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难题突破专题七　图形变换综合探究题
图形的轴对称、平移、旋转是近年中考的新题型、热点题型，它主要考查学生的观察与实验能力，探索与实践能力，因此在解题时应注意以下方面：
1．熟练掌握图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转的基本性质和基本方法．
2．结合具体问题大胆尝试，动手操作平移、旋转，探究发现其内在规律是解答操作题的基本方法．
3．注重图形与变换的创新题，弄清其本质，掌握其基本的解题方法，尤其是折叠与旋转等．
类型1　平移变换问题
例题：（2017湖南岳阳）问题背景：已知∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直线上（不与A，B重合），DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N，记△ADM的面积为S1，△BND的面积为S2．
（1）初步尝试：如图①，当△ABC是等边三角形，AB=6，∠EDF=∠A，且DE∥BC，AD=2时，则S1S2=　12　；
（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点D沿AB平移，使AD=4，再将∠EDF绕点D旋转至如图②所示位置，求S1S2的值；
（3）延伸拓展：当△ABC是等腰三角形时，设∠B=∠A=∠EDF=α．
（Ⅰ）如图③，当点D在线段AB上运动时，设AD=a，BD=b，求S1S2的表达式（结果用a，b和α的三角函数表示）．
（Ⅱ）如图④，当点D在BA的延长线上运动时，设AD=a，BD=b，直接写出S1S2的表达式，不必写出解答过程．
【分析】（1）首先证明△ADM，△BDN都是等边三角形，可得S1=22=，S2=（4）2=4，由此即可解决问题；
（2）如图2中，设AM=x，BN=y．首先证明△AMD∽△BDN，可得=，推出=，推出xy=8，由S1=ADAMsin60°=x，S2=DBsin60°=y，可得S1S2=xy=xy=12；
（3）Ⅰ如图3中，设AM=x，BN=y，同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab，由S1=ADAMsinα=axsinα，S2=DBBNsinα=bysinα，可得S1S2=（ab）2sin2α．
（Ⅱ）结论不变，证明方法类似；
【解答】解：（1）如图1中，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=CB=AC=6，∠A=∠B=60°，
∵DE∥BC，∠EDF=60°，
∴∠BND=∠EDF=60°，
∴∠BDN=∠ADM=60°，
∴△ADM，△BDN都是等边三角形，
∴S1=22=，S2=（4）2=4，
∴S1S2=12，
故答案为12．
（2）如图2中，设AM=x，BN=y．
∵∠MDB=∠MDN+∠NDB=∠A+∠AMD，∠MDN=∠A，
∴∠AMD=∠NDB，∵∠A=∠B，
∴△AMD∽△BDN，
∴=，
∴=，
∴xy=8，
∵S1=ADAMsin60°=x，S2=DBsin60°=y，
∴S1S2=xy=xy=12．
（3）Ⅰ如图3中，设AM=x，BN=y，
同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab，
∵S1=ADAMsinα=axsinα，S2=DBBNsinα=bysinα，
∴S1S2=（ab）2sin2α．
Ⅱ如图4中，设AM=x，BN=y，
同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab，
∵S1=ADAMsinα=axsinα，S2=DBBNsinα=bysinα，
∴S1S2=（ab）2sin2α．
【点评】本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的面积公式．锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
类型2　折叠问题
例题：（2017江苏徐州）如图，将边长为6的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠，展平后，得折痕AD，BE（如图①），点O为其交点．
（1）探求AO到OD的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，若P，N分别为BE，BC上的动点．
①当PN+PD的长度取得最小值时，求BP的长度；
②如图③，若点Q在线段BO上，BQ=1，则QN+NP+PD的最小值=　　．
【考点】RB：几何变换综合题．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，得到AO=OB，根据直角三角形的性质即可得到结论；
（2）如图②，作点D关于BE的对称点D′，过D′作D′N⊥BC于N交BE于P，则此时PN+PD的长度取得最小值，根据线段垂直平分线的想知道的BD=BD′，推出△BDD′是等边三角形，得到BN=BD=，于是得到结论；
（3）如图③，作Q关于BC的对称点Q′，作D关于BE的对称点D′，连接Q′D′，即为QN+NP+PD的最小值．根据轴对称的定义得到∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，得到△BQQ′为等边三角形，△BDD′为等边三角形，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）AO=2OD，
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，
∴AO=OB，
∵BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴∠BDO=90°，
∴OB=2OD，
∴OA=2OD；
（2）如图②，作点D关于BE的对称点D′，过D′作D′N⊥BC于N交BE于P，
则此时PN+PD的长度取得最小值，
∵BE垂直平分DD′，
∴BD=BD′，
∵∠ABC=60°，
∴△BDD′是等边三角形，
∴BN=BD=，
∵∠PBN=30°，
∴=，
∴PB=；
（3）如图③，作Q关于BC的对称点Q′，作D关于BE的对称点D′，
连接Q′D′，即为QN+NP+PD的最小值．
根据轴对称的定义可知：∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，
∴△BQQ′为等边三角形，△BDD′为等边三角形，
∴∠D′BQ′=90°，
∴在Rt△D′BQ′中，
D′Q′==．
∴QN+NP+PD的最小值=，
故答案为：．
同步训练：
（2017.江苏宿迁）如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB=1，BC=，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE翻折，得到多边形AB′C′E，点B、C的对应点分别为点B′、C′．
（1）当B′C′恰好经过点D时（如图1），求线段CE的长；
（2）若B′C′分别交边AD，CD于点F，G，且∠DAE=22.5°（如图2），求△DFG的面积；
（3）在点E从点C移动到点D的过程中，求点C′运动的路径长．
【考点】LO：四边形综合题．
【分析】（1）如图1中，设CE=EC′=x，则DE=1﹣x，由△ADB′′∽△DEC，可得=，列出方程即可解决问题；
（2）如图2中，首先证明△ADB′，△DFG都是等腰直角三角形，求出DF即可解决问题；
（3）如图3中，点C的运动路径的长为的长，求出圆心角、半径即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，设CE=EC′=x，则DE=1﹣x，
∵∠ADB′+∠EDC′=90°，∠B′AD+∠ADB′=90°，
∴∠B′AD=∠EDC′，
∵∠B′=∠C′=90°，AB′=AB=1，AD=，
∴DB′==，
∴△ADB′′∽△DEC，
∴=，
∴=，
∴x=﹣2．
∴CE=﹣2．
（2）如图2中，
∵∠BAD=∠B′=∠D=90°，∠DAE=22.5°，
∴∠EAB=∠EAB′=67.5°，
∴∠B′AF=∠B′FA=45°，
∴∠DFG=∠AFB′=∠DGF=45°，
∴DF=FG，
在Rt△AB′F中，AB′=FB′=1，
∴AF=AB′=，
∴DF=DG=﹣，
∴S△DFG=（﹣）2=﹣．
（3）如图3中，点C的运动路径的长为的长，
在Rt△ADC中，∵tan∠DAC==，
∴∠DAC=30°，AC=2CD=2，
∵∠C′AD=∠DAC=30°，
∴∠CAC′=60°，
∴的长==π．
类型3　旋转变换问题
例题：（2017内蒙古赤峰）△OPA和△OQB分别是以OP、OQ为直角边的等腰直角三角形，点C、D、E分别是OA、OB、AB的中点．
（1）当∠AOB=90°时如图1，连接PE、QE，直接写出EP与EQ的大小关系；
（2）将△OQB绕点O逆时针方向旋转，当∠AOB是锐角时如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明．
（3）仍将△OQB绕点O旋转，当∠AOB为钝角时，延长PC、QD交于点G，使△ABG为等边三角形如图3，求∠AOB的度数．
【考点】RB：几何变换综合题．
【分析】（1）先判断出点P，O，Q在同一条直线上，再判断出△APE≌△BFE，最后用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；
（2）先判断出CE=DQ，PC=DE，进而判断出△EPC≌△QED即可得出结论；
（3）先判断出CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，进而得出∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，延长PE，QB交于点F，
∵△APO和△BQO是等腰直角三角形，
∴∠APO=∠BQO=90°，∠AOP=∠BOQ=45°，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOP+∠AOB+∠BOQ=180°，
∴点P，O，Q在同一条直线上，
∵∠APO=∠BQO=90°，
∴AP∥BQ，
∴∠PAE=∠FBE，
∵点E是AB中点，
∴AE=BE，
∵∠AEP=∠BEF，
∴△APE≌△BFE，
∴PE=EF，
∴点E是Rt△PQF的斜边PF的中点，
∴EP=EQ；
（2）成立，
证明：∵点C，E分别是OA，AB的中点，
∴CE∥OB，CE=OB，
∴∠DOC=∠ECA，
∵点D是Rt△OQB斜边中点，
∴DQ=OB，
∴CE=DQ，
同理：PC=DE，∠DOC=∠BDE，
∴∠ECA=∠BDE，
∵∠PCE=∠EDQ，
∴△EPC≌△QED，
∴EP=EQ；
（3）如图2，连接GO，∵点D，C分别是OB，OA的中点，△APO与△QBO都是等腰直角三角形，
∴CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，
∴GB=GO=GA，
∴∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO，
设∠GOB=x，∠GOA=y，
∴x+x+y+y+60°=360°
∴x+y=150°，
∴∠AOB=150°．
同步训练：（2017黑龙江佳木斯）已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．
（1）如图1所示，易证：OH=AD且OH⊥AD（不需证明）
（2）将△COD绕点O旋转到图2，图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．
【考点】R2：旋转的性质；KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．
【分析】（1）只要证明△AOD≌△BOC，即可解决问题；
（2）①如图2中，结论：OH=AD，OH⊥AD．延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，由△BEO≌△ODA即可解决问题；
②如图3中，结论不变．延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，延长EO交AD于G．由△BEO≌△ODA即可解决问题；
【解答】（1）证明：如图1中，
∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，
∴OC=OD，OA=OB，
∵在△AOD与△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴∠ADO=∠BCO，∠OAD=∠OBC，
∵点H为线段BC的中点，
∴OH=HB，
∴∠OBH=∠HOB=∠OAD，
又因为∠OAD+∠ADO=90°，
所以∠ADO+∠BOH=90°，
所以OH⊥AD
（2）解：①结论：OH=AD，OH⊥AD，如图2中，延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，
易证△BEO≌△ODA
∴OE=AD
∴OH=OE=AD
由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO
∴∠DAO+∠AOH=∠EOB+∠AOH=90°，
∴OH⊥AD．
②如图3中，结论不变．延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，延长EO交AD于G．
易证△BEO≌△ODA
∴OE=AD
∴OH=OE=AD
由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO
∴∠DAO+∠AOF=∠EOB+∠AOG=90°，
∴∠AGO=90°
∴OH⊥AD．
专 题 训 练
1. （2017贵州安顺）如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C′的位置，若BC=12cm，则顶点A从开始到结束所经过的路径长为　16π　cm．
【考点】O4：轨迹；R2：旋转的性质．
【分析】由题意知∠ACA′=∠BAC+∠ABC=120°、AC=2BC=24cm，根据弧长公式可求得点A所经过的路径长，即以点C为圆心、CA为半径的圆中圆心角为120°所对弧长．
【解答】解：∵∠BAC=30°，∠ABC=90°，且BC=12，
∴∠ACA′=∠BAC+∠ABC=120°，AC=2BC=24cm，
由题意知点A所经过的路径是以点C为圆心、CA为半径的圆中圆心角为120°所对弧长，
∴其路径长为=16π（cm），
故答案为：16π．
2. （2017齐齐哈尔）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣5，2），C（﹣2，1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称图形△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；
（3）求（2）中线段OA扫过的图形面积．
【考点】R8：作图﹣旋转变换；MO：扇形面积的计算；P7：作图﹣轴对称变换．
【分析】（1）分别作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；
（2）根据图形旋转的性质画出旋转后的图形△A2B2C2即可；
（3）利用扇形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）∵OA==5，
∴线段OA扫过的图形面积==π．
3. （2017广西）如图，点P在等边△ABC的内部，且PC=6，PA=8，PB=10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，连接AP'，则sin∠PAP'的值为　　．
【考点】R2：旋转的性质；KK：等边三角形的性质；T7：解直角三角形．
【分析】连接PP′，如图，先利用旋转的性质得CP=CP′=6，∠PCP′=60°，则可判定△CPP′为等边三角形得到PP′=PC=6，再证明△PCB≌△P′CA得到PB=P′A=10，接着利用勾股定理的逆定理证明△APP′为直角三角形，∠APP′=90°，然后根据正弦的定义求解．
【解答】解：连接PP′，如图，
∵线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，
∴CP=CP′=6，∠PCP′=60°，
∴△CPP′为等边三角形，
∴PP′=PC=6，
∵△ABC为等边三角形，
∴CB=CA，∠ACB=60°，
∴∠PCB=∠P′CA，
在△PCB和△P′CA中
，
∴△PCB≌△P′CA，
∴PB=P′A=10，
∵62+82=102，
∴PP′2+AP2=P′A2，
∴△APP′为直角三角形，∠APP′=90°，
∴sin∠PAP′===．
故答案为．
4. （2017张家界）如图，在正方形ABCD中，AD=2，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为　6﹣10　．
【考点】R2：旋转的性质；LE：正方形的性质．
【分析】根据旋转的想知道的PB=BC=AB，∠PBC=30°，推出△ABP是等边三角形，得到∠BAP=60°，AP=AB=2，解直角三角形得到CE=2﹣2，PE=4﹣2，过P作PF⊥CD于F，于是得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∵把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，
∴PB=BC=AB，∠PBC=30°，
∴∠ABP=60°，
∴△ABP是等边三角形，
∴∠BAP=60°，AP=AB=2，
∵AD=2，
∴AE=4，DE=2，
∴CE=2﹣2，PE=4﹣2，
过P作PF⊥CD于F，
∴PF=PE=2﹣3，
∴三角形PCE的面积=CE PF=×（2﹣2）×（4﹣2）=6﹣10，
故答案为：6﹣10．
5. （2017甘肃天水）△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；
（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形；R2：旋转的性质．
【分析】（1）由△ABC是等腰直角三角形，易得∠B=∠C=45°，AB=AC，又由AP=AQ，E是BC的中点，利用SAS，可证得：△BPE≌△CQE；
（2）由△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，易得∠B=∠C=∠DEF=45°，然后利用三角形的外角的性质，即可得∠BEP=∠EQC，则可证得：△BPE∽△CEQ；根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长，即可得BC的长，
【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°，AB=AC，
∵AP=AQ，
∴BP=CQ，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
在△BPE和△CQE中，
∵，
∴△BPE≌△CQE（SAS）；
（2）解：连接PQ，
∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=∠DEF=45°，
∵∠BEQ=∠EQC+∠C，
即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，
∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，
∴∠BEP=∠EQC，
∴△BPE∽△CEQ，
∴=，
∵BP=2，CQ=9，BE=CE，
∴BE2=18，
∴BE=CE=3，
∴BC=6．
6. （2017山东临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？
经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE=CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD．
小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图4，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．
（2）小华提出：如图5，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．
【分析】（1）先判断出∠ADE=∠ABC，即可得出△ACE是等腰三角形，再得出∠AEC=45°，即可得出等腰直角三角形，即可；（判断∠ADE=∠ABC也可以先判断出点A，B，C，D四点共圆）
（2）先判断出∠ADE=∠ABC，即可得出△ACE是等腰三角形，再用三角函数即可得出结论．
【解答】解：（1）BC+CD=AC；
理由：如图1，
延长CD至E，使DE=BC，
∵∠ABD=∠ADB=45°，
∴AB=AD，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=90°，
∵∠ACB=∠ACD=45°，
∴∠ACB+∠ACD=45°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ADC+∠ADE=180°，
∴∠ABC=∠ADE，
在△ABC和△ADE中，，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠ACB=∠AED=45°，AC=AE，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE=AC，
∵CE=CE+DE=CD+BC，
∴BC+CD=AC；
（2）BC+CD=2AC cosα．理由：如图2，
延长CD至E，使DE=BC，
∵∠ABD=∠ADB=α，
∴AB=AD，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=180°﹣2α，
∵∠ACB=∠ACD=α，
∴∠ACB+∠ACD=2α，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ADC+∠ADE=180°，
∴∠ABC=∠ADE，
在△ABC和△ADE中，，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠ACB=∠AED=α，AC=AE，
∴∠AEC=α，
过点A作AF⊥CE于F，
∴CE=2CF，在Rt△ACF中，∠ACD=α，CF=AC cos∠ACD=AC cosα，
∴CE=2CF=2AC cosα，
∵CE=CD+DE=CD+BC，
∴BC+CD=2AC cosα．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定，四边形的内角和，等腰三角形的判定和性质，解本题的关键是构造全等三角形，是一道基础题目．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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难题突破专题七　图形变换综合探究题
图形的轴对称、平移、旋转是近年中考的新题型、热点题型，它主要考查学生的观察与实验能力，探索与实践能力，因此在解题时应注意以下方面：
1．熟练掌握图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转的基本性质和基本方法．
2．结合具体问题大胆尝试，动手操作平移、旋转，探究发现其内在规律是解答操作题的基本方法．
3．注重图形与变换的创新题，弄清其本质，掌握其基本的解题方法，尤其是折叠与旋转等．
类型1　平移变换问题
例题：（2024 泸州）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移a（a＞0）个单位，再绕原点按逆时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的ρ（a，θ）变换．如：点A（2，0）按照ρ（1，90°）变换后得到点A'的坐标为（﹣1，2），则点B（，﹣1）按照ρ（2，105°）变换后得到点B'的坐标为 　 　．
同步训练：
（2024 威海）定义新运算：
①在平面直角坐标系中，{a，b}表示动点从原点出发，沿着x轴正方向（a≥0）或负方向（a＜0）平移|a|个单位长度，再沿着y轴正方向（b≥0）或负方向（b＜0）平移|b|个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着x轴负方向平移2个单位长度，再沿着y轴正方向平移1个单位长度，记作（﹣2，1）．
②加法运算法则：{a，b}+{c，d}＝{a+c，b+d}，其中a，b，c，d为实数．
若{3，5}+{m，n}＝{﹣1，2}，则下列结论正确的是（　　）
A．m＝2，n＝7 B．m＝﹣4，n＝﹣3 C．m＝4，n＝3 D．m＝﹣4，n＝3
类型2　折叠问题
例题：（2024 湖北）在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G，PG交BC于点H．
（1）如图1，求证：△DEP∽△CPH；
（2）如图2，当P为CD的中点，AB＝2，AD＝3时，求GH的长；
（3）如图3，连接BG，当P，H分别为CD，BC的中点时，探究BG与AB的数量关系，并说明理由．
同步训练：
（2024 江西）综合与实践
如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB上的动点（点D与点A不重合），连接CD，以CD为直角边在CD的右侧构造Rt△CDE，∠DCE＝90°，连接BE，＝m．
特例感知
（1）如图1，当m＝1时，BE与AD之间的位置关系是 　 ，数量关系是 　 　．
类比迁移
（2）如图2，当m≠1时，猜想BE与AD之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．
拓展应用
（3）在（1）的条件下，点F与点C关于DE对称，连接DF，EF，BF，如图3．已知AC＝6，设AD＝x，四边形CDFE的面积为y．
①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；
②当BF＝2时，请直接写出AD的长度．
类型3　旋转变换问题
例题：（2024 广西）如图1，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6．AC的垂直平分线分别交AC，AB于点M，O，CO平分∠ACB．
（1）求证：△ABC∽△CBO；
（2）如图2，将△AOC绕点O逆时针旋转得到△A'OC'，旋转角为α（0°＜α＜360°）．连接A′M，C′M．
①求△A'MC'面积的最大值及此时旋转角α的度数，并说明理由；
②当△A'MC'是直角三角形时，请直接写出旋转角α的度数．
同步训练：
（2024 辽宁）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝α（0°＜α＜45°）．将线段CA绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，过点D作DE⊥BC，垂足为E．
（1）如图1，求证：△ABC≌△CED．
（2）如图2，∠ACD的平分线与AB的延长线相交于点F，连接DF，DF的延长线与CB的延长线相交于点P，猜想PC与PD的数量关系，并加以证明．
（3）如图3，在（2）的条件下，将△BFP沿AF折叠，在α变化过程中，当点P落在点E的位置时，连接EF．
①求证：点F是PD的中点；
②若CD＝20，求△CEF的面积．
专 题 训 练
1. （2024 济宁）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（3，4），C（1，4）．
（1）将△ABC向下平移2个单位长度得△A1B1C1．画出平移后的图形，并直接写出点B1的坐标；
（2）将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°得△A2B1C2．画出旋转后的图形，并求点C1运动到点C2所经过的路径长．
2. （2024 内蒙古）如图，点A（0，﹣2），B（1，0），将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC＝90°，BC＝2AB，则点D的坐标是 　 　．
3. （2024 安徽）如图，现有正方形纸片ABCD，点E，F分别在边AB，BC上．沿垂直于EF的直线折叠得到折痕MN，点B，C分别落在正方形所在平面内的点B′，C′处，然后还原．
（1）若点N在边CD上，且∠BEF＝α，则∠C′NM＝　90°﹣α　（用含α的式子表示）；
（2）再沿垂直于MN的直线折叠得到折痕GH，点G，H分别在边CD，AD上，点D落在正方形所在平面内的点D′处，然后还原．若点D′在线段B′C′上，且四边形EFGH是正方形，AE＝4，EB＝8，MN与GH的交点为P，则PH的长为 　　．
4. （2024 南充）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，∠ABE＝30°，将△ABE沿BE折叠得△FBE，连接CF，DF，若CF平分∠BCD，AB＝2，则DF的长为 　　．
5. （2024 成都）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片ABC和ADE中，AB＝AD＝3，BC＝DE＝4，∠ABC＝∠ADE＝90°．
【初步感知】
（1）如图1，连接BD，CE，在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究的值．
【深入探究】
（2）如图2，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线BM的延长线上时，延长ED交AC于点F，求CF的长．
【拓展延伸】
（3）在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究C，D，E三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形CDE的面积；若不能，请说明理由．
6. （2024 牡丹江）数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D在直线BC上，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，过点E作EF∥BC，交直线AB于点F．
（1）当点D在线段BC上时，如图①，求证：BD+EF＝AB；
分析问题：某同学在思考这道题时，想利用AD＝AE构造全等三角形，便尝试着在AB上截取AM＝EF，连接DM，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：
推理证明：写出图①的证明过程：
探究问题：
（2）当点D在线段BC的延长线上时，如图②：当点D在线段CB的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段BD，EF，AB之间的数量关系；
拓展思考：
（3）在（1）（2）的条件下，若AC＝6，CD＝2BD，则EF＝　 　．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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