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石家庄实验中学2025届高三年级第二次调研考试
数学参考答案
一．选择题：
1.B 2.C 3.B 4.D 5.C 6.A 7.B 8.C
二．选择题：
9．ABD 10．BC 11．ACD
三．填空题：
12． 13．0 14．11
四．解答题：
15．（1）由正弦定理可得，所以，
由及余弦定理得，
代入，得，
化简得，故；
（2）因为，所以，故，
在中，由余弦定理可得，
即，解得.
16．(1)由AB是圆的直径，得AC⊥BC，
由PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，得PA⊥BC.
又PA∩AC＝A，PA 平面PAC，AC 平面PAC，
所以BC⊥平面PAC.
因为BC 平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PAC.
(2)过C作CM∥AP，则CM⊥平面ABC.
如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB、CA、CM为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
在Rt△ABC中，因为AB＝2，AC＝1，所以BC＝.
因为PA＝1，所以A(0,1,0)，B(，0,0)，P(0,1,1)．故＝(，0,0)，＝(0,1,1)．
设平面BCP的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则所以
不妨令y1＝1，则n1＝(0,1，－1)．因为＝(0,0,1)，＝(，－1,0)，
设平面ABP的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则所以
不妨令x2＝1，则n2＝(1，，0)．于是cos〈n1，n2〉＝＝.
由题图可判断二面角为锐角，所以二面角C－PB－A的余弦值为.
17．（1）（1）（i）依题意，的所有可能取值为1，2，3，4，
，，
，，
所以的分布列为
1 2 3 4
的数学期望为；
（ii）事件，即细胞在个生命周期中只有一次分裂为2个新细胞，
且之前与之后的所有细胞都分裂为1个新细胞，
记事件表示“细胞只在第个周期分裂为2个新细胞”，
则两两互斥，，
而，
因此，
所以事件 “” 的概率为；
（2）在的条件下，的可能取值为，
则，
，
因此
，
（），
由全概率公式得，
于是的期望
，则数列是以为首项，为公比的等比数列，
又，所以，即的期望为.
18．（1）由题意得，，又，
解得，，，
所以椭圆的标准方程为；
（2）设，，
因为直线经过且与椭圆交于两点，所以直线BC的斜率一定存在，
故设直线BC的方程为：，其中，
由得：，
，得；
+，，
又因为直线AB的方程:，得，
同理，
由+=
=
=，
故MN的中点为定点.
19．（1）不“非零可表”，理由如下：
中，则当，
，不满足④，故不“非零可表”；
（2），当时，，
则，所以，，
故，，
又，所以，，
时，，，
所以，满足①②，
，，显然满足要求，
当时，
，
显然，，综上，满足③，
假设存在，使得，
则，，
其中
，
即，显然矛盾，故不存在，使得，满足④，
综上，数列“非零可表”；
（3），定义为小于等于的最大整数，
取数列：，，其中为的前项和，
显然是严格递增的正整数列，满足①②，
，，
假设对，都有，
则，
，
故，
下面证明满足③④，
若存在正整数以及，，…，，有，
故，
所以满足④，
若整数，不妨设，则由，取，
则有，
取，则有，③成立，
综上，构造的数列：，，其中为的前项和，“非零可表”.
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数 学
考试时间：120分钟
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他案标号。回答非选择题时,将案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有项是符合题目要求的。
1．设集合，则
A． B． C． D．
2．若，则
A． B． C． D．
3．“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．某学校对100名学生的身高进行统计，得到各身高段的人数并整理如下表：
身高（cm） [150，155） [155，160） [160，165） [165，170） [170，175） [175，180]
频数 10 20 30 25 10 5
根据表中数据，下列结论中正确的是
A．100名学生身高的中位数小于160cm
B．100名学生中身高低于165cm的学生所占比例超过
C．100名学生身高的极差介于20cm至30cm之间
D．100名学生身高的平均值介于160cm至165cm之间
5．已知等差数列的前项和为，公差为，且成等比数列，则
A． B． C． D．
6．在三棱锥中，，且二面角的大小为，则当该三棱锥的外接球体积最小时，
A． B．3 C． D．
7．已知，，则的值为
A． B． C． D．
8．已知，则
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知非零单位向量和，若，向量在向量上的投影向量为，向量在向量上的投影向量为，则下列结论正确的是
A． B．
C． D．
10．设定义运算，已知函数，则
A．是偶函数 B．2π是的一个周期
C．在上单调递减 D．的最小值为
11．已知椭圆的左，右焦点分别为，，圆，点P在椭圆C上，点Q在圆M上，则下列说法正确的有
A．若椭圆C和圆M没有交点，则椭圆C的离心率的取值范围是
B．若，则的最大值为4
C．若存在点P使得，则
D．若存在点Q使得，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．与双曲线有公共渐近线，且过点，的双曲线的方程为__________________.
13．若正实数是关于的方程的根，则 .
14．如图，在的长方形棋盘的每个小方格中各放一个棋子.如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，则称这两个棋子相连.现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子没有五个在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连.则最少取出 个棋子才可能满足要求.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）在中，内角所对的边分别为，已知.
(1)证明：；
(2)若边上的中线的长为，求.
16．（15分）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．

(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；
(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C－PB－A的余弦值．
17．（15分）一种特殊的单细胞生物在一个生命周期后有的概率分裂为两个新细胞，的概率分裂为一个新细胞，随后自身消亡. 新细胞按相同的方式分裂，并且每个细胞的分裂情况相互独立， 如此繁衍下去. 某实验人员开始观察一个该种单细胞生物经过个生命周期的分裂情况，将第个生命周期后的活细胞总数记为随机变量.
(1)若，
（i）求随机变量的分布列和期望；
（ii）求事件 “” 的概率；
(2)已知在的条件下，的期望称为条件期望，其定义为，试求条件期望和的期望.
18．（17分）已知点为椭圆的右端点，椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于两点，直线分别与轴交于点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)试判断线段的中点是否为定点，若是，求出该点纵坐标，若不是，说明理由.
19．（17分）若数列满足：①；②；③当整数时，存在正整数及，，…，，使得；④对于任意正整数及，，…，，都有.则称数列“非零可表”.
(1)若数列满足，判断是否“非零可表”，并说明理由；
(2)若数列满足，，证明：数列“非零可表”；
(3)证明：存在满足的数列“非零可表”.
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