2025届宁夏回族自治区银川一中高三第二次模拟数学试卷(图片版,含答案)

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2025届宁夏回族自治区银川一中高三第二次模拟数学试卷(图片版,含答案)

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绝密★启 前
2025年普通 等学校招 全国统 考试
数 学 试 题 卷
( 银 川 中 第 次 模 拟 考 试 )
注意事项:
1.答卷前,考 务必将 的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.作答时,务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上 效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡 并交回。
、单项选择题(共 8 题,满分 40分,每 题 5分
1.设集合 , ,则
A. B.
C. D.
2.若 ,则
A. B. C. D.
3.已知 , ,且 ,则 x的值为
A. B. C. D.11
4.设函数 则不等式 的解集是
A. B.
C. D.
5.在△ABC中,内 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,且 , ,则
A.2 B.4 C.6 D.8
数学试卷 第 1 (共 4 )
学 科 ( 北 京 ) 股 份 有 限 公 司
6.已知函数 ,若 程 在区间 上恰有 3个实根,
则 的取值范围是
A. B. C. D.
7.如图所示, 个正四棱台的上底边 与侧棱 相等,且
为下底边 的 半, 个侧 的 积为 ,则该正
四棱台的体积为
A. B.
C. D.
8.已知函数 ,若 ,则
A.若 ,则 B.若 ,则
C.若 ,则 D.若 ,则
.多项选择题(共 3 题,满分 18分,每 题 6分)
9.下列说法正确的是
A.数据 的上四分位数为 9
B.若随机变量 ,则
C.某物理量的测量结果服从正态分布 , 越 ,该物理量在 次测量中在
的概率越
D.已知某 4个数据的平均数为 5, 差为 3,现 加 个数据 5,此时这 5个数据的
差为
10.已知 是 上的奇函数, 是 上的偶函数,且当 时,
,则下列说法正确的是
A. 最 正周期为 4 B.
C.f(2024)=0 D.f(2025)=3
数学试卷 第 2 (共 4 )
学 科 ( 北 京 ) 股 份 有 限 公 司
11.如图,曲线 C过坐标原点 O,且 C上的动点 满 到两个定点 ,
的距离之积为 9,则下列结论正确的是
A.
B.若直线 与曲线 C只有 个交点,则实数 k的
取值范围为
C. 周 的最 值为 12
D. 积的最 值为
三、填空题(共 3 题,满分 15分,每 题 5分)
12.抛物线 上 点M到其焦点的距离为 3,则点M到坐标原点的距离为
.
13.已知 为正实数,直线 与曲线 相切,则 的最 值
为 .
14.甲 两 进 场抽卡游戏,规则如下:有编号 的卡 各 1张,两 轮
流从中不放回的随机抽取 1张卡 ,直到其中 1 抽到的卡 编号之和等于 12或者所
有卡 被抽完时,游戏结束.若甲先抽卡,求甲抽了 3张卡 时,恰好游戏结束的概率
是 .
四、解答题(共 5 题,满分 77分.解答应写出 字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(13分)
已知函数 .
(1)求函数 的最 正周期及其单调递增区间,
(2)若 为锐 的内 ,且 ,求 积的取值范围.
16.(15分)
已知椭圆 过点 ,且椭圆 的短轴 等于焦距.
(1)求椭圆 的 程;
(2)若直线 的斜率为 ,且与椭圆 相交于 、 两点,求 积取得最 值时
数学试卷 第 3 (共 4 )
学 科 ( 北 京 ) 股 份 有 限 公 司
直线 的 程.
17.(15分)
如图,在三棱柱 中,平 平 ,
为线段 上 点.
(1)求证: ;
(2)是否存在点 ,使得平 与平 的夹 余弦值
为 ?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.
18.(17分)
已知函数 ,
(1)若 ,求 的单调区间;
(2)当 时,求证 ;
(3)若函数 有两个极值点 , ( )且 恒成 ,求实数 a的取值
范围.
19.(17分)
设数列 的前 项和为 , , ,数列 满 :对于任意的
,都有 成 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)求数列 的通项公式;
(3)设数列 ,问:数列 中是否存在三项,使得它们构成等差数列?若存
在,求出这三项;若不存在,请说明理由.
数学试卷 第 4 (共 4 )
学 科 ( 北 京 ) 股 份 有 限 公 司
数学试卷 第 5 (共 4 )
学 科 ( 北 京 ) 股 份 有 限 公 司
2025届 三第 次模拟数学试卷参考答案 所以 ,
、单选题
1.【答案】B 解得 ,
【详解】因为 , ,
因此, . 即 的取值范围是 ,
故选:B. 故选:A.
2.【答案】C 7.【答案】D
【详解】因为 ,所以 . 【详解】设 ,则 ,
因为该四棱台为正四棱台,所以各个侧 都为等腰梯形,上 下底 为正 形,
故选:C 如图 1,在四边形 中,过点 作 于点 ,
3.【答案】D
【详解】 , ,所以 ,
因为 ,所以 .
所以 ,解得 ,
故选:D
4.【答案】A 在平 中,过点 作 于点 ,则 为正四棱台的 ,
则 ,
【详解】因为 则不等式 的解集
所以 ,
即该正四棱台的 为 .
或 , 故选:D
8.【答案】A
【详解】函数 定义域为 ,
或 , ,
因为 ,所以函数 的图象关于直线 对称,
所以 或
令 ,则 且 在 上单调递增;
所以不等式 的解集为 .
:A. 函数 在 时单调递减,在 时单调递增,故选
5.【答案】B 故 当 时等号成 ,此时 ;
【详解】因为 , 在 上单调递增;
, . 由复合函数单调性知, 在 上单调递减,在 上单调递增;所以 所以
因为 ,所以 ,
故选:B
6 两边平 得 ,即.【答案】A
若 ,则 .
【详解】若 程 , 故选:A.
、多选题
则 ,即 或 , 9.【答案】BD
【详解】A.将数从 到 排列 ,共 8个数,则 ,则上四分位数为
当 时, , ,故 A错误;
则 的可能取值为 , B. ,故 B正确;
因为原 程在区间 上恰有 3个实根, C. ,由对称性可知在 的概率等于在 的概率的 2倍,
当 越 ,数据越离散,其概率越 ,故 C错误;
第 1 ,共 3
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D. 设原数据为 ,因平均数为 5, 差为 3,
三、填空题
则 , , 12.【答案】
【详解】设 ,由抛物线 可得 ,
则新数据的平均数为 , 差为 ,故 D正确. 抛物线 上点到焦点的距离等于 3,
故选:BD. ,解得 ,
10.【答案】BCD ,
【详解】因为 是偶函数, 所以 ,
点 M到坐标原点的距离为
因为 是奇函数,所以 ,所以 ,
故答案为:
所以 ,
13.【答案】9
所以 ,所以 的周期为 ,故 A错误;
【详解】设切点为 ,
当 时, ,
所以 ,选项 B正确; 因为曲线 ,则 ,直线 斜率为 1,
f(2024)=f(8×253+0)=0,选项 C正确;
F(2025)=f(253×8+1)=f(1)=3,选项 D正确. 所以 , 因为 ,
故选:BCD. 所以 ,所以 ,因为 为正实数,
11.【答案】AD
【详解】由定义 ,即 , 所以 ,
即 ,该曲线过原点,所以 ,
当且仅当 ,即 时,则 取最 值为 9.
,所以 ,故选项 A正确;
故 程为 , 所以曲线 C的 程为 , 故答案为:9.
直线 与曲线 : 必有公共点 , 14.【答案】
【详解】根据题意可知甲抽了 3张卡 时,恰好游戏结束相当于从 7张卡 中抽取了 5张,
因此若直线 与曲线 只有 个交点,则 只有 个解 , 且甲抽取的三张卡 数字之和为 12, 抽取的两张卡 数字之和不为 12;
总的情况相当于从 7张卡 中抽取了 5张并进 全排列,即共 种排法;
即 只有 个解为 , 其中三张卡 数字之和为 12的组合有 ; ; ; ; 共 5种情况;
当甲抽取的数字为 ; ; ; 时,
即 时, 解,
在剩余的 4个数字中随意抽取两张卡 再进 排列,共有 种;
故 ,即实数 的取值范围为 ,故 B错误; 当甲抽取的数字为 时,
由 ,仅当 时等号成 , 若 抽取的两张卡 数字可能为 ,此时不合题意,此时共有 种;
此时点 P在 的垂直平分线上,故点 P与原点 O重合,不能形成三 形, 所以符合题意的排列总数为 种,
所以 ,所以 周 , 基本事件的总数为
等号取不到,故 C错误;
可得所求概率为 .

故答案为:
当且仅当 ,等号成 ,此时点 P的纵坐标为 ,
四、解答题
程 可化为 ,
15.【答案】(1)最 正周期为 ;单调递增区间为 (2)
令 ,则 程 ,
【详解】(1)函数 ,(2分)
由判别式 ,可得 ,
故 积能取到最 值 ,故 D正确. 所以函数 的最 正周期为 , (3分)
故选:AD
第 1 ,共 3
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由 ,可得 ,

即有函数 的单调递增区间为 . (5分) 当且仅当 即 时等号成 , (15分)
(2)若 为锐 的内 ,且 , 故 积取得最 值 时直线 的 程为
可得 ,由 ,可得 ,
17.【答案】(1)证明 解析 (2)存在, 或
则 ,即 . (6分) 【详解】(1)连接 ,因为在三棱柱 中,所以四边形 为平 四边形,
因为 ,所以四边形 为菱形,
由正弦定理得, , 所以 , (1分)
平 平 ,平 平 平 ,
所以 ,
所以 平 ,
所以 积 (8分) 因为 平 ,所以 , ( 3分)
因为 平 ,所以 平 , (5分)
(10分) 因为 平 ,所以 ; (6分)
(2)如图,以 的中点 为坐标原点,过 O作射线 , 则可
(7分)
因 因为 为锐 三 形,则 ,即 ,解得 ,(11
以 所在直线分别为 轴,建 空间直 坐标系,
分)
因为 ,
则 ,
所以 ,所以 ,所以 .

故 积的取值范围是 . (13分)
设 , (9分)
16.【答案】(1) (2)
则 ,
【详解】(1)点 代 程 得 ① (2分)
记平 的法向量 ,则 ,即 ,
且 ②, ③
由①②③可解得: , , (4分) 得 , (11分)
所以椭圆 (5分) 易得平 的法向量 , (12分)
(2)直线 的 程: ,点 、 . 由题意: ,
直线 程代 椭圆 得 , (7分) 解得: 或 ,经验证, 或 均符合题意.
由 ,得 所以 或 . (15分)
, (9分)
则弦 , (11分) 18.【答案】(1) 的单调递增区间为 和 ,单调递减区间为
点 到直线 的距离 ; (2)证明 解析; (3)
13 【详解】(1)由题意,当 时, ,定义域为 ,( 分)
则 , (1分)
第 1 ,共 3
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令 ,得 ,解得 (2分) 19.【答案】(1) ; (2) ; (3)存在, , , 或 , , .
所以,当 或 时, , 单调递增; 【详解】(1)由 , ①
当 时, , 单调递减. (3分) 得 , ②
故 的单调递增区间为 和 ,单调递减区间为 .(4分) 由①-②得 ,即 , (2分)
(2)当 时,则 ,即 . 对①取 得, ,所以 ,所以 为常数,
令函数 ,则 , (6分)
所以 为等 数列, 项为 1,公 为 ,
令函数
易知 为增函数,令 则 , 即 , ; (4分)
, 根据零点存在定理,则有 .
时, ,即 ,则 在 上单调递减; (2)由 ,可得对于任意 有
时, ,即 ,则 在 上单调递增. (8分)
, ③
.
则 , ④
故 ,即 . (10分)
(3)由题意, 的定义域为 , , 则 , ⑤ (6分)
有两个极值点 , ( )即 程 有两个不相等正数根, 由③-⑤得 , ( 8分)
对③取 得, 也适合上式, (9分)
则有 ,解得 因此 , , (10分)
(3)由(1)(2)可知 , 则 ,
因为 恒成 ,所以 对 恒成 , 所以当 时, ,即 ,
当 时, ,即 在 且 上单调递减, 故 …,
分离参数可得 对 恒成 , (12分)
假设存在三项 , , 成等差数列,其中 , , ,
令 ,则 由于 …,可不妨设 ,则 (*),
即 , (12分)
令 则 解得 或 (舍去). (13分)
因为 , , 且 ,则 且 ,
所以当 时, , 单调递增; 由数列 的单调性可知, ,即 ,
因为 ,所以 ,
当 时, , 单调递减. (14分)
即 ,化简得 ,
故 即 , 是减函数.(15分)
且 ,所以 或 , ( 14分)
当 时, ,即 ,由 时, ,此时 , , 不构成等差数列,不
所以 , 合题意,
当 时,由题意 或 ,即 , ,代 (*)式得 ,
故实数 的取值范围是 (17分)
第 1 ,共 3
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因为数列 在 且 上单调递减,且 , ,所以 , (16分)
综上所述,数列 中存在三项 , , 或 , , 构成等差数列. (17分)
第 1 ,共 3
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