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绝密★启 前
2025年普通 等学校招 全国统 考试
数 学 试 题 卷
( 银 川 中 第 次 模 拟 考 试 )
注意事项：
1．答卷前，考 务必将 的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上 效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡 并交回。
、单项选择题（共 8 题，满分 40分，每 题 5分
1．设集合 ， ，则
A． B．
C． D．
2．若 ，则
A． B． C． D．
3．已知 ， ，且 ，则 x的值为
A． B． C． D．11
4．设函数 则不等式 的解集是
A． B．
C． D．
5．在△ABC中，内 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且 ， ，则
A．2 B．4 C．6 D．8
数学试卷 第 1 （共 4 ）
学 科 （ 北 京 ） 股 份 有 限 公 司
6．已知函数 ，若 程 在区间 上恰有 3个实根，
则 的取值范围是
A． B． C． D．
7．如图所示， 个正四棱台的上底边 与侧棱 相等，且
为下底边 的 半， 个侧 的 积为 ，则该正
四棱台的体积为
A． B．
C. D．
8．已知函数 ，若 ，则
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
．多项选择题（共 3 题，满分 18分，每 题 6分）
9．下列说法正确的是
A．数据 的上四分位数为 9
B．若随机变量 ，则
C．某物理量的测量结果服从正态分布 ， 越 ，该物理量在 次测量中在
的概率越
D．已知某 4个数据的平均数为 5， 差为 3，现 加 个数据 5，此时这 5个数据的
差为
10．已知 是 上的奇函数， 是 上的偶函数，且当 时，
，则下列说法正确的是
A． 最 正周期为 4 B．
C．f(2024)=0 D．f(2025)=3
数学试卷 第 2 （共 4 ）
学 科 （ 北 京 ） 股 份 有 限 公 司
11．如图，曲线 C过坐标原点 O，且 C上的动点 满 到两个定点 ，
的距离之积为 9，则下列结论正确的是
A．
B．若直线 与曲线 C只有 个交点，则实数 k的
取值范围为
C． 周 的最 值为 12
D． 积的最 值为
三、填空题（共 3 题，满分 15分，每 题 5分）
12．抛物线 上 点M到其焦点的距离为 3，则点M到坐标原点的距离为
.
13．已知 为正实数，直线 与曲线 相切，则 的最 值
为 .
14．甲 两 进 场抽卡游戏，规则如下：有编号 的卡 各 1张，两 轮
流从中不放回的随机抽取 1张卡 ，直到其中 1 抽到的卡 编号之和等于 12或者所
有卡 被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，求甲抽了 3张卡 时，恰好游戏结束的概率
是 .
四、解答题（共 5 题，满分 77分.解答应写出 字说明、证明过程或演算步骤．）
15．(13分)
已知函数 ．
(1)求函数 的最 正周期及其单调递增区间，
(2)若 为锐 的内 ，且 ，求 积的取值范围．
16．(15分)
已知椭圆 过点 ，且椭圆 的短轴 等于焦距．
(1)求椭圆 的 程；
(2)若直线 的斜率为 ，且与椭圆 相交于 、 两点，求 积取得最 值时
数学试卷 第 3 （共 4 ）
学 科 （ 北 京 ） 股 份 有 限 公 司
直线 的 程．
17．(15分)
如图，在三棱柱 中，平 平 ，
为线段 上 点．
(1)求证： ；
(2)是否存在点 ，使得平 与平 的夹 余弦值
为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
18．(17分)
已知函数 ，
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)当 时，求证 ；
(3)若函数 有两个极值点 ， （ ）且 恒成 ，求实数 a的取值
范围．
19．(17分)
设数列 的前 项和为 ， ， ，数列 满 ：对于任意的
，都有 成 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的通项公式；
（3）设数列 ，问：数列 中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存
在，求出这三项；若不存在，请说明理由.
数学试卷 第 4 （共 4 ）
学 科 （ 北 京 ） 股 份 有 限 公 司
数学试卷 第 5 （共 4 ）
学 科 （ 北 京 ） 股 份 有 限 公 司
2025届 三第 次模拟数学试卷参考答案 所以 ，
、单选题
1．【答案】B 解得 ，
【详解】因为 ， ，
因此， . 即 的取值范围是 ，
故选：B. 故选：A.
2．【答案】C 7．【答案】D
【详解】因为 ，所以 . 【详解】设 ，则 ，
因为该四棱台为正四棱台，所以各个侧 都为等腰梯形，上 下底 为正 形，
故选：C 如图 1，在四边形 中，过点 作 于点 ，
3．【答案】D
【详解】 ， ，所以 ，
因为 ，所以 .
所以 ，解得 ，
故选：D
4．【答案】A 在平 中，过点 作 于点 ，则 为正四棱台的 ，
则 ，
【详解】因为 则不等式 的解集
所以 ，
即该正四棱台的 为 .
或 ， 故选：D
8．【答案】A
【详解】函数 定义域为 ，
或 ， ，
因为 ，所以函数 的图象关于直线 对称，
所以 或
令 ，则 且 在 上单调递增；
所以不等式 的解集为 .
：A. 函数 在 时单调递减，在 时单调递增，故选
5．【答案】B 故 当 时等号成 ，此时 ；
【详解】因为 ， 在 上单调递增；
， . 由复合函数单调性知， 在 上单调递减，在 上单调递增；所以 所以
因为 ，所以 ，
故选：B
6 两边平 得 ，即．【答案】A
若 ，则 .
【详解】若 程 ， 故选：A.
、多选题
则 ，即 或 ， 9．【答案】BD
【详解】A.将数从 到 排列 ，共 8个数，则 ，则上四分位数为
当 时， ， ，故 A错误；
则 的可能取值为 ， B. ，故 B正确；
因为原 程在区间 上恰有 3个实根， C. ，由对称性可知在 的概率等于在 的概率的 2倍，
当 越 ，数据越离散，其概率越 ，故 C错误；
第 1 ，共 3
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D. 设原数据为 ，因平均数为 5， 差为 3，
三、填空题
则 ， ， 12．【答案】
【详解】设 ，由抛物线 可得 ，
则新数据的平均数为 ， 差为 ，故 D正确. 抛物线 上点到焦点的距离等于 3，
故选：BD. ，解得 ，
10．【答案】BCD ，
【详解】因为 是偶函数， 所以 ，
点 M到坐标原点的距离为
因为 是奇函数，所以 ，所以 ，
故答案为：
所以 ，
13．【答案】9
所以 ，所以 的周期为 ，故 A错误；
【详解】设切点为 ，
当 时， ，
所以 ，选项 B正确； 因为曲线 ，则 ，直线 斜率为 1，
f(2024)=f(8×253+0)=0，选项 C正确；
F(2025)=f(253×8+1）=f(1)=3，选项 D正确. 所以 ， 因为 ，
故选：BCD. 所以 ，所以 ，因为 为正实数，
11．【答案】AD
【详解】由定义 ，即 ， 所以 ，
即 ，该曲线过原点，所以 ，
当且仅当 ，即 时，则 取最 值为 9.
，所以 ，故选项 A正确；
故 程为 ， 所以曲线 C的 程为 ， 故答案为：9.
直线 与曲线 ： 必有公共点 ， 14．【答案】
【详解】根据题意可知甲抽了 3张卡 时，恰好游戏结束相当于从 7张卡 中抽取了 5张，
因此若直线 与曲线 只有 个交点，则 只有 个解 ， 且甲抽取的三张卡 数字之和为 12， 抽取的两张卡 数字之和不为 12；
总的情况相当于从 7张卡 中抽取了 5张并进 全排列，即共 种排法；
即 只有 个解为 ， 其中三张卡 数字之和为 12的组合有 ； ； ； ； 共 5种情况；
当甲抽取的数字为 ； ； ； 时，
即 时， 解，
在剩余的 4个数字中随意抽取两张卡 再进 排列，共有 种；
故 ，即实数 的取值范围为 ，故 B错误； 当甲抽取的数字为 时，
由 ，仅当 时等号成 ， 若 抽取的两张卡 数字可能为 ，此时不合题意，此时共有 种；
此时点 P在 的垂直平分线上，故点 P与原点 O重合，不能形成三 形， 所以符合题意的排列总数为 种，
所以 ，所以 周 ， 基本事件的总数为
等号取不到，故 C错误；
可得所求概率为 .
，
故答案为：
当且仅当 ，等号成 ，此时点 P的纵坐标为 ，
四、解答题
程 可化为 ，
15．【答案】(1)最 正周期为 ；单调递增区间为 (2)
令 ，则 程 ，
【详解】（1）函数 ，（2分）
由判别式 ，可得 ，
故 积能取到最 值 ，故 D正确. 所以函数 的最 正周期为 ， （3分）
故选：AD
第 1 ，共 3
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由 ，可得 ，
积
即有函数 的单调递增区间为 . （5分） 当且仅当 即 时等号成 ， （15分）
（2）若 为锐 的内 ，且 ， 故 积取得最 值 时直线 的 程为
可得 ，由 ，可得 ，
17．【答案】(1)证明 解析 (2)存在， 或
则 ，即 . （6分） 【详解】（1）连接 ，因为在三棱柱 中，所以四边形 为平 四边形，
因为 ，所以四边形 为菱形，
由正弦定理得， ， 所以 ， （1分）
平 平 ，平 平 平 ，
所以 ，
所以 平 ，
所以 积 （8分） 因为 平 ，所以 ， （ 3分）
因为 平 ，所以 平 ， （5分）
（10分） 因为 平 ，所以 ; （6分）
（2）如图，以 的中点 为坐标原点，过 O作射线 , 则可
（7分）
因 因为 为锐 三 形，则 ，即 ，解得 ，（11
以 所在直线分别为 轴，建 空间直 坐标系，
分）
因为 ，
则 ，
所以 ，所以 ，所以 .
，
故 积的取值范围是 . （13分）
设 ， （9分）
16．【答案】(1) (2)
则 ，
【详解】（1）点 代 程 得 ① （2分）
记平 的法向量 ，则 ，即 ，
且 ②， ③
由①②③可解得： ， ， （4分） 得 ， （11分）
所以椭圆 （5分） 易得平 的法向量 ， （12分）
（2）直线 的 程： ，点 、 ． 由题意： ，
直线 程代 椭圆 得 ， （7分） 解得： 或 ，经验证， 或 均符合题意．
由 ，得 所以 或 . （15分）
， （9分）
则弦 ， （11分） 18．【答案】(1) 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为
点 到直线 的距离 ； (2)证明 解析； (3)
13 【详解】（1）由题意，当 时， ，定义域为 ，（ 分）
则 ， （1分）
第 1 ，共 3
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令 ，得 ，解得 （2分） 19．【答案】（1） ； （2） ； （3）存在， ， ， 或 ， ， .
所以，当 或 时， ， 单调递增； 【详解】（1）由 ， ①
当 时， ， 单调递减. （3分） 得 ， ②
故 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 .（4分） 由①-②得 ，即 ， （2分）
（2）当 时，则 ，即 . 对①取 得， ，所以 ，所以 为常数，
令函数 ，则 ， （6分）
所以 为等 数列， 项为 1，公 为 ，
令函数
易知 为增函数，令 则 ， 即 ， ； （4分）
， 根据零点存在定理，则有 .
时， ，即 ，则 在 上单调递减； （2）由 ，可得对于任意 有
时， ，即 ，则 在 上单调递增. （8分）
， ③
.
则 ， ④
故 ，即 . （10分）
（3）由题意， 的定义域为 ， ， 则 ， ⑤ （6分）
有两个极值点 ， （ ）即 程 有两个不相等正数根， 由③-⑤得 ， （ 8分）
对③取 得， 也适合上式， （9分）
则有 ，解得 因此 ， ， （10分）
（3）由（1）（2）可知 ， 则 ，
因为 恒成 ，所以 对 恒成 ， 所以当 时， ，即 ，
当 时， ，即 在 且 上单调递减， 故 …，
分离参数可得 对 恒成 ， （12分）
假设存在三项 ， ， 成等差数列，其中 ， ， ，
令 ，则 由于 …，可不妨设 ，则 （*），
即 ， （12分）
令 则 解得 或 （舍去）. （13分）
因为 ， ， 且 ，则 且 ，
所以当 时， ， 单调递增； 由数列 的单调性可知， ，即 ，
因为 ，所以 ，
当 时， ， 单调递减. （14分）
即 ，化简得 ，
故 即 ， 是减函数.（15分）
且 ，所以 或 ， （ 14分）
当 时， ，即 ，由 时， ，此时 ， ， 不构成等差数列，不
所以 ， 合题意，
当 时，由题意 或 ，即 ， ，代 （*）式得 ，
故实数 的取值范围是 （17分）
第 1 ，共 3
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因为数列 在 且 上单调递减，且 ， ，所以 ， （16分）
综上所述，数列 中存在三项 ， ， 或 ， ， 构成等差数列. （17分）
第 1 ，共 3
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