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第六章 二元一次方程组
6.1 二元一次方程组
导入新课
今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？
这是我国古代数学著作《孙子算经》中记载的数学名题，它曾在好几个世纪里引起人们的兴趣，这个问题也一定会使在座的各位同学感兴趣. 你能用所学知识来解答这个问题吗？
方法一：算术方法.
把兔子都看成鸡，则多出(只)脚，每只兔子比鸡多出两只脚，由此可先求出兔子有 (只)，进而求出鸡有 (只).
方法二：列一元一次方程求解.
设有只鸡，则有只兔子. 根据题意，得，解这个一元一次方程，得. 从而得.
鸡有 23 只，兔子有 12 只.
这个问题中有几个未知数？
两个.
如果设两个未知数，能找到什么等量关系，列出方程？
设鸡有只，兔子有只. 根据“上有三十五头” 可得方程，根据“下有九十四足”可得方程.
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任务一：探究二元一次方程的概念
用载质量不同的两种货车来运货. 已知 4 辆轻型货车和 5 辆中型货车一次最多能运货 52 t，10 辆轻型货车和 3 辆中型货车一次最多能运货 54 t. 那么，这两种货车每辆的载质量分别是多少吨？
列一元一次方程：
设每辆轻型货车的载质量为，则每辆中型货车的载质量为.
根据题意，得. 解这个一元一次方程，得. 从而，得.
答：每辆轻型货车的载质量为t，每辆中型货车的载质量为.
列含有两个未知数的方程：
设每辆轻型货车的载质量为，每辆中型货车的载质量为.
根据题意，得，①.②
这两种货车每辆的载质量应当是同时满足方程①和②的未知数的值.
观察方程和和，它们含有几个未知数？含有未知数的项的次数是多少？
含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是 1 .
相同点：它们都是整式方程，含有未知数的项以及每个未知数的次数都是 1 .
不同点：一元一次方程只含有一个未知数，这四个方程含有两个未知数.
它们与前面学过的一元一次方程有什么相同点和不同点？
根据一元一次方程的定义，你能给这四个方程命名吗？
二元一次方程.
含有两个未知数，并且含有未知数的项以及每个未知数的次数都是 1 的方程，叫作二元一次方程.
二元一次方程是整式方程；含有两个未知数，含未知数的项以及每个未知数的次数是 1 .
任务二：探究二元一次方程的解的定义
引例中的鸡只，兔子只，是否也满足二元一次方程和？
当时，方程左边等于，方程右边也等于，所以是方程的解.
使二元一次方程两边相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的一组解.
尝试探究是不是方程的解.
，方程左边是，方程右边也是，所以这两个数也是方程的解.
任务三：实践探究，得出二元一次方程组的定义
对于鸡兔同笼问题中和这两个方程，其中的含义是什么，的含义是什么？两个方程中的含义一样吗？
两个方程中x的含义和的含义分别相同，其中表示鸡的只数，表示兔子的只数.
必须同时满足两个方程，因此我们必须把它们联立起来，在它们前面加上一个大括号，组成方程组
由几个方程组成的一组方程叫作方程组. 含有两个未知数，并且含有未知数的项以及每个未知数的次数都是 1 的方程组，叫作二元一次方程组.
任务四：合作交流，得出二元一次方程组的解的定义
已知甲数的 2 倍与乙数的 3 倍之和是 12 ，甲数的 3 倍与乙数的 2 倍之差是 5 ，求这两个数.
如果设甲数为，乙数为，请根据问题中的等量关系，列出含有两个未知数的方程.
根据甲数的 2 倍与乙数的 3 倍之和是 12 ，得出，根据甲数的 3 倍与乙数的 2 倍之差是 5 ，可得.
请你再分别写出的三组解，你认为二元一次方程的解有多少组？
二元一次方程有无数组解.
你的三组解是怎么写出来的？
先随便写一个未知数的值，比如，再把代入方程中求出的值，或先给出的一个值，再把它代入方程求出的值，都可以写出二元一次方程的解．
是否有同时满足这两个方程的一组解？若有，请指出是哪一组解.
我们应该给同时满足方程组中的两个方程的一组未知数的值起个什么名字呢？
这一组数值叫二元一次方程组的解.
二元一次方程组中方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解.
1.如果方程是二元一次方程，那么，.
0
－1
点拨 根据二元一次方程的定义，的次数都是 1 ，所以，由此可得，将代入，可得．
2．《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．其中卷八《方程：以御错糅正负》中记载：“今有牛五，羊二，直金十两．牛二，羊五，直金八两．问牛，羊各直金几何？” 题目大意是 5 头牛，2 只羊共值金 10两．2 头牛，5 只羊共值金 8 两. 每头牛，每只羊各值金多少两？设 1 头牛值金两，1 只羊值金两，则可列方程组为
课堂评价
3．已知二元一次方程．
(1)用关于的式子表示；
(2)写出此方程的非负整数解.
；
(2)此方程的非负整数解为
课堂总结
1．通过本节课的学习，你学到了哪些内容？
2．学习了本节课你有何感想？请畅所欲言．
作业设计
基础性作业：教材习题 A 组第 3 题.
提高性作业：教材习题 B 组第 4 题.
作业设计
拓展性作业：甲，乙两人共同解方程组 由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为乙看错了方程②中的 ，得到方程组的解为
作业设计
(1)试计算的正确值.
(2)求的值.

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