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代数综合100题
1. 已知 且 求 的值.
2.如果 求 的值.
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3.实数a,b满足 求 的最大值.
4.已知a，b，c均为正整数，且 求b-d的值.
5.已知 求 abc的值.
6.已知a，b，c是不为零的实数，且 求 的值.
7.已知 求 的值.
8.已知 求 的值
已知 求 的值.
10. 已知 求 的值.
11. 已知 求 的值.
在有理数范围内分解因式：(
13. 如果 求 的值.
14. 已知 求 的值.
15. 已知a,b,x,y都为实数,且 求 a+ 的值.
16. x,y为有理数,求 的最小值.
17.已知 b为正数，a为b 的小数部分，且 求 ab 的值.
18. 已知a,b,c,d是四个不同的实数,且( 求 的值.
19. 已知 求 xy的值.
20. 已知 且x≥5,求 的值.
21.已知实数x，y满足 求 的值.
22. 已知x,y,z都是整数,且 求
23. 已知 求 的值.
24. 已知 求代数式 的值.
25.已知实数x，y满足 求 的最大值.
26. 设实数x,y,z满足. 求 的最大值.
27. 若 求 y的最小值.
28. 整数x,y,z,x≤y≤z,满足 求
29.设方程 的两个根分别是α和β，求下列代数式的值：
30.实数a≠b,且满足 ,求 的值.
31.设实数a,b满足 求 的值.
32.如果关于 x 的方程 的两个实数根分别为 求 的值.
33. 方程 的两根为 且 求有序实数对(a,b).
34.如果关于x的方程 至少有一个正根，求实数a 的取值范围.
35.已知关于x的方程 有两个不同的实数根，求实数 k 的取值范围.
36.关于 x的方程 有实数根，求a 的取值范围.
37.若满足 的任意实数x，都能使不等式 成立，求实数 m的取值范围.
38.已知关于x的一元二次方程 对任意的实数 a均有实数根，求实数 m 的取值范围.
39.不相等的正整数 p，q使得关于x的方程 和 都有两个正整数根，求 的值.
40.对于任意实数k，方程( 总有一个根是1.求：
(1)实数a,b;
(2)另一个根的取值范围.
41.已知关于x的方程 m为实数.
(1) 当m=4时,求方程的根.
(2)若方程的三个实根中恰好有两个实根相等，求m 的值.
(3)若方程的三个实根恰好能成为一个三角形的三边长，求m 的取值范围.
42.关于x的方程 的两个实根α，β互为倒数，方程 有大于0且小于2的根.求：
的值；
(2)a的取值范围.
43.已知关于 x的方程
(1)存在两个不同的正实数解，求k 的取值范围.
(2)恰好只有一个正实数解，求k 的取值范围.
44.已知关于 x的一元四次方程 有实数根，求k 的取值范围.
45.若只存在一个 x值满足方程 求 a的取值范围.
46.当m 是什么实数时，方程 有4个互不相等的实数根
47. 若方程( 有4个非零实数根，且它们在数轴上对应的4个点等距排列，求实数k 的值.
48.关于x的方程 有4个相异的实数根，求a 的取值范围.
49.设一元二次方程 的两个根分别为. 则 从而可得一元二次方程根与系数的关系：
(1)根据以上信息，设三次方程 的三个根分别为. ，请推证一元三次方程根与系数的关系，即用系数a，b，c，d表示 的值.
(2)若三次方程 的三个根分别为a，b，c，并且a，b，c是不全为零的整数,求a,b,c的值.
50.已知a，b为实数，只有三个不同的x值满足方程
(1)求b 的最小值.
(2)若满足该方程的三个不同的x值恰为一个三角形三内角的度数，求证：该三角形必有一个内角为(
(3)若满足该方程的三个不同的x值恰为一个直角三角形的三条边，求a和b的值.
51.已知关于x 的方程 的两个根分别为α ，α ，且满足 求 m 的取值范围.
52.已知 m，n是关于x的一元二次方程 的两个实数根，求(m+2)(n+2)的最小值.
53. 已知 且 则 的值为 .
54.如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”.以下关于倍根方程的说法，正确的是 (写出所有正确说法的序号).
① 方程 是倍根方程.
②若((x-2)(mx+n)=0是倍根方程,则
③若点(p，q)在反比例函数 的图像上，则关于x 的方程 是倍根方程.
④ 若方程 是倍根方程,且相异两点 M(1+t,s),N(4-t,s)都在抛物线 上，则方程 的一个根为
55.已知在关于x 的分式方程 ①和一元二次方程 ②中，k，m，n均为实数，方程①的根为非负数.
(1)求k 的取值范围.
(2)当方程②有两个整数根. k 为整数，且 时，求方程②的整数根.
(3)当方程②有两个实数根. 满足 且k为负整数时，试判断 是否成立，请说明理由.
56.已知关于x 的一元二次方程 当m=1,2,3,…,2019时，相应的一元二次方程的两个根分别记为 求 的值.
57.二次函数 的图像如图1.1所示，对称轴为直线. 若关于x 的一元二次方程 (t.为实数)在 范围内有解，则t 的取值范围是 .
58.设m 是不小于-1的实数，使得关于x 的方程 有两个不相等的实数根x ，x .
(1) 若 求 的值.
(2)求 的最大值.
59. 设m,k为整数,方程 在区间(0，1)内有两个不同的根，求 的最小值.
60.已知关于x 的一元二次方程. 且
(1)若方程有实数根，求证：a，b，c不能构成一个三角形的三边长.
(2)若方程有实数根. 求证：
(3)若方程的实数根为6和9，求正整数a，b，c的值.
61.已知方程 有两个不同的实数根，方程 也有两个不同的实数根，且后者的两根介于前者的两根之间，求k 的取值范围.
62. 已知 a，b 是一元二次方程 的两根，解关于 x，y的方程
组
解方程:
64. 解方程:
65.求使不等式 有解的实数k 的取值范围.
66.对于满足( 的一切实数，不等式 恒成立，求实数x的取值范围.
67.互不相等的正整数a，b，c满足( 证明：(
68.已知函数 其中a,b,c,d为常数,且 2019,求 f(-5).
69.已知函数 求
70.已知函数 求
71.不论m取任何实数，抛物线 的顶点都在同一条直线上，求这条直线的解析式.
72.二次函数 满足：当 时，它的图像位于x轴的下方；当 时，它的图像位于x轴的上方.求m 的值.
73.二次函数 在--1≤x≤2上有最小值 ，求a的值.
74.若函数 (x是自变量且x为整数)在. 或 时取得最小值，求a 的取值范围.
75. 当 时，求函数 的最小值；若最小值为 ，求a 所有可能的值.
76.已知二次函数
(1)当 时有最大值 求 t 的取值范围；
(2)当 时y的最大值为1，求 t；
(3) 当 时 y的最大值为2，求t 的取值范围；
(4) 当 时y的最小值为a，求a 的最大值；
(5)当 时y的最大值为2，最小值为 求t 的取值范围.
77.已知函数
(1)函数图像与直线. 有三个不同的交点，求m 的值；
(2)函数图像与直线 有四个不同的交点，求m 的取值范围；
(3)函数图像与直线. 有两个不同的交点，求m 的取值范围.
78.如图1.2所示，抛物线 (a,b,c是常数, 与x轴交于A，B两点,顶点 P(m,n).给出下列结论:①2a+c<0.②若 在抛物线上，则 ③关于x的方程( 有实数解，则 ④当 时，△ABP 为等腰直角三角形.其中正确的结论是 .
已知实数 满足 当 时，函数 恒成立，求常数 n的取值范围.
80.已知二次函数 其中b，c满足
(1)求b,c的值.
(2)若过x轴上动点A(a，0)，比例系数分别为 的两个一次函数的图像与二次函数 的图像都有且只有一个交点，求证：
(3)二次函数的图像上是否存在这样的点，其横坐标为一个正整数，纵坐标为一个完全平方数 若存在，求出这个点的坐标；若不存在，请说明理由.
在平面直角坐标系xOy中，已知点 M，N的坐标分别为( 若抛物线 与线段 MN 有两个不同的交点，求a 的取值范围.
82. 对于三个数a,b,c,用M{a,b,c}表示这三个数的中位数,用 max{a,b,c}表示这三个数中的最大数，例如M{-2,-1,0}=-1, max{-2,-1,0}=0, max{-2,-1,a}=
解答以下问题：
(1) 填空: 如果 则x的取值范围为 .
(2) 如果 求x的值.
(3)如果 求 x的值.
83. 已知x,y,z 满足 对于数a，[a]表示不大于 a 的最大整数,{a}=a-[a],求10(x+y)+z的值.
84. 已知整数x ,x ,x ,…,x 满足:① - 1≤xn≤2,n=1,2,…,2020;② x +x 求 的最小值和最大值.
85. 以[x]表示不大于x的最大整数,例如[3.7]=3,[3]=3,求
86.如果把一个奇数位的自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排列，与从个位到最高位依次排列的一串数字完全相同，相邻两个数位上的数字之差的绝对值相等(不等于零)，且该数正中间的数字与其余数字均不同，我们把这样的自然数称为“阶梯数”，例如自然数12321，从最高位到个位依次排列的一串数字是1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排列的一串数字仍是1,2,3,2,1,且|1-2|=|2-3|=|3-2|=|2-1|=1,因此12321是一个“阶梯数”.又如262，85258，…，都是“阶梯数”.若一个“阶梯数”t从左数到右，奇数位上的数字之和为M,偶数位上的数字之和为N,记P(t)=2N-M,Q(t)=M+N.
(1)已知一个三位“阶梯数”t，其中 P(t)=12，且Q(t)为一个完全平方数，求这个三位数.
(2)已知一个五位“阶梯数”t能被4整除，且Q(t)除以4余2，求该五位“阶梯数”t的最大值与最小值.
87.对于任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称 n为“极数”.
(1)请任意写出三个“极数”；猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由.
(2)如果一个正整数a 是另一个正整数b的平方，则正整数a 是完全平方数.若四位数m为“极数”，记 求满足 D(m)是完全平方数的所有 m.
88.对任意一个三位数n，如果 n 满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”.将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数.把这三个新三位数的和与111的商记为 F(n).例如 对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666,666÷111=6,所以
(1) 计算 F(243),F(617).
(2) 若s,t都是“相异数”,其中. x,y都是正整数)，规定 当F(s)+F(t)=18时，求k 的最大值.
89.任意一个正整数 n都可以进行这样的分解：n=p×q(p，q是正整数，且p≤q).在 n的所有这种分解中，如果 p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称 p×q是n的最佳分解，并规定 例如,12可以分解成1×12,2×6或3×4,因为12-1>6-2>4--3,所以3×4是12的最佳分解,则
(1)如果一个正整数a 是另一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数.求证：对任意一个完全平方数m，总有 F(m)=1.
(2)如果有一个两位正整数t,t=10x+y(1≤x≤y≤9,x,y为自然数),交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”.求所有“吉祥数”中F(t)的最大值.
90.对于一个三位正整数t，将各数位上的数字重新排序后，得到一个新的三位数 在所有重新排列的三位数(包括本身)中，当|a+c-2b|最小时，称此时的 为t的“最优组合”,并规定F(t)=|a-b|--|b-c|.例如,124重新排序后为142,214,因为|1+4-4|=1,|1+2-8|=5,|2+4-2|=4,所以124为124的“最优组合”,此时F(124)=-1.
(1)在三位正整数 t 中，有一个数位上的数字是另外两数位上的数字的平均数，求证：F(t)=0.
(2)有一个正整数，由N个数字组成，若从左向右它的第一位数能被1整除，它的前两位数能被2整除，前三位数能被3整除……前N位数能被N整除，我们称这样的数为“善雅数”.例如，123的第一位数1能被1整除，前两位数12能被2整除，前三位数123能被3整除，则123是一个“善雅数”.若三位“善雅数’ x,y为整数)的各位数字之和为一个完全平方数，求出所有符合条件的“善雅数”中F(m)的最大值.
91.如果在一个多位自然数的任意两个相邻数位上，左边数位上的数字总比右边数位上的数字大1，那么我们把这样的自然数叫作“递减数”.例如，321，5432，87，43210，……都是“递减数”.
(1)有一个“递减数”，它是其个位数字的13倍，请求出这个“递减数”.
(2)将一个自然数 m(1≤m≤9)放置于一个三位“递减数”的左边，得到一个四位自然数t，若数 t 恰好能被11整除，且数 m与这个三位“递减数”各数位上的数字之和是一个完全平方数，求出所有符合条件的数 m 和t 的值.
92.阅读下列材料：
t 是一个三位正整数，且 ,且a,b,c为整数)，若t 的百位、个位数字之和与十位数字之差为6，则我们称这个三位数 t 是“和顺数”，并规定 例如，534是和顺数，
(1)若“和顺数”t既能被3整除又能被10整除，求符合条件的 t 值.
(2)若两个“和顺数”t ，t 的十位数字均为y，百位数字分别为x， 个位数字分别为z,n(z≠n),且 证明：
93.对任意一个二位以上的自然数 n，如果能被13整除，且各数位上的数字只能从1，3，5，6，9五个数字中选取，那么称这个自然数为“转运数”.例如自然数13或39，能被13整除，则13或39称为“转运数”；26能被13整除，但其十位上的数字2不是从1，3，5，6，9五个数字中选取的，所以26不能称为“转运数”.
(1)请你直接写出不同于题中所给的两个二位“转运数” ab.
(2)在(1)的条件下，记“转运数” ab为s.已知四位“转运数” 且c,d 互异)，满足 为整数，求t 的值.
94.如果一个三位数满足各位数字都不为0，且个位数字比十位数字大1，则称这个三位数为“圆梦数”.若m，n都是“圆梦数”，将组成 m 的各位数字中最大的数字作为两位数p的十位数字，组成 n 的各位数字中最大的数字作为两位数p的个位数字；再将组成 m 的各位数字中最小的数字作为另一个两位数q的十位数字，组成 n 的各位数字中最小的数字作为两位数q的个位数字.所得的这两个二位数 p，q之和记为F(m，n).
例如:5+1=6,2+1=3,则556和923都是“圆梦数”,F(556,923)=69+52=121;1+1=2,8+1=9,则212 和689都是“圆梦数”,F(212,689)=29+16=45.
(1) 计算 F(767,634),F(978,445).
(2)若s 和t都是“圆梦数”,其中s=500+10x+y,t=210+100a+b(1≤x≤8,0≤a≤7,0≤y,b≤9),规定K(s,t)=|s-t|,当F(s,312)-F(t,678)=20时,求K(s,t)的最大值.
95.对于一个二位正整数A(十位、个位都不为0)，如果把A 的十位数字添在A 的个位数字之后，同时将 A 的个位数字添在A 的十位数字之前，这样得到一个新的四位数A ，我们把 A 称为 A 的“外同源数”；如果把 A 的十位数字和个位数字互换位置，可得到另一个二位数B，再把 B放到A 的十位数字与个位数字之间，这样又得到一个新的四位数A ，我们把 A 称为 A 的“内同源数”.
例如,23 的“外同源数”为3232,23 的“内同源数”为2323.
同时我们发现，一个二位正整数A 的“外同源数”A 与“内同源数”A 的各数位上的数字之和相等，我们把这个和称为 A 的“同源和”，记为 G(A).
例如,23的“同源和” G(23)=2+2+3+3=10.
(1)如果二位正整数 A 的“外同源数”可以被3整除，且A 的“内同源数”能被5整除，求 A 的值.
(2)已知M,N,P 为三个不相同的二位数,若39G(M)+G(P)=386-37G(N),求证:G(M)·G(N)的值必为8的倍数.
96.有两个多位正整数，若它们各数位上的数字和相等，则称这两个多位数互为“调和数”.例如37与82，它们各数位上的数字和为： 则称37 与82互为“调和数”；又如123与51，它们各数位上的数字和为1 ,则称123与51互为“调和数”.
(1)若两个三位数 且a，b，c为整数)互为“调和数”，且这两个三位数之和为99的倍数，求这两个“调和数”.
(2)若A，B是两个不相等的两位数， A,B互为“调和数”,且 A 与B之和是B与A之差的3倍,求证:y=-x+9.
97.材料一 已知一个正整数，把其个位数字去掉，再把余下的数加上个位数字的4倍，如果和是13的倍数，则称原数为“自觉数”.如果和太大不能直接观察出来，就重复过程.例如416,41+4×6=65,65÷13=5,所以416是“自觉数”;又例如25281,2528+4×1=2532,253+4×2=261,26+4×1=30,因为30不能被13整除,所以25281不是“自觉数”.
材料二 在数学世界里，数与数之间存在各种奇妙的关系.例如：对任意一个几位正整数t，若去掉其个位数字，将余下的数加上原个位数字的两倍，得到一个新数t'，若t'能被19整除，则原数 t 就能被19整除.
(1)判断7365是否为“自觉数”，并证明任意一个能被13整除的正整数一定是“自觉数”.
(2)请证明：对任意一个几位正整数 t，若去掉其个位数字，将余下的数加上原个位数字的2倍，其和 t'能被19整除，则原数 t 一定能被19 整除.
(3)若将一个多位自然数分解为个位数与个位之前的数，让个位之前的数减去个位数的K(K为正整数，1≤K≤5)倍，所得之差能被7整除，求当K 为何值时原多位自然数一定能被7整除.
(4)如果一个四位数，满足各位数字都不为零，且其前两位组成的两位数和后两位组成的两位数都是完全平方数，则称这个四位数是“双喜临门数”.例如，8136，1649都是“双喜临门数”.若一个四位数 n 是“双喜临门数”，且n 能被65 整除，求出满足条件的所有四位数 n.
98.阅读下列材料，解答下列问题：
材料一 有一个三位以上的自然数，如果该自然数的末三位表示的数与末三位之前的数字表示的数之差是11的倍数，我们称满足此特征的数为“网红数”.例如：65362，362-65=297=11×27.
材料二 任意的自然数 P 均可分解为. 且x,y,z均为整数),如5278=52×100+10×7+8,规定
(1)求证：“网红数”一定能被11整除.
(2)有一个三位以上的自然数，如果该自然数的末三位表示的数与末三位之前的数字表示的数之差是 K 的倍数，那么这个自然数就能被K 整除.求所有满足条件的正整数K.
(3)已知s=300+10b+a,t=1000b+100a+1142(1≤a≤7,0≤b≤5,且a,b均为整数).当s+t为“网红数”时，求G(t)的最大值.
99.材料一 有一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，且千位数字小于百位数字，则称这个四位数为“美好数”.例如，3443为“美好数”.
材料二 一个正整数x能写成. (a,b均为正整数,且a≠b),则称x为“美满数”，a，b为x的一个平方差分解.在x的所有平方差分解中，若 最大，则称a，b为x的最佳平方差分解，此时 例如： 21为“美满数”,5 和2 为21 的一个平方差分解， 因为 所以13和11是48的最佳平方差分解，则
根据材料回答：
(1) 试证明:2018不是“美满数”.
(2)1~2019这2019个自然数中一共有多少个“美满数”
(3)求证：若一个“美满数”的各数位上的数字之和为6的倍数，则这个美好数一定能被33整除.
(4)若一个数 m 既是“美好数”又是“美满数”，并且另一个“美好数”的前两位数字所组成的两位数与后两位数字所组成的两位数恰好是 m 的一个平方差分解，请求所有满足条件的数 m中F(m)的最大值.
100.有一个三位数 n，如果 n满足各个数位上的数字均不为零，且该数任意两个数位上的数字之和大于另一个数位上的数字，那么我们就把该数称为“三角形数”.现把 n 的百位数字替换成“十位数字加上个位数字后与百位数字的差”，其余数位保持不变，得到一个新数n ；把n的十位数字替换成“百位数字加上个位数字后与十位数字的差”，其余数位保持不变，得到一个新数 n ；把n的个位数字替换成“百位数字加上十位数字后与个位数字的差”，其余数位保持不变，得到一个新数 n (若出现替换后的数位上的数字大于等于10，则该数位上的数字向前一位进位).我们把 n ，n ，n 的和记作 F(n).例如， 则 n =345,n =342,F(n)=645+345+342=1332;又例如 则
(1) 计算 F(212),F(739).
(2)如果一个“三角形数”t x,y,z均为整数)满足x+y+z=17,正整数 和正整数 满足s-m得到的新数的各个数位上的数字之和是18，规定 求k(t)的最大值.
1. 方法1
∴ b(a+b-c)=c(a-b+c),
∴ (b-c)(a+b+c)=0,
∴ b=c或a+b=-c.
同理,a=b或b+c=-a,a=c或a+c=-b.
当b=c,a=b,a=c时,原式=8.
当a+b=-c,b+c=-a,a+c=-b时,原式=-1.
综上所述，原式等于8或-1.
方法2 设
∴ a+b-c= ck,a-b+c= bk,-a+b+c= ak,
∴ 三式叠加为a+b+c=(a+b+c)k.
若a+b+c=0,则a+b=-c,b+c=-a,a+c=-b,原式=-1.
若k=1,则a+b=2c,b+c=2a,a+c=2b,原式=8.
综上所述，原式等于8或-1.
方法3 若a+b+c=0,则a+b=-c,b+c=-a,a+c=-b,原式=-1.
若a+b+c≠0，则利用等比性质有
∴ a+b=2c,b+c=2a,a+c=2b,原式=8.
综上所述，原式等于8或-1.
思路点拨
对于多个分式连等问题，可以考虑设比例常数k或利用等比性质来解决；注意解答过程中的分类讨论，小心遗漏.
(1)先根据已知条件，两两结合，利用比例性质化简，可得两式乘积等于零，那么每一个式子都可能等于零，从而求出a，b，c的关系，然后分两种情况代入所求式即可.
(2)设比例常数为 k，然后将得到的三个乘积进行叠加，从而解出a，b，c的关系.
(3)根据分式的等比性质可直接得出最终结果.
2.已知条件可变形为(
∴ a-2=4,b+1=1,c-1=1,
∴ a=6,b=0,c=2.
∴ a+2b-3c=6+0-3×2=0.
思路点拨
要从一个式子中同时求多个变量，可以从“多个非负数的和为零”出发考虑问题.
先将已知条件移项，然后将等号左边的式子配成两个完全平方式加一个绝对值式，从而根据三个非负数的和为零，得到三式均为零，可求出a，b，c的值.
-|b-2|,
∴ |a-1|+|a-5|+|b+4|+|b-2|=10.
∵ |a-1|+|a-5|≥4,|b+4|+|b-2|≥6,
∴ |a-1|+|b-2|=4,|b+4|+|b-2|=6,
∴ 1≤a≤5,-4≤b≤2,
的最大值为
思路点拨
本题要求掌握二次根式的性质和化简，以及绝对值的几何意义.
首先将已知条件化简可得|a-1|+|a-5|+|b+4|+|b-2|=10,然后根据绝对值的几何意义可得|a-1|+|a-5|≥4,|b+4|+|b-2|≥6,从而判断出a,b的取值范围，最后求出最值.
∴ 可设a=m ,b=m ,c=x ,d=x (m,x为正整数).
∵ a-c=65,
即
或
∴ 正整数解为
思路点拨
此题借助了巧妙的设法，运用因式分解的方法达到降指数的目的.
设a=m ,b=m ,c=x ,d=x (m,x为正整数)，根据已知条件a-c=65，运用因式分解的方法得到关于m，x的方程组，从而求解.
∴ 将 x分别取为2019,2020,2021,即可得a,b,c,
∴ a=b=c=-1,
∴ abc=(-1)×(-1)×(-1)=-1.
思路点拨
抓住式子中数字的特点，用字母代替数字进行因式分解和约分化简，更能体现本质.
即
同理，
三式相加可得
即
思路点拨
分母和差、分子乘积的形式可以先转化为倒数，使计算更加简便.
本题先将已知条件的分子、分母颠倒，再将分式化简，然后叠加，最后取倒数.
7. 方法1 ∵ 6 =192,32 =192,
即
∴ (x-1)(y-1)=1,
方法2 ∵ 6*=192,32y=192,
∴ 6 y=192 ,32 y=192 ,
∴ 6 ·32 =192 ·192 ,即
∴ xy=x+y,
思路点拨
此题涉及幂的乘方与积的乘方，需要灵活运用知识构造与结果有关的指数形式，从而解决问题.
8. 设
则
①
②
③
③--②得
①--③得
②--①得
将以上三式代入所求式，得
(b-c)x+(c--a)y+(a--b)z
思路点拨
出现分式连等的复杂形式时，可以设比例常数为 k，再运用整体思想解决问题.
9. 方法1
[9×(3a+1)+6a+1](3a+1)=(33a+10)(3a+1)=99a +63a+10=99(3a+1)+63a+10=360a+109.
∴ a +120a =360a+109+120-360a+1080=1309.
方法2
思路点拨
方法1：运用整体思想进行求值，指数不一致的时候可以利用指数的升降达到化简的目的.由已知等式得到 从而化简 a ，再利用 化简 然后相加即可.
方法2：根据待求式中两项的次数分别是6和-2，考虑提取a ，形成 然后将已知等式转换成a- 再利用乘法公式进行求解.
10. 设x=a-2019,y=a-2020,则
∵ x-y=(a-2019)-(a-2020)=1,
∴(a-2019)(a-2020)=2.
思路点拨
已知和待求的代数式形式大部分相同，可以考虑先换元，但此时条件不够，需要找到换元后变量之间的关系，才能解决问题.
11. 设 则m-n=2.
思路点拨
考虑整体换元，再找到换元后变量之间的关系，最后利用平方差公式解决问题.
12. 方法1
(6x-1)(4x-1)(3x-1)(x-1)+9x
= [(6x-1)(x-1)][(3x-1)(4x-1)]+9x
设 则
原式
方法2
原式
设 则
原式
思路点拨
对多个乘积加单项式的形式进行因式分解，可先重组乘积项，使得乘积结果出现尽可能多的相同形式，然后进行整体换元(考虑换平均数).
13. ∵ |a-b|=1,|b+c|=1,|a+c|=2,
∴ a-b=±1,b+c= ±1,a+c=±2.
∵ (a-b)+(b+c)=a+c,
∴ 只有以下两种情况：
(1)a-b=1,b+c=1,a+c=2,则|a+b+2c|=|(a+c)+(b+c)|=|3|=3.
(2) a﹣b=﹣1,b+c=﹣1,a+c=﹣2,则
|a+b+2c|=|(a+c)+(b+c) |=|-3|= 3.
综上所述,|a+b+2c|=3.
思路点拨
找到隐含关系(a-b)+(b+c)=a+c是关键,可以减少讨论的情况.
又x>0,
思路点拨
本题中条件和结论都含有|x|，要取绝对值首先要确定x的符号.可以通过等式变形直接确定 x的符号，从而避免了分类讨论.
∴ x=4,a=0,b=0,y=1,
∴ a+b+x+y=5.
思路点拨
本题条件中有绝对值和平方，用两个条件解四个未知数，考虑利用非负性，需要凑成几个非负数的和为零的形式.
这里利用代入法消掉y-1，只留下含有绝对值和平方的项.
16. 原式
∵原式的系数1+2=3,
∴ 当 时，原式取到最小值，
原式
∵ 系数
∴ 当x=-1时,原式取最小值2.
思路点拨
求解多个绝对值和的最小值时，可以考虑利用绝对值的几何意义.先确定零点个数(有系数的要算多个)，再从小到大排序，然后取中间的一个零点(奇数个零点)，或中间两个中的任意一个(偶数个零点)，最后利用代入法计算即可.
17. ∵ 0≤a<1,
∴5∴ b-a=5,
思路点拨
(1)熟练掌握两个公式：
(2) 已知 ,求 ab,需要求出a+b或b-a.
(3)本题中b-a是b的整数部分，我们采用不等式估算方法求得.
18.方法1 由已知条件得
两式相减可得
(a+b+c+d)(b-c)= 0.
∵ b≠c,
∴a+b+c+d=0,得c+d=-(b+a),
∴(b+d)(c+d)=-(b+d)(b+a)=-1.
方法2 由条件可知，b和c 是关于x 的二次方程(x+d)(x+a)=1的相异实根.
∴ 由韦达定理得b+c=-a-d,得c+d=-(b+a),
∴(b+d)(c+d)=-(b+d)(b+a)=-1.
思路点拨
方法1是将已知等式展开，发现有几项是相同的，于是我们想到用先相减后分解因式的办法寻找4个数的关系.
方法2中，根据两个式子的形式相同，构造二次方程，利用韦达定理推出4个数的关系.
+12xy,
思路点拨
乘法公式的变形计算，通常会把x +y , xy,x+y,x--y当作整体.对高次代数式可以先化简，凑出. y 和 xy.
20. 方法1
令 由x≥5得 t≥0,则
∴(3t+5)(t-1)=0,
(舍去),
方法2令 则
=5(5x+t)+ xt=25x+5t+ xt,
将以上三式代入已知等式，得
+77(5x+t)-10x-5 = 0,
化简得
∴(3t+5)(t-1)=0,
(舍去),
思路点拨
方法1是先凑出待求解式子的整体，再进行换元.
方法2是先换元，再利用降次法对原方程进行化简.
21.方法1 由已知等式得
方法2 由已知等式得
将它看作关于x 的一元二次方程：
其根的判别式为
解得
将 代入已知等式，得
方法3 注意到(2x+1)+(-y)+(y-2x)=1,可以考虑换元.
令2x+1=a,-y=b,y-2x=c,则
即
思路点拨
当高次多元方程是不定方程时，通常考虑利用非负性解题.
(1)只有一个多元方程可以求解时，考虑构造非负数的和为零，从而得到字母的值.
(2)利用主元法，把原方程看成一元二次方程，再利用判别式的非负性求解.
(3)根据式子的隐含条件进行换元求解.
22. 方法1 ∵
∴ 1-xyz=9-3(xy+ xz+ yz),
∴ xyz-3(xy+ xz+ yz)+9(x+y+z)-27=-8,
∴ (x-3)(y-3)(z-3)=-8.
又(x-3)+(y-3)+(z-3)=-6,
∴ (x-3,y-3,z-3)=(-2,-2,-2)或(-8,1,1),
∴ (x,y,z)=(1,1,1)或(-5,4,4),
或57.
方法2 ∵
= 3(x+y)(y+z)(x+z) = 24,
∴ (x+y)(y+z)(x+z)=8.
又(x+y)+(y+z)+(x+z)=6,
∴ (x+y,y+z,x+z)=(2,2,2)或(-1,8,-1),
∴ (x,y,z)=(1,1,1)或(-5,4,4),
或57.
方法3 不妨设x≥y≥z,则x+y≥2,将z=3-x-y代入 可得
∵ x，y为整数，则只有
∴ (x,y,z)=(1,1,1)或(4,4,-5),
或57.
思路点拨
对三元轮换式进行变形时，可考虑 ℃ 和 )这两个常用的公式；先利用消元法减少未知数的个数，再进行化简和讨论.
23. ab+c-1= ab+(2-a-b)-1=(a-1)(b-1).
同理, bc+a--1=(b--1)(c-1), ca+b-1=(a-1)(c-1).
原式
原式
思路点拨
三元对称式的变形方法很多，可结合要求的结果形式进行变形，思路更清晰.
对多个复杂分式的求和，考虑先利用已知条件将分式变成易通分的乘积式，再作代数变形.
两边平方得
又x )+10=10(或用降次法求值),
∴ 原式=10÷2=5.
思路点拨
已知低次求高次的题型，通常使用降次法，也可以使用大除法(因式分解)进行整体代换.
25. 方法1
∴当x=2时,x+2y的最大值为
方法2 设x+2y=t,则2y=t-x.
∴ 由已知条件得
∵ 上述关于x的二次方程有根，
∴ △=16-4(2t-5)≥0,
∴ x+2y的最大值为
思路点拨
代数中的最值问题一般与非负性有关.解决此类问题时，配方或者利用一元二次方程的判别式是常用的方法.
方法1中，利用代入法消元，再通过配方求最值.
方法2中，先换元，再利一元二次方程的判别式求最值.
26. 方法1 由已知条件得y=1-x-z,则
M= x(1-x-z)+2(1-x-z)z+3xz
当 时，M取最大值
方法2 由已知条件得z=1-x-y,则
M= xy+2y(1--x-y)+3x(1-x-y)
将上式中的x看作主元，配方为
当 时，M取最大值
方法3 根据系数间的关系，得
M= xy + xz+2yz +2xz
= x(y+z)+2z(x+y)
= x(1--x)+2z(1--z)
当 时，M取最大值
方法4 消去z，得
上式可以看作关于x的二次方程，即
∴ M 的最大值为
思路点拨
本题涉及三个变量，可以通过消元变为两个变量，对于两个变量的最值问题我们首先考虑配方.
方法1和方法3对系数比较依赖.
方法2和方法4更具有一般性，可以用来解决任意二元二次多项式的最值.
此式的几何意义为：在直角坐标系中，x轴上的点(x，0)到点 A(1,1)和B(2,-3)的距离之和.
当点(x，0)位于 AB 与x轴的交点时，y取最小值，为
思路点拨
对于根式之和的最值问题，可以考虑利用几何意义来解决.
对两个根号下的式子分别进行配方，形成两个差的平方，于是将问题转化为一个直线上的动点到两个固定点的距离之和的最值问题.
28. ∵ x≤y≤z,
∴ |x-y|+|y-z|+|z-x|=y-x+z-y+z-x=2z-2x=2,
∴ z=x+1.
∵ x≤y≤z=x+1,
∴ y=x或x+1.
(1)当y=x时,|x+y|+|y+z|+|z+x|=|2x|+2|2x+1|=4.
∴2|2x+1|≤4,
∴ - 2≤2x+1≤2,
∴ x=-1或0.经检验,x=-1满足方程,此时y=-1,z=0.
(2)当y=x+1时,|x+y|+|y+z|+|z+x|=2|2x+1|+|2x+2|=4.
∴ 2|2x+1|≤4,
∴ - 2≤2x+1≤2,
∴x=-1或0.经检验,x=0满足方程,此时y=1,z=1.
综上所述， 的值为2.
思路点拨
本题通过分类消元得到了关于 x 的绝对值方程，但是它含有两个绝对值，零点分段法比较麻烦，我们可以利用不等式求出x的范围.
解绝对值方程的关键是去绝对值符号.本题条件中给出了三个数的大小关系，从而第二个方程可以直接去绝对值符号，所以我们从第二个方程入手，去绝对值符号后找出三个数的数量关系.
29. (1) 由 可得
利用代入法降次，得
2α-1.
同理，
利用代入法降次，得
= (3α+2)(3β+2)
= 9αβ+6(α+β)+4
= 9×(-1)+6×(-1)+4 =-11.
(3)利用代入法降次，得
α = α ·α = (1-α)(2α-1) =-2α +3α-1
=﹣2(1﹣α)+3α﹣1 = 5α﹣3,
4a +10β = 4(5α-3)+10(2β-1) = 20(α+β)-22
= 20×(-1)-22 =-42.
思路点拨
本题给定二次方程的根，可利用根的定义和韦达定理对原式进行变形、降次，达到化简的目的.
30.由条件可知，a和b 是一元二次方程 3(x+1)-3=0的两个不相等的实数根.此方程化简得
由韦达定理可得
a + b =-5, ab = 1.
可见a 和b都是负数，则
思路点拨
(1)构造一元二次方程，利用韦达定理求值.
(2)根式的化简一定要注意符号，可根据韦达定理推断两根的正负.
31.由条件可得
利用代入法，得
= 12.
由韦达定理可知，ab和a+b 是一元二次方程. +12=0的两根,可得
或
若 则a 和b 是一元二次方程 6=0的两根，但此时判别式 不满足条件.
(2) 只能 则
综上所述， 的值为8.
思路点拨
已知两式的积与和，可以逆用韦达定理构造一元二次方程，注意检验根的判别式.
32.∵ 关于 x的方程 有实数根，
∴ 只能k=3,方程为 解得
思路点拨
利用判别式非负的性质，可以得到参数的范围.
33.由韦达定理知 则
由 得
由 得 则a=0或
(1) 当a=0时,由 可得b=0.
(2) 当 时，结合 可得a=-b-1.
由 解得b=0或1.
当b=0时,a=-b-1=-1;当b=1时,a=-b-1= -2.
综上所述,有序实数对(a,b)=(0,0)或(-1,0)或(-2,1).
思路点拨
利用韦达定理，结合乘法公式对对称等式进行化简，然后解方程组即可.
34.方法1 二次方程有实数根，则 0,得-2≤a≤2.
方程至少有一个正根，则只需较大根为正，即
当0当a≤0时,由 得 解得
综上所述，当 时，方程至少有一个正根.
方法2 二次方程有实数根，则 得-2≤a≤2.
如果方程的两根 则由韦达定理可得
解得 即当 时，方程的两根均为非正根.
综上所述，当 时，方程至少有一个正根.
思路点拨
直接利用求根公式，列出关于根的不等式；利用判别式和韦达定理，列出需要满足条件的不等式.
35. 方法1 令 方程变为
由题意知方程 有两个不同的非负根，
解得
方法2 令 方程变为 可变形为 即二次函数 与直线 y=-k有两个不同的交点，由图2.1可知 -k≤0,得
思路点拨
(1)先换元，令 将 变为一元二次方程.注意到 t 的非负性，再根据判别式和韦达定理确定参数范围.
(2)换元后变为二次函数与直线交点的存在性问题，可利用图像得出 k 的取值范围.
36. 令 则
a = t -6t +2 = (t-3) -7,
∵ f(t)=(t-3) -7在0≤t<1范围内随着 t 的增大而减小，
又f(0)=2,f(1)=-3,
∴ - 3思路点拨
先换元，将原方程变成一元二次方程，然后在一定条件下根据二次函数和直线的交点情况确定参数的范围.
37. 方法1
构造函数
由题意可知：对满足 的任意实数x，都有m当 时， 和 都随x的增大而增大，从而 f(x)随x的增大而增大.
方法2 由题意，原不等式可转化为
设 则此不等式可以理解为二次函数的图像在反比例函数的图像上方.
根据图2.2可知：只要 时有 范围内就一定有 y >y .
当 时，
由 得m≤-4.
思路点拨
(1)分离参数，构造新函数，根据一定自变量范围内的函数取值，确定参数的范围.
(2)构造两个常规函数，根据一定自变量范围内图像交点的情况确定参数范围.
38.一元二次方程有实数根，则
△ = a +2a +2-4(m+1)≥0,
对任意的实数a 均成立.
∴当a=-1时上式取最小值
思路点拨
根据一元二次方程有实根，列出判别式的范围，再分离常数，解决不等式中参数的范围问题.
39.假设方程 的两根分别为x ，x ，方程 的两根分别为x ，x .
根据韦达定理可得
结合这四个式子得
变形为
乘积式的值可能为
或
或
若 则 得p=q=4,不满足条件;
若 则 或 得p=6,q=5;
若 则 或 得p=5,q=6.
综上所述,|p-q|=1.
思路点拨
由于方程系数相近，可以利用韦达定理，列出根和系数的关系式，结合四个式子进行变形，构造乘积式等于整数的形式，就可以分类讨论了.
40.(1)将x=1代入方程得
化简得
上式对任意实数 k 均成立，则
解得a=1,b=1.
(2) 由(1)知,方程为
根据韦达定理有
由 得
方法1 由( 得 则
②
由 得 则
③
由②③式得
④
由①④式得
方法2 令 则
关于 k 的方程 有实数根，则
解得
综上所述，
方法3 由①式得
由题意知，这个关于 k 的方程有实根.
当 时，满足条件；当. 时， ≥0,得 且
综上所述，
思路点拨
(1)先在原方程中代入根值，再根据等式两边恒成立即可求出a和b.
(2)利用韦达定理列出另一根的表达式，可以利用式子的特点求解取值范围；也可以先换元，然后利用一元二次方程的判别式求解.
41. (1)将m=4代入原方程得
经分析知x-1=0或
的根的判别式为
此二次方程无实根.
综上所述，方程的根为x=1.
(2)方程有一个根为 ，分两种情况：
①二次方程 有一根为1，则 +m=0,得m=2,经检验符合题意.
②二次方程 有两个相等的实根，则 得
综上所述，m的值为2或
(3)设二次方程 有两根x ,x .
由 得
根据韦达定理有
1，x ，x 要成为三角形的三边长，只需再满足
将上式两边平方得
即 解得 m>2.
综上所述，
思路点拨
(1)直接代入 m=4求解即可.
(2)讨论一元二次方程根的两种情况：一根为1；两根相等.
(3)利用三角形的三边关系，结合韦达定理列出不等式.
42.(1)方程 的根的判别式为
得
∵α,β互为倒数,
∴ 由韦达定理得
(舍去),
将m=1代入 得
由韦达定理得α+β=-5,αβ=1.
(2)将m=1代入另一方程得
x +2(a+1)x+2a+1 = 0,分解因式，得
(x+1)(x+2a +1) = 0,解得
代数综合与圆
由 得
思路点拨
若一元二次方程的两根有和差积商的关系，可考虑用韦达定理；可利用因式分解法直接求根，先求出根，再列需要满足条件的式子.
43.(1)将原方程变形为
2x -3x-(k+3) = 0, ①
由题意得
解得
根据分母不能为零，知方程的正实数解不能为1，即2×1 -3×1-(k+3)≠0,得k≠-4.
综上所述， 且k≠-4.
(2) ①当△=0时, 满足条件；
②当x=1是方程①的根时，得k=-4，此时方程的另一根为 ，原方程也只有一个正实数根
③ 当方程①有两个异号实根时， 得k>-3，此时原方程也只有一个正实根；
④ 当方程①有一根为0时，k=-3，则另一根为x= ，此时方程也只有一个正实根.
综上所述， 或k=-4或k≥-3.
思路点拨
先将分式方程变形成一元二次方程，再根据题目要求列出判别式和韦达定理需要满足的条件，求解参数范围，一定要注意分类讨论的全面性.
44.将原方程变为
分解因式，得
必有实根，
∴△=4-4k≥0,
∴ k≤1.
思路点拨
先将四次方程的左边进行因数分解，化为两个二次式的乘积，再分别考虑它们的根的情况.
45.当x=1时，原方程左右两边相等，即x=1是方程的根.
由此可见，方程左边含有因式x-1，则原方程可化为(利用因式分解或大除法)
据题意，满足原方程的根只有x=1，可分如下两种情况讨论方程 的根：
①无实根，则 得a>2.
②有两个相等的实数根 得a=2.
综上所述,a≥2.
思路点拨
先试根，然后利用因式定理提出因式，再讨论二次方程的根的情况.
46. 方法1 令|x|=t,原方程化为
t -4t+5-m = 0.
原方程有4个互不相等的实数根，等价于关于 t 的方程①有两个不同的正根，则
解得1方法2
函数的图像如图2.3所示，与直线 y=m有4个交点，则1思路点拨
方法1：令|x|=t，通过换元将原方程变成一元二次方程，根据自变量的取值范围列出不等式组，即可求解m的取值范围.
方法2：将原方程左右两边分别看成两个函数，画出图像，将问题转化为函数与直线的交点问题.
47. 令 原方程变为
设此方程有实根α，β(0<α<β)，则原方程的4个实根为
据题意， 即
β= 9α. ①
由韦达定理得
α+β= 5, ②
αβ= 4-k. ③
由①②式得 代入③式得
当 时,△=25+4k-16>0,符合要求.
思路点拨
通过换元将原方程变成二次方程，再利用题目中的等差条件得出两根的倍数关系，然后结合韦达定理求解参数k.注意最后要检验判别式的非负性.
48.原方程变为
利用平方公式，得
①
令 则方程①变为
②
由 得 得 t>2或t<-2.
已知原方程有4个相异的实根，则关于 t 的方程②有两个不同的实根,且 t>2或t<-2.
令 ,对称轴为t=-1,则f(t)=0的两根不可能都大于2，也不可能都小于-2，只能 t >2，t <-2,需要满足 即
得a>8.
思路点拨
先将原方程变形为 再令 进行整体换元变为二次方程，然后在一定的条件下讨论根的情况，从而得到参数范围.
49. (1)由题意得
经比较得
(2) 根据(1)知
a+b+ c =-a, ①
ab + ac + bc = b, ②
abc =- c. ③
将③式变形为(ab+1)c=0,得c=0或 ab=-1.
若c=0,代入②式得 ab=b,即(a-1)b=0,得b=0或a=1.若b=0，代入①式得a=0，不满足条件，则只能a=1,再代入①式得b=-2.
若c≠0,则 ab=-1,那么a,b中一个为1,另一个为-1,则a+b=0.再由②式得 b= ab+c(a+b)=-1,则a=1,再代入①式得c=-1.
综上所述,a=1,b=-2,c=0或a=1,b=-1,c=-1.
思路点拔
(1)类似于题中一元二次方程根与系数的关系，根据因式定理得到恒等式，再令系数相等，即可得到一元三次方程根与系数的关系.
(2)根据(1)问的结论列出根与系数的关系式，再进行分类讨论和化简.
50.(1)由原方程得
①
②
其根的判别式分别为
据题意，方程①②中一个方程有两个不等的实根，另一个方程有两个相等的实根.注意到 则 即 得 当a=0时,b的最小值为-2.
(2)设 的根为 的根为x ，则
由 得a=﹣120,则. 即该三角形必有一个内角为60°.
的两个根分别为
(舍去),
思路点拨
对于绝对值方程，可以先去掉绝对值符号，将其转化为熟悉的一元二次方程，再根据根的总体情况，结合题目条件分析、解决问题.
51. 令 ,已知f(x)=0的两个根满足 则函数图像如图2.4
所示，只需
解得
思路点拨
先将二次方程的左边看成二次函数，根据根所在的范围，列出参数所应满足的不等式组，再求出不等式组的解集即可.
∴ t≥2.
又
∴ (m+2)(n+2)= mn+2(m+n)+4 =t -2t+4+2×2t+4=t +2t+8=(t+1) +7.
令 根据二次函数的性质，t≥-1时,函数值随t的增大而增大,则当t=2时(m+2)(n+2)有最小值16.
思路点拨
先利用二次方程判别式的非负性，求出参数 t 的取值范围；再利用韦达定理将所求式变成关于 t 的代数式，并将其配方；最后根据参数 t 的取值范围解得所求式的最值.
53. 由 可知 n≠0,则 两边同除以 n 得
∵ mn≠1,
∴m和 /n可以看作是方程 的两个根.
根据根与系数的关系，得 则
思路点拨
当题目中有两个一元二次方程，且各项系数相同或相反时，可以尝试将它们转化为形式相同的两个方程，构造同一个一元二次方程的两个根，再利用韦达定理进行解题.这样可以避免直接求根的麻烦.
54.方法1 研究一元二次方程 是倍根方程的一般性结论，设其中一个根为 t，则另一个根为2t,因此ax + bx+c=a(x--t)(x-2t)=ax -3atx+2t a，经比较和计算得 记 即K=0时,方程 为倍根方程.下面我们根据此结论来解决问题：
即本选项错误.
②关于 x 的方程为 则 得 即本选项正确.
③易知 pq=2,则 即本选项正确.
④由M(1+t,s),N(4-t,s):知 得b=-5a，由倍根方程的结论知 从而有 所以方程变为 即 +50=0,得 即本选项错误.
综上所述，正确的选项有②③.
方法2 ①解方程 得 即本选项错误.
② ∵(x-2)(mx+n)=0是倍根方程,
或-4,
∴ m+n=0或4m+n=0,
即本选项正确.
③∵点(p，q)在反比例函数 的图像上，
∴ pq=2.
解方程 得
即本选项正确.
④∵ 相异两点 M(1+t,s),N(4-t,s)都在抛物线 上，
∴ 抛物线的对称轴为
又根据题中条件可设
即本选项错误.
综上所述，正确的选项有②③.
思路点拨
方法1：可以先研究一元二次方程满足“倍根方程”定义的一般性结论，然后根据结论去判断每个选项.
方法2：直接根据每个选项的具体情况进行分析.
55. (1) ∵解分式方程①得 又方程①的根为非负数，
∴k≥-1且k≠1.
又( )中2-k≠0,
∴ k≠2.
综上所述,k≥-1且k≠1,k≠2.
(2)将k=m+2,n=1代入方程②,得
∵k≠2,
∵ x ,x ,k为整数,
∴2-k=±1,即k=1或3.
又k≥-1且k≠1,
∴ k=3.
当 k=3时，方程②变为 解得
代数综合与圆
(3) ∵由(1)知k≥-1且k≠1,k≠2,又 k 是负整数，
∴ k=-1,
∴ 方程②变为
化简 得
即
∵ 对于 有 ≥0,即9
即|m|≤2.
思路点拨
(1)根据分式方程根的非负性和一元二次方程的定义求参数范围.
(2)先将字母关系代入方程消元，然后利用韦达定理得到两整数根的乘积等于分式的形式，再讨论分式中字母的取值.
(3)先求出 k值并代入方程，再将韦达定理代入对称等式化简后的式子，得到 m 与n 的关系，最后利用判别式的非负性求解m的取值范围.
56.由根与系数的关系得
即
……
α2019 +β 019 =-2, α2019β 019 =-2019×2020.
思路点拨
利用韦达定理求出 和αmβm的值，然后代入所求的式子并进行化简，最后利用裂差法进行计算即可.
57.∵ 二次函数 的对称轴为直线x=1，
∴ b=-2.
方程 (t为实数)在-1当x=4时, 当x=1时，二次函数有最小值
综上所述，t 的取值范围是-1≤t<8.
思路点拨
先根据对称轴求出二次函数解析式，然后根据二次函数的图像与直线在一定条件下的交点情况，求解参数的范围.
58. (1) ∵ 关于x的方程 +3=0有两个不相等的实数根，
,
∴ m<1.
又m≥-1,
∴ -1≤m<1.
∵ 原方程有两个实数根为 x ，x ，
即
∵ - 1≤m<1,
(2) 设 则
由(1)得 则
∵ -1≤m<1,
∴ 当m=-1时, ymax=3,即 的最大值为3.
思路点拨
(1)利用韦达定理得到关于 m 的等式，求得 m的值，将其代入所求式即可求值.注意参数的取值范围.
(2)利用韦达定理得到关于 m 的函数式，将其整理后配方，在一定范围内求最值.
59. 令 ，显然函数图像过点(0，2)，要使得f(x)=0的两根满足( 则
由①式得
由③式得 k≤m+1.
得m≥6.
当m=6时,由①②③式得 k=7.
思路点拨
把方程左边当作二次函数，根据函数图像与 x 轴的交点情况，列出满足要求的不等式，推出参数的范围，再求解代数式的最值问题.
60.(1) ∵ 方程有实数根,
c -2ab-2bc-2ca=a(a- b--c)+b(b--a--c)+c(c-a-b)≥0,
∴ a(a-b-c)≥b(a+c-b)+c(a+b-c)>0,
∴ a-b-c>0,即a>b+c,
∴ a，b，c不能构成三角形的三边长.
(2) ∵ 方程有实数根x ,
ac=-bc<0.
又由(1)知a>b+c,
(3)∵ 由韦达定理知a+b+c=15, ab+ bc+ ca=54,
∴ a<11.
又由(2)知a>9,
∴ a=10,
∴ b=4,c=1.
综上所述,a=10,b=4,c=1.
思路点拨
(1)若一元二次方程有实根，则根的判别式△≥0，从而建立a，b，c的关系，再根据“两边之和大于第三边”进行证明.
(2)构造不等式 进行证明.
(3)利用根与系数的关系可得a，b，c的关系，进而解得a,b,c的值.
61. ∵ 方程. 有两个不同的实数根，
即
∵ 二次函数
有相同的开口方向和对称轴，y 的图像与x轴的两个交点都在y 的图像与x轴的两个交点之间，
∴ y 的图像在 y 的图像上方，
∴ k>a-4,
∴ k 的取值范围为(
思路点拨
根据一元二次方程判别式的非负性可以得到 k 的一个取值范围，然后将两个方程的左边看成二次函数，根据根之间的关系推出 k 的另一个范围.
62.∵ 由韦达定理得a+b=1, ab=-1,
∵ 原方程组的两式相加得 +2,
∴---(x+y)=(x+y)+2,得x+y=-1.
又原方程组的两式相减得 x--y,
,得x=y,
即原方程组的解为
思路点拨
先利用韦达定理推出a 和b的关系，然后将方程组的两式相加减，再用整体代入法进行化简求解.
63. 令 则. 原方程变为 将根式化简为
| t +1|+| t - 1|= t .
∵ t≥0,
∴ |t+1|=t+1≥1,
即t≥1,
∴ 原方程化简为t+1+t-1= t ,解得t =0(舍去)，
即原方程的解为x=5.
思路点拨
先将 作为整体进行换元，再将根式化简，然后解方程.
64.
①
②
①+②得
令 则 解得 t=1.
可化简为 解得
(舍去),
∴ 原方程的解为
思路点拨
先利用分子有理化构造 再结合两个方程进行求解.
65.方法1 原不等式可变为
令 函数的图像如图2.5所示，可见k 的取值范围是
方法2 当 时，不等式变为 解得
要使不等式有解，需满足 即
当 时，不等式变为 解得
要使不等式有解，需满足 即
综上所述，k的取值范围是
思路点拨
方法1：分离参数，画出函数的图像，根据不等式要求直接写出范围.
方法2：分类讨论去绝对值符号，在一定范围内解不等式，然后合并范围.
66.方法1 不等式变为
将左边看成关于 p 的一次函数
对于满足0≤p≤4的一切实数,都有 f(p)>0.
根据一次函数的性质，只需要满足
解得x<-1或x>3.
方法2 不等式变为 分解因式得(x-1)(x+p-3)>0.
①当x>1时,x-1>0,那么x+p-3>0,即x>-p+3对任意0≤p≤4都成立,而-p+3在0≤p≤4范围内的最大值为3(当p=0时),故x>3.
②当x<1时,x-1<0,那么x+p-3<0,即x<-p+3对任意0≤p≤4都成立,而-p+3在0≤p≤4范围内的最小值为-1(当p=4时),故x<-1.
综上所述，实数x的取值范围是x<-1或x>3.
思路点拨
方法1：可以以p为主元，利用一次函数的知识解决.
方法2：把所有项移到不等式的一边，然后进行因式分解，直接用不等式解决.
67.方法1 不妨设b>c，如图2.6所示，在一条线段上取AB=a+c,BC=b-c,以BC 为直径作⊙O,过点 A作⊙O的切线AD.
由切割线定理得
AD = AB·AC = (a+c)(a+b) = (b+c) ,可得AD=b+c.
在 Rt△ADO 中,AO>AD,即
考虑到a，b，c为正整数，可知
在 Rt△ADO 中，利用勾股定理得
变形为
>b+c,
即
方法2 不妨设b>c，构造二次函数
f(x) = (x+b)(x+c)-(b+c) ,
f(x)的对称轴 易知f(x)在x>0时随x的增大而增大.
∵a,b,c为正整数,
方法3 不妨设b>c，构造二次函数
f(x) = (x+b)(x+c)-(b+c) .
由方法2可得
再构造二次函数 而g(c-a)=g(a-b)=(b+c)(b+c-2a+1)≤0.
∵ g(x)的图像开口向上,在x=c-a,x=a-b处都取非正值，
∴ g(x)的图像和x轴有两个交点，
即
方法4 不妨设b>c，由条件可得b>a>c，可以考虑使用增量法.
设a=c+m,b=c+m+n,其中m,n为正整数,代入已知等式，得
(2c+2m+n)(2c+m) = (2c+m+n) ,变形为
(m--n)(m+n+2c) = mn,
∴ m-n≥1,
∴ (m+n) >4mn=4(m-n)(m+n+2c)≥4(m+n+2c),
思路点拨
从条件出发，可以联想到切割线定理，尝试构造几何图形；从结论出发，可以联想到二次方程根的判别式，尝试构造二次方程.
68.
= 2000,
则f(-5)=2000-f(5)=2000-2019=-19.
思路点拨
先求 f(-x)与 f(x)的关系,再由f(5)推出 f(-5)的值.
69. 当x=1时,有
当x=n时,有
∴ 原式
思路点拨
先计算 然后配对求值即可.
思路点拨
先利用立方差公式对分母进行化简，变成可裂项的形式，然后代入自变量进行化简求值.
∴ 抛物线的顶点为(-m,m-1).
令 消去m得y=-x-1，即为顶点所在直线的解析式.
思路点拨
将二次函数 配方，求出顶点的坐标，再消去 m，得到顶点横、纵坐标的关系，即得顶点所在直线的解析式.
72.∵二次函数的对称轴为 又--2∴ 5∵ 6∴ 二次函数必过点(6,0),
得m=-24.
思路点拨
根据二次函数的对称轴x=2，得到573.二次函数的对称轴为
①∵当x=-a<-1,即a>1时,在-1≤x≤2范围内 y随x的增大而增大，
∴ 二次函数在x=-1时取最小值-4，
∴(-1) +2a×(-1)+a=-4,解得a=5,满足a>1.
② ∵ 当-1≤a≤2,即-2≤a≤1时,二次函数在顶点处取最小值-4，
解得 (舍去).
③∵当x=-a>2,即a<-2时,在-1≤x≤2范围内 y随x的增大而减小，
∴ 二次函数在x=2时取最小值-4，
解得 不满足a<-2.
综上所述，a的值为5或
思路点拨
分三种情况考虑：对称轴在x=-1的左边；对称轴在--1到2之间；对称轴在x=2的右边.当对称轴在x=-1的左边和对称轴在x=2的右边时，可根据二次函数的增减性来判断函数取最小值时的x值，然后把此时的x值与函数最小值﹣4代入二次函数解析式，即可求出a的值；当对称轴在-1到2之间时，顶点为最低点，则顶点的纵坐标为-4，列出关于a的方程，即可得到满足题意的a值.
74.∵函数图像的开口向上，对称轴为 距离对称轴越近，函数值越小，
∴ 函数要在 x=6或7时取最小值，必须满足5.5≤ 解得24≤a≤36.
思路点拨
根据在x=6或x=7时取得最小值，且x取整数，判断出对称轴的取值范围在5.5到7.5之间(包括端点)，然后列出不等式组求解即可得到 a 的取值范围.
75.二次函数的对称轴为
①当a<-1时,f(x)在-1≤x≤2上随x的增大而增大,则f(x)在x=-1时取最小值,最小值为 f(-1)=
②当-1≤a≤2时，f(x)在顶点处取最小值，最小值为
③当a>2时,f(x)在-1≤x≤2上随x的增大而减小，则f(x)在x=2时取最小值，最小值为 6a+10.
若 则 (不满足a<-1,舍去),
若 则 (不满足-1≤a≤2,舍去),
若 则a -6a+11=0,Δ=(-6) -4×11<0,无解.
综上所述，最小值为-1时，a的取值为-1或-5.
思路点拨
先求出抛物线的对称轴x=a，然后分a<-1、-1≤a≤2、a>2三种情况，根据二次函数的增减性解答.将最小值-1分别代入关于a的一元二次方程即可求解a值.
76.(1) ∵ 在 t≤x≤t+2范围内,当 x=t时函数取最大值，
∴ y随x的增大而减小，x=t在对称轴x=3的右侧，
∴ t≥3.
(2) 由 得
当x=2时，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，由t+2=2得t=0.
当x=4时，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，则t=4.
综上所述,t=0或4.
(3)∵在顶点处函数值恰好为2，
∴ 二次函数图像的顶点为(3，2)，
∴ t≤x≤t+2包含顶点的横坐标3,
∴ t≤3≤t+2,即1≤t≤3.
(4)当x=t和x=t+2关于对称轴x=3对称时,a最大.此时t=2，a的最大值为-
(5)由 得
∵ 1≤x≤t必须包含顶点，但不能包含 x>5的点，
∴ 3≤t≤5.
思路点拨
(1)在x=t时函数取最大值，则取值范围应在对称轴的右侧.
(2)、(3)先求出对应的x值，再分析 t 的取值情况.
(4)根据图像的性质，当对称轴在取值范围内时，最小值a最大.
(5)结合图像，分析 t 的取值范围.
77.(1) 函数 的图像是将 2x-3的图像在x轴下方的部分翻折到 x轴上方，如图2.7所示.
函数图像与直线 y=x+m有三个不同的交点，分别为以下两种情况：
①直线 y=x+m过点(-1,0),此时m=1.
② 直线 y=x + m 与函数图像在-1≤x≤3部分相切.
由 得
再由 得
综上所述，m=1或
(2)由(1)的分析和图2.7可知，函数图像与直线 y=x+m有四个交点时
(3)①直线 y=6x+m与函数. 的图像相切.
由 得
再由 得m=-19.
②直线 y=6x+m与函数 的图像相切.
由 得
再由 得m=7.
由图2.8可知，函数图像与直线y=6x+m有两个不同交点时,m>-19.
思路点拨
先根据函数解析式画出图形，然后结合图形找出它与直线有不同交点的情形，最后求得临界情况下直线的解析式，从而可求得 m的取值范围.
78. ∵当x=-1时,y=a-b+c>0,
又由 )得-b∴0∴2a+c>0,①错误.
结合图像易知②正确.
∵ 方程 有实数解，即 c--k有实数解，
又
∴ c-k≥n,即k≤c-n,③错误.
设抛物线的解析式为
令
∴ (n-x+m)(n+x-m)=0,
∴ x =m+n,x =m-n,|AB| =|x -x |=-2n.又 yp=n，设对称轴交x轴于点H，
∴ AH=BH=PH=-n,△ABP 为等腰直角三角形,④正确.
综上所述，②④正确.
思路点拨
根据图1.2和取自变量为特殊值时函数值的范围，构造系数关系的不等式.②根据二次函数图像的增减性和对称性比较函数值.③利用二次函数的图像与直线 y=n的位置关系，得到方程有解时的参数范围.④ 带参数求解△ABP 中边的关系，得到结论.
79.(1) 当 时， 则函数为f(x)=2nx-4n.
∵ 当-2≤x≤1时,函数 f(x)<0恒成立,
∴ n≥0.
∴ 当 时，n的取值范围是n≥0.
(2)当 时，由题意得x ，x 是方程 的两个根.
由韦达定理得 则
而 代入上式得m=-18.
此时函数 -4n.
当--2≤x≤1时,f(x)<0恒成立,可分三种情况考虑：
①当n<-2时,只需f(-2)=-4-4n-4n≤0,得 这与n<-2矛盾，舍去.
② 当-2≤n≤1时,只需 得0≤n≤4,故n的取值范围为0≤n≤1.
③当n>1时,只需 f(1)=-1+2n-4n≤0,得n≥ 故 n 的取值范围为n>1.
由以上三种情况可知，当 时 n 的取值范围为n≥0.
综合(1)(2)得 n的取值范围为n≥0.
思路点拨
首先分情况讨论，在 和 两种情况下分别求出 m 的值，再将m 值代入函数化简，然后根据不同的函数形式分类讨论得到 n 的取值范围.
∴ 只能b--1=0,c-11=0,即b=1,c=11.
(2) 过A(a,0)的直线解析式为 y=k(x-a).
由 得x +(1-k)x+(11-kx)=0.
∵ 上述方程有两个相等的实数根，
即 43=0,
∴ 由韦达定理得
(3)方法1 设这个点为 P(m,n ),其中 m 为正整数，n为自然数.
∴ [2n+(2m+1)][2n-(2m+1)]=43.
∵43是质数,且2n+(2m+1)>2n-(2m+1),2n+(2m+1)>0,
∴2n+(2m+1)=43,2n-(2m+1)=1,
∴ m=10,n=11,
∴ 存在满足条件的点，此点的坐标为(10，121).
方法2
或 或(x+3) .
当 时,x=10.
当 时，无整数解.
当 时，无整数解.
综上所述，存在满足条件的点，此点的坐标为(10，121).
思路点拨
(1)先对已知不等式的左边进行配方，再利用代数式的非负性求出b，c的值.
(2)根据函数只有一个公共点，得到联立后的方程判别式为0，从而求出 k 与 k 的关系.
(3)①先列出等式，进行因式分解后分类讨论字母的取值；②先估算完全平方式的范围，再列方程求解即可.
81.运用待定系数法求得直线 MN 的表达式为y = 联立直线与抛物线的解析式，得 化简为
据题意，该方程有两个解x ，x ，且
令
当a>0时,如图2.9(a)所示,有
解得
当a<0时,如图2.9(b)所示,有
解得a≤-1.
综上所述，故a 的取值范围是a≤-1或
思路点拨
先求出线段所在直线的函数解析式，联立两个函数解析式，在一定范围内讨论新方程的解的存在性，进而分析参数需要满足的范围.
∵ max{3,5-3x,2x-6}=3,解得
(2)
①当x≤-2时,根据题意有2(x+4)=2,解得x=-3.
②当-2③当x≥0时,根据题意有2(x+2)=x+4,解得x =0.
综上所述，满足题意的x值为-3或0.
(3)方法1 M{9,x ,3x-2}= max{9,x ,3x-2}.
①由图2.10可知,当x<-3时,M{9,x ,3x-2}=9, max{9,x ,3x-2}=x ,解得x=±3(不合题意，舍去).
②由图2.10可知,当-3≤x<1时,M{9,x ,3x-2}=x , max{9,x ,3x-2}=9,角解得x=-3.
③由图2.10可知,当1≤x<2时,M{9,x ,3x-2}=3x-2, max{9,x ,3x-2}=9,解得 (不合题意，舍去).
④由图2.10可知,当2≤x<3时,M{9,x ,3x-2}=x , max{9,x ,3x-2}=9,解得x=±3(不合题意，舍去).
⑤ 由图2.10可知,当 时,M{9,x ,3x-2}=9, max{9,x ,3x-2}=x ,解得x=3.
⑥由图2.10可知,当 时，M{9,x ,3x-2}=3x-2, max{9,x ,3x-2}=x ,解得x=1,x=2(不合题意,舍去).
综上所述，满足题意的x值为±3.
方法2 不妨设. 如图2.10所示.
结合图像不难看出，在交点 A，B处，. 且满足.
此时 解得x=±3.
思路点拨
(1)分别求出三个特殊角的三角函数值，即可求出中位数；构造不等式组求解.
(2)结合题意通过分类讨论进行求解.根据新定义和已知分情况讨论：①2最大时，x+4≤2；②2是中间的数时,x+2≤2≤x+4;③2最小时,x+2≥2.
(3)①根据图像和题意分类讨论；②不妨设. 画出图像，根据M{9,x ,3x-2}=max{9,x ,3x-2}可知：三个函数值的中间值与最大值相等，即有两个图像较高的函数相交时，对应的x 值符合条件.
83. ∵ {a}=a-[a],
∴ a=[a]+{a}.
已知
①②③
①+②+③得
x+ y+z = 0.3. ④
④--①得{y}+[z]=1.2,易知{y}=0.2,[z]=1.
④--②得{x}+[y]=0.1,易知{x}=0.1,[y]=0.
④--③得{z}+[x]=-1,易知{z}=0,[x]=-1.
∴ x=[x]+{x}=-0.9,y=[y]+{y}=0.2,z=[z]+{z}=1,
∴ 10(x+y)+z=10×(-0.9+0.2)+1=-6.
思路点拨
a={a}+[a],表示实数a=a的整数部分+a的小数部分，将三个等式相加可得x+y+z=0.3，依次与三个等式相减得到x,y,z的值,代入10(x+y)+z可求得结果.
84. 设x ,x ,x ,…,x 中有 a 个-1、b 个1、c 个2,则
且a+b+c≤2020.
两式相加后除以2得b+3c=1110,则0≤c≤370.
∴200≤6c+200≤2420.
当a=910,b=1110,c=0时,. 取最小值200.
当a=540,b=0,c=370时,. 取最大值2420.
思路点拨
设 x ,x ,x ,…,x 020中有 a个-1,b 个1,c 个2，根据条件②③列出方程，得到a，b，c的关系式，再求 的范围.
85. 设 下面计算
∵a+b=2 , ab=1,
思路点拨
构造 通过计算可得到整数值，而 由此可以得到( 的整数部分.
86.(1)假设三位“阶梯数 这里的 k可以为负数,则M=2a,N=a+k.
由P(t)=2(a+k)-2a=2k=12得k=6.
Q(t)=2a+a+k=3a+6=3(a+2)为完全平方数,可知a+2必须为3 的倍数，且 是完全平方数，只能a=1.
综上所述，这个三位数为171.
(2)假设五位“阶梯数’
t 能被4 整数，那么它的后两位所组成的数 能被4整除，而(a+k)a=10(a+k)+a=(8a+8k)+3a+2k,则3a+2k能被4整除. M=3a+2k,N=2a+2k,Q(t)=5a+4k=4(a+k)+a.
根据Q(t)除以4余2,可知a除以4余2,只能a=2或6.
①要使得 t 最大,显然a=6,而3a+2k=18+2k=2(k+9)是4的倍数,可得 k为奇数,6+2k≤9,k 最大为1,则五位“阶梯数”t 的最大值为67876.
②要使得 t 最小,显然a=2,而3a+2k=6+2k=2(k+3)是4的倍数,可得 k为奇数,2+2k≥0,k 最小为-1,则五位“阶梯数” t 的最小值为21012.
思路点拨
根据题意可知，“阶梯数”其实是一个回文数，而且中间数字是最大数或最小数，从中间位到高、低位的数字均形成等差数列.根据这些特征就可以用变量假设这个多位数,然后将M,N,P(t),Q(t)表示出来.
87. (1) 不唯一,如1188,2475,9900等.
猜想任意一个“极数”是99的倍数.理由如下：
设任意一个“极数”为 则
xy(9-x)(9-y)= 1000x+100y+10(9-x)+(9-y)
= 990x+99y+99
= 99(10x+ y+1).
∵x,y为整数,
∴ 10x+y+1为整数,
∴ 任意一个“极数”是99的倍数.
(2)设 其中1≤x≤9,0≤y≤9,且x,y为整数.
由题意得
∵ 1≤x≤9,0≤y≤9,
∴ 33≤3(10x+y+1)≤300.
∵ D(m)为完全平方数且为3的倍数，
∴ D(m)可取36,81,144,225.
①当D(m)=36时,3(10x+y+1)=36,得10x+y+1=12,则x=1,y=1,m=1188.
②当D(m)=81时,3(10x+y+1)=81,得10x+y+1=27,则x=2,y=6,m=2673.
③D(m)=144时,3(10x+y+1)=144,得10x+y+1=48,则x=4,y=7,m=4752.
④ D(m)=225时,3(10x+y+1)=225,得10x+y+1=75,则x=7,y=4,m=7425.
综上所述，满足D(m)为完全平方数的 m 值有1188，2673,4752,7425.
思路点拨
(1)根据“极数”的定义，任意写出三个“极数”即可；由“极数”的定义可得n=99(10x+y+1),进而可得任意一个“极数”都是99的倍数.
(2) D(m)=3(10x+y+1),根据D(m)为完全平方数，结合估算范围，找出10x+y+1的值，从而解得x,y,m的值.
88.(1)对于任意一个“相异数’ 有
= a+ b+c,
∴ F(243)=2+4+3=9,F(617)=1+6+7=14.
=
又F(s)+F(t)=x+5+y+6=18,
∴ x+y=7.
要使得 的值大，那么x尽量大，y尽量小，而 是“相异数”，y不能等于1，至少为2，此时x=5， 即 k 的最大值为
思路点拨
(1)根据F(n)的定义式，用字母推出F(n)与三位数各数位上的数的关系，再将n=243和n=617代入关系式中，即可求值.
(2) 根据s=100x+32,t=150+y,结合 F(s)+F(t)=18，即可得出关于x，y的二元一次方程，解得x和y的关系.再根据“相异数”的定义，结合 F(n)的定义式，即可求出k的最大值.
89.(1)对任意一个完全平方数m，设m=n (n为正整数).
∵ |n-n|=0,
∴ n×n是m的最佳分解,
∴ 对任意一个完全平方数m，总有
(2)设交换 t 的个位上的数与十位上的数得到的新数为t',则
∵ t 为“吉祥数”,
∴ t'-t=(10y+x)-(10x+y)=9(y-x)=18,
∴ y=x+2.
∵ 1≤x≤y≤9,x,y为自然数,
∴“吉祥数”有13,24,35,46,57,68,79,
∴ 所有“吉祥数”中 F(t)的最大值是
思路点拨
(1)根据题意可设 由最佳分解的定义可得
(2)根据“吉祥数”的定义可知((10y+x)-(10x+y)=18，即y=x+2，结合x的取值范围可得两位数的“吉祥数”，很容易求出每个“吉祥数”F(t)的值.
90.(1) 不妨设a≤b≤c.
∵ 三位正整数 t 中，有一个数位上的数字是另外两数位上的数字的平均数，
∴ 重新排序后，其中两个数位上数字的和是另一个数位上数字的2倍，
∴ a+c-2b=0,即(b-a)-(c-b)=0,
∴ F(t)=0.
(2) ∵ m=200+10x+y=2xy是“善雅数”，
∴ x是偶数,2+x+y是3的倍数.
∵ 数字和2+x+y是完全平方数，
∴ 只能2+x+y=9,得x+y=7.
符合条件的解有：
当x=0时,y=7;当x=2时,y=5;当x=4时,y=3;当x=6时,y=1.
满足条件的“善雅数”有 207,225,243,261.
由(1)可知，所有符合条件的“善雅数”中F(m)的最大值是|2-3|-|3-4|=0.
思路点拨
(1) 不妨设a≤b≤c,由平均数的定义推导a,b,c的关系，从而算出F(t)的值.
(2)根据三位“善雅数”的定义，可知 x 为偶数，2+x+y是3的倍数,且2+x+y<30.又根据m的各位数字之和为一个完全平方数，可得 继而求得答案.
91. (1) ∵ 这个“递减数”不大于 13×9=117,
∴ 这个“递减数”只能是两位数.
假设这个“递减数”为
,即10(a+1)+a=13a,解得a=5,
∴ 这个“递减数”为65.
(2)假设三位“递减数”为 四位自然数 则
t= 1000m +100(a +2)+10(a+1)+a
= 1000m+111a +210
= (1001m+100a +209)+(a+1--m).
∵ 1001,110,209能被11整除,
∴ a+1-m能被11整除,
∴ m=a+1.
又m+(a+2)+(a+1)+a=(a+1)+(a+2)+(a+1)+a=4(a+1)是完全平方数,
∴ a+1是完全平方数.
∵a+1≤8,
∴ 只能a+1=1或4,得a=0或3.
当a =0 时,m = 1,t = 1210;当 a = 3 时,m =4,t=4543.
思路点拨
(1)根据这个“递减数”是其个位数字的13倍，推出该数是两位数.再根据“递减数”的定义，设其个位为 a，则十位为 a+1，即可依据题意列方程求解.
(2)设一个三位“递减数”的个位为 a，根据数 t 恰好能被11整除可得出m=a+1.再根据数 m与这个三位“递减数”各数位上的数字之和是一个完全平方数，可得4a+4=4或16,从而求解.
由题意知a+c-b=6.
∵ t能被10整除,
∴ c=0,a=b+6.
∵t能被3整除，
∴a+b+c=(b+6)+b+0=2b+6能被3整除,
∴ 2b能被3整除,
∴ b能被3整除,只能b=0或3,
∴ t=600或930.
都是“和顺数”，
∴ x+z=y+6,m+n=y+6,
∴ x+z=m+n,
∴ x-m=n-z.
假设x-m=n-z=a,由题意知(a≥1.
又
∴ 9x-3z=12m-4n-2,
∴3x-n=12(x-m)+3(n-z)+2=15a+2.
∵ 3x-n<3x≤27,
∴只能a=1,
∴ 3x-n=17.
思路点拨
(1) 由题意得到a+c-b=6,然后根据3和10的整除特性，推出a，b，c的关系.
(2)用代数式表示两个“和顺数”，根据 4F(t )-2得到字母间的关系，然后用关于 a 的代数式表示3x-n，由参数的取值范围得到具体值.
93.(1)65和91.
又 ab和t都是13的倍数，
∴ 100cd是13的倍数，
∴ cd是13的倍数.
又1≤c,d≤3,
∴ 只能
是整数，
∴ ab是1300的因数.
∵ 65 和91中只有65 是1300 的因数,
∴ t 的值为1365.
思路点拨
(1)根据题意即可直接写出两个二位“转运数”.
(2)根据位值原理分析出 要使 为整数，则 为整数，讨论s=65，91是否符合题意.
94.(1) F(767,634)=76+63=139,F(978,445)=95+74=169.
是“圆梦数”，
∴ y=x+1,
∵ t=210+100a+b=(2+a)1b是是“圆梦数”，
∴ b=2,
①∵ 当x≥5时,有
F(s,312)-F(t,678)
= 10(x+1)+3+51-10(2+a)-8-16
= 10(x-a)+20,
∴ a=x.
∵ 5≤x≤7,
|289-89x|=89x-289,
∴ 当x=7时,K(s,t)最大,为89×7-289=334.
② ∵当x≤4时,有
F(s,312)-F(t,678)
= 53+10x+1-10(2+a)-8-16
= 10(x-a)+10 = 20,
∴ x=a+1.
∵ 1≤x≤4,
|389-89x|=389-89x,
∴ 当x=1时,K(s,t)最大,为389-89×1=300.
综上所述,K(s,t)的最大值为334.
思路点拨
(1)根据新定义，仿照样例进行解答便可.
(2)根据“圆梦数”的定义，可以确定 b的值以及x与y的等量关系;根据F的定义与 F(s,321)-F(t,678)=20,确定x与a的等量关系;由K(s,t)=|s-t|得到 x的代数式；根据x 的取值范围便可求得K(s,t)的最大值.
95.(1)假设二位正整数 根据题意可知 A 的“外同源数”为 baba,A 的“内同源数”为
能被5整除且 b≠0,
∴ b=5.
能被3整除，
∴ 它的数字和2(a+b)能被3整除,
∴ a+b能被3整除,
∴由b=5可得a=1,4或7,
∴ A 的值为15,45或75.
(2)假设
根据题意,G(M)=2(a+b),G(N)=2(c+d),G(P)=2(e+f).
∵ 39G(M)+G(P)+37G(N)=386,
∴ 78(a+b)+74(c+d)+2(e+f)=386,化简得
39(a+b)+37(c+d)+(e+f) = 193.
由于a+b≥2,c+d≥2,若a+b和c+d都为奇数,则a+b≥3,c+d≥3,故39(a+b)+37(c+d)+(e+f)>39×3>193,矛盾.
∴ a+b和c+d必有一个偶数,
∴ G(M)·G(N)=2(a+b)·2(c+d)=4(a+b)·(c+d)必是8的倍数.
思路点拨
(1)先假设 根据题意写出 A 的“外同源数”和“内同源数”，然后分析3和5的倍数特点，得到a，b的可能值.
(2)假设 M，N，P，根据“同源和”的定义，得到关于M，N的关系，再利用奇偶性即可证明.
96. (1) ∵ 两个三位数 互为“调和数”，
∴ a+3+4=2+b+c,
∴ a=b+c-5.
= 100(b+c-5)+10b + c+243
= 110b+101c-257
= (99b+99c-198)+(11b+2c-59).
∵ 99b+99c-198是99的倍数,
∴ 11b+2c-59是99的倍数.
∵ 0≤16b+2c≤11×9+2×9=117,
∴ 只能11b+2c=59,
∴ b=5,c=2,
∴ a=b+c-5=2,
∴ 这两个“调和数”分别是243和252.
(2) ∵ A,B互为“调和数”,
∴ x+y=m+n.
由题意知A+B=3(B-A),可得
10m+ n = 2(10x+y)
9m+(m + n) = 18x+2(x+ y)
9m = 18x+(x+y)
x+ y = 9(m-2x),
∴ x+y是9的倍数.
∵ B=2A≤99,
∴ 1≤x+y≤13,
∴ x+y=9,
∴ y=-x+9.
思路点拨
(1) 先利用“调和数”得出a=b+c-5;再求出 +2bc=99(b+c-2)+(11b+2c-59),根据两个三位数之和是99的倍数,可知11b+2c-59=0;最后利用0≤b≤a≤9,0≤c≤9且 a,b,c为整数,即可得出结论.
(2)先利用“调和数”,得出x+y=m+n;再根据A与B之和是B与A之差的3倍，得出 B=2A，从而推出x+y=9(m-2x)是9的倍数;最后估算x+y的取值范围，即可得出结论.
97.(1) 根据题意,736+4×5=756,75+4×6=99.
∵ 99不能被13 整除,
∴ 7365 不是“自觉数”.
方法1 假设一个数的个位是 y，去掉个位余下的数是x,那么这个数为10x+y.
∵ 5(10x+y)+2(x+4y)=52x+13y=13(4x+y)是13的倍数，
又10x+y是13的倍数,
∴2(x+4y)是13的倍数,
∴ x+4y是13的倍数,
∴ xy一定是“自觉数”.
方法2 设任意整数为ab(b是一位数),则13|10a+b.
∵ab=10a+b=10(a+4b)-39b,
∴ a+4b是13的倍数,
∴ ab为“自觉数”.
(2)方法1 假设一个数 t 的个位是y，去掉个位余下的数是x,那么这个数为t=10x+y.
∵5(10x+y)+7(x+2y)=57x+19y=19(3x+y)是19的倍数，
又 能被19整除，
∴ 5(10x+y)能被19整除,
∴ 10x+y能被19整除,即原数 t 一定能被19整除.
方法2 设任意整数为 ab(b是一位数),则19|a+2b.
∵ ab=10a+b=10(a+2b)-19b,
∴ 原数 t 一定能被19整除.
(3) 方法1 ∵ 1001是7的倍数,100-K×1是7的倍数，
又1≤K≤5,
∴ K=2.
下面证明K=2满足要求.
假设一个数 t 的个位是y，去掉个位余下的数是x，那么这个数为t=10x+y.
∵(10x+y)+4(x-2y)=14x-7y=7(2x-y)是7的倍数，
又 能被7整除，
∴ 10x+y能被7整除,
∴ 原数 t 一定能被7整除.
方法2 设任意整数为ab(b是一位数),则7|a-Kb.
∵ab=10a+b=10(a-Kb)+(10K+1)b,
∴10K+1是7的倍数.
又1≤K≤5,
∴ K=2.
(4)假设四位数
∵ 它是65 的倍数,
∴ 这个数是5和13的倍数，
∴ d=5.
又后两位 是完全平方数，
又 是13的倍数，
∴ 根据(1)的结论可得 是13的倍数.
的个位是2，去掉个位余下的数是
是13的倍数.
又 ab是完全平方数，
25,36,49,64,81.
经检验，只有当 或81时, 才是 13 的倍数.
综上所述，满足条件的四位数 n 为1625 或8125.
思路点拨
前三个问题中，可设任意整数为xy(y是一位数),然后凑出10x+y与新数((x+4y,x+2y,x-Ky)和倍数之间的关系，得到最后的结论；也可根据原数和新数的关系，设数位上的字母后直接列出表示数的代数式，通过拼凑得出关键式子与倍数的关系.
最后一个问题中，先根据这个四位数是5的倍数，推出四位数的后两位，再根据第一问的结论，结合完全平方数推出前两位.
98.(1)假设一个“网红数”A的末三位数字表示的数为n，末三位之前的数字表示的数是 m，则 A =1000m+n.
∵A=1000m+n=1001m+(n-m),
又1001和n-m都是11的倍数,
∴ A 是11的倍数.
(2)假设一个数 A 的末三位数字表示的数为n，末三位之前的数字表示的数是 m,则A=1000m+n.
∵ A=1000m+n=1001m+(n-m),
又,只要 n --m是 K 的倍数,那么 A 就是 K 的倍数，
∴ 对于任意正整数m,1001m是K 的倍数,
∴ K 是 1001的因数,
∴ 满足条件的正整数 K 为 1,7,11,13,77,91,143,1001.
(3) ∵ s+t为“网红数”,
∴ s+ t 为11的倍数.
∵s+t=101a+1010b+1442=11(9a+92b+131)+2a-2b+1,
∴2a-2b+1是11的倍数.
∵ 1≤a≤7,0≤b≤5,
或 或
∴ t =1642或2742或3842.
∴ 当x>z时,x越大,G(P)越大,
∴ 当 t =3842 时,G(t)最大,为
思路点拨
前两个问题中，设一个“网红数”的末三位数为 n，末三位之前的数是 m，根据题意可得 A=1000m+n，然后找到 A 与n-m 的关系,可得 A =1000m + n =1001m+(n-m),从而得出结论.
最后一个问题中，由(1)可知 s+t为11的倍数，则s+t=101a+1010b+1442=11(9a+92b+131)+2a-2b+1.再根据2a-2b+1的取值范围,可以得到a,b的可能值.最后化简 G(P),代入x=38,z=2,求出其最大值.
99. (1) ∵“美满数’ 又a+b和a-b的奇偶性相同，
∴“美满数”x只能是奇数或4的倍数.
∵ 2018除以4余2,
∴ 2018不是“美满数”.
(2)由(1)可知，“美满数”x只能是奇数或4的倍数.
∵1不是“美满数”,对于大于1的奇数2k+1(k≥1),可以写成
∴ 1~2019 中满足条件的奇数有 1009个.
∵ 显然,4不是“美满数”,其他4的倍数4k(k≥2)可以写成
∴ 1~2019 中满足条件的4 的倍数有 503个,
∴ 1~2019 这2019个自然数中一共有1009+503=1512个“美满数”.
(3)假设“美好数”为 数字和2(z+y)为6的倍数.
∴ z+y是3的倍数,
∴ 11(z+y)是33的倍数,
∴ zyyz=1001z+110y=33(30z+3y)+11(z+y)一定能被33整除.
(4)要使得 大，则b 尽量大.
∴ 最佳平方差分解应该让 a+b和 a-b的差尽量大.
假设“美好数”为 另一个“美好数”为 由题意可得
∴ 1001z+110y=11(s+t)·9(s-t),化简为
91z +10y = 9(s+ t)(s--t),
∴ 91z+10y=9(10z+y)+(z+y)是9的倍数,
∴ z+y是9的倍数,
∴ z+y=9.
又z∴ m 可能为1881,2772,3663,4554.
又4554除以4余2,不是“美满数”,
∴ 满足条件的 m 只能为1881,2772,3663.
①∵1881=1881×1,
∴ a+b=1881,a-b=1,
∴ a=941,b=940,
② ∵ 2772=1386×2,
∴ a+b=1386,a-b=2,
∴ a=694,b=692,
③∵ 3663=3663×1,
∴a+b=3663,a-b=1,
∴ a=1832,b=1831,
∴ 所有满足条件的数m中F(m)的最大值为
思路点拨
(1)、(2)根据“美满数”的定义可得 (a-b)(a+b),再结合a+b和a-b的奇偶性相同,可得“美满数”x只能是奇数或4 的倍数(除4外)，从而对问题进行分析.
(3)假设“美好数”为 则数字和2(z+y)为6的倍数，从而 z+y是3的倍数；由 33(30z+3y)+11(z+y)可以得到结论.
(4)假设“美好数”为 另一个“美好数”为 可以得到 化简后可得91z+10y=9(s+t)(s-t)=9(10z+y)+(z+y)，推出z+y是9的倍数，然后进行分类讨论.
100.(1)设任意的一个三位数 则
n = 100(b+c-a) +10b+ c,
n = 100a +10(a+c-b),
n = 100a+10b+(a+b--c),
∴ F(n)=100(a+b+c)+10(a+b+c)+(a+b+c)=111(a+b+c),
∴ F(212)=111×(2+1+2)=555,F(739)=111×(7+3+9)=2109.
是“三角形数”，
∴2x=x+x∴ x≤8.
同理,y≤8,z≤8.
s--m=100x+30y+109-(204+10y)=100x+20y-95=100(x-1)+20y+5.
① 当y≤4时, 数字和x-1+2y+5 = 18,化简得 x + 2y = 14.满足条件的解为
②当 y≥5时, 数字和x+2y-10+5=18,化简得x+2y=23.满足条件的解为
综上所述,满足条件的 t 为647,836,782.
∴ k(t)的最大值为
思路点拨
(1)用字母表示三位数 然后根据定义推出 的形式，最后相加得到 F(n)的结果.
(2)先由“三角形数”的定义得到x，y，z的取值范围，然后再根据s-m各个数位上的数字之和是18，得到关于x，y的关系，分类讨论得到它们的值，从而求解k(t)的最大值.

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