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荣昌中学高2026届高二下期半期教学检测
数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B B D A B B C D BCD ACD BCD
12．或
13．
14．
15．(1)
(2)，无极大值.
16．(1)9
(2)6
17．【详解】（1）从甲箱中任取2个小球的事件数为，
这2个小球同色的事件数为，
所以这2个小球同色的概率为．
（2）设事件A为“从乙箱中任取1个小球，取出的这个小球是白球”，
事件为“从甲箱中取出的2个小球都是白球”，
事件为“从甲箱中取出的2个小球为1个白球1个黑球”，
事件为“从甲箱中取出的2个小球都是黑球”，
则事件，，彼此互斥．
，，，
，，，
所以
，
所以取出的这个小球是白球的概率为．
18．
【详解】（1）当时，，
由，得；由，得.
所以在上单调递减，在上单调递增.
故的最小值为.
（2）
当时，由，得；由，得，
此时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，由，得；
由，得或，
此时，在上单调递减，在和上单调递增；
当时，对任意的恒成立，
此时，在上单调递增；
当时，由，得；
由，得或，
此时，在上单调递减，在和上单调递增.
综上可知，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增.
（3）当时，不等式恒成立，
整理可得，原题意等价于对任意恒成立，
令，
则，
令，则，
所以在区间上单调递增，
因为，，
所以在区间内存在唯一零点，
即，所以，
当时，，即；
当时，，即；
可知在区间上单调递减，在区间上单调递增；
所以，
因为，则，即，
且为正整数，则，所以整数的最大值是.
19.
【解析】
【分析】(1)①根据洛必达法则1，以此计算即可得解；②设，根据洛必达法则1求出，利用变换得解；
(2)方法1，，均有，同理可得，利用洛必达法则1可得，得证；
方法2，利用导数可得在上单调递增，又由，得证.
【1】
①根据洛必达法则1，，
②设，则，
设，，
∴
∴
【2】
∵，，
∴，，，
∴
∴，均有，
∴是区间上的2阶无穷递降函数.
方法一：
以上同理可得，
由①，得
∴，.
方法二：
设，，
则
设，，则
∴在上单调递增，又，
∴在上恒成立，
∴
∴在上单调递增，∵，
∴在上但成立，
∴，
∴在上单调递增，
：.f(x)在上单调递增，
又
∴，.
答案第1页，共2页荣昌中学高2026届高二下期半期教学检测
数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．如果函数在处的导数为1，那么（ ）
A．1 B． C．2 D．4
2．已知展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
3．从4名男生、3名女生中选2人分别担任班长和副班长，要求选出的2人中至少有一名男生，则不同的方法数为（ ）
A．18 B．24 C．30 D．36
4．函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
5．某教学楼从二楼到三楼的楼梯共级，上楼可以一步向上走一级，也可以一步向上走两级，某同学从二楼到三楼准备用步恰好走完，则该同学从二楼到三楼共有（ ）种不同上法．
A． B． C． D．
6．函数在处取得极大值，则常数（ ）
A．1 B． C．1或3 D．或
7．2002年第24届国际数学家大会在北京召开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形构成（如图）.现给图中5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有（ ）
A．120种 B．360种
C．420种 D．540种
8．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若有3个正确选项，每选对一个得2分．
9．已知事件A，B，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
10．有甲、乙、丙、丁、戊五名同学，下列说法正确的是（ ）
A．5名同学排成一排，甲乙相邻且丙丁不相邻，则不同的排法有24种
B．5名同学排成一排，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有54种
C．5名同学排成一排，甲乙丙按从左到右的顺序，则不同排法共有20种
D．若将5名同学分配到3个班进行宣讲，每班至少1名同学，且每名同学只去1个班，则有150种不同的分配方案
11．对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的极大值点为
B．有且仅有个零点
C．若在上的最大值为，则
D．
第II卷（非选择题92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若，则 .
13．若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为 .
14．已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数，且在点处的切线l与平行.
(1)求切线l的方程；
(2)求函数的极值.
16．（15分）在①各项系数之和为；②常数项为；③各项系数的绝对值之和为1536这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题.
在的展开式中，______.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
(1)求展开式中项的系数；
(2)求被除的余数.
17．（15分）甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球，甲箱中有5个白球和3个黑球，乙箱中有4个白球和3个黑球．
(1)若从甲箱中任取2个小球，求这2个小球同色的概率；
(2)若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个小球，求从乙箱中取出的球是白球的概率．
18．（17分）已知函数答案第1页，共2页
(1)当时，求函数在区间上的最小值；
(2)试讨论函数的单调性；
(3)当时，不等式恒成立，求正整数的最大值.
19.（17分）①在高等数学中，关于极限的计算，常会用到：
i)四则运算法则：如果，，则，，
若B≠0，则
ii)洛必达法则：若函数，的导函数分别为，，，，则；
②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对，均有成立，则称函数为区间(0，a)上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题；
(1)计算：①；
②；
(2)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；并证明：，.

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