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第10章二元一次方程组章末检测卷-2024-2025学年数学七年级下册人教版（2024）
一、单选题
1．下列方程是二元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若是二元一次方程的一个解，则的值为（ ）
A．2或 B．0 C． D．2
3．将方程写成用含的代数式表示的形式是（ ）．
A． B． C． D．
4．“天宫课堂”第四课航天员演示了“水球变向实验”，水球的运动轨迹可表示为二元一次方程．下列哪组解是这个二元一次方程的解（ ）
A． B． C． D．
5．解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把看错而得到，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．长沙市一中为提倡校园垃圾分类，需制作宣传海报．已知制作2张类海报和3张类海报共需130元，制作4张类海报和1张类海报共需110元．设类海报单价为元，类海报单价为元，则可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．若为二元一次方程，则 ．
8．方程组的解是 ．
9．长方形的长是宽的倍，如果长减少，宽增加，这个长方形就变成了一个正方形．设这个长方形的长是，宽是，根据题意，可得二元一次方程组 ，解得长是 ，宽是 ．
10．已知是关于x，y的方程；的一个解，则 ．
11．甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，则 ．
12．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则方程组的解为 ．
13．有大、小两种型号的货车，辆大货车与辆小货车一次可以运货，辆大货车与辆小货车一次可以运货，则辆大货车与辆小货车一次可以运货 t．
三、解答题
14．解下列方程组
(1)
(2)
15．已知关于x，y的二元一次方程组与有相同的解，求的值．
16．已知：现有A型车和B型车载满货物一次可运货情况如表：
A型车（辆） B型车（辆） 共运货（吨）
3 2 17
2 3 18
某物流公司现有35吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物，根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
(2)若A型车每辆需租金300元/次，B型车每辆需租金320元/次，共有几种租车方案；请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
17．对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，．
(1)求，的值；
(2)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值；
18．对于关于，的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“开心”方程组．
(1)下列方程组是“开心”方程组的是________（只填写序号）；
；；
(2)若关于，的方程组是“开心”方程组，求的值；
(3)若对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组，求的值．
19．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为
物理常识：
开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热景等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积开水降低的温度=温水的体积温水升高的温度．
(1)王老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，王老师的水杯容量为______；
(2)嘉琪同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求嘉琪分别接温水和开水的时间．
《第10章二元一次方程组章末检测卷-2024-2025学年数学七年级下册人教版（2024）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B C C C D B
1．B
【分析】此题考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的整式方程叫做二元一次方程．
根据二元一次方程的定义逐项判断即可．
【详解】解：A． 最高次数是，不是二元一次方程，故该选项不符合题意；
B．是二元一次方程，故该选项符合题意；
C．含有三个未知数，不是二元一次方程，故该选项不符合题意；
D．含有一个未知数，不是二元一次方程，故该选项不符合题意；
故选：B．
2．C
【分析】本题考查二元一次方程的解的定义．掌握方程的解即是使等式成立的未知数的值是解题关键．
将代入此二元一次方程，即得出关于k的等式方程，解出k即可．
【详解】解：将代入，得：，
解得：．
故选：C．
3．C
【分析】本题考查了代入法的运用，掌握代入法的计算是关键．根据题意，运用等式的性质，代入法的计算即可求解．
【详解】解：，
移项得，，
等式两边同时乘以得，，
故选：C ．
4．C
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的概念，即判断给定的和值是否满足方程．牢记方程的解是使方程左右两边成立的未知数的值并能准确计算是解题是关键．
将每个选项中的和代入方程，验证等式是否成立，即可求解．
【详解】解：A．当时，，此选项不符合题意；
B．当时， ，此选项不符合题意；
C．当时，，此选项符合题意；
D．当时，，此选项不符合题意；
故选：C.
5．D
【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
把甲乙两同学的结果代入方程组第一个方程计算求出a与b的值，把甲结果代入第二个方程求出c的值即可．
【详解】解：把与代入得：，
得：，
得：，
把代入得：，
解得：，
∴．
故选：D．
6．B
【分析】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，设类海报单价为元，类海报单价为元，根据制作2张类海报和3张类海报共需130元，制作4张类海报和1张类海报共需110元列出二元一次方程组即可．
【详解】解：设类海报单价为元，类海报单价为元，根据题意得，
，
故选：B．
7．2
【分析】本题考查二元一次方程的概念，解题的关键是能够熟练的掌握二元一次的基本概念即可．
根据二元一次方程的概念分析解答即可．
【详解】解：∵方程是二元一次方程，
，
，
故答案为：2．
8．
【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握代入法的计算是关键．
根据题意，把代入，解得，则，由此即可求解．
【详解】解：，
把②代入①得，，
解得，，
∴，
解得，，
∴原方程组的解为，
故答案为： ．
9． / /
【分析】本题考查了二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式是关键．
设这个长方形的长是，宽是，根据题意列式求解即可．
【详解】解：设这个长方形的长是，宽是，
∵长是宽的倍，
∴，
∵长减少，宽增加，这个长方形就变成了一个正方形
∴，
∴二元一次方程组为，
解方程组，
把①代入②得，
解得，，
∴，
∴原方程组的解为，
∴长是，宽是，
故答案为：①；②；③ ．
10．2
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中得到，据此利用整体代入法计算求解即可．
【详解】解：∵是关于x，y的方程；的一个解，
∴，
∴，
故答案为：2．
11．5
【分析】本题考查含参的二元一次方程组的错解问题，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键，根据甲将①中的看成了它的相反数解得的值，代入可得到，的值，再根据乙抄错②中的得到的值，代入可得到的值，结合两个式子的值即可得到答案．
【详解】解：∵甲将①中的看成了它的相反数解得，代入原式得到：，
∴③，，
∵乙抄错②中的解得，代入原式的①得到：，
∴④，
∴，
解得：
∴，
故答案为：5．
12．/
【分析】本题主要考查了一元二次方程组的解的定义，观察两个方程组可知把第二个方程组中的看做一个整体，那么的值分别为第一个方程组的解中的x，y的值，据此求解即可．
【详解】解；∵关于x，y的二元一次方程组的解为，
∴方程组的解满足，即，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，首先根据辆大货车与辆小货车一次可以运货，辆大货车与辆小货车一次可以运货，列出二元一次方程组，解方程组求出一辆大货车和一辆小货车一次分别可以运货多少吨，然后再求出辆大货车与辆小货车一次可以运货多少吨．
【详解】解：设一辆大货车一次可以运货，一辆小货车一次可以运货，
根据题意可得：，
解得：，
辆大货车与辆小货车一次可以运货．
故答案为： ．
14．(1)
(2)
【分析】本题考查解二元一次方程组的知识，解题的关键是掌握解二元一次方程组的方法，代入法和加减消元法，即可．
（1）由，得，再把的值代入①，解出，即可；
（2）将①代入②式，解出，再把的值代入①式，解出值，即可．
【详解】（1）解：得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为；
（2）解：将①代入②得：，
解得：，
将代入①得：，
∴原方程组的解为
15．
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，然后求出方程组的解，进而可得a、b的值，最后问题可求解．
【详解】解：由题意得：
，
解得：，
把代入方程组得：，
解得：，
∴．
16．(1)1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨
(2)共有3种租车方案，最省钱的租车方案是方案1：租用A型车1辆，B型车8辆，最少租车费为2860元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
（1）根据表格中的数据列出二元一次方程组，解出即可；
（2）根据租用的车一次运完35吨货物且恰好每辆车都载满货物，即可得出关于a、b的二元一次方程，再结合a，b都是自然数，即可得出方案，分别求出选择各方案所需租车的费用，比较后得出结论．
【详解】（1）解：设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨，由题意得，
，
解得，
答：1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨；
（2）由题意得：，
，
a，b均为自然数，
或或，
共有3种租车方案，
方案1：租用A型车1辆，B型车8辆，则租车费用为（元），
方案2：租用A型车5辆，B型车5辆，则租车费用为（元），
方案3：租用A型车9辆，B型车2辆，则租车费用为（元），
，
最省钱的租车方案是方案1：租用A型车1辆，B型车8辆，最少租车费为2860元．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键．
（1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可；
（2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，
解得：；
（2）解：依题意得，
解得：，
∵，
∴，
解得：．
18．(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题考查了新定义，二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据“开心”方程组的定义进行逐项分析，即可作答．
（2）先整理原方程为，再结合“开心”方程组的定义，得出，再代入，进行计算，即可作答．
（3）先结合结合“开心”方程组的定义，得出，然后解出，或，，再分别代入，结合题意列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵中的，
故不是“开心”方程组；
∵中的
∴是“开心”方程组；
∵，
∴，
把代入，
得，
解得，
把代入，
∴，
∵，
故不是“开心”方程组；
故答案为：．
（2）解：∵，
∴两式子相加得，
整理得，
∵关于，的方程组是“开心”方程组，
∴，
即，
解得或；
（3）解：关于，的方程组都是“开心”方程组，
∴
即把代入，
得
整理得，
∴，
故或，
当时，；
∵，
∴，
则，
整理得，
∵对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组，
∴，
即，
则
∴，
此时；
当时，；
∵，
∴，
则，
整理得，
∵对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组，
∴，
即，
则
∴，
此时；
综上：的值为或．
19．(1)400
(2)，
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式表达式，正确掌握等量关系是解题的关键．
（1）根据题目给出的容量公式进行计算即可；
（2）设接温水的时间为，接开水的时间为，根据容量和温度列出方程组求解即可．
【详解】（1）解：王老师的水杯容量为，
故答案为：400；
（2）解：设接温水的时间为，接开水的时间为，根据题意得，
解得
所以，嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为．
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