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一次函数100题
1.如图1.1所示，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点A 在第一象限且在直线 上，，点B 为线段OA 的中点，过点 A 作y轴的垂线，垂足为点 C，点D 是线段AC 的延长线上的一点，连接点 B、D.若 且 ，求直线 BD 的解析式.
2.如图1.2所示，四边形， 均为正方形.点 和点 分别在直线 l 和x 轴正半轴上，点. 的坐标是 求直线 l 的解析式.
3.如图1.3所示，在平面直角坐标系xOy中，A为y轴正半轴上一点，B为x轴正半轴上一点， 光线从点 C(1,0)出发,到 AB 上一点E,经直线AB 反射后到AO 上一点D，经AO反射后回到点C，则点 E 的坐标为 .
4.如图1.4所示，直线 与x轴、y轴分别交于点A、B，直线 与x轴、y轴分别交于点C、D，点 E 为线段AB 上一点，且 求点 E 的坐标.
5.已知正比例函数 的图像经过A(-2,4)、B(1,b),如图1.5所示.
(1) 求 k、b 的值.
(2)若已知点 C(0，2)，试问：在坐标轴上是否存在一点 P，使 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
6.如图1.6 所示,直线 与 x 轴相交于点A，与y 轴相交于点B.直线 经过点A，与y轴相交于点C.在直线 AC 上是否存在点D，使 若存在，求点 D 的坐标；若不存在，请说明理由.
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7.如图1.7所示，已知直线l： 交x轴于点A、交y轴于点B，点C 在线段OB 上运动(不与点 O、B 重合),连接点 A、C,作( 交线段AB 于点D.
(1)求A、B两点的坐标.
(2)当点 D 的纵坐标为8时，求点 C 的坐标.
(3)过点 B 作直线BF⊥y轴,交 CD 的延长线于点F.设OC=m,BF=n,试求 n与m的函数关系式,并直接写出m、n的取值范围.
8.如图1.8所示,四边形 ABCO 为矩形,点 B 的坐标为(4,2),点 A 在y轴正半轴上,点C 在x轴正半轴上，点E为AB 边上的一点，坐标为(1，2)，点D为y轴负半轴上一动点，点 F 为x轴正半轴上一动点，且 在直线 上找点 P，使 试求出点 P 的坐标.
9.如图1.9所示，点A、B分别在一次函数. 的图像上，其横坐标分别为a、 .设直线 AB 的解析式为 若 是整数时，k也是整数，试求出满足条件的所有 k 值.
10.已知一次函数 的图像与x轴、y轴分别相交于点 A、B，1 2,点 P(a,b)在该函数的图像上.
(1) 求 k 的值.
(2)若点 P 到x轴、y轴的距离之和等于2，求点 P 的坐标.
(3)设 ，如果在两个实数a 与b之间(不包括a 和b)有且只有一个整数，求实数 m 的取值范围.
11.已知一次函数的图像经过点 和 并且
(1)求此一次函数的解析式.
(2)此一次函数的图像是否有可能经过横坐标和纵坐标都是整数的点 请给出你的理由.
12.在平面直角坐标系 xOy中，已知直线 与直线 交于点 A,l 与y轴交于点B,l 与y轴交于点C.
(1)当点 A 在x轴上时,求 k 的值及点A、B的坐标.
(2)横、纵坐标都是整数的点称为整点，记线段 BC、AC、AB 围成的区域(不含边界)为W，区域 W 内整点个数为n，结合函数图像回答：
①在(1)的条件下，
②若 直接写出 k 的取值范围： .
13.阅读材料：在平面直角坐标系中，任何直线的方程均可化为一般形式： C=0(其中A、B、C为常数系数).例如：直线方程 可变形为
一般地，我们在平面直角坐标系中求点到直线的距离，可用下面的公式求解：
点 到直线 的距离公式是
比如,求点 P(1,1)到直线. 的距离为
根据以上材料解答下列问题：
(1) 求点 P(1,1)到直线. 的距离，并判断点 P 与直线的位置关系.
(2)求点. 到直线 的距离.
(3)求两条平行线 和 间的距离.
(4)已知点 M(-1,3)与直线 上点N的距离是3，则 的面积是 .
14.问题：探究函数y=|x|-2的图像与性质.
小华根据学习函数的经验，对函数y=|x|-2的图像与性质进行了探究.
下面是小华的探究过程，请补充完整：
(1)在函数 中，自变量x的取值范围是 .
(2)表1.1所示是 y与x的几组对应值.
表1.1
x 99 -3 -2 -1 0 1 2 3
y 1 0 -1 -2 -1 0 m
②若A(n,2019)、B(2021,2019)为该函数图像上不同的两点,则
(3)如图1.11所示，在平面直角坐标系 xOy中，描出以上表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函数的图像.根据函数图像可得：该函数的最小值为 ；该函数图像与 x 轴围成的几何图形的面积是 .
(4)已知直线 与函数 的图像交于C、D两点，当. 时，试确定 x的取值范围.
15.阅读理解：
(1)发现1：对于一次函数y=kx+b(k、b为常数且k≠0)，k的绝对值越大，此一次函数的图像与过点(0，b)且平行于 x轴的直线所夹的锐角就越大.
根据发现1请解决下列问题：图1.12(a)所示是 , 四个一次函数在同一平面直角坐标系中的图像，比较k 、k 、k 、k 的大小(用“<”或“>”连接).
(2)发现2：我们知道函数 与 的交点的横坐标是方程 的解.类似地， 的解就是y=|x-1|和 的两个图像交点的横坐标.
求含有绝对值的方程 的解.
解：在同一直角坐标系中画出y=|x-1|和 的图像,如图1.12(b)所示.
由图像可知方程 的解有两个.
情况1:当x>1时,y=|x-1|=x-1,即 解得x=4.
情况2:当x≤1时,y=|x-1|=-x+1,即 解得x=0.
∴方程 的解为
利用以上方法，解关于 x的方程
(3)拓展延伸:解关于 x的方程|x-2|= ax(a为常数且( (用含 a 的代数式表示x.)
16. 如图1.13所示,在正方形ABCD 中,F为CD 上一点,连接点 B、F交AC于点G,将△CGF 沿直线GF 折叠至 延长 BC'交 AD 于点E,连接点 C'、F 交BD 于点N,连接点 C、N.若E为AD的中点,AB=6,则四边形( 的面积是 .
17.如图1.14所示，在平面直角坐标系中，点B、C在x轴的负半轴上(点C 在点B左侧),点 A 在y轴的负半轴上,CD⊥AB交AB的延长线于点D,CD=OA=8,OB=6.
(1)求点 D 的坐标.
(2)定义:在平面直角坐标系中,有点 M(m,n).对于直线 y= kx+b,当x=m时,y= km+b>n,则称点M在直线下方;当x=m时,y= km+b=n,则称点 M在直线上;当x=m时,y= km+b请你根据上述定义解决下列问题：
若点 P 在线段AC 所在的直线上,且AC=4AP,直线l 经过点P 和Q(6,-16),请你判断点 D 和直线l 的位置关系.
18.阅读以下材料：
在平面直角坐标系中，x=1表示一条直线；以二元一次方程2x-y+2=0的解为坐标的所有点所组成的图形就是一次函数 y=2x+2的图像，它也是一条直线.不仅如此，在平面直角坐标系中，不等式x≤1表示一个平面区域，即直线x=1及其左侧的部分，如图1.15(a)所示；不等式 y≤2x+2也表示一个平面区域，即直线 及其下方的部分，如图1.15(b)所示.而y=|x|既不表示一条直线，也不表示一个区域，它表示一条折线，如图1.15(c)所示.
根据以上材料，回答下列问题：
(1)请直接写出图1.15(d)表示的是 (填二元一次不等式)对应的平面区域.
(2)如果x、y满足不等式组 请在图1.15(e)中用阴影表示出点(x，y)所在的平面区域，并求出阴影部分的面积S .
(3)在平面直角坐标系中，若函数y=2|x-2|与y=x-m的图像围成一个平面区域，请直接用含 m 的式子表示该平面区域的面积S ，并写出实数m 的取值范围.
19.已知直线l:
(1)求证：不论 m 为何实数，直线 l恒过一定点M.
(2)过定点 M 作一条直线 ，使其夹在两坐标轴之间的线段被点 M 平分，求直线 的解析式.
20.一次函数 交x轴正半轴于点 A，交y轴正半轴于点 C.当k变化时，作点C关于 x轴对称的点 M，B为线段 AM 上一点，连接点 C、B交x轴于点 D，且 如图1.16所示.问: 是否为定值 若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.
21.已知直线 (n是正整数).当 时，直线 与x 轴和y轴分别交于点. 和 设 是平面直角坐标系的原点)的面积为 当n=2时,直线 与x轴和y轴分别交于点. 和 设 的面积为 ·以此类推，直线 与x轴和y轴分别交于点. 和 设 的面积为
(1)求 的面积.
(2) 求 的值.
22.如图1.17所示，已知直线 与直线 相交于点 C，直线 分别交x轴于A、B 两点，矩形DEFG的顶点D、E分别在 上，顶点 F、G都在x轴上，且点 G 与点B重合，则
23. 如图1.18所示,直线 分别交x轴、y轴于A、B两点.
(1)求 A、B两点的坐标.
(2)若点 C 为x轴负半轴上一点，且 的面积为32，求点 C 的坐标.
(3)在(2)的条件下,若点 E 为线段AB上一动点,连接点 B、C,连接点 C、E 交y轴于点D, 的面积恰好被y轴分为1：2两部分.求点 E 的坐标.
24.阅读材料：如图1.19所示，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，任意两条直线之间的距离称为△ABC 的“水平宽(a)”，第三条直线被△ABC 的边所在直线截得的竖直线段的长度称为△ABC 的“铅垂高(h)”.
我们可得出计算三角形面积的一种新方法： 即三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
利用上述材料中提供的知识解答下列问题：
如图1.20 所示，已知直线 与 x 轴、y轴分别交于点A、B.点C 为直线 上一点，且点 C 到直线AB 的距离为 求点 C 的坐标.
25.如图1.21所示，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为 A(0，0)、B(7,0)、C(9,5)、D(2,7).
(1)求直线 CD 的解析式.
(2)求此四边形的面积.
(3)在坐标轴上，你能否找到一点 P，使S△PBC =50 若能，求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由.
26.如图1.22所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线AB与x轴、y轴分别交于点 A 和点B，与正比例函数的图像交于点 C，过点 B 作 交正比例函数的图像于点D，且点 D 的横坐标是1.已知
(1)求直线 OC 与直线AB 的解析式.
(2)若点 P 是正比例函数图像上一动点，当 的面积为 AOC 面积的 倍时，求点 P 的坐标.
27. 如图1.23所示,直线 分别交x轴、y轴于A、B两点，直线 分别交x轴、y轴于C、D两点.在直线 AB 上是否存在一点P，使得 若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
28. 如图1.24所示,在平面直角坐标系中,已知 A(-5,0)、B(-2,4)、C(4,5)、D(6,2)、 ，直线 l 经过点C 且将五边形ABCDE 的面积分割成两等份，求直线 l 的解析式.
29.某商店销售A型和B型两种电器，若销售A型电器20台、B型电器10台，可共获利13000元;若销售A型电器25台、B型电器5台,可共获利12500元.
(1)每台A型电器和每台B型电器的利润分别为多少元
(2)该商店计划一次性购进两种型号的电器共100台，其中B型电器的进货量不超过A型电器的2倍.该商店购进A型、B型电器各多少台，才能使销售总利润最大 最大利润是多少
(3)实际进货时(A、B两种电器共100台),厂家对A型电器出厂价下调a(030.某市为了进一步改善居民的生活环境，园林处决定增加公园A和公园B的绿化面积.已知公园A、B分别有如图1.25(a)、(b)所示的阴影部分需铺设草坪.在甲、乙两地分别有同种草皮1608米 和1200米 出售，且售价一样.若园林处从甲、乙两地购买草皮，其路程和运费单价如表1.2所示.
表1.2
地点 公园A 公园B
路程(千米) 运费单价(元) 路程(千米) 运费单价(元)
甲地 30 0.25 32 0.25
乙地 22 0.3 30 0.3
(注：运费单价指将每平方米草皮运送1千米所需的人民币.)
(1)分别求出公园A、B需铺设草坪的面积(结果精确到1米 ).
(2)请设计出总运费最省的草皮运送方案.
31.有甲、乙两个均装有进水管和出水管的容器，初始时刻同时打开两容器进水管.甲容器到8分钟时，关闭进水管、打开出水管，到16分钟时，又打开了进水管，此时既进水又出水，到28分钟时，同时关闭两容器的所有水管.两容器每分钟进水量与出水量均为常数，容器中的水量y(升)与时间x(分)之间的函数关系如图1.26所示.解答下列问题：
(1)甲容器的进水管每分钟进水 升，出水管每分钟出水 升.
(2)求乙容器内的水量y与时间x的函数关系式.
(3)求从初始时刻到两容器最后一次水量相等时所需的时间.
32.甲、乙两个工程队共同修建一条公路，两个工程队同时从两端按一定的工作效率开始施工.从开始施工到完成修建这条公路，甲队施工40天；乙队在中途接到紧急任务而停止施工一段时间，然后按原来的工作效率继续施工，直到这条公路修建完成为止.设甲、乙两个工程队各自修建公路的长度分别为 y (米)、y (米)，甲队施工的时间为x(天)， 与 x之间的函数图像如图1.27所示.
(1)甲队每天修建公路 米，这条公路的总长度是 米.
(2)求乙队停止施工的天数.
(3)求乙队在恢复施工后 与 x之间的函数表达式.
(4)求甲、乙两队共同修建完3050 米长的公路时甲队施工的时间.
33.小虎和小苹果同时从学校放学，两人以各自速度匀速步行回家.小虎的家在学校的正西方向，小苹果的家在学校的正东方向，小苹果的家与学校的距离比小虎的家与学校的距离远3900米.小虎准备一回家就开始做作业，打开书包时发现错拿了小苹果的练习册，于是立即跑步去追小苹果，终于在途中追上了小苹果并交还了练习册，然后再以先前的速度步行回家，结果小虎比小苹果晚回到家中(小虎在家中耽搁和交还作业的时间忽略不计).图1.28是两人之间的距离 y(米)与他们从学校出发的时间x(分钟)的函数关系图，则小虎的家和小苹果的家相距 米.
34.甲、乙两车都从A地驶向 B地，并以各自的速度匀速行驶.甲车比乙车早出发，在途中休息了0.5小时.设甲车行驶时间为x小时，甲、乙两车行驶的路程y(千米)与时间x(小时)的函数图像如图1.29所示.根据题中信息回答问题：
(1) 填空:
(2)当乙车出发后，求乙车行驶路程y(千米)与时间x(小时)的函数关系式，并写出相应的x的取值范围.
(3)当甲车行驶多长时间时两车恰好相距50千米
35.快、慢两车分别从相距480千米的甲、乙两地同时出发，匀速行驶，相向而行.途中慢车停留了1小时，然后继续以原速驶向甲地，到达甲地后即停止行驶；快车到达乙地后，立即按原路原速返回甲地(调头时间忽略不计).图1.30是两车距离乙地的路程y(千米)与所用时间x(小时)之间的函数图像，则当两车第一次相遇时，快车距离甲地的路程是 千米.
36. 如图1.31所示,直线 与y轴交于点A(0,6),直线 与x轴交于点 与y轴交于点C,l 与l 相交于点 D,连接点 A、B.
(1)直接写出直线 l 、l 的函数表达式.
(2)求 的面积.
(3)P 为x轴上一点,若 为等腰三角形，试求出所有满足条件的点 P 的坐标.
37.如图1.32所示，矩形 OABC 在平面直角坐标系内(O为坐标原点)，点 A 在x轴负半轴上，点C 在y轴正半轴上，点B 的坐标为( 点 E 是BC 的中点,点 H 在OA上，且 交EB于点G，F为OC 上一点.现将 沿EF 折叠,使点 C 落在 HG 上的点D 处.
(1)求∠CEF的度数和点 D 的坐标.
(2)求折痕 EF 所在直线的解析式.
(3)若点 P 在直线EF 上,当△PFD 为等腰三角形时，试求出满足条件的所有点 P 的坐标.
38.如图1.33所示，已知直线 和直线 相交于点(2，2)，直线 过点(0,3),直线 过原点.平行于 y轴的动直线 的解析式为. ，且动直线 交直线 分别于点 D、E(点E 在点D 的上方).
(1)求直线 和直线 的解析式.
(2)若P 是 y 轴上一个动点，且满足 是等腰直角三角形，求点 P 的坐标.
39.如图1.34所示，在平面直角坐标系 xOy中，一次函数 的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，点A 的坐标为( 在第二象限内是否存在点 P，使得以 P、O、A 为顶点的三角形与 相似(包括全等) 若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
40. 如图1.35 所示,直线l: 分别与x轴、y轴交于A、B 两点. OC 是 的平分线.点P 在直线CO上，过点 P 作直线m(不与直线 l重合)，与x轴、y轴分别交于M、N两点.若以O、M、N三点为顶点的三角形与 全等，求出所有符合条件的点 P 的坐标.
41.如图1.36所示，在平面直角坐标系中，直线 向下平移1个单位后得到直线 交x轴于点A，点P 是直线 上一动点，过点 P 作 轴交 于点 Q.点 B 为OA 的中点,连接点O 与Q、B与Q.若点 P 在y轴的左侧,M为直线( 上一动点，当 与 全等时，求点 M 的坐标.
42.(1) 模型建立:如图1.37(a)所示,在等腰直角 中， 直线 ED 经过点C,过点 A 作, 于点D，过点 B作 于点E.求证：
(2)模型应用Ⅰ：已知直线 与坐标轴交于点 A、B，将直线 绕点A 逆.时针旋转 至直线 ,如图1.37(b)所示,求直线. 的解析式.
(3)模型应用Ⅱ:如图1.37(c)所示,四边形 ABCO 为矩形,O为坐标原点,点 B 的坐标为 点A、C分别在坐标轴上，点P 是线段BC 上的动点，D为直线 上一动点.若 是以点D 为直角顶点的等腰直角三角形，试求出所有满足条件的点 D 的坐标.
43.如图1.38所示，在平面直角坐标系中，直线 与直线 交于点A(2,a),与y轴交于点B(0,6),与x轴交于点C.
(1)求直线 l 的解析式.
(2) 求 的面积.
(3)在平面直角坐标系中有一点 P(5，m)，使得 请求出点 P 的坐标.
(4)点 M 为直线l 上的动点,过点 M 作y轴的平行线，交l 于点 N，点Q 为y轴上一动点，且 为等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点 M 的坐标.
44. 如图1.39 所示,直线 与x轴、y轴分别交于A、B 两点,M 是AB 的中点，点P 和点Q分别是x轴和y轴上的两个动点，若 为等腰直角三角形，求出所有符合条件的点 P 的坐标.
45.如图1.40所示，已知直线 的解析式为 现将 沿着 y轴上下平移，平移后的直线记为 在平移的过程中直线 交x轴于点M，交y轴于点N.在直线. 上是否存在点 G，使得 为等腰直角三角形 若存在，求出所有满足要求的点 G 的坐标；若不存在，请说明理由.
46.在平面直角坐标系中，一次函数 的图像与x轴、y轴分别交于点A和点B，若以 AB 为腰的等腰 的底角为 试求点 C 的坐标.
47.如图1.41所示，在平面直角坐标系中，直线 l： 与x轴、y轴分别交于A、B两点，且点 A 的坐标为( 点 P(0，k)是y轴负半轴上的一个动点，以点 P 为圆心、3为半径作⊙P.
若⊙P 与直线l交于C、D 两点，当 k 为何值时，以 C、D、P为顶点的三角形是等边三角形
48.如图1.42所示，在平面直角坐标系 xOy中，点 A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，且
(1)将点 A 翻折落在线段OB 的中点C 处,连接A、C,折痕交OA 于点D、交 AB 于点E，求直线 DE 的解析式.
(2)在(1)的条件下，在平面直角坐标系内，是否存在点 F 使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形 若存在，求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由.
49.如图1.43所示，在平面直角坐标系 xOy中，A为x轴负半轴上一点，B为y轴正半轴上一点,且OA=8,OB=4.点 P 在AB上,且 PB=3PA.
(1)求直线 AB 的解析式和点P 的坐标.
(2)在坐标平面内是否存在点 Q，使得以 A、P、O、Q为顶点的四边形是等腰梯形 若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
50.如图1.44所示，在平面直角坐标系 xOy中，直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，与直线 交于点D，点B 绕点A 顺时针旋转 的对应点 C恰好落在直线 上.
(1)求直线 CD 的解析式.
(2)点 F 是直线 上的动点，G为平面内的点，若以点 C、D、F、G为顶点的四边形是菱形，请直接写出点 G 的坐标.
51.如图1.45所示，在平面直角坐标系 xOy中，A为x轴负半轴上一点，B为y轴正半轴上一点，且 四边形 AOBC 为矩形,直线 AD 交BC 于点D,将 沿直线AD 折叠，使点 C 与y轴上的点E 重合.
(1)求直线 AD 的解析式.
(2)若点 P 在 y 轴上，平面内是否存在点 Q，使以A、D、P、Q为顶点的四边形为矩形 若存在，请直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
52. 如图1.46所示,直线 y= kx+b与x轴、y轴分别交于点A、B,与直线 交于点C，且 将直线 y=kx+b沿直线 折叠，与x轴交于点D、与 y轴交于点E.
(1)求直线 y= kx+b 的解析式及点 C 的坐标.
(2)求△BCE 的面积.
(3)若点 P 是直线y=3x上的一个动点，在平面内是否存在一点 Q，使以 A、C、P、Q为顶点的四边形是矩形 若存在，请直接写出点 P、Q的坐标；若不存在，请说明理由.
53.如图1.47所示，在平面直角坐标系中，直线 AB与x轴、y轴分别交于A、B 两点，直线 BC 与x轴、y轴分别交于点C、B,点 A 的坐标为(2,0), 且
(1)求直线 BC 和AB 的解析式.
(2)在平面直角坐标系内是否存在两个点 M 和N，使得这两点与B、C两点所构成的四边形是正方形 若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由.
54.如图1.48所示，在平面直角坐标系中，直线 与 x轴、y轴分别交于A、B两点，直线 与x轴、y轴分别交于 C、D 两点,AB、CD交于点 E,G为CD的中点，F为 CO 的中点.若点 P 为线段 CE 上的动点(不含端点)，点Q 为折线段AE-EG上的动点(不含端点)，且点 P 始终在点Q 的左侧，是否存在以O、F、P、Q为顶点的四边形是一个轴对称图形 若存在，请直接写出这个轴对称图形的面积；若不存在，请说明理由.
55.已知3个非负数a、b、c满足条件的最大值为S，最小值为 t.求 S-t 的值.
56. 如图1.49所示,直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，与直线. 交于点C.在线段OA 上，动点 Q 以每秒1个单位长度的速度从点 O 出发沿OA 向点A 做匀速运动，同时动点 P 从点A 出发沿AO向点O 做匀速运动，当点 P、Q中的一点停止运动时，另一点也停止运动.分别过点 P、Q作x轴的垂线，交直线 AB、OC 于点E、F，连接点 E、
F.若运动时间为 t 秒，在运动过程中四边形 PEFQ 总为矩形(点P、Q重合除外).
(1)求点 P 运动的速度.
(2)当 t 为多少秒时,矩形 PEFQ 为正方形
(3)当t 为多少秒时，矩形 PEFQ 的面积S最大 求出最大值.
57.首先，我们看下面两个问题的解答：
问题1:已知x>0,求 的最小值.
问题2:已知t>0,求 的最小值.
问题1的解答：对于x>0，有 当 即 时，上述不等式取等号，所以 的最小值为
问题2的解答:令x=t-2,则t=x+2,于是
由问题1的解答知， 的最小值为 所以 的最小值是
弄清上述问题及解答方法之后，解答下述问题：
在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点,且使得△OAB 的面积值等于OA+OB+3.
(1) 用b 表示k.
(2) 求△AOB 面积的最小值.
58. 在平面直角坐标系中,已知A(0,-1)、B(1,3)、C(2,6).直线l: 上的三点D、E、F的横坐标分别为0、1、2.当 取最小值时，求直线 l 的解析式.
59. 如图1.50 所示,直线 与 x 轴、y轴分别交于点A、B，点P 在该直线上，设点 P到x轴、y轴的距离分别为
(1)求 的最小值及对应的点 P 坐标.
(2)当 时，求点 P 的坐标.
(3)若点 P 是线段AB 延长线或线段BA 延长线上的任意一点，恒有 (m、n为常数)成立，求 的值.
60. 如图1.51所示,直线 与 x轴、y轴分别交于A、B两点.点P 是线段OB 上的一动点(能与点 O、B重合).若能在斜边 AB 上找到一点C，使 设点 P的坐标为(m，0)，求m 的取值范围.
61.已知点 线段 (点P 在点Q的上方)为直线 3上的一条动线段，如图1.52所示.求 的最小值及取最小值时点P 的坐标.
62. 如图1.53所示,已知点. 点 P 为直线l: 上的一个动点，点Q为直线m： 上的一个动点，且. 求 的最小值及取最小值时点P 的坐标.
63. 如图1.54所示,已知点. 点 P 为直线l: 上的一个动点，点M为直线n. 上的一个动点,且 PM⊥n,点 Q 为x轴上的一个动点,求 AP+PM+MQ的最小值及取最小值时点P 的坐标.
64. 如图1.55所示,已知点. 线段 (点P 在点Q的上方)为直线 上的一条动线段，求 的最大值及取最大值时点 P 的坐标.
65. 如图1.56所示,已知点. 点P 为 上的一个动点，点Q为直线 上的一个动点，求四边形 ABQP 周长的最小值及取最小值时点P 的坐标.
66. 如图1.57所示,直线 交x轴于点A、交 y轴于点C(0,4),已知点 B的坐标为( M是线段AC上一点且( N为y轴上一动点(不与点C 重合)，将 沿直线MN 翻折后得到 点 C 对应点 求 的最大值.
67.如图1.58所示，在平面直角坐标系 xOy中，直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线 交 于点 D,过点B的直线l 交x轴于点C(3,0),P为l 上一动点，M为l 上一动点，N为 上一动点，求 的最小值.
68. 如图1.59所示,直线 与x轴、y轴分别交于A、B 两点,E 为OA 的中点，将线段 OE 绕点O 逆时针旋转得到( 旋转角为 连接点 与A、E'与B,求 的最小值及相应的. 的坐标.
69.如图1.60(a)所示，在平面直角坐标系中，点D 的横坐标为4，直线 经过点 D 且与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线 经过点C(1,0)和点 D.
(1)求直线 l 的解析式.
(2)在图1.60(a)中,点 P 为直线l 上一动点,连接点 B、P.一动点 M 从点B 出发,沿线段 BP 以每秒 个单位长度的速度向终点 P 运动，求点 M 在运动过程中所用的最短时间.
(3)如图1.60(b)所示,点 P 为线段AD 上一动点,连接点C、P.一动点 M 从点C 出发，沿线段CP 以每秒2个单位长度的速度运动到点 P 后，再沿线段 PD 以每秒 个单位长度的速度运动到终点 D，求点 M 在整个运动过程中所用的最短时间.
70. 如图1.61所示,直线 与 x轴、y轴分别交于A、B两点，直线 与x轴、y轴分别交于C、B两点，且 为直线 上一点，横坐标为12，Q为直线 上一动点，当 最小时，将线段 PQ 沿射线PA 方向平移，平移后 P、Q的对应点分别为 当 最小时，求点 的坐标.
71.如图1.62所示，在平面直角坐标系 xOy中，直线 与 x轴、y轴分别交于 A、B两点. Q为 y轴上一动点,连接点 A、Q,以 AQ为边作正方形 AQEF(A、Q、E、F四点按顺时针方向排列)，连接点O 与E、A与E，则( 的最小值为 .
72. 如图1.63(a)所示,在平面直角坐标系中,已知点 A(8,4),AB⊥y轴于点B,AC⊥x轴于点C,直线 y=x交AB 于点D.
(1)直接写出 B、C、D 三点的坐标.
(2)若E为OD 延长线上一动点，记点E 的横坐标为a，△BCE 的面积为S，求S 与a的关系式.
(3)当S=20时,过点 E作EF⊥AB于点 F,G、H分别为直线 AC、CB上的动点,如图1.63(b)所示.求 FG+GH 的最小值.
73.如图1.64所示，将边长为4 的正方形ABCD 置于平面直角坐标系中，使 AB 边落在x轴的正半轴上且点A 的坐标是(1，0)，直线 y=x与线段CD 交于点E.
(1)直线 经过点C且与x轴交于点F,求四边形 AFCD 的面积.
(2)若直线 l 经过点 E 和点F，求直线l 的解析式.
(3)若直线 l 经过点 且与直线y=-3x平行,将(2)中直线 l 沿着 y轴向上平移1个单位得到直线 l ，直线 l 交x轴于点M、交直线 l 于点 N,求△MNG 的面积.
74.如图1.65所示，在平面直角坐标系中，直线 和直线 b 相交于y轴上的点B，且分别交x轴于点A 和点C.
(1) 求 的面积.
(2) 点 E 的坐标为(5,0),点 F 为直线l 上一个动点，点P 为y轴上一个动点，求当 EF+CF 最小时点F 的坐标，并求出此时 的最小值.
(3) 将 沿直线l 平移，平移后记为 直线 交 l 于点M,直线 B C 交 x 轴于点 N,当△B MN 为等腰三角形时，请直接写出点 C 的横坐标.
75.如图1.66所示，在平面直角坐标系中，直线 和直线 交于点A,四边形 OCAD 是矩形,点 C 在x轴正半轴上,点 D 在y轴正半轴上,点 P 是矩形OCAD的边AD 上的一个动点，连接点O、P，点D 关于直线OP 的对称点为点. 若点 到矩形OCAD 的较长两条对边的距离之比为1：4，求点 P 的坐标.
76. 如图1.67所示,直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，已知 轴于点F 交直线AB 于点E,点 M 是x 轴上一动点,连接点 E 与M、P 与M,将 沿直线EM 折叠至 连接点 A 与P、A与 当 是等腰三角形时，试求出点 M 的坐标.
77. 如图1.68所示,直线 分别交x轴、y轴于A、B 两点,已知 C(9,0),连接点B、C，将 绕着点A 顺时针旋转 得到 直线 与直线AB、x轴分别交于点M、N.当 为等腰三角形时，请直接写出线段 BM 的长.
78. 如图1.69所示,在平面直角坐标系中,已知直线 y=x,Q(10,6),A( ,0).动点M在直线 上，动点 P、N在x轴正半轴上(点P 在点N 左侧)，连接点 M 与Q、M与N、N与Q.
(1) 如图(a)所示,当 的周长最小时，连接点 M、P，求 的最小值，并求出此时点 P 的坐标.
(2)如图(b)所示,在(1)问的条件下,将. 绕点A 旋转 得 记旋转过程中直线 与直线y=x交于点K，直线 与x轴交于点R.是否存在 为等腰直角三角形 若存在，直接写出线段 KR 的长度；若不存在，请说明理由.
79. 如图1.70所示,直线 和 相交于点 C，分别交x轴于点A 和点 B，将直线 AC 绕点O 顺时针方向旋转 与 x 轴和直线BC 分别交于点M和点N.当 是等腰三角形时，α的大小为 .
80. 定义符号 min{a,b,c}表示a、b、c三个数中的最小值,比如:
(1) 填空:
(2)试求函数 的解析式.
(3)关于 x的方程· 有解，试求常数 m 的取值范围.
81. 对于三个数a、b、c,用M{a,b,c}表示这三个数的平均数,用 max{a,b,c}表示这三个数中最大的数.
例如：
解答下列问题：
(1) 填空:
(2) 如果 M{-2,x-1,2x}= max{-2,x-1,2x},求x的值.
(3)在同一直角坐标系中作出函数y=x-1,y=-|x+1|,y=-2-x的图像(不需列表描点),通过观察图像,填空: max{x-1,-|x+1|,-2-x}的最小值为 .
82.设a、b是任意两个不等的实数，我们规定：满足不等式( 的实数x的所有取值的全体称为闭区间，表示为[a，b].
对于一个一次函数，如果它的自变量x 与函数值y满足 时有 我们称此函数为闭区间[m，n]上的闭函数.
(1) 判断 是否为[2，3]上的闭函数.
(2)若一次函数 是 上的闭函数，求此函数解析式.
83.对某一个函数给出如下定义：若存在实数. 对于任意的函数值 y，都满足 ，则称这个函数是有界函数.在所有满足条件的 M 中，其最小值称为这个函数的边界值.例如，图1.71所示的函数是有界函数，其边界值为1.
(1) 函数 是不是有界函数 若是有界函数，求其边界值.
(2)若函数 的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b 的取值范围.
84.对于给定的一次函数. 我们称函数 为其“m变函数”(其中 m 为常数).
例如：一次函数. 的“3变函数”为
(1)一次函数 的“2变函数”为 ，若(4，t)为该“2变函数”图像上一点，则t= .
(2)一次函数 的“1变函数”为. 一次函数 的 变函数”为y ，求函数y 和函数. 的图像交点坐标.
(3)一次函数 的“1变函数”为 一次函数 的“m变函数”为
① 当-3≤x≤3时，函数 y 的取值范围是 (直接写出答案).
②若函数 y 和函数 y 有且仅有两个交点，则m的取值范围是 (直接写出答案).
85.【材料阅读】我们知道，当一条直线与一个圆有0个、1个、2个公共点时，分别称这条直线与这个圆相离、相切、相交.类似地，我们定义：当一条直线与一个正方形没有交点时，称这条直线与这个正方形相离；当一条直线与一个正方形只有一个公共点时，称这条直线与这个正方形相切；当一条直线与正方形有两个公共点时，称这条直线与这个正方形相交.
【问题解决】如图1.72所示，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的顶点A、D在x轴上,且A(2,0)、D(4,0).
(1) 直线 y=-x+3与正方形 ABCD 的位置关系是
(2)若直线 y=2x+a与正方形ABCD 相切,则 a=
(3)若直线 l 的解析式为 设d 是原点O 到直线l的距离，当直线l与正方形DABC 相交时，直接写出 d 的取值范围.
86.阅读下列材料并解答问题：
在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)经过变换φ得到点. 变换记作 其中 (a、b为常数).
例如，当 时，
(1) 当 时，
(2)若 则
(3) 设点 P(x,y)的坐标满足 点P 经过变换φ得到点， 若点 P 到点P'重合,求a 和b的值.
87.操作：“如图1.73(a)所示，P是平面直角坐标系中一点(x轴上的点除外)，过点 P作 轴于点C，点C 绕点P 逆时针旋转 得到点 Q.”我们将由点 P 得到点Q 的这种操作称为点的T变换.
(1)点P(a，b)经过T变换后得到的点Q的坐标为 ；若点 M经过T变换后得到点 则点 M 的坐标为 .
(2)点 A(2,m)是函数 图像上的一点，经过T变换后得到点 B，如图1.73(b)所示.求经过O、B两点的直线解析式.
88.在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积数值上相等，则这个点称为和谐点.例如，图1.74中过点 P分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形 OAPB 的周长与面积相等，则点 P 是和谐点.
(1)判断点 M(1,2)、N(4,4)是否为和谐点,并说明理由.
(2)若和谐点 P(a,3)在直线 y=-x+b(b 为常数)上,求a、b的值.
(3)若直线y=2x+12上存在和谐点，写出此点的坐标.
89. 在平面直角坐标系xOy中,已知A(0,2)、B(4,2)、C(4,0). P为长方形ABCO 内(不包括边界)一点，过点 P 分别作x轴和y轴的平行线，这两条平行线将长方形 ABCO 分为4个小长方形，若这4个小长方形中有一个长方形的周长等于 OA，则称 P 为长方形ABCO的长宽点.例如:图1.75中的 为长方形 ABCO 的一个长宽点.
(1) 在 中，长方形 ABCO 的长宽点是 .
(2) 若 为长方形 ABCO 的长宽点，求a 的值.
(3)若一次函数. 的图像上存在长方形 ABCO 的长宽点，求k 的取值范围.
90. 若m、n是正实数,当m+n= mn时,我们称点. 为“完美点”.
(1)若点 E 为完美点，且横坐标为2，则点 E 的纵坐标为 ；若点 F 为完美点，且纵坐标为3，则点 F 的横坐标为 .
(2)完美点 P 在定直线 (填直线的解析式)上.
(3) 如图1.76所示,已知点 A(0,5)与点 M 都在直线y=-x+5上,点 B、C是完美点,且点 B 在直线AM 上.若 求 的面积.
91.在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为 点 Q 的坐标为 且 若 则称点 P、Q互为“正方形点”(点P 是点 Q 的正方形点，点Q 也是点P 的正方形点).
(1)已知点 A 的坐标是(2，3)，下列坐标中与点 A 互为正方形点的坐标是 (填序号).
①(1,2);②(-1,5);③(3,2).
(2)若点 B(1,2)的正方形点 C在y轴上,求直线 BC 的解析式.
(3)点D 的坐标为 点 M 的坐标为(2，m)，点N 是线段OD(含端点)上一动点，若M、N互为正方形点，求m 的取值范围.
92.如图1.77所示，在平面直角坐标系中，已知点 连接点 M、N，如果点 P 在直线 上，且点 P 到直线MN 的距离不小于1，那么称点 P 是线段MN的“疏远点”.
(1)判断点 是否是线段 MN的疏远点，并说明理由.
(2) 若点 P(a,b)是线段 MN 的疏远点,求 a 的取值范围.
(3)在(2)的前提下，用含 a 的代数式表示 的面积 并求 的最小值.
93.若直线 与 的交点在直线 l上，则把直线l 称为 的“思美线”.
(1)求 与 的思美线 l 的解析式.
(2)若 与 的交点在 上，且 的思美线为 求 的解析式.
(3) 若 与 分别满足
①求证： 分别经过两个定点A、B.
②若 的交点为 C，且 连接A、B,若 的思美线l平行于AB，求l的解析式.
94.在平面直角坐标系xOy中，AB 为任意已知线段，我们把到线段 AB 所在的直线的距离为 的直线，称为直线 AB 的“观察线”，并将观察线上到 A、B两点距离和最小的点C称为线段AB 的“最佳观察点”.
(1) 若 那么在点A(1,0)、 中，处于直线 PQ的观察线上的是点 .
(2)求直线l: 的观察线的解析式.
(3)若M(0,-1),点 N 在第二象限,且MN=6,当 MN的一个最佳观察点在y轴正半轴上时，直接写出点 N 的坐标；按逆时针方向连接点 M、N及其所有最佳观察点，直接写出连线所围成的多边形的周长和面积.
95.定义：若一条直线平分三角形的面积，则称这条直线为该三角形的“等积线”；若一条直线平分三角形的周长，则称这条直线为该三角形的“等周线”.
如图1.78所示,在平面直角坐标系中,点O 为坐标的原点,A(4,3),B(4,-3).
(1)过点 A 是否存在直线l 既是 的等积线又是等周线 请说明理由.
(2)若点 P 在线段OA 上,点 Q 在线段OB 上,直线 PQ 为△AOB 的等周线,求| (其中，yp为点P 的纵坐标，yo为点Q 的纵坐标).
(3)若点 M 在线段OB 上,点 N 在线段AB 上,直线 MN 既是△AOB 的等积线又是等周线，求 OM 的长.
96.阅读下列两则材料，回答问题.
材料1：
定义直线 y= ax+b 与直线y= bx+a 互为“互助直线”.例如,直线 y=x+4与 y=4x+1互为互助直线.
材料2：
对于平面直角坐标系中的任意两点 定义 P 、P 两点间的“直角距离”为 例如， 两点间的直角距离为
设P (x ,y )为一个定点,Q(x,y)是直线 y= ax+b上的动点,我们把d(P ,Q)的最小值称为点 P 到直线 y=ax+b 的直角距离.
(1)计算S(-1,6)、T(-2,3)两点间的直角距离d(S,T);直线 y=2x+3上的一点H(a，b)又是它的互助直线上的点，求点 H 的坐标.
(2)对于直线y= ax+b上的任意一点M(m,n),都有点N(3m,2m-3n)在它的互助直线上，试求点 到直线 y=ax+b的直角距离.
97.对于平面直角坐标系中的任意两点 我们把 称为 两点间的“转角距离”，记作
(1)令 O为坐标原点，则
(2)已知O为坐标的原点，动点 P(x，y)满足 ，请写出 x 与y之间满足的关系式，并在图1.79所示的直角坐标系中画出所有符合条件的点 P 所组成的图形.
(3) 设 是一个定点，Q(x，y)是直线 上的动点，我们把d(P ，Q)的最小值称为点 到直线 的转角距离.若P(a,-2)到直线 的转角距离为10，求 a的值.
98.阅读材料，解决下列问题：
材料1：对非负实数 x 四舍五入到个位的值记为，即：当n为非负整数时，如果 则=n;反之,当n为非负整数时,如果=n,则
例如:<0.51>=<1.49>=1,<2>=2,<3.5>=<4.15>=4.
材料2：对于平面直角坐标系中任意两点 我们把 |称为 P 、P 两点间的“折线距离”，并规定
例如:若 P (-1,2),P (1,3),则
若P (x ,y )是一定点,Q(x,y)是直线y= kx+b上的一动点,我们把D(P ,Q)的最小值称为 P 到直线 y=kx+b 的折线距离.
(1) 如果<2x>=5,则实数x的取值范围为 .
(2) 已知E(a,2)、F(3,3),且 D(E,F),则a的值为 .
(3)若 m 为满足 的最大值,求 M(3m,1)到直线 y=x+1的折线距离.
99.阅读理解：
在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点 与 的“非常距离”，给出如下定义：
若 则点 P 与点 P 的非常距离为|
若 ，则点 P 与点 P 的非常距离为|
例如:已知点 P (1,1)、P (2,3),因为|1-2|<|1-3|,所以点 与点 的非常距离为|1-3|=2.
(1)已知点 B为y轴上的一个动点.
① 若点 B(0,3),则点 A 与点B 的非常距离为 .
②若点 A 与点 B 的非常距离为2，则点 B 的坐标为
③ 点 A 与点B 的非常距离的最小值为 .
(2) 如图1.80 所示,点 C 是直线 上的一个动点,已知点 D(0,1),DA∥x轴,CA⊥DA 于点A,求点 C 与点D 的非常距离的最小值及相应的点C 的坐标.
100.阅读下列材料：
①直线l外一点P 到直线l的垂线段的长度，称为点 P 到直线l的距离，记作d(P，l).
②有两条平行线 l 、l ，直线 l 上任意一点到直线 l 的距离称为这两条平行线之间的距离，记作
③若直线 l 、l 相交，则定义
④对于同一直线l，我们定义
⑤对于两点 和直线 l 、l ，定义相关距离如下：
根据以上材料，解答以下问题：
如图1.81所示，设
(1)①d(P ,l )= ;②d(P ,P |l ,l )= .
(2) ①若 则 的最大值为 ；
②若 则 取最大值时，k的值为 ；
③若 且l 与 l 的夹角是 则 的最大值为 .
(3)若 试确定 的值(用含 b 的代数式表示).
1. 连接点 B、C,如图2.1所示.
∵∠OBD=∠D+∠OAD,∠OBD=3∠D,
∴∠OAD=2∠D.
∵AC⊥y轴,
∴∠OCA=90°.
∵点 B 为OA 的中点,
∴BC=BA=BO,
∴∠OAD=∠BCA.
∵∠BCA=∠D+∠DBC,
∴∠D=∠DBC,
∴BC=CD=5,OA=2BC=10.
设点 A 的坐标为( 则
∵在 Rt△OCA中,(
得x=6,
∴点 A 的坐标为(6,8),
∴点 B 的坐标为(3,4),点 D 的坐标为(-5,8).
设直线 BD 的解析式为 y = kx + b,将点 B(3,4)、D(-5,8)代入y= kx+b,有
∴直线 BD 的解析式为
思路点拨
两点确定一条直线，因此待定系数法求一次函数解析式的关键就是求直线上两点的坐标.本题中，BC 为斜边OA 上的中线是突破口，结合题目所给条件∠OBD=3∠D和三角形外角性质推导出BC=CD，进而得出 OA的长度和点A 的坐标，再得出 B、D坐标即可求出直线BD 的解析式.
2.∵如图2.2 所示,四边形 A B C C 是正方形,
∵直线 y= kx+b与y轴交于点A ,
∵四边形 A B C O为正方形,
∵四边形 A B C C 为正方形,
将点 A 、A 的坐标代入 y= kx+b,得
消去 b，整理得 得
∴直线 l 的解析式为
思路点拨
本题考查待定系数法求一次函数解析式.由于点 B 的坐标已知，由四边形 A C C B 是正方形可推出点A 、C 的坐标.点 A 的纵坐标是 b,故正方形A B C O的边长为 b,结合四边形 A B C C 是正方形的条件可以将点 A 的坐标用 b 表示出来，将点 A 、A 的坐标代入 y=kx+b得到k与b的方程组，解之即可.
3. ∵由题意知B(4,0)、A(0,4),
∴直线 AB 的解析式为y=-x+4.
设点 C 关于直线AB 的对称点为F(m,n),连接点 E与F、C与F,CF交AB 于点H,则 CF⊥AB 且H 为CF的中点，如图2.3所示.
∵CF⊥AB,C(1,0),
∴直线 CF 的解析式为y=x-1.
由 解得即
∵H为CF的中点,
解得
∴F(4,3).
设C(1,0)关于 y轴的对称点为G(-1,0),由光的反射原理可知 F、E、D、G四点共线.
由 F(4,3)、G(-1,0)可求得直线 GF 的解析式为
由 解得
思路点拨
分别作出点 C 关于直线AB 和y 轴的对称点.由光的反射原理知F、E、D、G四点共线.点G 的坐标可直接写出，求点 F 的坐标就成了本题的重点.注意对轴对称性质的应用，由 AB 垂直平分CF 于点H，直线 CF与AB 的斜率之积为-1，结合点 C 的坐标得出直线CF的解析式，联立直线 CF 与AB 的解析式求得CF的中点H的坐标，再利用中点坐标公式得出点 F 的坐标，于是直线 GF解析式自然求出，联立直线 GF 与AB 的解析式即可求得点E的坐标.
4. 设直线 DC 交AB 于点F,过点 E 作EH⊥x轴于点H,如图2.4所示.
由 解得 即
对于直线 y=x-6:
令x=0,则y=-6,即B(0,-6);
令y=0,则x=6,即A(6,0).
对于直线
令x=0,则y=2,即D(0,2);
令y=0,则x=4,即C(4,0).
∴DO=2,CO=4,
∴AC=6-4=2,BD=2+6=8.
又∵∠AEC=∠BDC,∠EAC=∠DBF=45°,
∴△AEC∽△BDF,
∵∠AHE=90°,
∴△AHE 是等腰直角三角形，
又点 E 在第四象限内，
思路点拨
设直线 DC 交 AB 于点 F,由题设易知△AEC 与△BDF 相似,由比例等式算出 AE 的长度.作 EH⊥x轴，根据△AEH 是等腰直角三角形算出AH 与EH 的长度，然后可知点 E 的坐标.
5.(1)∵正比例函数y= kx(k≠0)的图像经过A(-2,4),
∴---2k=4,得 k=-2,
∴正比例函数为y=-2x.
∵直线 y=-2x经过B(1,b),
∴b=-2.
(2) 解法1 ∵C(0,2),B(1,-2),
∴线段 BC 的中点坐标为
设直线 BC 的解析式为
∴由 解得
∴直线 BC 的解析式为y=-4x+2.
∵PB=PC,
∴点 P 在线段BC 的垂直平分线上.
设线段 BC 的垂直平分线为
解得
∴线段 BC 的垂直平分线为
或
解法2 设 P(m,n).
∵PB=PC,
令m=0，可解得 即
令n=0，可解得 即
综上所述，满足要求的点 P 坐标为 或: ,0).
思路点拨
(1)先将点 A 的坐标代入y= kx 算出k,再将点 B的坐标代入y=kx 算出b.
(2)有两种解法.解法1:由 PB= PC 知点P 在BC的中垂线上，因此求出 BC 的中垂线解析式，中垂线与坐标轴的交点即为点 P.解法2：设出点 P 的坐标，直接利用两点间的距离公式和 PB=PC 列方程求解.
6. 存在.
作 OF⊥AC 于点 F,在 FC 上截取FE = FO,连接点O、E,则△OFE 是等腰直角三角形,如图2.5所示.
∴∠EOF=∠OEF=45°.
作 BD∥OE 交AC 于点D.
∴∠BDA=∠OEF=45°.
∵直线 y=-x+2与x轴、y轴分别相交于 A、B两点,
∴A(2,0),B(0,2),
∴OA=OB=2.
∵直线 y=-2x+b经过点A,
∴0=-2×2+b,得b=4,
∴直线 AC 的解析式为y=-2x+4.
∵直线 y=-2x+4与y轴交于点C,
∴C(0,4),
∴OC=4,
∵AC·OF=OA·OC,
设E(m,-2m+4)(0解得 或 (舍去).
∴点 E 的坐标为
∴B为OC 的中点.
∵BD∥OE,
∴D 为CE 的中点,
思路点拨
首先求出点 A、B的坐标，然后求出直线 AC 的解析式及点C的坐标.由45°不难联想到等腰直角三角形，于是作OF⊥AC 于点F,在 FC 上截取FE=FO,连接点O、E,则△OFE 是等腰直角三角形.然后作 BD∥OE 交AC 于点D，点D 就是所求点.由等面积法可以求出 OF的长度，解等腰直角三角形得出 OE 的长度，而点 E 在直线AC 上，设出点 E 的坐标，根据OE 的长度列方程解出点E 的坐标,注意到 B是OC 的中点,而 BD∥OE,于是得出 D 就是CE 的中点，由中点坐标公式直接得出点D的坐标.
7.(1)∵y=-2x+12交x轴于点A,交y轴于点B,
∴y=0时,x=6,即 A(6,0);x=0时,y=12,即B(0,12).
(2) 过点 D 作DE⊥BO于E,如图2.6所示.
∵点 D 的纵坐标为8，
∴8=-2x+12,得x=2,即D(2,8).
设CO=x,则CE=8-x.
∵CD⊥AC,
∴∠ECD+∠OCA=90°.
∵∠CAO+∠OCA=90°,
∴∠CAO=∠ECD.
∵∠COA=∠DEC=90°,
∴△COA∽△DEC,
解得
∴点 C 的坐标为(0,2)或(0,6).
(3)∵∠ECD=∠CAO,∠COA=∠CBF=90°,
∴△COA∽△FBC,
∵OC=m,BF=n,则BC=12-m,
思路点拨
(1)解析式已知，A、B坐标易求.
(2)作DE⊥BO 于点E,构造“一线三垂直”相似,即△DEC 与△COA 相似,列出比例方程解出 CO 的长度.
(3) 根据△COA 与△FBC 相似,列出比例方程,整理即可得出n与m的函数关系式.
8.① 当点 P 在直线AB 的上方时,记为 P .
作 P H⊥x轴于点H交AB 的延长线于点G,作 FN⊥AB 交AB 的延长线于点N,如图2.7所示.
∵∠DEF=90°,
∴∠AED+∠NEF=90°.
∵∠OAB=90°,
∴∠AED+∠ADE=90°,
∴∠NEF=∠ADE.
∵∠DAE=∠FNE=90°,
∴△ADE∽△NEF,
∵E(1,2),
∴AE=1.
∵FN=AO=2,
∵∠BEP =∠EDF,∠DEF=∠EGP =90°,
∴△DEF∽△EGP ,
设P (a,-10a+60),则EG=a-1,P G=-10a+60-2=-10a+58.
得a=5,
∴--10a+60=10,
∴P (5,10).
② 当点 P 在直线AB 的下方时,记为 P .设点 P 的坐标为(a,-10a+60).
作 P M⊥AB于点M交x轴于点R,则
EM=a-1, P M=2-(-10a+60)=10a-58.
同理，
解得a=7,
∴--10a+60=-10,
∴P (7,-10).
综上所述，满足条件的点 P 的坐标为(5，10)或(7,-10).
思路点拨
分两种情况进行讨论：①点 P 在直线AB 上方；②点P 在直线AB 下方.
作 FN⊥AB 于点N,由△ADE∽△NEF 得出 .对于第一种情况，作P H⊥x轴于点H交AB的延长线于点 G,由条件可判定△DEF∽△EGP ,从而 设出点 P 的坐标P (a,-10a+60),用含a的式子表示出EG 和GP ，解比例方程得出a，从而确定点 P 的坐标.第二种情况的解法类似.
9. 由题意知A(a,a)、B(b,8b).
设直线 AB 的解析式为y=kx+m,则
解得
∵k为整数，
是7的约数.
①当 时,b=-6a.
∵a>0,b>0,
∴此情况舍去.
②当 时,b=2a,k=15.
③当 时,b=8a,k=9.
综上所述，满足要求的 k 值为15 和9.
思路点拨
首先表示出点 A、B的坐标，设直线 AB 的解析式为y= kx+m,再把点 A、B 的坐标代入y= kx+m 得到两个方程，整理得出k的表达式，结合b/a、k都是整数的条件判断出 的值，从而得出 ba的值，进而求出k的值.
(1)对于y= kx+3,令x=0,则y=3,即B(0,3).
(2)将点 P 的坐标代入直线解析式得b与a的二元一次方程，根据点 P 到坐标轴的距离之和为2列出方程，消去 b得到关于a的含绝对值的一次方程，用“零点分段讨论法”去绝对值符号，解出 a 的值，得出点 P 的坐标.
(3)将a=1-m代入直线解析式算出b.根据题意知a≠b,推出m≠0,然后分m>0和m<0两种情况讨论.在这两种情况下，都可推知1在a 与b之间或b与a之间，再根据“a与b之间(不包括a和b)有且只有一个整数”进一步限定 a 与b 的取值范围，列出关于 m的不等式组，解之即可.
11. (1) 设直线的解析式为 y= kx+b.
∵直线 y= kx+b经过点A(x ,y )、B(x ,y ),
得
又 经过点
得
∴直线的解析式为
(2)将直线的解析式变形：
若x为整数，则2x+1必为奇数.
不可能是整数，即y 不可能是整数.
∴此一次函数的图像不可能经过横坐标和纵坐标都是整数的点.
思路点拨
(1) 设直线的解析式为 y= kx+b,将 A、B 两点坐标代入y= kx+b得到两个方程，两式相减可得 k= (事实上，这就是直线斜率公式)，再将点 C 坐标
代入即可求出直线的解析式.
(2)直线的解析式就是一个二元一次不定方程，对 进行“欧拉分离”得 y=﹣2x+3+ 假设x为整数，则2x+1是奇数，而奇数是不可能被4整除的，即y不可能是整数.
12. (1) 对于直线 y=x-2,令x=0,则y=-2,即C(0,-2);令y=0,则x=2,即A(2,0).
∵直线 l 经过点 A,
∴2k+3=0,得
∴直线 l 的解析式为
令x=0,则 即B(0,3).
(2)根据题意作图，如图2.8所示.
① W区域的整点有(1,1)、(1,0),即n=2.
② 当l 刚好经过(1,1)时,k+3=1,得 k=-2,此时区域 W 内只有一个整点.
∵n≥2,
∴k>-2.
当l 刚好经过(2,2)时,2k+3=2,得 此时区域 W 内刚好有4个整点.
∵n≤4,
综上所述，当 时,2≤n≤4.
思路点拨
本题主要考查直线所围封闭区域内的整点个数问题.需要注意两点：①正确作图，数形结合.②利用极端原理求变量取值范围.在求2≤n≤4对应的 k 的取值范围时，分别计算 n取最小值和最大值时k的两个极端值，从而确定 k 的取值范围.
13. (1) 将直线方程y=3x-2变形为3x-y-2=0.
∴点 P(1,1)到直线 y=3x-2的距离为
∴点 P 在直线y=3x-2上.
(2)将直线方程y=2x-1变形为2x-y-1=0.
∴点 P(2,-1)到直线 y=2x-1的距离为
(3)在直线 上取一点 P(4,0).
将 变形为2x+3y+18=0.
点 P 到直线 的距离d 即为两直线之间的距离：
∴l 与l 之间的距离为2
(4) 过点 M 作MH⊥ON 于点H,如图2.9所示.
由点到直线的距离公式得
∵MN=3,
思路点拨
本题以阅读材料的形式考查了点到直线的距离公式的应用.
(1)如何判断一个点是否在直线上 除了验证点的坐标是否满足直线方程，还可以验证点到直线的距离是否为0.
(2)直接套用公式，但套用之前应将直线方程化为一般形式.
(3)两条平行线之间的距离就是其中一条直线上的任意一点到另一直线的距离.事实上，平行直线 l ： 和 之间的距离为
注意：两条平行线的方程一定要(也一定能)先化成x和y的系数分别对应相同的一般形式.
(4)作 MH 垂直于直线 y=2x 于点 H,先求点 M 到直线 y=2x的距离 MH,根据勾股定理求 HN 和OH 的长,也就求出了 ON 的长，然后△OMN 的面积可以直接算出.
14.(1) 函数 y=|x|-2自变量x的取值范围是任意实数.
(2)①把x=3代入y=|x|-2,得m=3-2=1.
②把y=2019代入 y=|x|-2,得2019=|x|-2,解得x=-2021或2021.
∵A(n,2019)、B(2021,2019)为该函数图像上不同的两点，
∴n=-2021.
(3)该函数的图像如图2.10所示.
由图2.10可得，该函数的最小值为-2；该函数图像与x轴围成的几何图形的面积是
(4)在同一平面直角坐标系中画出函数 与函数y=|x|-2的图像,如图2.11所示.
由图像可知，当y ≥y即 时x的取值范围是-1≤x≤3.
思路点拨
(1)自变量“没有任何限制”，取值范围为任意实数.
(2)将所给数据代入函数直接算出m、n即可.
(3)根据表格中的数据在坐标系中描点作图.
(4)在同一平面直角坐标系中再画出函数 的图像，直线 高于或等于函数 y=|x|-2图像所对应的x的取值范围即为所求.
(2)如图2.12所示,在坐标系中画出y=|x-2|和 的图像.
由图像可知方程 的解只有一个.
当x>2时,y=|x-2|=x-2,即 解得x=2.
当x≤2时,y=|x-2|=-x+2,即 解得x=2.
∴方程 的解为x=2.
(3)①当a<-1时,如图2.13所示,直线 y= ax与y=|x-2|有一个交点,即方程|x-2|= ax有一个解.
此时x<2,y=|x-2|=-x+2.由-x+2= ax解得
②当-1≤a<0时,如图2.14所示,直线 y= ax 与y=|x-2|无交点,故方程|x-2|= ax 无解.
③当0当x<2时,y=|x-2|=-x+2.由-x+2= ax解得
当x>2时,y=|x-2|=x-2.由x-2= ax解得x=
④当a≥1时,如图2.16 所示,直线 y= ax 与y=|x-2|有一个交点,即方程|x-2|= ax 有一个解.
此时x<2,y=|x-2|=-x+2.由-x+2= ax解得
思路点拨
(1) 对于一次函数 y= kx+b,k 是直线的斜率,k的符号反映直线的倾斜方向，|k|的值反映直线的倾斜程度.具体而言，k>0时直线从左向右看是上升趋势，k<0时直线从左向右看是下降趋势；|k|的值越大，直线越靠近 y轴，与y 轴所夹锐角越小(或者通俗地说直线“越陡”).
(2)数与形相辅相成.方程 的解就是函数y=|x-2|与 图像交点的横坐标，因此在同一坐标系中画出y=|x-2|和 1的图像，通过观察图像交点的情况即可得知方程解的情况.
(3)同样借助数形结合的思想解决问题.只不过这里有参数a 的存在，因此要分类讨论.由于函数 y=|x-2|对应的y=x-2和y=-x+2的斜率为±1,因此可以作出y=x和y=-x两条直线作为“临界直线”，再讨论 a 的范围就容易多了.
16.如图2.17所示，以B 为坐标原点建立坐标系，使A、C两点分别在y轴正半轴上和x轴正半轴上，延长 BE与CD 交于点H.
易知DH= AB=6,CH=CD+DH=12,BE=EH=
∴A(0,6),C(6,0),D(6,6),E(3,6),
∴直线 BE 的解析式为y=2x，直线 BD 的解析式为y=x,直线AC 的解析式为y=-x+6.
∵BF 平分∠CBH,
∴直线 BF 的解析式为
由 解得
∵C'F⊥BE,
∴设直线 C'F的解析式为
将 代入 解得
∴直线 C'F 的解析式为
由 解得
思路点拨
本题是“建系法”解决平面几何问题的经典实例.对于很多平面几何问题，仅运用几何手段解答很困难，而建立平面直角坐标系，用代数手段处理就显得容易.
本题中，由于 因此问题转化为求 S△CGF和S△NCF,进而转化为求 G、N、F 三点的坐标.注意到 E为AD的中点，于是延长 BE 和CD 交于点H,得到△ABE 与△HDE 全等,从而得出 DH、BH 的长度.在△BCH 中，利用角平分线比例定理可得出点 F的坐标，也就得出了直线 BF 的解析式.而C'F⊥BE,利用“相互垂直的两条直线的斜率之积为﹣1”的的结论可得出直线C'F的解析式.于是联立直线 BD 与直线C'F的解析式解出点 N 的坐标，联立直线 AC 与直线BF 的解析式解出点G的坐标.
注意，在解平面几何问题时，如果建立坐标系后图中点的坐标和直线的解析式不易求，最好不用“建系法”，或许纯几何方法更简洁高效.
17. (1)∵OA=8,OB=6,∠AOB=90°,
∴AB=10.
∵CD⊥AB,
∴∠CDB=90°=∠AOB.
在△CDB 和△AOB中,有
∴△CDB≌△AOB(AAS),
∴CB=AB=10,DB=OB=6,OC=16.
作 DH⊥BC 于点H,如图2.18所示.
在 Rt△DHB中,
(2) ① 当点 P 在线段AC 上时,如图2.19所示.作 PM⊥OA 于点M.
∴PM=4,AM=2,
∴OM=6,
∴点 P 的坐标为(-4,-6).
∵Q(6,-16),
∴直线 l 的解析式为y=-x-10.
∵当 时，
∴点 D 在直线l的上方.
② 当点 P 在CA 的延长线上时,如图 2.20 所示,作PN⊥OA 于点N.
∵PN∥CO,
∴PN=4,AN=2,
∴ON=10,
∴点 P 的坐标为(4,-10).
∵Q(6,-16),
∴直线 l的解析式为y=-3x+2.
∵当 时，
∴点 D 在直线l的下方.
思路点拨
(1) 判定△CDB≌△AOB 是解答的切入点,然后得出 BD、CB的长度，再利用等面积法求出点 D 到x 轴的距离.
(2)题目中给出点与直线位置关系的判定方法，必须先求出直线解析式，因此求点 P 的坐标就成了解答此问的关键.而点 P 坐标的求解除了常规的比例法，还可以用定比分点坐标公式速算：
在平面直角坐标系中,已知点 A(x ,y )、B(x ,y ),P(x,y)为线段 AB 上一点,若 则
特别地，当m=1时上述公式即为中点坐标公式.
18.(1) 过点(0,--2)、(6,0)的直线解析式为
图1.15(d)表示直线 及其上方的部分，即 对应的平面区域.
(2)阴影表示的平面区域如图2.21所示.
由 解得 即A(3,8).
由 解得 即B(3,-3).
由 解得 即
函数y=2|x-2|与y=x-m的图像所围成的平面区域如图2.22所示,则 D(2,0).
由 解得 即E(4-m,4-2m).
由 解得
作 FM⊥x轴于点M,EN⊥x轴于点N.
m,
(2-m) ,
∵当直线y=x-m过点D时,m=2,
∴函数y=2|x-2|与y=x-m的图像要围成一个封闭平面区域必须满足-m>-2，即m<2.
思路点拨
(1)根据两点的坐标(0,-2)、(6,0)求出直线解析式.
(2)通过作图可知不等式组表示的区域是一个三角形，求出该三角形的三个顶点的坐标，就可求出三角形的面积.
(3) 函数 y=2|x-2|的图像与 x轴的交点为D,函数y=x-m与y=2|x-2|的图像围成一个三角形区域，交点为 E、F.解方程组求得点E、F的坐标.作 FM⊥x 轴于点M,EN⊥x 轴于点N.由于 -S△END,因此分别求出梯形 FMNE、△FMD、△END 的面积即可确定 S .直线 y=x﹣m 过点D 时是临界状态,此时m=2.故-m>-2才可以保证y=x-m与y=2|x-2|围成封闭区域，从而得出m的取值范围.
19.(1) 将方程 整理得
m(x+2y-3)+(2x+y+4)=0.
令 解得
∴直线 l 恒过定点
(2) 设所求直线 l 的解析式为 y= kx+b.
∵l 过点
得
设直线 l 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,则A(-b,0),B(0,b).
∵AB 的中点为M,
解得
∴直线 l 的解析式为
思路点拨
如果直线的解析式能表示成mG(x,y)+F(x,y)=0形式(其中,m是参数,G(x,y)、F(x,y)是两个关于x、y的一次整式)，则该直线必过一定点，且该定点的坐标由方程组 确定.
另外，如果有一定点的坐标为(m，n)，那么过该定点的直线的表达式为y=k(x-m)+n或者x=m.
注意中点坐标公式的应用：平面内任意两点(x ,y )、(x ,y )连线的中点坐标为
20. AB+AC 是定值.
作 AE平分∠OAC 交OC 于点E,EF⊥AC 于点F,如图2.23所示.
对于一次函数y= kx-4k,令y=0,则x=4;令x=0,则 y=-4k.
∴A(4,0),C(0,-4k),
∴OA=4,OC=-4k,
∵AE 平分∠CAO,
∴∠CAE=∠OAE.
∵EF⊥AC,
∴∠EFA=∠EOA=90°,
∴△EFA≌△EOA,
∴EF=EO,AF=AO=4,
设CE=m,则EF=OE=OC--CE=-4k-m.
在 Rt△CEF 中, 即
解得
∵∠CAO=2∠OCD,
∵点 M 与点C关于x轴对称，
∴OM=OC=-4k,CM=OC+OM=-8k,AM=
∴△CMB∽△ACE,
∴AB+AC=8,即AB+AC 为定值.
思路点拨
根据一次函数y=kx-4k可以先得出点A、C的坐标与 OA、OC 的长度，再利用勾股定理算出 AC 的长度(用k 表示).注意到条件中二倍角关系的存在，即∠CAO=2∠OCD,于是作 AE 平分∠OAC 交OC 于点E,EF⊥AC 于点F,然后易知△EFA≌△EOA,AF=AO,EF=EO,CF=CA-AF.设CE=m,在 Rt△CEF中，由勾股定理列出方程解出 CE 的长度(用k 表示).根据对称性可知 OM = OC, AM = AC,∠ACE =∠CMB,不难得出△CMB 与△ACE 相似,列出比例方程解出 BM 的长度(用k 表示)，也就知道了 AB 的长度. AB+AC的表达式中，含k 的项刚好全部抵消.
21. (1) ∵当n=1时,直线l :y=-2x+1与x轴和y轴的交点分别为 和 B (0,1),
(2) ∵直线 与x轴和y轴的交点坐标分别为 和
思路点拨
(1)算出直线 l 与坐标轴的交点坐标，得出 OA 、 的长度，再利用面积公式计算S .
(2)直接算出 ln与坐标轴的交点坐标，得出 OAn、 的长度，进而得出 Sn的通项公式.观察 Sn公式结构发现可以“裂项”，从而使计算简化.
22.对于直线 令 y=0,则 解得x=-4,即A(-4,0).
对于直线 y=-2x+16,令 y=0,则-2x+16=0,解得x=8,即B(8,0).
∴AB=8-(-4)=12.
由 解得 即C(5,6).
∵四边形 DEFG 为矩形,
∴BD⊥FG,DE∥FG.
∵点 D在l 上,.xD=xB=8,
∴D(8,8),BD=8.
∵点E在l 上,yE=yD=8,
∴--2xE+16=8,解得xE=4,
∴E(4,8),DE=4.
∴S矩DEFG = DE×BD=4×8=32.
思路点拨
由于 l 、l 的解析式已知，因此首先求出点 A、B、C的坐标，从而得出 S△ABC.根据四边形 DEFG 是矩形且点D、E分别在直线l 、l 上，可依次求出点 D、E 的坐标，从而得出矩形的长和宽，然后算出矩形的面积.最后求出面积之比.
23.(1)对于直线 令x=0,则y=8,即B(0,8);令y=0,则x=6,即A(6,0).
∴AC=8,
∴OC=2,
∴C(-2,0).
(3) 设
①若S△BDE=2S△BCD,则2BD×OC=BD×m,得m=4,即E(4, ).
②若2S△BDE=S△BCD,则BD×OC=2BD×m,得m=1,即
综上所述，满足要求的点 E 坐标为
思路点拨
(1) 分别令x=0,y=0进行计算.
(2)由面积关系算出 AC 的长度，进而得 OC 的长度.
(3)设出点 E 的坐标，分两种情况讨论.
24. 如图2.24所示,连接点 C 与B、C与A,作 CH⊥AB 于点H,作 CF∥y轴交AB 于点F.
设C(m,2m+3),则 F(m,m-5).
∵直线 y=x-5与x轴、y轴分别交于点A、B,
∴A(5,0),B(0,-5),
∴OA=OB=5,
解得 m=6或m=-22,
∴C(6,15)或C(-22,-41).
思路点拨
由于 AB 的长度可求，点C 到AB 的距离已知，因此ABC 的面积可直接算出.
过点C 作竖直线交 AB 于点 F.根据材料可知△ABC的面积可表示为 设C(m,2m+3),则 F(m,m-5),解方程可得 m的值,从而得出点 C 的坐标.注意，这里的铅垂高 CF 表示为|yc-yF|，加绝对值符号的原因是 C 和F的位置不确定，这样做可以防止漏解.
25.(1)设直线CD 的解析式为y= kx+b,将C、D 两点的坐标代入y=kx+b，得
解得
∴直线 CD 的解析式为
(2)作 DE⊥AB 于点 E,CF⊥AB 于点F,如图2.25所示.
(3)解法1 ①当点 P 在x轴上且在直线BC 左侧时，如图2.26 所示.设点 P 的坐标为(x,0),则
解得x=-13,即 P(-13,0).
② 当点 P 在x轴上且在直线BC 右侧时，如图2.27所示.设点 P 的坐标为(x,0),则
解得x=27,即 P(27,0).
③ 当点 P 在y轴上且在直线BC 上方时，如图2.28所示.设点 P 的坐标为(0,y),作 CH⊥AB 于点H,则
解得 即P(0, ).
④ 当点 P 在y轴上且在直线BC下方时，如图2.29所示.设点 P 的坐标为(0,y).
由 B、C两点的坐标可得直线BC 的解析式为
∴直线 BC 与y轴的交点为
解得 即
综上所述,满足要求的点 P 坐标为(-13,0)、(27,0)、
解法2 设点 P 的坐标为(m,n).作 PH∥y轴交直线BC 于点H,如图2.30所示.
由 B、C两点的坐标可求得直线BC 的解析式为
① 令 m =0,则 解得 或 n =
∴点 P 的坐标为
②令n=0,则 解得m=-13或m=27.
∴点 P 的坐标为(-13,0)、(27,0).
综上所述,满足要求的点 P 坐标为(-13,0)、(27,0)、
思路点拨
(1)采用待定系数法求直线的解析式.
(2)采用割补法求面积.
(3)解法1中，分四种情况，画出对应的示意图，分别计算.解法2利用“水平宽”与“铅垂高”求面积.
如图2.31所示,在平面直角坐标系 xOy 中,△ABC的三个顶点坐标分别表示为A(xA,yA)、B(xB,yB)、C(xc, yc). BE∥y轴交CA 的延长线于点E,AD∥y轴交BC 于点D,CF∥y轴交BA 的延长线于点F,D、E、F三点的坐标分别表示为D(XD,yD)、E(xE,yE)、F(XF,yF).则
26.(1) ∵BD∥OA,
∴∠DBO=90°.
∵xD=1,
∴BD=1.
在 Rt△OBD中,
∴D(1,3),B(0,3).
设直线 OC 的解析式为y=mx.
将 D(1,3)代入 y= mx,得m=3.
∴直线 OC 的解析式为y=3x.
设直线 AB 的解析式为y= kx+b.
将A(4,0)和B(0,3)代入 y= kx+b,解得 b=3.
∴直线 AB 的解析式为
(2) 由 解得即
过点 P 作PF∥y轴交直线AB 于点F.设 P(x,3x),则
① 当点 P 在直线AB 的上方时,如图2.32所示.
解得
② 当点 P 在直线AB 的下方时,如图2.33所示.
解得
综上所述，满足要求的点 P 坐 标为 或
思路点拨
(1)由勾股定理算出 OB 的长度，确定点 D 和点B的坐标，然后利用待定系数法确定两直线的解析式.
(2)首先联立两直线的解析式解出点 C 的坐标，然后直接算出△AOC 的面积.作 PF∥y轴交AB 于点 F,以 OA 为△ABP 的水平宽,以 PF 为△ABP 的铅垂高,则 设 P(x,3x),则 根据 建立方程解出x的值，从而确定点P 的坐标.
27. 存在.
由题意知A(-3,0)、B(0,3)、C(2,0)、D(0,-2),则OA=OB=3,OC=OD=2,AB∥CD.
①当点 P 在x轴的下方时，如图2.34所示.
∵S△PAD =S△PCD且AB∥CD,
∴AP=CD,
∴四边形 APDC 为平行四边形，
∴PC 与AD 的中点重合,
∴P(-5,-2).
② 当点 P 在x轴的上方时,如图2.35 所示.
∵S△PAD =S△PCD且AB∥CD,
∴AP=CD,
∴四边形 PADC 为平行四边形，
∴PD与AC的中点重合，
∴P(-1,2).
综上所述，直线 AB 上存在使S△PAD = S△PCD|的点P，其坐标为(-5,-2)或(-1,2).
思路点拨
分两种情况讨论：①点 P 在 x轴的下方；②点 P在 x 轴的上方.由 AB∥CD 与S△PAD = S△PCD可推断出四边形 APDC 或 PADC 是平行四边形，而平行四边形的对角线互相平分，故可借助中点坐标公式迅速确定点 P 的坐标.
28. 如图2.36所示,连接点 A 与C、C 与E,作 BG∥AC 交AE 的反向延长线于点G,连接点 C、G,作 DF∥CE交AE 的延长线于点F，连接点 C、F.
∵S△BAC=S△GAC,S△DCE= S△FCE,
S△FCE = S△CGF.
设直线 l与AE 的交点为M.
∵l经过点C 且平分五边形ABCDE 的面积，
∴l 平分△CGF 的面积,
∴M 为GF 的中点.
设直线 AC 的解析式为
由 解得
∴直线 AC 的解析式为
∵BG∥AC,
∴设直线 BG 的解析式为
将 B(-2,4)代入 解得
∴直线 BG 的解析式为
设直线 AE 的解析式为 则
∴直线 AE 的解析式为
F 解得
设直线 CE 的解析式为
由 解得
∴直线 CE 的解析式为
∵DF∥CE,
∴设直线 DF 的解析式为
将 D(6,2)代入 解得n=-25.
∴直线 DF 的解析式为
F 解得 即
∵M 为GF 的中点,
设l的解析式为
由 解得
∴l的解析式为
29.(1)设每台A型电器的利润为a 元，每台B型电器的利润为 b元.
由题意得
答：每台A型电器的利润为400元，每台 B型电器的利润为500元.
(2)设销售总利润为 W 元，购进 A 种型号电器x台，则
W=400x+500(100-x)=-100x+50000.
W随x的增大而减小，当x 取最小值时，W取最大值.
由题意知100-x≤2x,解得
当x=34时,W 取得最大值,此时 W= - 100×34+50000=46600,100-x=66.
答：该商店购进 A 型、B型电器的数量分别为34台、66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元.
(3)设总利润为 W 元，购进A种型号电器x台，则
W=(400+a)x+500(100-x)=(a-100)x+50000.由题意知0①当1000,W 随x的增大而增大.
当x=60时，W取得最大值，此时W=60a+44000>50000,100-x=40.
②当a=100时,W=50000为定值.
③当0当x=0时,W取得最大值,此时 W=50000,100-x=100.
综上所述：当100思路点拨
(1)列出二元一次方程组求解.
(2)设销售总利润为 W 元，购进 A 种型号电器x台，由题意可列出 W 与x的一次函数关系式，并且由条件可确定 x的取值范围，再根据一次函数的增减性求出 W的最大值及对应的x的值.
(3)设总利润为 W 元，购进A种型号电器x台，由题意列出 W 与x的函数关系式，分三种情况讨论.当a=100时，W为定值.在其他情况下，W 与x 存在一次函数关系，根据一次函数的增减性确定 W 的最大值及对应的x的值.
30.(1)设公园 A、B需铺设草坪的面积分别为 S 和S .
S =62×32-62×2-32×2+2×2=1800(米 ).
设公园B中圆的半径为 R，圆心到矩形较长一边的距离为
).
∴公园 A、B 需铺设草坪的面积分别为 1800 米 和1008米 .
(2)设总运费为 y元，公园A从甲地购买草皮 x 米 ，从乙地购买草皮(1800-x)米 .
公园A、B需要购买的草皮面积总数为1800+1008=2808米 ,甲、乙两地出售的草皮面积总数为1608+1200=2808米 ，即总需求量与总供应量相等.
∴公园B从甲地购买草皮(1608-x)米 ，从乙地购买草皮1200-(1800-x)=(x-600)米 .
由 解得600≤x≤1608.
由题意得
y =30×0.25x+22×0.3×(1800-x)
+32×0.25×(1608-x)+30×0.3×(x-600)
=1.9x+19344.
∵y随x的增大而增大，
∴当 x =600 时,y 取得最小值,ymin=1.9×600+19344=20484(元).
∴总运费最省的方案为：公园 A 从甲地购买草皮600 米 ，从乙地购买草皮1200米 ；公园B从甲地购买草皮1008米 .
思路点拔
(1)根据图示利用割补法求出阴影面积.
(2)设总运费为y元，公园A从甲地购买草皮x米 ，然后用含x的代数式依次表示出公园A从乙地购买的草皮数量以及公园B从甲、乙地购买的草皮数量.由题中所给约束条件列出关于x的不等式组，求出x的取值范围.根据表格中提供的数据建立一次函数模型，利用一次函数的增减性求出 y的最小值.
31.(1)观察图像可知，甲容器进水管的速度为 5升/分，出水管的速度为 升/分.
(2)设乙容器内的水量 y与时间x的函数关系式为y= mx+ n.观察图像可知,直线经过点(0,10)和点(5,15),则
∴乙容器内的水量 y 与时间x 的函数关系式为y=x+10.
(3)观察图像可知，从初始时刻到两容器最后一次水量相等(图像相交)时所需的时间在16~28分钟内.
在第16分钟时，甲容器中的水量为20升，进水管的进水速度与出水管的出水速度之差为5-2.5=2.5升/分.
在第 28 分钟时,甲容器中的水量为 20 +2.5×(28-16)=50升.
设16~28分钟时间段内，甲容器内的水量y与时间x的函数关系式为y=kx+b.
将(16,20)、(28,50)代入 y= kx+b,得
∴16~28分钟时间段内，甲容器内的水量 y与时间x的函数关系式
由 解得
∴从初始时刻到两容器最后一次水量相等时所需的时间为20分钟.
思路点拨
(1)根据0~8分钟的函数图像计算进水管的速度，出水管的速度可根据8~16分钟的函数图像计算得出.
(2)已知两点的坐标，利用待定系数法求解函数关系式即可.
(3)首先求出16~28分钟时间段内甲容器内的水量 y与时间x的函数关系式，再与乙容器的函数关系式联立即可解出答案.
32.(1)甲队的工作效率为2400÷40=60(米/天).
公路总长度为2400+1750=4150(米).
(2)乙队的工作效率为
500÷10=50(米/天).
乙队停止施工的天数为
40-1750÷50=5.
(3) m=10+5=15.
设 ,将(15,500)、(40,1750)代入,得
(4)设甲、乙两队共同修建完3050米长的公路时，甲队施工了 a 天.
当a=15时,则15×60+500=1400<3050.
∴a>15,
∴60a+50a-250=3050,解得a=33,
∴甲、乙两队共同修建完3050米长的公路时，甲队施工了33天.
思路点拨
(1)用甲队修路的总长度除以总天数即得每天修路的长度；甲、乙两队所修路的长度之和即为公路的总长度.
(2)由图像可知，乙队前10天修路500米，据此算出乙队的工作效率，用乙队修路的总长度除以工作效率得到乙队实际修路所用的时间，然后用40天减去这个时间就得到乙队中途停止施工的天数.
(3)由前一问的计算可知m=15，然后利用待定系数法即可求出 y 与 x之间的函数表达式.
(4)先判断在第15天时两队所修路的总长度低于3050米，由此断定施工天数必须大于15.设甲、乙两队共同修建完3050米长的公路时，甲队施工了a 天，列出方程求解即可.
33.设小虎的家与学校的距离为 h 米，则学校与小苹果家的距离为 h+3900米.
观察图像可知，在第20分钟时小虎到家，在第70分钟时小苹果到家.
小虎的步行速度为h 米/分，小苹果的步行速度为 米/分.
观察图像可知，在第40分钟时小虎追上了小苹果，在第90分钟时小虎返回到家中.
小虎返回时与放学回家的步行速度一样，由此可知在第70分钟小苹果到家时，小虎刚好经过学校(小虎从学校步行回家的时间是20分钟).
由题意结合图像可知，小苹果步行40分钟的路程与小虎步行30分钟的路程一样，则
解得 h=2400.
小虎家与小苹果家的距离为2400+2400+3900=8700米.
思路点拨
本题考查一次函数图像在行程问题中的应用.由于小苹果家与学校的距离比小虎家与学校的距离远3900米，故设小虎的家与学校的距离为 h 米，则学校与小苹果家的距离为 h+3900米.观察图像可以分别表示出小虎与小苹果的步行速度.由于小虎从学校回到家的用时是20分钟，从第70分钟到第90分钟用时也是20分钟，故推断出在第70分钟时小虎刚好经过学校(观察出这一点是本题的难点和突破口)，由此得出小苹果步行40分钟的路程与小虎步行30分钟的路程一样，列出方程即可解出 h.
34.(1)由题意知甲车在途中休息了0.5小时，则m=1.5-0.5=1.
由图像可知
(2)设乙车行驶的路程为 y=kx+b，由题意知
∴y=80x-160.
令 y=260,则80x-160=260,得x=5.25.
∴2≤x≤5.25.
(3)设甲车行驶的路程为 y= mx+n(x≥1.5),由题意知
∴y=40x-20.
令 y=260,则40x-20=260,得x=7.
∴y=40x-20(1.5≤x≤7).
①若1.5≤x≤2,由40x-20=50解得
②若2③若5.25综上所述，甲车行驶 小时、 小时、 小时或 小时，两车恰好相距50千米.
思路点拨
(1)根据甲车“在途中休息了0.5小时”这一条件，结合图像可推断 m=1.由图像可知甲车行驶3小时的路程为120千米，从而可知甲车的速度为40千米/时，而a 恰好就是甲车行驶1小时的路程，故a 就是40.
(2)设 y= kx+b,将坐标(2,0)、(3.5,120)代入y= kx+b解出k与b,即可得函数关系式.令 y=260,可求出x的最大值，从而确定x的取值范围.
(3)先根据图像求出甲车在1.5小时之后的路程与时间的一次函数关系式.分三种情况讨论：①1.5≤x≤2；②235.由图像可知,慢车的速度为 480÷(9--1) =60千米/时.
点 D 对应的时间为5小时，则对应的路程为5×60=300千米,即 D(5,300).
∴直线 OD的解析式为y=60x.
∵a=60×(7-1)=360,
∴快车的速度为(480+360)÷7=120千米/时,
∴快车到达乙地的用时为480÷120=4小时，
∴B(4,0).
设直线 AB 的解析式为y=kx+b，由题意得
∴直线 AB 的解析式为y=-120x+480.
由 解得
∴快车与慢车第一次相遇时，距离甲地的路程是480-160=320千米.
思路点拨
首先由图像可知慢车行驶全程所用的时间，算出慢车的速度，从而算出第5小时慢车行驶的路程，得出点D 的坐标和直线OD 的解析式；同时可得出第7小时慢车行驶的路程，也就得出快车此时一共行驶的路程，算出快车的速度以及快车行驶完一个全程所对应的时间，得出点 B的坐标，用待定系数法求得直线 AB 的解析式.联立直线 OD 与直线AB 的解析式求得第一次相遇距离乙地的路程，用全程减去这个路程即是距离甲地的路程.
解答这类行程问题的关键是弄清楚运动过程，用分段一次函数图像反映行程问题的情况下，要看懂每一段图像代表的运动过程，特别要注意折线段拐点所代表的含义.明白了运动过程，结合已知数据和行程问题的基本公式进行计算.在同一个坐标系中有两个或多个运动参与者的图像时，图像的交点往往代表相遇或者追及事件，而交点坐标的求解常借助解二元一次方程组来实现.
36.(1) 将A(0,6)代入y=-x+n,得n=6.
∴直线 l 的解析式为 y=-x+6.
将B(-2,0)代入y= kx+1,得
∴直线 l 的解析式为
(2) 由 解得即
对于 令x=0,则y=1,即C(0,1).
(3)设P(m,0).
∵A(0,6),B(-2,0),
①当AP=BP 时, 解得m=8,即P(8,0).
②当AP=AB 时, 解得 m =-2(此时点 B 与P 重合,舍去)或m=2,即 P(2,0).
③ 当 BP = AB 时,( 解得 m = - 2± 即 或(
综上所述，满足要求的点 P 坐标为( (2,0)、(-2+2 ,0)或(8,0).
思路点拨
(1)将A、B两点坐标分别代入l 、l 解析式中求出n与k 即可.
(2)先求出 C、D 两点坐标,再计算△ABD 面积即可.
(3)由于点 P 在x 轴上，故设出点 P 的坐标，利用距离公式分别表示出 AB 、AP 、BP ，然后分三种情况进行计算.
37. (1) ∵四边形 OABC 为矩形,
∴AB = OC = 2 , BC = AO = 2, A ( - 2,0),C(0,2 ).
∵E 是BC 的中点,
∵△FCE 与△FDE 关于直线EF 对称,
∴△FCE≌△FDE,
∴ED=EC=1,∠FCE=∠FDE=90°,DF=CF.
∵HG∥OC 交BC 于G,
∵在 Rt△GED 中,
∴∠GDE=30°,∠GED=60°,
∵∠DEF=∠CEF,
(2) ∵∠CEF=60°,
即F(0, ).
设 EF 所在直线的解析式为y=kx+b.
由 解得
∴EF 所在直线的解析式为
(3)∵设 ,如图2.37所示.
①当 时，
由 解得
②当PD=PF时,
由 解得
③当 时，
由 解得 0(舍),
综上所述，满足条件的点 P 坐标为
思路点拨
(1)通过计算 GE 和DE 的长度发现 即∠GDE = 30°,于是∠GED = 60°,从而推出∠CEF = 由 得出GD 的长度，也就知道了 DH 的长度，点D 的坐标自然得出.
(2) 由∠CEF =60°可知 CF，得出点 F的坐标，再用待定系数法求直线 EF 的解析式即可.
(3)由于点 P 在EF 上,故设 然后分三种情况讨论:PF=DF;PD=FD;PD=PF.
38. (1) 设直线 l 的解析式为 y= kx.
将(2,2)代入y= kx,得 k=1.
∴直线 l 的解析式为 y=x.
设直线 l 的解析式为 y= kx+b.
将(2,2)、(0,3)代入 y= kx+b,得
∴直线 l 的解析式为
(2) 由 解得 即D(t,t).
由解得
∵点 E 在D 的上方,
得t<2.
①若PE=PD,∠DPE=90°,则
由 解得 或t=-6.
当 时，
当 t=-6时,D(-6,-6),E(-6,6),P(0,0).
②若 DE = PE,∠DEP =90°或 DE = PD,∠EDP =90°,则|xE|=DE.
由 解得 或t=6(舍).
当 时， 或P(0, ).
综上所述：
当 时，△PDE 为等腰直角三角形，此时点 P 的坐标为 或(0, );
当 时，△PDE 为等腰直角三角形，此时点 P 的坐标为(o, );
当 t=-6时,△PDE 为等腰直角三角形,此时点 P 的坐标为(0,0).
思路点拨
(1)用待定系数法求解.
(2)首先用 t 表示出D、E两点的坐标，根据点E在点 D 上方确定t的取值范围，同时用纵坐标之差表示出DE 的长度.△PDE 为等腰直角三角形，可以根据 DE是斜边还是直角边分为两种情况：①DE 是斜边.在这种情况下，点P 到DE 的距离就是DE 的一半，据此列出关于 t 的方程并求出t 的值，然后得出点 P 的坐标.② DE 是直角边.在这种情况下，点P 到DE 的距离就等于 DE，据此列出关于 t 的方程并求出t 的值，然后得出点 P 的坐标.
39. 将A(-8,0)代入y= kx+6,解得
∴直线 AB 的解析式为
令x=0,则y=6,即B(0,6).
∴AO=8,BO=6,AB=10.
①如图2.38所示,△PAO∽△BOA,此时△PAO≌△BOA,则P(-8,6).
②如图2.39 所示,作 OP⊥AB 于点P,则△APO∽△AOB,直线 OP 的解析式为
F 解得 即
③ 如图2.40所示,△APO∽△BOA,作 PH⊥x 轴于点H.
由射影定理知( 得
即
④ 如图2.41所示,△OAP∽△BOA.
即
综上所述，满足条件的点 P 的坐标为(--8，6)、
思路点拨
先求出直线 AB 的解析式及点B 的坐标，为后续计算做好数据准备.由于 AO 是公共边，因此从考虑 AO与△AOB 各边的对应关系入手，可以构造出四种情形，对于每一种情形列出比例方程进行计算.
40.对于直线 令x=0,则 y=2,即B(0,2);令y=0,则x=4,即A(4,0).
∵OC平分∠AOB,
∴直线 OC 的解析式为y=x.
①如图2.42所示,点 N 在 y轴负半轴上,点 M在x轴正半轴上,△MON≌△AOB,此时 M(4,0),N(0,-2).
∴直线 MN 的解析式为
由 解得 即 P(-4,-4).
②如图2.43所示,点 N 在y轴正半轴上,点 M 在x轴正半轴上,△NOM≌△AOB,此时M(2,0),N(0,4).
∴直线 MN 的解析式为y=-2x+4.
由 解得即
③如图2.44所示，点 M 在x轴负半轴上，点 N在y轴正半轴上,△MON≌△AOB,此时 M(-4,0),N(0,2).
∴直线 MN 的解析式为
由 解得 即P(4,4).
④如图2.45 所示,点 M 在 x轴负半轴上,点 N 在y轴负半轴上,△MON≌△AOB,此时 M(--4,0),N(0,-2).
∴直线 MN 的解析式为
由 解得 即
⑤如图2.46所示,点 M 在x轴负半轴上,点 N 在y轴正半轴上,△MON≌△BOA,此时 M(-2,0),N(0,4).
∴直线 MN 的解析式为y=2x+4.
由 解得 即 P(-4,-4).
⑥如图2.47所示,点 M 在x轴负半轴上,点 N在 y轴负半轴上,△MON≌△BOA,此时M(-2,0),N(0,-4).
∴直线 MN 的解析式为y=-2x-4.
由 解得 即
⑦如图2.48所示,点 M 在x轴正半轴上,点 N 在y轴负半轴上,△MON≌△BOA,此时M(2,0),N(0,-4).
∴直线 MN 的解析式为y=2x-4.
由 解得 即 P(4,4).
综上所述，满足条件的点 P 的坐标为(﹣4，﹣4)、 4).
思路点拨
由于点 M、N在坐标轴上，因此存在7种构图.对于每一种构图，根据全等三角形的性质得出点 M、N的坐标，从而得出直线 MN 的解析式，点P 的坐标由直线OC与直线 MN 的解析式联立成方程组解出.虽然构图有7种，但最后解出的点 P 坐标只有4个，原因是其中有些构图的点 P 是同一个.
41.由题意知，直线 l 的解析式为 PQ=1.
∵l 交x轴于点A,
∴A(2,0).
∵点 B 为OA 的中点,
∴B(1,0),OB=PQ=1.
延长 PQ 交x 轴于点E,交 l 于点 F,M 在PQ 左侧时,如图2.49所示.
由题意知∠PQM、∠QOB 为钝角,△PQM≌△BOQ.
∴∠PQM=∠BOQ,QM=QO,∠QME=∠OQE.
∵∠QEO=∠QFM=90°,
∴△MQF≌△QOE,
∴QE=MF,OE=QF.
设 则
由 解得m=-4.
∴Q(-4,3),
∴QE=3,MF=QE=3,
∴M (-7,-1).
由对称性可知 M (-1，-1)也符合题意.
综上所述，满足要求的点 M 坐标为M (-7,-1)、
思路点拨
本题考查一次函数与几何的综合.要使△PQM 与△BOQ 全等，先探究两者顶点的对应关系.延长 PQ 交x 轴于点E，交 l 于点 F.由题目已知条件可知PQ=OB且∠PQM、∠QOB 是钝角,因此只能是△PQM≌△BOQ.接着易证△MQF≌△QOE,从而得出 QE =MF,OE= QF.设 然后根据 OE=QF 列出方程解出m 的值.由对称性可知点 M 的坐标有两个.
42.(1) ∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠BCE=90°.
∵AD⊥ED,BE⊥ED,
∴∠D=∠E=90°,∠EBC+∠BCE=90°,
∴∠ACD=∠EBC.
∵在△ACD 与△CBE中,有
∴△ACD≌△CBE(AAS).
(2)如图2.50 所示,作 BC⊥AB 交l 于点 C,作CD⊥y轴于点D.
∵∠BAC=45°,
∴△ABC 为等腰直角三角形.
根据(1)中的模型可知△CBD≌△BAO.
∴BD=AO,CD=OB.
对于 若y=0,则x=-2,即A(-2,0);若x=0,则y=3,即B(0,3).
∴BD=AO=2,CD=OB=3,
∴OD=OB+BD=3+2=5,
∴C(-3,5).
设l 的解析式为y= kx+b.
由 解得
∴l 的解析式为y=-5x-10.
(3) ∵四边形 ABCO 为矩形,点 B 的坐标为(8,-6),
∴OA=BC=6,OC=AB=9,A(0,-6),C(8,0).
①如图2.51所示,点 D 在AB 上方时,∠ADP=90°,AD=DP,过点 D 作x轴的平行线EF交OA 于点E,交 BC于点 F.
设D(x,-2x+5),则OE=2x-5,AE=6-(2x-5)=11-2x,DF=EF-DE=8-x.
根据(1)中的模型可知△ADE≌△DPF.
∴DF=AE,
∴11-2x=8-x,解得x=3,
∴D(3,-1).
②如图2.52所示,点 D 在AB下方时,∠ADP=90°,AD=DP,过点 D 作x轴的平行线EF 交OA 延长线于点E,交 BC 延长线于点F.
设D(x,-2x+5),则OE=2x-5,AE=OE--OA=2x-5-6=2x-11,DF=EF-DE=8-x.
根据(1)中的模型可知△ADE≌△DPF.
∴AE=DF,
∴2x-11=8-x,解得
综上所述，满足条件的点 D 坐标为(3，--1)、
思路点拨
(1)这是经典的“一线三垂直”全等，证明的要点在于利用互余的性质进行导角.
(2)点A 的坐标已知，只需在l 上再找一个点并求出其坐标即可确定 l 的解析式. l 与 l 的夹角是45°，于是作 BC⊥AB 交l 于点 C 构造等腰直角△ABC,作CD⊥y轴于点 D,根据(1)中的模型可知△CBD≌△BAO，然后根据等量关系求出点 C 的坐标，最后用待定系数法确定解析式.
(3)分两种情况讨论：点 D 在AB 上方和点D 在AB下方.对于每一种情况，分别构造出(1)中的全等模型进行计算.
43. (1) ∵点 A(2,a)在直线 l :y=x上,
∴a=2,即A(2,2).
∵直线 l :y= kx+b过A(2,2)和 B(0,6),
解得
∴直线 l 的解析式为y=-2x+6.
(2)令y=-2x+6=0,解得x=3.
∴C(3,0),即OC=3,
∴点 P 到AO 的距离与点C到AO 的距离相等.
①当点 P 在AO 的右侧时,CP∥AO.设直线CP 的解析式为y=x+d.
将C(3,0)代入 y=x+d,解得d=-3.
∴直线 CP 的解析式为y=x-3.
将 P(5,m)代入y=x-3,得m=5-3=2,即 P(5,2).
② 当点 P 在 AO 的左侧时,设点 C(3,0)关于点A(2,2)的对称点为 C'(1,4),则 C'P∥AO.设直线 C'P的解析式为y=x+d.
将C'(1,4)代入y=x+d,解得d=3.
∴直线 C'P 的解析式为y=x+3.
将 P(5,m)代入y=x+3,得m=5+3=8,即 P(5,8).
综上所述,满足要求的点 P 坐标为(5,2)或(5,8).
(4) 设M(t,-2t+6),则N(t,t).
∴MN=|-2t+6-t|=|3t-6|.
①当∠MQN=90°,MQ=NQ时,如图2.53所示.
此时，点Q 到MN的距离等于
解得
∴点 M 的坐标为 或(6,-6).
②当∠QMN=90°或∠QNM=90°时,分别如图2.54、图2.55所示.
此时,QM=NM 或QN=MN.
∴|3t-6|=|t|,解得
∴点 M 的坐标为( ,3)或(3,0).
综上所述，满足条件的点 M 的坐标为 ( ,3)、(6,-6)、(3,0).
思路点拨
(1)先确定点 A 的坐标，再由 A、B两点的坐标确定直线l 的解析式.
(2)先算出点 C 的坐标，然后计算△AOC 的面积.
(3)分两种情况讨论:① 点 P 在AO 右侧;② 点 P在AO 左侧.对于第一种情况，由S△AOP = S△AOC知CP∥AO，求出直线 CP 的解析式，再将点 P 的坐标代入即可求出m 的值.对于第二种情况，先确定点C 关于点A 的对称点 C',由 S△AOP = S△AOC知C'P∥AO,可求出直线C'P的解析式，再将点 P 的坐标代入即可算出m 的值.
(4)分别以 Q、M、N为直角顶点作出相应图形，根据等腰直角三角形的线段关系列方程求解.
44.对于直线 令 y=0,则 x=8,即A(8,0);令x=0,则y=6,即 B(0,6).
∵M是AB 的中点,
∴M 的坐标为(4,3).
① 当∠QMP=90°时,作 MH⊥OA 于点H,MK⊥OB于点K,如图2.56所示.
∵四边形 MHOK 是矩形,
∴∠KMH=90°,
∴∠KMQ=∠PMH.
∵∠MKQ=∠MHP=90°,
∴△MKQ∽△MHP,
∴MQ≠MP,即△PQM 不是等腰直角三角形.
② 当∠QPM=90°时,QP=PM,如图2.57所示.
易知△MHP≌△POQ.
∴OP=MH=3,即 P(3,0).
③当∠PQM=90°时,QP=QM,作 MH⊥OB 于点H,如图2.58所示.
易知△MHQ≌△QOP.
∴MH=QO=4,QH=OP.
∵OH=3,
∴QH=1,
∴OP=1,即 P(-1,0).
④当∠MPQ=90°时,QP=PM,作 MH⊥OA 于点H,如图2.59所示.
易知△PMH≌△QPO.
∴OP=MH=3,即 P(-3,0).
⑤ 当∠PQM=90°时,QP=QM,作 MH⊥OB 于点H,如图2.60所示.
易知△POQ≌△QHM.
∴OQ=HM=4,OP=HQ=OQ+OH=7,即P(-7,0).
综上所述,满足条件的点 P 坐标为(3,0)、(-1,0)、(--3,0)、(-7,0).
思路点拨
首先求出点 A、B、M 的坐标.分别以 P、Q、M 为直角顶点进行考虑，其中以 M 为直角顶点时，点P、Q、M不能构成等腰直角三角形，因此舍去.以P、Q为直角顶点时，各对应两种情形，对于每一种情形，均构造“一线三垂直”全等进行计算.
45. 存在.
设直线 x=2与x轴交于点F,则 F(2,0),OF=2.
①如图2.61所示,点 G 在x轴上方,△MGN 为等腰直角三角形,GM=GN,∠MGN=90°.
作 GE⊥y轴于点E,则△GEN≌△GFM.
∴GF=GE=OF=2,即G(2,2).
②如图2.62所示,点 G 在x轴下方,△MGN 为等腰直角三角形,GM=GN,∠MGN=90°.
作 GE⊥y轴于点E,则△GEN≌△GFM.
∴GF=GE=OF=2,即G(2,-

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