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2024-2025学年高一年级下学期中考试
数学试题
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，为的共轭复数，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，满足，，，则（ ）
A B. C. D.
3. 在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（ ）
A. B. C. D.
4. 已知是两条不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B 若，则
C. 若，则
D. 若，则
5. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，下列命题正确的是（ ）
A. AB与HG相交 B. AB与EF平行
C. AB与CD相交 D. EF与CD异面
6. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，m，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（ ）
A 30m B. m
C. m D. m
7. 设向量的夹角为，定义：.若平面内不共线的两个非零向量满足：，与的夹角为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9. 已知表示两条不同直线，a表示平面，则下列选项正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C 若，，则 D. 若，，则
10. 已知复数均不为0，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 如图所示，在棱长为2的正方体中，M，N分别为，的中点，其中不正确的结论是（ ）
A. 直线MN与AC所成的角为 B. 直线AM与BN是平行直线
C. 二面角的平面角的正切值为 D. 点C与平面MAB的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知复数，，并且，则______．
13. 在三棱锥中，，，，设三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则______.
14. 我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即（其中为三角形面积， ，，为三角形三边）.在非直角中， ，，为内角，，所对应的三边，若且，则当面积的最大值时外接圆的半径为______.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，已知平行四边形的三个顶点、、的坐标分别是、、.
（1）求顶点的坐标；
（2）在线段上是否存在一点满足，若存在，求；若不存在，请说明理由.
16. 已知复数
（1）若在复平面内的对应点位于上，求的值；
（2）若在复平面内的对应点位于第二象限，求的取值范围；
（3）若为纯虚数，设，在复平面上对应的点分别为，，求向量在向量上的投影向量的坐标.
17. 已知向量满足，且向量与夹角为．
（1）求；
（2）若（其中），则当取最小值时，求与的夹角的大小．
18. 已知函数（其中常数）最小正周期为．
（1）求函数的表达式；
（2）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围；
（3）将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若实数满足，且的最小值是，求的值．
19. 定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）．
数学答案
1.C 2.A 3.A 4.D 5.D 6.D 7.A 8.D 9.BD 10.BCD 11.BC
12.
13.
14.3
15.(1) 设，又、、，
，.
又四边形是平行四边形，所以，
，
即解得
顶点A的坐标为.
(2)存在.
由（1）可知，，，，
设，则.
又，，
解得，，即.
16.(1)依题意，，则其在复平面内的对应点为，
由点位于直线，得，整理得，
所以或
(2)
复数在复平面内的对应点为，
由点位于第二象限，得，解得，
所以的取值范围为.
(3)
由纯虚数，得，解得，则，，，
，，
所以，
所以向量在向量上的投影向量的坐标为.
17.(1) 因为，且向量与的夹角为，
所以，所以．
(2)
，
所以时，，此时，所以，
所以与的夹角的大小为．
18. (1)，
因为的最小正周期为，且，
所以即，所以．
(2)因为，所以．
所以，令．
又在上有解，
所以在上有解，
所以．
(3)由题意可知：，
因为，
所以中有一个为1，另一个为，
因为的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且的最小值是，
所以，所以，或，
因此的值为或．
19. (1)，
所以函数的相伴向量．
(2)由题知，
由，得．
又，即，所以．
又，由正弦定理，得，，
即．
因为，所以，
所以，即的取值范围为，
故有最大值，无最小值.
(3)由（2）知，
所以，
设，因为，，
所以，，
又因为，所以，
所以，
即，所以．
因为，所以，
所以，
又因为，
所以当且仅当时，和同时等于，
所以在图像上存在点，使得．

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