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难题突破专题一　规律归纳探索问题
规律探索型题是根据已知条件或题干所提供的若干特例，通过观察、类比、归纳，发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题。这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖新。其目的是考查学生收集、分析数据，处理信息的能力。所以规律探索型问题备受命题专家的青睐，逐渐成为中考数学的热门考题。
类型1　数字规律
例题：（2024 碑林区校级自主招生）如果是一个自然数，那么的“双阶乘”记为，其表示从2到的所有偶数的积，如果，那么的末尾数字为 　　．
【分析】根据“双阶乘”的定义可发现从开始，后面的都需要，所以末尾数字也都为0，因此只需要计算之前即可得解．
【解答】解：，
当计算时，
，
从开始，后面的都需要，所以末尾数字也都为0，
因此只需要计算之前，
，
只需要末尾数字所以算式的末尾数字为，
所以末尾数字为4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了尾数特征，熟练掌握数的四则运算的计算和应用是解题关键．
同步练习：
（2024秋 南安市校级月考）发现：，，，，，，，，依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是　　
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】观察时注意4的指数的奇偶性与个位数字的关系，利用平方差公式进行计算，然后利用观察的规律解答．
【解答】解：，，，，，，，，
观察上面运算结果发现：当4的指数是奇数时，运算结果的个位数字是4；当4的指数是偶数时，运算结果的个位数字是6；
．
由规律可得的个位数字是6，
的结果的个位数字是6．
故选：．
【点评】本题考查了平方差公式和尾数特征．解题的关键是熟练掌握平方差公式的运用．
解题方法点析
解决数字规律问题的突破口在于寻找隐含在图形或式子中的规律，数的规律主要有倍数关系、等差关系、等比关系等．
类型2　数式规律
例题：（2024春 项城市校级期中）已知：；
；
；
；
（1）当时，　 　；
（2）试求的值；
（3）的值的个位数是 　　．
【分析】（1）把直接代入进行计算即可；
（2）根据前几个变化规律，将时的等式恒等变形即可得出答案；
（3）找到变化规律，再恒等变形，依次分析2的次方的个位数字变化规律即可求解．
【解答】解：（1）当时，，
故答案为：255；
（2）根据题意，，
当时，，
；
（3）由题意知，
原式，
，，，，，，，
且，
的个位数与的个位数相同，即为2，
的个位数为1，
即的值的个位数是1，
故答案为：1．
【点评】本题考查规律型：数字的变化类、尾数特征，多项式乘多项式，根据已知等式，正确归纳出一般变化规律是解答的关键．
同步练习：（2024 盘龙区校级模拟）按一定规律排列的式子：，，，，，第个式子是　　
A． B．
C． D．
【分析】观察单项式的系数和次数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，
且各项系数的绝对值的分子都是1，分母为从1开始的连续奇数，
所以第个式子的系数为：；
观察单项式列中各单项式的次数可知，
，
，
，
，
所以第个式子的次数为：，
所以第个式子可表示为：．
故选：．
【点评】本题考查代数式变化的规律，能根据所给单项式列发现其系数和次数的变化规律是解题的关键．
解题方法点析
数式规律要关注中学阶段所学的一些重要公式，此类问题主要考查学生的观察、分析、逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规律是快速解题的关键．
类型3　图形规律
例题：（2024 济宁）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（　　）
A．90 B．91 C．92 D．93
【分析】根据所给图形，依次求出图形中正方形的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第一幅图中正方形的个数为：1＝12；
第二幅图中正方形的个数为：5＝12+22；
第三幅图中正方形的个数为：14＝12+22+32；
第四幅图中正方形的个数为：30＝12+22+32+42；
…，
所以第n幅图中正方形的个数为：12+22+32+…+n2，
当n＝6时，
12+22+32+…+62＝91（个），
即第六幅图中正方形的个数为91个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现正方形个数变化的规律是解题的关键．
同步练习：
（2024 重庆）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（　　）
A．20 B．22 C．24 D．26
【分析】根据所给图形，依次求出模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：4＝1×2+2；
第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：6＝2×2+2；
第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：8＝3×2+2；
第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：10＝4×2+2；
…，
所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为（2n+2）个，
当n＝10时，
2n+2＝22（个），
即第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为22个．
故选：B．
【点评】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现氢原子的个数依次增加2是解题的关键．
专 题 训 练
1. （2024 赤峰一模）观察下列等式：，，，，，，，根据其中的规律可得的结果的个位数字是　　
A．0 B．1 C．7 D．8
【分析】由题意知，当为非负整数时，的末位数字依次为1、7、9、3且每4个为1个循环，由，，求解作答即可．
【解答】解：由题意知，当为非负整数时，的末位数字依次为1、7、9、3且每4个为1个循环，
，，
的结果的个位数字为1．
故选：．
【点评】本题考查了数字的规律探究，掌握题意寻找规律是解题的关键．
2. （2024 青山湖区校级三模）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示．即：，，，，，，请你推算的个位数字是 　　．
【分析】通过观察可知2的乘方的尾数每4个循环一次，则与的尾数相同，即可求解．
【解答】解：，，，，，，
的乘方的尾数每4个循环一次，
，
与的尾数相同为6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，能够根据所给式子，探索出尾数的规律是解题的关键．
3. （2024 娄底模拟）杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，它揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数有关规律，如下：
则展开式中所有项的系数和是　　
A．2048 B．1024 C．0 D．
【分析】根据已知算式得出规律，再求出即可．
【解答】解：当，时，，
故选：．
【点评】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键．
4. （2024 永安市二模）观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：　 　；
（2）写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明．
【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可；
（2）分析所给的等式，不难得出第个等式为：，通过对等式的左边的运算即可证明．
【解答】解：（1）由题给出的等式可得第5个等式为：，
故答案为：；
（2）猜想：第个等式为：，
证明：等式左边右边，
故猜想成立．
第个等式为：．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，列代数式，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
5. （2024 重庆）已知整式M：anxn+an﹣1xn﹣1+ +a1x+a0，其中n，an﹣1，…，a0为自然数，an为正整数，且n+an+an﹣1+ +a1+a0＝5．下列说法：
①满足条件的整式M中有5个单项式；
②不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且仅有3个；
③满足条件的整式M共有16个．
其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据题意，对n进行分类讨论即可．
【解答】解：∵n，an﹣1，…，a0为自然数，an为正整数，且n+an+an﹣1+ +a1+a0＝5，
∴0≤n≤4，
当n＝4时，则4+a4+a3+a2+a1+a0＝5，
∴a4＝1，a3＝a2＝a1＝a0＝0，
满足条件的整式有x4，
当n＝3时，则3+a3+a2+a1+a0＝5，
∴（a3，a2，a1，a0）＝（2，0，0，0），（1，1，0，0），（1，0，1，0），（1，0，0，1），
满足条件的整式有：2x3，x3+x2，x3+x，x3+1，
当n＝2时，则2+a2+a1+a0＝5，
∴（a2，a1，a0）＝（3，0，0），（2，1，0），（2，0，1），（1，2，0），（1，0，2），（1，1，1），
满足条件的整式有：3x2，2x2+x，2x2+1，x2+2x，x2+2，x2+x+1；
当n＝1时，则1+a1+a0＝5，
∴（a1，a0）＝（4，0），（3，1），（1，3），（2，2），
满足条件的整式有：4x，3x+1，x+3，2x+2；
当n＝0时，0+a0＝5，
满足条件的整式有：5；
∴满足条件的单项式有：x4，2x3，3x2，4x，5，故①符合题意；
不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且只有3个，故②符合题意；
满足条件的整式M共有1+4+6+4+1＝16个，故③符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是整式的规律探究，单项式，分类讨论思想的应用，由条件可得0≤n≤4，再分类讨论得到答案即可．
6. （2024 重庆）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（　　）
A．20 B．21 C．23 D．26
【分析】根据所给图形，依次求出菱形的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第①个图案中，菱形的个数为：2＝1×3﹣1；
第②个图案中，菱形的个数为：5＝2×3﹣1；
第③个图案中，菱形的个数为：8＝3×3﹣1；
第④个图案中，菱形的个数为：11＝4×3﹣1；
…，
所以第n个图案中，菱形的个数为（3n﹣1）个，
当n＝8时，
3n﹣1＝23（个），
即第⑧个图案中，菱形的个数为23个．
故选：C．
【点评】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现菱形的个数依次增加3是解题的关键．
7. （2024 重庆）已知整式M：anxn+an﹣1xn﹣1+ +a1x+a0，其中n，an﹣1，…，a0为自然数，an为正整数，且n+an+an﹣1+ +a1+a0＝5．下列说法：
①满足条件的整式M中有5个单项式；
②不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且只有3个；
③满足条件的整式M共有16个．
其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据题意，对n进行分类讨论即可．
【解答】解：∵n，an﹣1，…a0为自然数，an为正整数，且n+an+an﹣1+ +a1+a0＝5，
∴0≤n≤4，
当n＝4时，则4+a4+a3+a2+a1+a0＝5，
∴a4＝1，a3＝a2＝a1＝a0＝0，
满足条件的整式有x4，
当n＝3时，则3+a3+a2+a1+a0＝5，
∴（a3，a2，a1，a0）＝（2，0，0，0），（1，1，0，0），（1，0，1，0），（1，0，0，1），
满足条件的整式有：2x3，x3+x2，x3+x，x3+1，
当n＝2时，则2+a2+a1+a0＝5，
∴（a2，a1，a0）＝（3，0，0），（2，1，0），（2，0，1），（1，2，0），（1，0，2），（1，1，1），
满足条件的整式有：3x2，2x2+x，2x2+1，x2+2x，x2+2，x2+x+1；
当n＝1时，则1+a1+a0＝5，
∴（a1，a0）＝（4，0），（3，1），（1，3），（2，2），
满足条件的整式有：4x，3x+1，x+3，2x+2；
当n＝0时，0+a0＝5，
满足条件的整式有：5；
∴满足条件的单项式有：x4，2x3，3x2，4x，5，故①符合题意；
不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且只有3个，故②符合题意；
满足条件的整式M共有1+4+6+4+1＝16个，故③符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得0≤n≤4，再分类讨论得到答案即可．
8. （2024 泰安）如图所示，是用图形“〇”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．
按照此规律继续摆下去，第 　12　个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍．
【分析】根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：1＝1，“●”的个数为：4＝1×2+2；
第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：3＝1+2，“●”的个数为：6＝2×2+2；
第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：6＝1+2+3，“●”的个数为：8＝3×2+2；
第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：10＝1+2+3+4，“●”的个数为：10＝4×2+2；
…，
所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：1+2+3+…+n＝，“●”的个数为：2n+2；
由题知，
，
解得n1＝﹣1，n2＝12，
又因为n为正整数，
所以n＝12，
即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍．
故答案为：12．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现“〇”和“●”的个数变化规律是解题的关键．
9. ．（2024 眉山）已知a1＝x+1（x≠0且x≠﹣1），a2＝，a3＝，…，an＝，则a2024的值为 　﹣　．
【分析】先算出前几个式子的结果，然后根据求出的结果得出每三个数就循环一次，再根据得出的规律得出答案即可．
【解答】解：∵a1＝x+1，
∴a2＝＝＝﹣，
a3＝＝＝，
∴a4＝＝＝＝x+1，
∴a5＝﹣，
a6＝，
…，
由上可得，每三个为一个循环，
∵2024÷3＝674 2，
∴a2024＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了分式的混合运算，数字的变化规律等知识点，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．
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规律探索型题是根据已知条件或题干所提供的若干特例，通过观察、类比、归纳，发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题。这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖新。其目的是考查学生收集、分析数据，处理信息的能力。所以规律探索型问题备受命题专家的青睐，逐渐成为中考数学的热门考题。
类型1　数字规律
例题：（2024 碑林区校级自主招生）如果是一个自然数，那么的“双阶乘”记为，其表示从2到的所有偶数的积，如果，那么的末尾数字为 　　．
同步练习：
（2024秋 南安市校级月考）发现：，，，，，，，，依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是　　
A．2 B．4 C．6 D．8
类型2　数式规律
例题：（2024春 项城市校级期中）已知：；
；
；
；
（1）当时，　 　；
（2）试求的值；
（3）的值的个位数是 　　．
同步练习：（2024 盘龙区校级模拟）按一定规律排列的式子：，，，，，第个式子是　　
A． B．
C． D．
类型3　图形规律
例题：（2024 济宁）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（　　）
A．90 B．91 C．92 D．93
同步练习：
（2024 重庆）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（　　）
A．20 B．22 C．24 D．26
专 题 训 练
1. （2024 赤峰一模）观察下列等式：，，，，，，，根据其中的规律可得的结果的个位数字是　　
A．0 B．1 C．7 D．8
2. （2024 青山湖区校级三模）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示．即：，，，，，，请你推算的个位数字是 　　．
3. （2024 娄底模拟）杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，它揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数有关规律，如下：
则展开式中所有项的系数和是　　
A．2048 B．1024 C．0 D．
4. （2024 永安市二模）观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：　 　；
（2）写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明．
5. （2024 重庆）已知整式M：anxn+an﹣1xn﹣1+ +a1x+a0，其中n，an﹣1，…，a0为自然数，an为正整数，且n+an+an﹣1+ +a1+a0＝5．下列说法：
①满足条件的整式M中有5个单项式；
②不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且仅有3个；
③满足条件的整式M共有16个．
其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
6. （2024 重庆）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（　　）
A．20 B．21 C．23 D．26
7. （2024 重庆）已知整式M：anxn+an﹣1xn﹣1+ +a1x+a0，其中n，an﹣1，…，a0为自然数，an为正整数，且n+an+an﹣1+ +a1+a0＝5．下列说法：
①满足条件的整式M中有5个单项式；
②不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且只有3个；
③满足条件的整式M共有16个．
其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
8. （2024 泰安）如图所示，是用图形“〇”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．
按照此规律继续摆下去，第 　个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍．
9. ．（2024 眉山）已知a1＝x+1（x≠0且x≠﹣1），a2＝，a3＝，…，an＝，则a2024的值为 　 　．
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