．
13．从10个人中选出7人围成一圈做游戏，则不同的排法种数有 种．
14．已知正实数，满足，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．(13分)
15．已知集合，．
(1) 若，求实数的取值范围；
(2) 若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
16．(15分)
16．已知．
16．(1) 若，且在处取得极值，求a，b的值；
16．(2) 当时，若在上单调递增，求a的取值范围．
17．(15分)
16．已知在的展开式中满足，且常数项为，求：
16．(1) 二项式系数最大的项；
16．(2) 系数绝对值最大的是第几项；
16．(3) 从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项，求共有多少种不同的取法．
18．(17分)
预防接种是预防掌握传染病最经济、最有效的手段，是预防疾病传播和保护群众的重要措施.为了考查一种新疫苗预防某一疾病的效果，研究人员对一地区某种动物（数量较大）进行试验，从该试验群中随机抽查了50只，得到如下的样本数据（单位：只）：
发病 没发病 合计
接种疫苗 7 18 25
没接种疫苗 19 6 25
合计 26 24 50
能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为接种该疫苗与预防该疾病有关？
若把表中的频率视作概率，
① 若从该地区此动物群中任取一只，记A表示此动物发病，表示此动物没发病，表示此动物接种疫苗，定义事件A的优势，在事件发生的条件下A的优势R2 =，利用抽样的样本数据，求的估计值.
② 若从该地区没发病的动物中抽取3只动物，记抽取的3只动物中接种疫苗的只数为，求随机变量的分布列、数学期望.
附：，其中.
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
19．(17分)
已知函数，，．
过原点作直线l与，的图象均相切，求实数k的值；
令，
① 讨论的极值点个数；
②若为的极小值点，为的零点，求证：．高二数学（创培班）参考答案与评分建议
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D 2．A 3．A 4．D 5．C 6．C 7．B 8．D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．AD 10．BCD 11．AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 13．86400 14．6
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（1），可得，解得或，所以或…………2分
，解得，，则. ……………4分
若，则， ……………6分
解得，即实数的取值范围为. ……………8分
（2）由（1）知，或，，
若是的必要不充分条件，则是的真子集， ……………10分
所以或，解得或， ……………12分
即实数的取值范围为. ……………13分
（1）由，得，解得或. ……………2分
求导，因是极值点，故，即为. ……………4分
当时，得，此时恒成立，无极值点，故舍.…………6分
当时，得，此时，在处取得极值，符合.
综上， ，. ……………8分
当时，，,
因在单调递增，故在恒成立. ……………10分
若，在最小值为，解得； ……………12分
若，在处取最小值，解得，与矛盾.………14分
综上，的取值范围是. ……………15分
17．（1）根据展开式的通项可得 ……………1分
令，解得
即时，常数项，解得 ……………3分
所以二项式系数最大的项 ……………4分
（2）系数绝对值最大的项等价于系数最大的项； ……………5分
设第项系数最大，则即，又，所以， ……………9分
即第8项系数最大，也即展开式中第8项系数绝对值最大. ……………10分
令，，解得，
即展开式中的有理项共有6项，无理项有5项； ……………12分
所以从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项的取法共有种. ……………15分
18．（1）根据列联表可得， ……………2分
所以，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为接种该疫苗与预防该疾病有关. ……………4分
（2）由于.
所以，， ……………6分
, ……………8分
由列联表中的数据可得，，所以. ……………10分
（3）由题可知，抽取的24只没发病的动物中接种疫苗和没接种疫苗的动物分别为18人和6人，所以从没发病的动物中随机抽取1只，抽取的是接种了疫苗的概率为，
则由题意可知，且， ……………12分
0 1 2 3
，
，，
所以随机变量的分布列为 ……………16分
所以随机变量的数学期望为. ……………17分
19．（1）设的切点为，又，则，
由于过原点，所以，可得，所以切线的斜率为， ……………1分
设的切点为故. ……………3分
（2）（ⅰ）由题意有所以令
当时，单调递增，此时无极值点， ……………4分
当时，，则为单调递增函数，且，故存在使得，所以在递减，在单调递增，故有一个极值点， …………5分
当时，令得，则为单调递增函数，，
故存在使得，所以在递减，在单调递增，故，
当，，则为单调递增函数，无极值点， ……………7分
时，，令（），则，令，则，当，故单调递增，故，
故单调递增，故，故（），所以当，所以，故，使得，
所以在单调递增，在单调递减，故有两个极值点，
综上可得，时，有一个极值点，当时，无极值点，当时，有两个极值点. ……………9分
（ⅱ）由（i）知，时，有一个负的极小值点，设为，又在递减，在单调递增，即为的极小值点也是最小值点，所以又，即，所以，故无零点，不满足题意，……………10分
当时，有两个正数极值点，不妨设极大值点为，极小值点为，
由（i）可知，在单调递增，在单调递减，
，故时，，即在无零点， ……………12分
先证明时，，记（），则，，，令，则，
当时，此时单调递增，
故，故单调递增，
故，故单调递增，
则
，故时，， ……………14分
所以，
又，故使得故有唯一的零点. ……………15分
又，所以，
令，，
当单调递增，当单调递减，所以，故，
所以即在上为单调递增函数，
故，，又在为单调递增函数，所以，
综上：若为的极小值点，为的零点时，恒有. ……………17分

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