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南充高中高2023级高二下学期期中考试
数 学 试 题
（时间：120分钟 总分：150分）
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上.
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.
3．答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效.
4．考试结束后将答题卡交回.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．“”是“1，m，25成等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．一辆汽车在公路上直线变速行驶，假设汽车在某一段路内秒时的位移（单位：米）为，则汽车在第1秒时的瞬时速度为（ ）
A．m/s B．m/s C．m/s D．m/s
3．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．设数列、是项数相同的等差数列，若，，，则数列的前25项的和为（ ）
A．0 B．1500 C．3000 D．2500
5．若数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
6．设双曲线，的离心率分别为，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
7．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．设函数()，若，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图1所示，则（ ）
图1 的图象
A．函数在区间上单调递增 B．函数在上单调递减
C．函数在处取得极大值 D．
10．设是三次函数的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．设函数，则以下说法正确的是（ ）
A．当，，时，则的图象关于点对称
B．过的拐点有三条切线
C．当时，函数有两个极值
D．当时，若方程有三个不等实数根，则实数的取值范围为.
11．已知曲线，点在曲线上，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．曲线上任意一点到原点的距离小于或等于
C．曲线内部（含边界）有6个整点（横、纵坐标均为整数的点）
D．.
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知等比数列的前项和（是常数），则的值为 .
13．已知椭圆的焦点为，为上的一点，若的周 长为18，则椭圆的离心率为 .
14．已知对任意，且当时，都有，则的取值范围 是 .
四 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知数列满足，.
求；
记为的前项和，若，求n的取值范围（用集合表示）.
16.（本小题满分15分）
已知函数在处取得极值.
求的值；
证明：当时，.
17.（本小题满分15分）
已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且.
求抛物线C的方程；
已知过点的直线交抛物线C于两点，的面积为，求以线段为直径的圆的方程.
18.（本小题满分17分）
已知数列满足，，.
记，证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
求数列的通项公式；
设，数列的前项和，求证：.
19.（本小题满分17分）
在人工智能领域，神经网络是让机器学会思考的核心技术，当AI处理图象、语言等复杂数据时，需要通过一种激活函数：双曲正切函数，对信息进行筛选和转换.定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数.
（1）若，求在上的单调区间；
（2）证明：；
（3）无穷数列，满足，问：是否存在实数，使得，若存在，求出，若不存在，说明理由.南充高中高 2023 级高二下学期期中考试
数学参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A C D B A C D D BC ACD ABD
1.【答案】A【详解】若 1，m，25成等比数列，则有m2 1 25，解得m 5；而m 5是m 5
的充分不必要条件，于是“m 5”是“1，m，25成等比数列”的充分不必要条件.故选：A.
2
2. 2【答案】C【详解】由 s(t) t ln 2t 1 得s '(t) 2t ，则汽车在第 1秒时的瞬时速
2t 1
2 8
度为 s '(1) 2 1 ，故选：C.
2 1 1 3
3.【答案】D
4.【答案】B

2an ,0
1
an
5.【答案】A【详解】数列 a a 2 3n 满足 n 1 ，a1 ，依次取n 1,2,3,4,...
2a 1, 1 5
代入计算
a 1
n 2 n
a 1 2 4 3得， 2 2a1 1 ，a3 2a2 5 5，
a4 2a3 5，
a5 2a4 1 a1，因此继续下去会循环，数列 a5 n
是周期为 4的周期数列，故选：A.
6.【答案】C
7【. 答案】D【详解】函数 f (x) 2xsin x 2cosx x2的导数为 f (x) 2x cos x 1 ，则 x>0时，f (x) 0，
f(x)递增;因为 f ( x) x sin x cos x x 2 xsin x cos x x2 f (x)，则 f(x)为偶函数，
则不等式 f lnx f ln
1
2 f 2 ,可化为 f lnx f 2 ,x 又因为 x>0时, f(x)递增，且 f(x)为偶函数，
1 2
所以 2 lnx 2，解得： 2 x e ，故选:De
8.【答案】D【详解】记 g(x) ln x b，h(x) x a，易知 g(x)，h(x)在相同区间内均单调
ln x b g(x) 0 g(x) 0
递增，由 f (x) 知， 或 ，在相同区间内均同时成立，故 g(x)，h(x)x a h(x) 0 h(x) 0
b b b有相同的零点，易知 a e ，所以 b 。记F (x)
x F (x) 1 x x ，则 x ，F (x)在 ,1 单a e e e
调递增；在 1, 单调递减，当 x 1时，F (x)取得最大值F (1) 1 。答案：D
e
9.【答案】BC【详解】由图可知，当 x 3, 2 2,4 时， f x 0，
— 1—
{#{QQABTQy14gAwghRACZ7qQ0lGCkiQkJGQJYomgVASqAQrQRFABAA=}#}
当 x 2,2 4,5 时， f x 0，故 f x 在 3, 2 、 2, 4 上单调递增，在 2,2 、 4,5 上单调
递减，在 x 2、 x 4处取得极大值，在 x 2取得极小值故 A错误，B正确，C正确，D错
误.故选：BC.
10.【答案】ACD【详解】对于 A而言： f (x) x3 3x2 x， f (x) 3x2 6x 1， f (x) 6x 6，
令 f (x) 6x 6 0得，x 1，则 f (1) 1 3 1 1，故拐点为(1,-1)，则 f (x) x3 3x2 x关于点(1,-1)
对称，A 3正确.对于 B而言，不妨设b c 0，此时 f x x ，拐点为 0,0 ，
f x 3x2，切点为 x0 , y0 ， y x30 0 ，故切线方程为 y 3x20 x，将 0,0 代入 y 3x20 x得， x0 0，
故过 f (x)的拐点有 1条切线，B错误；对于 C而言， f (x)有极值点，则 f (x) 3x2 2bx c有变
号零点，故 4b2 12c 0，故b2 3c 0，C正确；对于 D而言， f (x) x3 3x d，则有
f (x) 3x2 3 3 x 1 (x 1)，易知 f (x)在 , 1 , 1, 单调递增， 1，1 单调递减，若 f (x) 0有
f 1 2 d 0
三个不等实数根，则有 2 d 2，故选：ACD
f (1) 2 d 0
11.【答案】ABD【详解】对于 A而言：12 12 1 a，即a 1，A正确；对于 B而言：由
2 2
x2 y2 xy 1 x y知，x2 y2 1 xy ，整理得 x2 y2 2，即 x2 y2 2，故曲线C
2
上任意一点到原点的距离小于或等于 2，B正确。对于 C而言：由 x2 y2 2知， x的整数
考虑取值 1,0,1。当 x 1时， 1 2 y2 y 1，解得 y 1,0，故点 1,0 , 1,1 在曲线 C
上；当 x 0时，02 y2 0 1，解得 y 1,1，故点 0, 1 , 0,1 在曲线 C上；当 x 1时，
12 y2 y 1，解得 y 0,1，故点 1,1 , 1, 1 在曲线 C上；又02 02 1 1，所以点 0,0 在曲
线 C内，故曲线C内部（含边界）有 7个整点.对于 D而言：由 x2 y2 xy 1知，

2 2 x
y
cos x
3
sin cos
y 3y 2 x 3 1，记 ，则 ，横坐标 2 2 3y sin y
2 3
sin
2 3
x 3 sin cos 2 3 sin
2 3 2 3

3 3 3
， 。D正确。
3 3


12．【答案】 3【详解】因为等比数列 an 的前 n项和 Sn k 3n 3，所以 k ( 3) 0,所以 k 3 ,
— 2—
{#{QQABTQy14gAwghRACZ7qQ0lGCkiQkJGQJYomgVASqAQrQRFABAA=}#}
故答案为 3.
13 4．【答案】 【详解】若C的长半轴为3，即 a 3，又C PF 2a 2c c a5 1F2 ， ，
所以△ 1 2的周长小于12，不符题意。所以C的长半轴为 m，所以C PF F 2 m 2 m 9 18，1 2
2 2
m 4解得 25，所以椭圆C : x y 1 25 9 4，所以C的离心率为 .故答案为：
9 25 5 5 5
a ln x2 ln x 214【. 1答案】a 4【详解】由题知，对任意 x1, x2 0, ，且当 x1 x2时， 2 x2 x1 x1x2
2 2
恒成立，即 a ln x2 a ln x1 2 x2 x1 x 恒成立，1 x2
2
整理得 a ln x2 2x2 a ln x
2
1 2x1 x x 恒成立①，2 1
令 f (x) a ln x
2
2x ，由①式可得 f (x2 ) f (x1)，所以 f x 在 0, 上单调递减，x
f (x) 2x
2 ax 2
易知 0在 0, 上恒成立，故 0, 上2x22 ax 2 0恒成立，x
所以 a 2x
2
在 0, 上恒成立，
x
x 1 1
1
又 2 x 2，当且仅当 x ，即 x 1时取等号， a 4 .故答案为：a 4
x x x
15. 【详解】（1）由 an 1 an 1可知数列 an 是公差为 1的等差数列，因为 a27 a4a9，所以
a1 6
2 a1 3 a1 8 ，解得a1 12 ……………………6分
（2）由（1） an n 13，
因为 > +1，故 Sn 1 Sn 0，即an 1 0 ……………………9分
n 12 0,故 n 12,
n N *，故 n 1,2,3,4,5,6,7,8,910,11 . ……………………13分
其它解法同样给分。
x x
16. 1 ae ax bf (x) e a ax b a a b a b 1【详解】（ ） ，故 f (1) 2x x x 0且 f (1) ，e e e e e
解得 a 1,b 0，故 f (x)
x
。 ……………………6分
ex
f (x) 1 x x ，令 f (x) 0得 x 1，令 f (x) 0得 x 1，e
所以 f (x)
x x 1 1 x 在 处取得极值 ，满足要求。 ……………………8分e e
— 3—
{#{QQABTQy14gAwghRACZ7qQ0lGCkiQkJGQJYomgVASqAQrQRFABAA=}#}
x x 1 ex
（2 ）易知：当 x 0时， (x 1) f (x) x x (x 1) x x 。 …………10分e ex
令 g x x 1 ex， x 0，则 g x 1 ex 0 x，故 g x x 1 e 在 x 0, 上单调递减，则
g x g 0 0。 …………14分
x x 1 ex
所以 (x 1) f (x) x 0， (x 1) f (x) x，证毕. …………15分
ex
8
17. 【详解】（1）依题意，点P(x0 ,4)在抛物线上，16 2 px0， x0 ，且 PF 4p ，
8 p
所以 4p 2 ，
p 4.所以抛物线方程为 y2 8x . …………5分
（2）抛物线方程为 y2 8x，焦点坐标为 F 2,0 ，设直线 AB的方程为 x my 2，A x1, y1 ,B x2 , y2 ，
x my 2
由 y2 8x ，消去
y并化简整理得 y2 8my 16 0， 64m2 64 0，则 y1 y 8m，则

2
x1 x2 m y1 y2 4 8m2 4 2，所以 AB x1 x2 4 8m 8 .原点O到直线 x my 2 0的距离为
2 1 2
，所以 △ = × 8 + 8 ×
2 = 8 1 + 2 = 8 2
2 2 2 ，解得m 1。1 m 1+
…………9分
所以 y1 y2 8， x1 x2 m y1 y2 4 12， AB 16 …………11分
故：当m 1时，以线段 AB为直径的圆的方程为 (x 6)2 (y 4)2 64； …………13分
当m 1时，以线段 AB为直径的圆的方程为 (x 6)2 (y 4)2 64； …………15分
18. 【详解】（1） an 2 6an 1 9an， an 2 6an 1 3an 1 9an，即 an 2 3an 1 3 an 1 3an ，
又易知 a2 3a1 6， 所以数列{bn}为以6为首项，以 3为公比的等比数列，
故 = 6 3 1 = 2 3 , ∈ …………5分
a 3a 2 3n an 1 an
a
2 n （2）由（1）知， n 1 n ，所以 n n 1 ，所以数列 n 1 为等差数列，且公差为3 3 3
2 an a 1 2 n 1 2n 1 a 2n 1 3n 1 a 2n 1 3n 1所以 n 1 0 ，即 n ，所以 n 。 …………11分3 3
b an 2n 1
n
n 1 3 3n 1
（3）因为 n 3 (n 1)(n 2) (n 1)(n 2) n ， 2 n 1
— 4—
{#{QQABTQy14gAwghRACZ7qQ0lGCkiQkJGQJYomgVASqAQrQRFABAA=}#}
30 31 31 32 3n 1 3n n
所以Tn b1 b2 bn 1 3 ……1 ……3 15分n 1 1 n 1
2 3 3 4 n 1 n 2
3 3
2 n 2 2 n 2 2
1 3 .…………17分= 3n 1 1 3n 1
2 n 2 2
x x x x
19. 【详解】（1 e e e e）由题易知： f (x) sinh(x) x x，故 f (x) 1，
2 2
ex e x
而 1，当且仅当 x 0时取等，
2
ex e x
f (x) 1 0恒成立
2
故 f (x)在 0, 上单增。 .…………4分
x
2 tanh(x) e e
x e y e y
（ ）证明：
ex e x
， tanh(y)
e y e y
，
tanh(x) tanh(y) e
x e x e y e y 2ex y 2e x y
，
ex e x e y e y ex e x ey e y
ex y ex y e x y e x y x y x ytanh(x)tanh(y) x x y y ，1 tanh(x)tanh(y)
2e 2e
，
e e e e ex e x ey e y
tanh(x) tanh(y) 2ex y 2e x y
所以 tanh(x y)，
1 tanh(x)tanh(y) 2ex y 2e x y
故 tanh(x y)
tanh(x) tanh(y)

1 tanh(x)tanh(y)。 .…………10分
t t
（3）法一：由（2）知当 x y时， tanh(2x)
2 tanh(x)

1 tanh 2 (x) ,设 a1 tanh(t)
e e

et e t
2a 2a 2 tanh(t)
由 a nn 1 2 ,知a
1 tanh(2t)，
1 a 2 2n 1 a1 1 tanh
2 (t)
a 2a2 2 tanh(2t) tanh(223 t)1 a22 1 tanh
2 (2t)
a 2a3 2 tanh(2
2 t)
4
3
1 a2
2 2 tanh(2 t)，
3 1 tanh (2 t)
……，
2a 2 tanh(2n 2 t)
依此下去可得： an n 12 tanh(2
n 1t)（此处不证明不扣分）…13分
1 an 1 1 tanh
2 (2n 2 t)
— 5—
{#{QQABTQy14gAwghRACZ7qQ0lGCkiQkJGQJYomgVASqAQrQRFABAA=}#}
2n 1 t 2n 1 t 3 3
由双曲正切函数定义知an tanh(2
n 1t) e e n 1 n 1 ，由a2025 知， tanh(2
2024 t)
，
e2 t e 2 t 5 5

记 22024
e e 3
t 2024 1，则 ，解得 e
2，记
e e 5 e
2 t 2，解得 e2t 2 22023
。

1
2t 22023 3
a1 tanh(t)
e 1 2 1
1 ，故存在实数 a ae2t 1 1
，使得 2025 。 .…………17分
222023
5
1
2 tanh(x) et e t
法二：由（2）知当 x y时， tanh(2x) 1 ,设 a tanh 2 (x) 1 tanh(t) ，et e t
2a 2a 2 tanh(t)
由 a n 1n 1 2 ,知 a2 2 2 tanh(2t)，1 an 1 a1 1 tanh (t)
a 2a2 2 tanh(2t)3 tanh(2
2 t)
1 a22 1 tanh
2 (2t)
n 1
猜想 an tanh(2 t)。下面用数学归纳法证明
①当n 1，2，3时，命题显然成立；
② k 1假设当n k时，命题成立，即ak tanh(2 t)，
a 2a 2tanh(2
k 1
则n k 1时，由 k 1 k k1 a2 知，ak 1 tanh(2 t)
t)

，k 1 tanh2(2k 1t)
即当n k 1时，命题也成立。
n a tanh(2n 1由数学归纳法知，所以对任意的正整数 均有 n t)。.…………………13分
n 1 n 1
e2 t e 2 t 3 2024 3
由双曲正切函数定义知an tanh(2
n 1t)
2n
a
1 t 2n 1
，由
t 2025
知， tanh(2 t) ，
e e 5 5
e e 3 2024
记 22024 t ，则 2 t 1
e
，解得 e 2，记 e 2，解得
e 5 e2t 22
2023 。
1
e2t 1 222023a tanh(t) 1
3
1 a a 2t 1 ，故存在实数 1，使得 2025 。 .………………17分e 1 5
222023 1
— 6—
{#{QQABTQy14gAwghRACZ7qQ0lGCkiQkJGQJYomgVASqAQrQRFABAA=}#}

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