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第9章平行四边形的判定证明题专项训练-2024-2025学年数学八年级下册苏科版
1．如图，在中，点分别在上，且．求证：四边形是平行四边形．
2．如图，点A，D，C，B在同一条直线上，．求证：
(1)；
(2)四边形是平行四边形．
3．如图，在四边形中，，，，求证：四边形是平行四边形．
4．如图，在中，为对角线上的两点（点在点的上方），．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当时，且，求两点之间的距离．
5．已知：如图，在四边形中，对角线相交于点，垂足分别为E、F，且．求证：四边形是平行四边形．
6．如图，在中，点E，F分别在和上，．求证：四边形是平行四边形．
7．如图，在四边形中，，连接，过的中点O做线段交于点E，交于点F，且．
求证：
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)求证：与全等．
8．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别是，．连接交于点．求证：四边形是平行四边形．
9．在平行四边形中，点、分别是、边的中点，连接、．
(1)如图1，求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，连接，分别交线段、于点、，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中全等三角形（除外）．
10．已知：如图，点O是平行四边形的对角线的中点，E，F分别是和上的点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)求证：；
11．如图，在 中 ，D、E 分别是、的中点，F 是 延长线上的点，且．
(1)图中的平行四边形有哪几个 请选择其中一个进行证明；
(2)与的面积相等吗 请说明理由．
12．如图，在平行四边形中，、分别是、边上的点，且
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)连接，若平分，，，求平行四边形的周长
13．如图，在直角中，，是边上的高，是的角平分线，交于点E，交于点F．
(1)猜想与的数量关系，并说明理由；
(2)将图1中的沿向右平移，使得点F的对应点落在边上，点A，D的对应点落在边上，在图2中画出平移后的，连接，并判断四边形的形状．
14．如图1，和都是边长为2的等边三角形．
(1)以图1中的某个点为旋转中心，旋转，就能使与重合，则满足题意的点为：_________（写出符合条件的所有点）；
(2)将沿方向平移得到，如图2、图3所示，则四边形是平行四边形吗？证明你的结论；
15．如图，在四边形中，，，点在的延长线上，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，平分，请判断的形状并说明理由．
《第9章平行四边形的判定证明题专项训练-2024-2025学年数学八年级下册苏科版》参考答案
1．证明见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，由平行四边形的性质得，，，即可证，即得，，进而得，即可求证，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形．
2．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定，解题关键是根据题意，熟练运用全等三角形的判定和平行四边形的判定进行推理证明；
（1）根据平行得出，再根据“边角边”证明三角形全等即可；
（2）证明一组对边平行且相等即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵
∴．
（2）证明：由（1）得，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
3．见解析
【分析】本题考查了垂线的定义、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定，由垂线的定义得出，根据证明推出，根据平行四边形的判定即可得证．
【详解】证明：，，
．
在和中，
．
．
又，
四边形是平行四边形．
4．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查四边形综合，涉及平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟记平行四边形的判定与性质、勾股定理求线段长是解决问题的关键．
（1）连接交于点，如图所示，由平行四边形的性质及题中已知条件得到，从而结合对角线相互平分的四边形是平行四边形即可得证；
（2）在中，由勾股定理求出，再由平行四边形性质得到，最后由勾股定理即可得到两点之间的距离．
【详解】（1）证明：连接交于点，如图所示：
四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：，，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，两点之间的距离为．
5．见解析
【分析】此题考查了平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定，首先证明出，得到，，即可证明出四边形是平行四边形．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
6．证明见详解．
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的判定定理．
先根据平行四边形得出，，再结合由一组对边平行且相等判断四边形是平行四边形即可．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵
∴，
∴四边形是平行四边形．
7．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定等知识点，灵活运用平行四边形的判定与性质定理成为解题的关键．
（1）由中点的定义可得，结合运用对角线相互平分的四边形是平行四边形可证四边形是平行四边形可得，再结合即可证明结论；
（2）由四边形是平行四边形可得，再根据四边形是平行四边形可得，进而得到，最后根据即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵点O是的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，即，
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，即，
∴．
8．见解析
【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的判定及等腰三角形的性质．解决本题的关键是熟练掌握旋转的性质与平行四边形的判定，由，，可得，从而得出，再由平行线的性质可得，可得出，最后由平行四边形的判定可得结论．
【详解】证明：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
9．(1)见解析
(2)、、、
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到且，再根据线段的中点得到，最后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明；
（2）结合平行四边形的性质及全等三角形的判定方法即可找出图中的全等三角形．
【详解】（1）证明：四边形为平行四边形，
∴，，
∵、分别为、的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∵、分别为、的中点，
∴，，
∴，
在与中
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在与中
∴，
∴，
∵，
∴，
在与中
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴在与中
∴．
综上，图中有以下全等三角形：
、、、．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定、线段的中点，熟练掌握图形的性质和判定是解题的关键．
10．(1)见解析；
(2)见解析；
【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，也考查了全等三角形的判定，熟练掌握相关的判定和性质是解答本题的关键．
（1）直接利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可；
（2）先利用平行四边形的性质得到，，继而得到，从而得证；
【详解】（1）∵平行四边形，
，
又，
∴四边形是平行四边形；
（2）∵平行四边形，
，，，
又∵四边形是平行四边形，
，
，
，
11．(1)平行四边形，平行四边形，证明见解析
(2)相等，理由见解析
【分析】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的判定定理，掌握平行四边形对角线分成的四个小三角形面积相等．
（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ADCF是平行四边形，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形；
（2）根据等底等高的三角形面积相等即可证明．
【详解】（1）（1）图中的平行四边形有：平行四边形，平行四边形，
理由是：∵E为的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵D为的中点，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
（2）由（1）知四边形是平行四边形，
∴ ，
∴．
12．(1)见解析
(2)平行四边形的周长是26．
【分析】（1）由平行四边形的性质得，，而，则，即可由，且证明四边形是平行四边形；
（2）由，得，而，所以，则，所以，即可求得平行四边形的周长是26．
此题重点考查平行四边形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识，推导出是解题的关键．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
平行四边形的周长是26．
13．(1)，理由见解析
(2)图见解析，四边形为平行四边形
【分析】本题考查三角形内角和定理，平移作图，平行四边形的判定等：
（1）由，是边上的高，可得，，由角平分线的定义可得，由对顶角相等可得，等量代换可得；
（2）根据题干要求作图即可，由平移前后对应边平行且相等，可判断四边形为平行四边形．
【详解】（1）解：，理由如下：
，
，
是边上的高，
，
，
是的角平分线，
，
，
又，
；
（2）解：作图如下：
由平移的性质可得，，
因此四边形为平行四边形．
14．(1)点、点、的中点
(2)四边形是平行四边形．理由见解析
【分析】此题主要考查了矩形的判定和等边三角形的性质和平行四边形的判定以及旋转的性质，熟练掌握相关的定理是解题关键．
（1）根据等边三角形的性质，得到四边形是菱形，从而再根据菱形是中心对称图形，得到旋转中心有点、点、的中点；
（2）根据平移的性质，得到，根据等边三角形的性质，得到，，从而得到，则，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明．
【详解】（1）等边和等边有公共的底边，
，
四边形是菱形．
要旋转，使与重合，有三点分别为：点、点、的中点，
故答案为：点、点、的中点；
（2）四边形是平行四边形．理由如下：
根据平移的性质，得到，
根据等边三角形的性质，得到，，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
15．(1)见解析
(2)是等边三角形，理由见解析
【分析】此题考查了平行四边形判定、等边三角形的判定、三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
（1）由平行线的性质得到，已知则，可判定即可证明四边形是平行四边形；
（2）由，得到，由平分，得到，进一步可得，即可证明是等边三角形．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
，
∴四边形是平行四边形；．
（2）是等边三角形，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形
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