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反比例函数的图像与性质
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01考情目标导航
考考点一 反比例函数的概念
1.反比例函数的概念：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数.反比例函数的解析式也可以写成xy=k（k≠0、xy≠0）、的形式.
2.反比例函数解析式的特征:
①等号左边是函数，等号右边是一个分式；
②；
③分母中含有自变量x，且指数为1.
考点二 反比例函数的图像与性质
1.反比例函数的图象与性质
图象特征 （1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． （2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x，对称中心为原点．
性质 表达 式 （为常数，）
图象
k>0 k<0
经过 象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号）
增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大
02.对称性
①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上;
②图象关于直线 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上;
③图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一支上.
即：反比例函数的图象关于直线y=±x成轴对称,关于原点成中心对称.
3.待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：
1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）；
2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；
3）解方程求出待定系数k；
4）将所求的k值代入所设解析式中.
【注意】由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
4.反比例函数k的几何意义
（1）一点一垂线
【模型结论】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为.
【拓展一】
结论：S△AOB=S△COD
【拓展二】
S△AOE=S四边形CEBD
【拓展三】(前提：OA=AC)
S△AOC=
（2）一点两垂线
【模型结论】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为.
【拓展一】
结论：S矩形ABOE=S矩形CDOF
【拓展二】
S矩形AEFG=S矩形CGBD
【拓展三】
S ABCD=
（3）两点一垂线
【模型结论一】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形面积等于|k|，
结论：S△ABC =2S△ABO =
【模型结论二】反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积，等于坐标轴所分的两个三角形面积之和．
如左图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，
则S△AOB=S△AOC+S△BOC=co |yA|+co |yB|=co(|yA|+|yB|)
如右图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与y轴交于点C，
则S△AOB=S△AOC+S△BOC=co |xA|+co |xB|=co(|xA|+|xB|)
（4）两点两垂线
【模型结论】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于2|k|
（5）两点和原点
方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD．【分割】
方法二：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，而S△OAM＝S四边形MEFB，则S△AOB＝S直角梯形AEFB．
方法三：S△AOB＝S四边形COFD－S△AOC－S△BOF. 【补形】
方法四：S△AOB＝S△AOD－S△BOD＝OD （|yA|-|yB|）
方法五：S△AOB＝S△BOC－S△AOC＝OC （|xB|-|xA|）
【拓展】
方法一：当AD/AC(或BD/BF)＝m时，则S四边形OADB＝m|k|．
方法二：作AE⊥x轴于E，则S△OAB＝S直角梯形AEFB（类型一）．
（6）两曲一平行
【模型讲解】两条双曲线上的两点的连线与一条（或两条）坐标轴平行，求这两点与原点或坐标轴上的点围成的图形面积，过这两点作坐标轴的垂线，结合k的几何意义求解．
类型一 两条双曲线的k值符号相同
结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝|k1|-|k2|
结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝|k1|-|k2|- S直角梯形AFDE
类型二 两条双曲线的k值符号相同
结论：S△AOB＝S△ACB＝(|k1|+|k2|) S阴影＝|k1|+|k2|
5.涉及自变量取值范围
当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对y1>y2时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如下图，当y1>y2时，x的取值范围为x>xA或xB6.求一次函数与反比例函数的交点坐标
（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定．
①k值同号，两个函数必有两个交点；
②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点；
（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．
04题型精研·考向洞悉
命题点一 反比例函数的概念
题型01 判断是否是反比例函数
例1．函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（ ）
x 1 2 4
y 4 2 1
A． B．
C． D．
1．下列函数中，不是反比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列关系中，成反比例函数关系的是（　　）
A．圆的面积与它的半径之间的关系
B．用频率估计概率时，概率与频率的关系
C．电压一定时，电流与电阻之间的关系
D．小明的身高与年龄之间的关系
3．下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．下面的三个问题中都有两个变量：
①正方形的周长与边长；
②一个三角形的面积为5，其底边上的高与底边长；
③小赵骑行到公司上班，他骑行的平均速度与骑行时间；
其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
题型02 根据反比例函数的定义求参数
例2．已知反比例函数的图象经过，则 ．
1．已知反比例函数，则它的图象不经过点（ ）
A． B． C． D．
2．若点在双曲线上，则代数式的值为 ．
3．已知点关于y轴的对称点在反比例函数的图象上，则a的值为 ．
4．已知，两点都在反比例函数的图象上，若，则的值为 ．
题型03 求反比例函数值
例3．对于实数，我们用表示不超过的最大整数．下列表述错误的是？（ ）
A．
B．函数的最大值为1，最小值为0
C．函数不存在对称轴
D．随着的增大，函数和函数越来越接近
1．已知反比例函数的图像经过，则
2．如图，的延长线垂直于x轴，点在反比例函数上，点B在反比例函数图像和之间，写出一个符合条件的点B的坐标： ．
3．已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，且电路中只有一个电阻，通过的电流I（单位：A）与电阻R的阻值（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为 A．
4．如图是从原点开始的通道宽度为1的回形图，，反比例函数与该回形图的交点依次记为、、、……，则的坐标为 ．
题型04 求自变量的取值范围
例4．函数中，当时，，如果的取值范围为，则的取值范围是 ．
1．若点在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．某蓄电池的电压为定值，电流与电阻成反比例关系，已知电阻时，电流，若电阻增加到时，则电流减少 ．
3．记反比例函数的图像为，其上有两点，，为正数．
（1）当时，有，则的取值范围是 ；
（2）在（1）成立的情况下，若为整数，过点作平行与轴的直线交于点，则点的横坐标可为 ；（写出一个即可）
4．在平面直角坐标系一次函数的图像分别于轴，轴交于、两点，与反比例函数与在第一象限内交于点．点是反比例函数在第一象限内一动点，过点作于点，若与相似，则点的坐标为 ．
命题点二 反比例函数的图象与性质
题型01 判断反比例函数的图像
例1．小明同学利用计算机软件绘制了某一函数的图象，如图所示．由学习函数的经验，可以推断这个函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
1．已知抛物线与轴没有交点，则函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
2．在平面直角坐标系中，点，点，点在同一个函数图象上，则该图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．定义新运算：例如：，，则的图象是（ ）
A． B．
C． D．
4．受到压力为（F为常数）的物体，所受的压强与受力面积的函数表达式为，则这个函数的图象为（　　）
A． B．
C． D．
题型02 根据反比例函数的图像求解析式
例2．下列是在同一直角坐标系中函数和的图象如图，其中，，的描述正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
1．如图，下列解析式能表示图中变量之间关系的是（ ）
A． B． C． D．
2．反比例函数（）的图象如图所示，则的值可能是（ ）
A．5 B．12 C． D．
3．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（ ）
A． B．1 C．3 D．5
4．（2023·河南周口·三模）请写出一个y关于x的反比例函数，使函数图象位于第二、四象限： ．
题型03 根据反比例函数的对称性求点的坐标
例3．中考过后，我们会是双曲线两个分支上的两个点，随着时间的流逝，我们渐行渐远吗？如图，还是点A在反比例函数的图象上，点C是点A关于y轴的对称点，已知，．
(1)直接写出C点坐标
(2)求反比例函数的解析式；
(3)若点P在x轴上，且，直接写出点P的坐标．
1．已知P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于y轴对称，则m的值为 ．
2．在平面直角坐标系中，若点是函数和的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 ．
3．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，过点A的直线分别与x轴、y轴交于C，D两点．当，时，则 ．
4．在直角坐标系内，反比例函数的图象过点．
(1)若，求证：．
(2)若，，，求该函数的表达式．
题型04 反比例函数的性质
例4．已知是的函数，若存在实数，当时，的取值范围是．我们将称为这个函数的“级关联范围”．例如：函数，存在，，当时，，即，所以是函数的“2级关联范围”．下列结论：
①是函数的“1级关联范围”；
②不是函数的“2级关联范围”；
③函数总存在“3级关联范围”；
④函数不存在“4级关联范围”．
其中正确的为（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
1．已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
3．若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则 ．
4．某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值是 ．
题型05 反比例函数系数k的几何意义
例5．如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
1．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点作轴交轴于点，点为线段上的一点，且．反比例函数的图象经过点交线段于点，则四边形的面积是 ．
2．如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点，则下列结论：
①；
②的面积等于四边形的面积；
③的最小值是；
④．
其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
3．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为 ．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论：点与点关于原点对称；点是的中点；在的图象上任取点和点，如果，那么；．其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
基础巩固
1．已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（ ）
A． B． C．1 D．3
2．若点，，，都在双曲线上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．力F作用于物体，产生的压强P与物体受力面积S之间满足关系式，当F一定时，根据表格可以判断a和b的大小关系为（ ）
5 20 30 40 60
800 ■ a ■ b
A． B． C． D．
4．如图：直线与x轴交于点A，与双曲线交于点P，过点P作轴于点C，且，则k的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
5．当时，下列函数随的增大而增大的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，P是反比例函数的图象上一点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交反比例函数的图象于点M，N，则的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．
7．点A，B分别在反比例函数和的图象上且轴，动点P在x轴上，则的面积为 ．
8．如图，在中，边在轴上．反比例函数的图象恰好经过点，与边交于点．若，．则的值为 ．
9．如图是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于两点，点在轴上，则 ．
10．在平面直角坐标系中，一副三角板如图所示摆放，反比例函数，的图象分别经过点A，点B，则 ．
11．如图，A、B两点的坐标分别为，，将线段AB绕点B逆时针旋转得到线段，过点C作于点D，反比例函数的图象经过点C，交直线于E．
(1)求反比例函数解析式；
(2)求的面积．
12．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和两点．
(1)求点的坐标．
(2)根据图象直接写出的自变量的范围．
13．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点且与反比例函数（是不为的常数）的图象在第二象限交于点，轴，垂足为，若．
(1)求的值；
(2)求两个函数图象的另一个交点的坐标；
(3)请观察图象，直接写出不等式的解集．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数（且）的图象在第一象限交于点C，若．
(1)求k的值；
(2)已知点P是x轴上的一点，若的面积为24，求点P的坐标．
能力提升
1．已知反比例与的图像如图所示，为x轴正半轴上一动点，过点作轴，分别交反比例函数与的图像于点，，点，（点在点的上方）在轴上，且，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，已知，直线与双曲线交于点，直线分别与双曲线，双曲线交于点，，与轴交于点．若，，则（ ）
A．4或 B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴上，顶点C 在y轴上，矩形的顶点D在上，顶点F在 y轴上．已知C是的中点，反比例函数 （）的图象经过点B，图中阴影部分的面积为4，则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于C，D两点，点M为线段的中点，轴交反比例函数图像于点N，P为x轴上任一点，若，则k的值为 ．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，将直角向右平移到位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数的图象经过与的交点，连接并延长交轴于点，若的面积为3，则的值是 ．
6．如图，是反比例函数上的一点，其中，过点作轴于点，连接．
（1）若的面积是3，则的值为 ．
（2）将绕点按顺时针方向旋转得到，且点的对应点恰好落在该反比例函数的图象上，则 ．
7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．
(1)求点的坐标；
(2)若点为轴负半轴上一点，且满足，求点的坐标．
8．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A在x轴的正半轴上，点在其对角线上，反比例函数的图像经过C、D两点．已知平行四边形的面积是8．
(1)求k的值；
(2)求线段所在直线的解析式．
9．如图，点A 、B在反比例函数 图象上，直线交x 轴于点C，过点B 作 垂足为D．已知，， 求 k 值．
10．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴交于点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)设为线段上的一个动点（不包括，两点），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积是4时，求点的坐标．
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03考点突破·考法探究
考点一 反比例函数的概念
1.反比例函数的概念：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数.反比例函数的解析式也可以写成xy=k（k≠0、xy≠0）、的形式.
2.反比例函数解析式的特征:
①等号左边是函数，等号右边是一个分式；
②；
③分母中含有自变量x，且指数为1.
考点二 反比例函数的图像与性质
1.反比例函数的图象与性质
图象特征 （1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． （2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x，对称中心为原点．
性质 表达 式 （为常数，）
图象
k>0 k<0
经过 象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号）
增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大
2.对称性
①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上;
②图象关于直线 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上;
③图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一支上.
即：反比例函数的图象关于直线y=±x成轴对称,关于原点成中心对称.
3.待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：
1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）；
2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；
3）解方程求出待定系数k；
4）将所求的k值代入所设解析式中.
【注意】由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
4.反比例函数k的几何意义
（1）一点一垂线
【模型结论】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为.
【拓展一】
结论：S△AOB=S△COD
【拓展二】
S△AOE=S四边形CEBD
【拓展三】(前提：OA=AC)
S△AOC=
（2）一点两垂线
【模型结论】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为.
【拓展一】
结论：S矩形ABOE=S矩形CDOF
【拓展二】
S矩形AEFG=S矩形CGBD
【拓展三】
S ABCD=
（3）两点一垂线
【模型结论一】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形面积等于|k|，
结论：S△ABC =2S△ABO =
【模型结论二】反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积，等于坐标轴所分的两个三角形面积之和．
如左图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，
则S△AOB=S△AOC+S△BOC=co |yA|+co |yB|=co(|yA|+|yB|)
如右图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与y轴交于点C，
则S△AOB=S△AOC+S△BOC=co |xA|+co |xB|=co(|xA|+|xB|)
（4）两点两垂线
【模型结论】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于2|k|
（5）两点和原点
方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD．【分割】
方法二：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，而S△OAM＝S四边形MEFB，则S△AOB＝S直角梯形AEFB．
方法三：S△AOB＝S四边形COFD－S△AOC－S△BOF. 【补形】
方法四：S△AOB＝S△AOD－S△BOD＝OD （|yA|-|yB|）
方法五：S△AOB＝S△BOC－S△AOC＝OC （|xB|-|xA|）
【拓展】
方法一：当AD/AC(或BD/BF)＝m时，则S四边形OADB＝m|k|．
方法二：作AE⊥x轴于E，则S△OAB＝S直角梯形AEFB（类型一）．
（6）两曲一平行
【模型讲解】两条双曲线上的两点的连线与一条（或两条）坐标轴平行，求这两点与原点或坐标轴上的点围成的图形面积，过这两点作坐标轴的垂线，结合k的几何意义求解．
类型一 两条双曲线的k值符号相同
结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝|k1|-|k2|
结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝|k1|-|k2|- S直角梯形AFDE
类型二 两条双曲线的k值符号相同
结论：S△AOB＝S△ACB＝(|k1|+|k2|) S阴影＝|k1|+|k2|
5.涉及自变量取值范围
当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对y1>y2时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如下图，当y1>y2时，x的取值范围为x>xA或xB6.求一次函数与反比例函数的交点坐标
（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定．
①k值同号，两个函数必有两个交点；
②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点；
（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．
04题型精研·考向洞悉
命题点一 反比例函数的概念
题型01 判断是否是反比例函数
例1．函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（ ）
x 1 2 4
y 4 2 1
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的坐标特征，一次函数的性质，二次函数的坐标特征即可判断．
【解析】解：A、若直线过点，
则，解得，
所以，
当时，，故不在直线上，故A不合题意；
B、由表格可知，y与x的每一组对应值的积是定值为4，所以y是x的反比例函数，，不合题意；
C、把表格中的函数y与自变量x的对应值代入得
，解得，符合题意；
D、由C可知，不合题意．
故选：C．
1．下列函数中，不是反比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的识别，把形如这样的函数叫做反比例函数，根据反比例函数的概念即可作出判断，掌握反比例函数的定义是解题的关键，注意比例系数．
【解析】、是反比例函数，此选项不符合题意；
、是一次函数，不是反比例函数，此选项符合题意；
、是反比例函数，此选项不符合题意；
、是反比例函数，此选项不符合题意；
故选：．
2．下列关系中，成反比例函数关系的是（　　）
A．圆的面积与它的半径之间的关系
B．用频率估计概率时，概率与频率的关系
C．电压一定时，电流与电阻之间的关系
D．小明的身高与年龄之间的关系
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数的定义，根据题意写出关系式，再根据反比例函数的定义判断即可．解题的关键是掌握：形如（为常数，）的函数称为反比例函数．其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于的一切实数．
【解析】解：A．圆的面积与半径的关系，即，是二次函数关系，故此选项不符合题意；
B．用频率估计概率时，概率与频率的关系为，是正比例函数关系，故此选项不符合题意；
C．电压一定时，电流与电阻之间的关系为，电流与电阻之间的关系是反比例函数关系，故此选项符合题意；
D．小明的身高与年龄之间没有特定关系，故此选项不符合题意；
故选：C．
3．下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的识别，形如（k为常数且）的函数叫做反比例函数，由此判断即可．
【解析】解：A，是一次函数，不是反比例函数，不合题意；
B，是一次函数，不是反比例函数，不合题意；
C，是二次函数，不是反比例函数，不合题意；
D，是反比例函数，符合题意；
故选D．
4．下面的三个问题中都有两个变量：
①正方形的周长与边长；
②一个三角形的面积为5，其底边上的高与底边长；
③小赵骑行到公司上班，他骑行的平均速度与骑行时间；
其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】B
【分析】分别求出三个问题中变量与变量之间的函数关系式即可得到答案．
【解析】解：①∵正方形的周长为，边长为，
∴，不符合题意；
②∵一个三角形的面积为5，其底边上的高为，底边长为，
∴，即，符合题意；
③小赵骑行到公司上班，他骑行的平均速度为，骑行时间为，
∴，即，符合题意；
综上分析可知，变量 y与变量x之间的函数关系可以用该图象表示的是②③，故B正确．
故选：B．
题型02 根据反比例函数的定义求参数
例2．已知反比例函数的图象经过，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了反比例函数，把点的坐标代入函数解析式即可得到答案．
【解析】解：∵反比例函数的图象经过，
∴，
解得
故答案为：
1．已知反比例函数，则它的图象不经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．求出四个选项中点的横纵坐标之积，比照k即可得出结论．
【解析】解：A、，故反比例函数图象经过点，不合题意；
B、，故反比例函数图象不经过点，符合题意；
C、，故反比例函数图象经过点，不合题意；
D、，故反比例函数图象经过点，不合题意；
故选：B．
2．若点在双曲线上，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数解析式，利用反比例函数的解析式求出的值，进一步可求出的值．
【解析】解：∵在双曲线上，
∴，
∴，
故答案为：．
3．已知点关于y轴的对称点在反比例函数的图象上，则a的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的定义，关于y轴对称的点的特征，先根据关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，得到点关于y轴的对称点为，再代入，计算即可．
【解析】解：与关于y轴的对称，
，
解得：，
故答案为：．
4．已知，两点都在反比例函数的图象上，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，图像为双曲线，图像上点的横、纵坐标的积是定值．根据题意可得，，，，由可得，再将所求的式子展开即可求解．
【解析】解：，两点都在反比例函数的图象上，
，，，，
，
，
，
故答案为：．
题型03 求反比例函数值
例3．对于实数，我们用表示不超过的最大整数．下列表述错误的是？（ ）
A．
B．函数的最大值为1，最小值为0
C．函数不存在对称轴
D．随着的增大，函数和函数越来越接近
【答案】B
【分析】本题考查了函数的函数值问题，解题的关键是理解的含义，通过取特殊值法来进行判断．
【解析】解：A．正确，不符合题意；
B．函数没有最大值，最小值为0，故表述错误，符合题意；
C．当时，，当时，，故函数不存在对称轴，正确，不符合题意；
D．随着的增大，函数和函数的函数值越来越接近0，正确，不符合题意；
故选：B．
1．已知反比例函数的图像经过，则
【答案】4
【分析】本题主要考查了求反比例函数值，把代入即可求出m的值．
【解析】解：把代入，
即，
故答案为：4．
2．如图，的延长线垂直于x轴，点在反比例函数上，点B在反比例函数图像和之间，写出一个符合条件的点B的坐标： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了反比例函数的性质，因为的延长线垂直于轴，点在反比例函数上，确定点的横坐标以及纵坐标的下限，点在反比例函数图象和之间，确定点纵坐标的上限，从中可以找出符合条件的点的坐标．
【解析】的延长线垂直于轴，
点的横坐标点的横坐标，点的纵坐标点的纵坐标，
点在反比例函数图象和之间，点在反比例函数上，当时，的值，
点的纵坐标小于，
符合条件的点的坐标横坐标为2，纵坐标大于1小于即可，可以为，
故答案为：．
3．已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，且电路中只有一个电阻，通过的电流I（单位：A）与电阻R的阻值（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为 A．
【答案】2
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，求出反比例函数解析式是解题关键．设该反比函数解析式为 ，根据当 时， ，可得该反比函数解析式为 ，再把代入，即可求出电流.
【解析】解：设该反比函数解析式为，由题意得：
，
解得：，
∴该反比函数解析式为，
当 时，.
故答案为：2．
4．如图是从原点开始的通道宽度为1的回形图，，反比例函数与该回形图的交点依次记为、、、……，则的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了在反比例函数图象上的点坐标的特征，找规律，找出点坐标的规律是解题的关键．分别写出前三个回形的点坐标，找出规律，得到第个回形4个点的规律，分别是，，，，然后找出第2024个点在第几个回形的第几个点即可算出答案．
【解析】由题意可知，反比例函数图象上点坐标为，观察图象，可以发现：
第1个回形有2个点，，
第2个回形有4个点，分别是，，，
第3个回形有4个点，分别是，，，
……
第个回形有4个点，分别是，，，
那么第2024个点在第507个回形的第2个点，那么点坐标为
故答案为：
题型04 求自变量的取值范围
例4．函数中，当时，，如果的取值范围为，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象的性质，先代入已知数据求出是求解的关键．先把“当时，”代入函数解析式，求出值，再根据反比例函数图象的性质代入函数值的范围即可求出的取值范围．
【解析】解：当时，，
，
函数解析式为，在每个象限内，随的增大而减小，
，
，
解得．
故答案为：．
1．若点在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查的是反比例函数图象上对应点与对应函数的关系，由点在反比例函数的图象上，可知．
【解析】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
故选：B．
2．某蓄电池的电压为定值，电流与电阻成反比例关系，已知电阻时，电流，若电阻增加到时，则电流减少 ．
【答案】0.6
【分析】本题考查反比例函数的应用，由，结合，求出的值，进而得到函数表达式，把代入解析式求出，再计算即可．
【解析】解：由题意，，
即蓄电池的电压是，
与的函数关系式为，
当时，（A），
（A），
电流减少，
故答案为：0.6．
3．记反比例函数的图像为，其上有两点，，为正数．
（1）当时，有，则的取值范围是 ；
（2）在（1）成立的情况下，若为整数，过点作平行与轴的直线交于点，则点的横坐标可为 ；（写出一个即可）
【答案】 或或
【分析】本题考查反比例函数的性质及图像上的点的坐标特征，
（1）根据当时，有，可知反比例函数的图像在第一、三象限，则，求解后得出的值，再根据为正数即可得出的取值范围；
（2）依题意得点的纵坐标为，设点的横坐标为，则，再根据在（1）成立的情况下可得的值，可得答案；
理解反比例函数图像上的点满足反比例函数的表达式是解题的关键．
【解析】解：（1）∵点，在比例函数的图像上，
又∵当时，有，
∴反比例函数的图像在第一、三象限，
∴，
解得：，
又∵为正数，
∴的取值范围是，
故答案为：；
（2）∵过点作平行与轴的直线与反比例函数的图像交于点，
∴点的纵坐标为，
设点的横坐标为，则点，
∴，即，
∵在（1）成立的情况下，
∴，
又∵为整数，
∴或或，
当时，，
当时，，
当时，，
∴点的横坐标可为或或．
故答案为：或或．
4．在平面直角坐标系一次函数的图像分别于轴，轴交于、两点，与反比例函数与在第一象限内交于点．点是反比例函数在第一象限内一动点，过点作于点，若与相似，则点的坐标为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了反比例函数的性质，相似三角形的性质；根据题意得出，设，于点，则，根据相似三角形的性质列出比例式，解方程，即可求解．
【解析】解：由一次函数的图像分别于轴，轴交于、两点，
当
∴
∵点是反比例函数在第一象限内一动点，设，于点，
∴
∵，
∴与相似，只有两种情况，
当时，，
∴
解得：（负值舍去）
∴

当时，，
∴
解得：（负值舍去）
∴，

综上所述，或
故答案为：或．
命题点二 反比例函数的图象与性质
题型01 判断反比例函数的图像
例1．小明同学利用计算机软件绘制了某一函数的图象，如图所示．由学习函数的经验，可以推断这个函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了函数图象，一次函数图象，反比例函数图象等知识．熟练掌握函数图象，一次函数图象，反比例函数图象是解题的关键．
由图象可知，当时，随着的增大先增大后减小，A中，由，可知当时，随着的增大而减小，进而可判断A的正误；B中为与的和，如图，由一次函数图象与反比例函数图象可知，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，进而可判断B的正误；C中当时，，的图象经过点，进而可判断C的正误；D中当，无意义，进而可判断D的正误．
【解析】解：由图象可知，当时，随着的增大先增大后减小，
A中，由，可知当时，随着的增大而减小，故不符合要求；
B中为与的和，如图，
由一次函数图象与反比例函数图象可知，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，故符合要求；
C中当时，，的图象经过点，故不符合要求；
D中当，无意义，故不符合要求；
故选：B．
1．已知抛物线与轴没有交点，则函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的图象，二次函数性质，求m的取值范围是本题的关键．由抛物线与轴没有交点可求得，即可求解．
【解析】∵抛物线与轴没有交点，
∴没有实数根，
∴
∴
∴函数的图象在第一、第三象限，
故选：A．
2．在平面直角坐标系中，点，点，点在同一个函数图象上，则该图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了函数的图象．由点，点，点在同一个函数图象上，可得与关于轴对称；当时，随的增大而增大，继而求得答案．
【解析】解：，点，
与关于轴对称，
即这个函数图象关于轴对称，故选项A不符合题意；
，点，
当时，随的增大而增大，故选项B符合题意，选项C、D不符合题意．
故选：B．
3．定义新运算：例如：，，则的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了函数图象，根据新定义运算，写出函数解析式，再根据函数解析式即可判断求解，掌握反比例函数的图象是解题的关键．
【解析】解：由题意可得，，
即为反比例函数，当时，图象在第一象限；当时，图象在第二象限；
故选：．
4．受到压力为（F为常数）的物体，所受的压强与受力面积的函数表达式为，则这个函数的图象为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限；根据实际意义以及函数的解析式，可判断图象是双曲线，根据以及自变量的取值范围即可进行判断；
【解析】，F为常数，
的图象是双曲线，且双曲线的图象在第一、三象限，
，
双曲线的图象在一象限,
故选：．
题型02 根据反比例函数的图像求解析式
例2．下列是在同一直角坐标系中函数和的图象如图，其中，，的描述正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数与反比例图象交点坐标，掌握一次函数和反比例函数的性质是解题关键．根据图象上一次函数和反比例函数的性质就可得出判断．
【解析】解：根据一次函数图象过一、二、三象限可知：，，
根据反比例函数图象过一、三象限可知：，
，，，
故选：A．
1．如图，下列解析式能表示图中变量之间关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据反比例函数的图象及绝对值的定义即可判断．
【解析】解：根据反比例函数的图象可得：
第一象限所对应的关系式为：，第四象限所对应的关系式为：，
与的关系式为：．
2．反比例函数（）的图象如图所示，则的值可能是（ ）
A．5 B．12 C． D．
【答案】C
【分析】根据图象，当时，，则；当时，，则，所以，即可求解．
【解析】解：由图可知：当时，，即，则，
当时，，即，则，
∴，
故选：C．
3．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（ ）
A． B．1 C．3 D．5
【答案】C
【分析】由题意可得：k的取值应该满足，进而可得答案.
【解析】解：由题意可得：k的取值应该满足：，即，
所以k的值可能是3；
故选：C.
4．请写出一个y关于x的反比例函数，使函数图象位于第二、四象限： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据反比例函数图象位于二、四象限，可确定，从而选择恰当的值代入写出即可．
【解析】∵函数图象位于二、四象限，
∴，
∴可选取，那么反比例函数为，
故答案为：（答案不唯一）．
题型03 根据反比例函数的对称性求点的坐标
例3．中考过后，我们会是双曲线两个分支上的两个点，随着时间的流逝，我们渐行渐远吗？如图，还是点A在反比例函数的图象上，点C是点A关于y轴的对称点，已知，．
(1)直接写出C点坐标
(2)求反比例函数的解析式；
(3)若点P在x轴上，且，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)反比例函数的解析式为
(3)或
【分析】（1）设交y轴于点D，由点C是点A关于y轴的对称点，可知，再由可求出的长，故可得出A、C点坐标．
（2）根据（1）中A点坐标，利用待定系数法求出反比例函数的解析式．
（3）设，利用三角形的面积公式即可得出结论．
【解析】（1）解：设交y轴于点D，，
∵点C是点A关于y轴的对称点，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
故答案为：；
（2）解：由（1）知，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（3）解：∵点P在x轴上，
∴设，
∴，
∵，即，
∴，
解得，
∴或．
1．已知P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于y轴对称，则m的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，列出方程是解题的关键．
设，根据点与点关于y轴对称，求出，分别代入各自所在函数解析式，通过方程即可求解．
【解析】解：设，
点与点关于y轴对称，
点，
P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，
解得：，
故答案为∶1．
2．在平面直角坐标系中，若点是函数和的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，根据正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称，即可得出答案．
【解析】解：∵正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称，
∴由一个交点的坐标是，可得另一个交点的坐标是，
故答案为：．
3．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，过点A的直线分别与x轴、y轴交于C，D两点．当，时，则 ．
【答案】4
【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，反比例函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，通过作辅助线构造相似三角形是解题的关键．过点A作于点E，于点F，先证明，得到，然后设，求出，再根据，及反比例函数的中心对称性，可求得，从而得到方程，求得，最后由点A在反比例函数的图象上，可知．
【解析】过点A作于点E，于点F，
，
，
轴，
，
，
设，则，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
点A在反比例函数的图象上，
，
．
4．在直角坐标系内，反比例函数的图象过点．
(1)若，求证：．
(2)若，，，求该函数的表达式．
【答案】(1)0
(2)
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键．
（1）根据题意得出，，然后由，即可证得．
（2）由，，则，根据图象上点的坐标特征得出，，即可得到，，根据，得出，，即可得出，，进而求得，，代入即可求得的值．
【解析】（1）证明：反比例函数的图象过点．
，，
，
．
（2）解：，，
，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
该函数的表达式为．
题型04 反比例函数的性质
例4．已知是的函数，若存在实数，当时，的取值范围是．我们将称为这个函数的“级关联范围”．例如：函数，存在，，当时，，即，所以是函数的“2级关联范围”．下列结论：
①是函数的“1级关联范围”；
②不是函数的“2级关联范围”；
③函数总存在“3级关联范围”；
④函数不存在“4级关联范围”．
其中正确的为（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】A
【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质．
推出在时，，即，即可判断①；推出在时，，即，即可判断②；③设当，则，
当函数存在“3级关联范围”时，整理得，即可判断③；设，则，当函数存在“4级关联范围”时，，求出m和n的值，即可判断④．
【解析】解：①当时，，当时，，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴在时，，即，
∴是函数的“1级关联范围”；故①正确，符合题意；
②当时，，当时，，
∵对称轴为y轴，，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴在时，，即，
∴是函数的“2级关联范围”，故②不正确，不符合题意；
③∵，
∴该反比例函数图象位于第一象限，且在第一象限内，y随x的增大而减小．
设当，则，
当函数存在“3级关联范围”时，
整理得：，
∵，，
∴总存在，
∴函数总存在“3级关联范围”；故③正确，符合题意；
④函数的对称轴为，
∵，
∴当时，y随x的增大而增大，
设，则，
当函数存在“4级关联范围”时，，
解得：，
∴是函数的“4级关联范围”，
∴函数存在“4级关联范围”，故④不正确，不符合题意；
综上：正确的有①③，
故选：A．
1．已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质得到函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，结合三点的横坐标即可求解，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
【解析】解：∵，
∴函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，
∵，
∴
∴，
故选：C．
2．反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数，可知函数位于一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出与的大小．
【解析】解：根据反比例函数，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而减小，
反比例函数的图象上有，两点，
当，即时，；
当，即时，；
当，即时，；
故选：A．
3．若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，负整数指数幂，正确得出与的关系是解题关键．直接利用反比例函数的性质分别得出与，再代入进而得出答案．
【解析】解：函数，当时，函数随的增大而减小，最大值为，
时，，
，当时，函数随的增大而减大，函数的最大值为，
．
故答案为：．
4．某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值是 ．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】本题考查的是反比例函数的性质，反比例函数的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．直接根据反比例函数的性质写出符合条件的值即可．
【解析】解：∵当时，y随x的增大而减小，
∴
故答案为：1（答案不唯一）．
题型05 反比例函数系数k的几何意义
例5．如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．
过点A作轴，过点B作轴，根据相似三角形的判定和性质得出，确定，然后结合图形及面积求解即可．
【解析】解：过点A作轴，过点B作轴，如图所示：
∴，
∴，
∵点A在双曲线上，点B在，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，轴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
∴，
故选：C．
1．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点作轴交轴于点，点为线段上的一点，且．反比例函数的图象经过点交线段于点，则四边形的面积是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的几何意义，作轴于，作轴于，则，由点，的坐标分别为，得，，，然后证明得，求出，则，故有点坐标为，求出反比例函数解析式，再求出，最后根据即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【解析】如图，作轴于，作轴于，则，
∵点，的坐标分别为，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴点坐标为，代入得，，
∴反比例函数解析式为，
∵轴，
∴点与点纵坐标相等，且在反比例函数图象上，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
2．如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点，则下列结论：
①；
②的面积等于四边形的面积；
③的最小值是；
④．
其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【分析】由，可得，故①符合题意；如图，连接，，，与的交点为，利用的几何意义可得的面积等于四边形的面积；故②符合题意；如图，连接，证明四边形为矩形，可得当最小，则最小，设，可得的最小值为，故③不符合题意；如图，设平移距离为，可得，证明，可得，再进一步可得答案．
【解析】解：∵，，四边形是矩形；
∴，
∴，故①符合题意；
如图，连接，，，与的交点为，
∵，
∴，
∴，
∴的面积等于四边形的面积；故②符合题意；
如图，连接，
∵轴，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴当最小，则最小，
设，
∴，
∴，
∴的最小值为，故③不符合题意；
如图，设平移距离为，
∴，
∵反比例函数为，四边形为矩形，
∴，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故④符合题意；
故答案为：①②④
3．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数，根据的纵坐标相同以及点在反比例函数上得到的坐标，进而用代数式表达的长度，然后根据列出一元一次方程求解即可．
【解析】是平行四边形
纵坐标相同
的纵坐标是
在反比例函数图象上
将代入函数中，得到
的纵坐标为
即：
解得：
故答案为：．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论：点与点关于原点对称；点是的中点；在的图象上任取点和点，如果，那么；．其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的性质，根据反比例函数的性质逐项判断即可求解，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【解析】解：∵直线与双曲线交于两点，
∴点与点关于原点对称，故正确；
∵点与点关于原点对称，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∴点是的中点，故正确；
∵，
∴在每一象限内，随的增大而减小，
当在同一象限内时，如果，那么；当不在同一象限内时，如果，那么，故错误；
∵轴，
∴，
∵点与点关于原点对称，
∴，
∵点是的中点，
∴，故正确；
∴正确结论有个，
故选：．
基础巩固
1．已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】A
【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据题意得出，代入反比例函数求解即可
【解析】解：∵反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，
∴，
∴，
∴，
故选：A
2．若点，，，都在双曲线上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数，当时则，则，图像在二四象限随增大而增大直接判断即可得到答案；
【解析】解：∵，点，，，都在双曲线上，
∴，，
∴，
故选：B．
3．力F作用于物体，产生的压强P与物体受力面积S之间满足关系式，当F一定时，根据表格可以判断a和b的大小关系为（ ）
5 20 30 40 60
800 ■ a ■ b
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数的应用，关键是掌握反比例函数的性质．根据，当F一定时，P与S成反比例函数，由函数的性质得出结论．
【解析】解：∵F一定，
∴，
∴，
∴当时，P随着S的增大而减小，
∵，
∴．
故选：A．
4．如图：直线与x轴交于点A，与双曲线交于点P，过点P作轴于点C，且，则k的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．先把P点的纵坐标代入一次函数中可确定P点坐标，然后把P点坐标代入双曲线中可计算出k的值．
【解析】解：∵，
∴P点的纵坐标为2，
把代入得，
所以P点坐标为，
把代入得，
解得．
故k的值为．
故选：D．
5．当时，下列函数随的增大而增大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的增减性．
一次函数当时，函数值总是随自变量增大而增大，反比例函数当时，在每一个象限内，随自变量增大而增大，二次函数根据对称轴及开口方向判断增减性．
【解析】解：A．为一次函数，且时，函数值总是随自变量增大而减小，故不符合题意；
B．为二次函数，对称轴为，开口向上，故当时，函数值随自变量增大而增大，当时，函数值随自变量增大先减小后增大，故不符合题意；
C．为反比例函数，当或者时，函数值随自变量增大而增大，当时，就不能确定增减性了，故不符合题意；
D．为二次函数，对称轴为，开口向上，∵当时，函数值随自变量增大而增大，故当时，函数值随自变量增大而增大，故符合题意；
故选：D．
6．如图，P是反比例函数的图象上一点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交反比例函数的图象于点M，N，则的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】本题考查了坐标与图形，反比例函数的应用，三角形的面积公式，分别求得点M、N的坐标是解决本题的关键．
设点P的坐标为，则点N的坐标为，点的坐标为，即可求得，，再根据三角形的面积公式，即可求解．
【解析】解：设点P的坐标为，
轴，轴，
，
点N的坐标为，点的坐标为纵坐标为，
，解得，
点的坐标为，
，，
，
故选：A．
7．点A，B分别在反比例函数和的图象上且轴，动点P在x轴上，则的面积为 ．
【答案】7
【分析】本题主要考查了反比例函数的系数的几何意义．连接，，设与轴交于点，将面积转化为的面积，然后结合反比例函数系数的几何意义求解．
【解析】解：如图，连接，，设与轴交于点，
轴，
，
点，分别在反比例函数和的图象上，
，，
．
故答案为：7．
8．如图，在中，边在轴上．反比例函数的图象恰好经过点，与边交于点．若，．则的值为 ．
【答案】4
【分析】根据，可得，再根据反比例函数值的几何意义列出方程求出即可．本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握反比例函数值的几何意义是关键．
【解析】解：连接，过点作轴,交于点G，过点B作轴，
，．
，
设点，则，
∵
，
，
解得：．
故答案为：4
9．如图是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于两点，点在轴上，则 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，连接，设直线与x轴交于D，先证明得到，再由反比例函数比例系数的几何意义得到，则．
【解析】解：如图所示，连接，设直线与x轴交于D，
∵轴，
∴轴，
∴，
∴，
∵B、C分别在反比例函数和的图象上，
∴，
∴，
故答案为：1．
10．在平面直角坐标系中，一副三角板如图所示摆放，反比例函数，的图象分别经过点A，点B，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查待定系数法，设，得到，过点作于点，得到点B坐标，代入解析式即可求出．
【解析】设
则
过点作于点
，
的图象点B，
故答案为：．
11．如图，A、B两点的坐标分别为，，将线段AB绕点B逆时针旋转得到线段，过点C作于点D，反比例函数的图象经过点C，交直线于E．
(1)求反比例函数解析式；
(2)求的面积．
【答案】(1)反比例函数的解析式为(2)
【分析】此题考查了旋转的性质，反比例函数的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，利用反比例函数计算图形的面积，正确掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
（1）证明，推出，得到点C的坐标为，利用待定系数法求出反比例函数解析式；
（2）先求出直线表达式为，再求出直线与双曲线交点，从而求出面积．
【解析】（1）解：∵A、B两点的坐标分别为，
∴，
由旋转得：
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点C的坐标为，
∵点C在反比例函数y=上，
∴
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：设直线表达式为，把代入，
∴，
解得：，
∴直线表达式为，
∴，
解得：，
∴，
∴．
12．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和两点．
(1)求点的坐标．
(2)根据图象直接写出的自变量的范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查反比例函数和一次函数结合问题，待定系数法求反比例函数解析式．
（1）先求出点坐标，再求出反比例函数解析式，联立方程组即可求出本题答案；
（2）根据图像即可得出本题答案．
【解析】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，
∴将代入中得：，即：，
∴，
∴将代入中得： ，
∴，解得：或，
∴点的坐标为：；
（2）解：∵通过函数图像可知：
，
点，点，
∴的自变量的范围：或．
13．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点且与反比例函数（是不为的常数）的图象在第二象限交于点，轴，垂足为，若．
(1)求的值；
(2)求两个函数图象的另一个交点的坐标；
(3)请观察图象，直接写出不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）先求出、、坐标，再把点坐标代入反比例函数解析式，利用待定系数法确定函数解析式即可；
（2）两个函数的解析式作为方程组，解方程组即可求得点的坐标；
（3）根据图象一次函数的图象不在反比例函数图象的下方，即可解决问题．
【解析】（1）∵一次函数的图象与轴交于点，
当时，，
．
，
，
．
把代入一次函数，
得，
．
点在反比例函数是不为的常数的图象上，
；
（2）由，解得（舍去）或，
的坐标为；
（3）由图象可知，不等式的解集是或 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数（且）的图象在第一象限交于点C，若．
(1)求k的值；
(2)已知点P是x轴上的一点，若的面积为24，求点P的坐标．
【答案】(1)18
(2)或
【分析】（1）如图所示，过点C作轴于点H，先求出A、B的坐标得到，再证明得到，，即可求出点C的坐标，进而求出k的值；
（2）设点P坐标为，则，根据的面积为24，得到，解方程即可得到答案．
【解析】（1）解：如图所示，过点C作轴于点H，
∵直线与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴点C的坐标是，
∵点C在反比例函数上，
∴；
（2）解：设点P坐标为，
∴，
∵的面积为24，
∴，
∴，
解得或，
∴点P坐标为或．
能力提升
1．已知反比例与的图像如图所示，为x轴正半轴上一动点，过点作轴，分别交反比例函数与的图像于点，，点，（点在点的上方）在轴上，且，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，理解反比例函数系数的几何意义是解题的关键．
利用反比例函数系数k的几何意义可得，，再根据同底等高的三角形面积相等，得到，由平行四边形的面积公式进而求出答案
【解析】解：连接、、，
轴，，
四边形为平行四边形，
，
轴，
，
由反比例函数系数的几何意义得，
，，　
，
，
故选：B．
2．如图，在平面直角坐标系中，已知，直线与双曲线交于点，直线分别与双曲线，双曲线交于点，，与轴交于点．若，，则（ ）
A．4或 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积的计算，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．如图连接，，作于，轴于，．根据，得到，根据已知条件得到，，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解析】解：如图连接，，作于，轴于，则．
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
3．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴上，顶点C 在y轴上，矩形的顶点D在上，顶点F在 y轴上．已知C是的中点，反比例函数 （）的图象经过点B，图中阴影部分的面积为4，则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】设，，根据矩形，得到，结合C是的中点，得到，得到，解得的值即可．
本题考查待定系数法求反比例函数，矩形的性质，不规则图形面积，掌握待定系数法求反比例函数方法，矩形的性质，把不规则图形面积转化为规则图形面积是解题关键．
【解析】解：设，，
根据矩形，
得到，
∵C是的中点，
∴，
∴，
根据题意，得，
∴，
解得，
∵反比例函数 （）的图象经过点B，
∴，
故选D．
4．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于C，D两点，点M为线段的中点，轴交反比例函数图像于点N，P为x轴上任一点，若，则k的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，先求解，，，可得，再利用面积公式建立方程求解即可．
【解析】解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴，，
∵点M为线段的中点，
∴，
∵轴交反比例函数图像于点N，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，将直角向右平移到位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数的图象经过与的交点，连接并延长交轴于点，若的面积为3，则的值是 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查反比例函数函数k的几何意义，设的长为，则，表示出点的坐标为，证明，得，知
【解析】解：设的长为，则
当时，点的坐标为，
∴，
又是直角三角形，且
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：6
6．如图，是反比例函数上的一点，其中，过点作轴于点，连接．
（1）若的面积是3，则的值为 ．
（2）将绕点按顺时针方向旋转得到，且点的对应点恰好落在该反比例函数的图象上，则 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形，解一元二次方程等知识，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解答的关键．
（1）先根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，利用坐标与图形和三角形的面积公式求得即可求解；
（2）延长交x轴于H，根据旋转性质和正方形的判定与性质得到四边形是正方形，则，，即轴，进而求得，再反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后解一元二次方程即可求解．
【解析】解：（1）∵是反比例函数上的一点，
∴，
∵轴于点，
∴，，
∴，
∴，则，
故答案为：；
（2）延长交x轴于H，
由旋转性质得，，，
∴四边形是正方形，
∴，，即轴，
∴，，
∴，
∵点Q、M都是反比例函数上的一点，
∴，即，
∴，解得，
∵，
∴，
故答案为：．
7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．
(1)求点的坐标；
(2)若点为轴负半轴上一点，且满足，求点的坐标．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（）把代入解析式，求出一次函数与反比例函数解析式，然后联立方程，解出方程即可；
（）过点做轴，并分别作，，交点分别为点，，得，然后根据同角的余角相等得，证明，则，设，则，，，，再代入求，（舍去）即可；
本题考查了相似三角形的判定与性质，一次函数与反比例函数的性质，同角的余角相等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【解析】（1）将代入，可得，
∴反比例函数解析式为，
将代入，可得，
∴，
令，解得，，
经检验均为方程的解，
当时，，
故点的坐标为；
（2）如图，过点做轴，并分别作，，交点分别为点，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，，，，
∴，
解得，（舍去），
又∵在轴负半轴上，
∴点坐标为．
8．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A在x轴的正半轴上，点在其对角线上，反比例函数的图像经过C、D两点．已知平行四边形的面积是8．
(1)求k的值；
(2)求线段所在直线的解析式．
【答案】(1)；
(2)线段所在直线的解析式为：．
【分析】题目主要考查反比例函数及特殊四边形的性质，全等三角形的判定和性质，结合图形，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）直接将点D代入解析式即可；
（2）过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，根据矩形的判定和性质及全等三角形的判定得出，设，则，利用相似三角形的判定和性质得出，然后结合题意得出方程求解确定，再由待定系数法即可确定函数解析式．
【解析】（1）点在双曲线上，
；
（2）过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，
∴，四边形为矩形，
∴，，
∵平行四边形，
∴，
∴，
设，则，
∵
，
，
∵，
∴，代入得：
解得，
平行四边形的面积是8，
∴，即，
解得，
点，
设直线的解析式为：，代入得：，
解得：，
线段所在直线的解析式为：．
9．如图，点A 、B在反比例函数 图象上，直线交x 轴于点C，过点B 作 垂足为D．已知，， 求 k 值．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是设出点的坐标，再利用三角形相似进行求解．设，则，作轴于点，证明，通过三角形相似，得到的长度，利用反比例函数表示出点的坐标，然后通过减去表示出的长度，最后根据表示出，再结合题目中，计算出．
【解析】设，则，作轴于点，
轴，
，
，
，，
，
点的坐标为，
，
，
，
，
，
．
10．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴交于点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)设为线段上的一个动点（不包括，两点），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积是4时，求点的坐标．
【答案】(1)一次函数的解析式为
(2)
【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，灵活运用这些性质解决问题是解题关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）由即可求解。
【解析】（1）把，代入中，得
，．
又，在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数的解析式为．
（2）由（1）可知，设点的坐标为，则．
，
．
解得，
．
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