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2024-2025 学年湖北省部分高中高二下学期 4 月期中联考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 ( ) = 2 lim (1+ ) (1).已知函数 ，则 =( ) →0
A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 2 2
2.5 名同学分别报名参加书法、绘画、摄影、编程四个社团，每个社团至少 1 人，不同的报名方法有( )
A. 45 4 种 B. 2 45 4种 C. 2 45 4种 D. 54 45种
3.曲线 ( ) = ( + 1) 2 在 = 0 处的切线方程为( )
A. = 3 + 1 B. = 3 + 2 C. = 2 + 2 D. = 3 2
4.若(1 + 3 )2025 = 2 20250 + 1 + 2 + + 2025 ，则 1 + 2 + + 2025 =( )
A. 42025 1 B. 42025 + 1 C. 42025 D. 0
5.设 ≠ 0，若 = 为函数 ( ) = ( )( )2的极小值点，则( )
A. < B. > 0 > C. < 2 D. > 2
6 .已知函数 ( ) = ln( +1) ，则 = ( )的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.已知函数 ( )为定义在 上的偶函数，当 > 0 时， ′( ) + ( ) > 0，则下列正确的为( )
A. ( 3) < 3 (1) B. ( 3) > 3 (1) C. ( 3) < (1)3 D. ( 3) >
(1)
3
8 2.已知函数 ( ) = ln( 1) + 有 3 个零点，则实数 的取值范围为( )
A. (1, + ∞) B. ( ∞, 2) C. ( ∞, 1) D. (2, + ∞)
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的有( )
A.若 = 2 3 + 3 2 + 1，则 ′ = 6 2 + 6 1
B.若 = cos 3，则 ′ = sin 3
C.若 = ln(2 + 1)，则 ′ = 22 +1
D.若 = 1 ，则 ′ =
10.下列说法正确的是( )
A.甲、乙、丙、丁、戊 5 人站成一排，甲不在最左端，则共有 96 种排法
B. 2 名男生和 5 名女生站成一排，则 2 名男生相邻的排法共有 1280 种
C. 2 名男生和 5 名女生站成一排，则 2 名男生互不相邻的排法共有 4800 种
D. 2 名男生和 5 名女生站成一排，2 名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有 3120 种
11.已知定义在 上的函数 ( )满足 ( ) + ( ) = 0，且当 ≥ 0 时， ( ) = 2 .若 ( ( +
cos )) + ( cos ) ≤ 0 在 上恒成立，则 的可能取值为( )
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知函数 ( ) = 3 2在点(1, (1))处的切线方程为 = 4 3，则 + = ．
13.已知( + )2 ，( + )2 +1的二项式系数的最大值分别为 ， ，若 11 = 6 ，则正整数 = ．
14 > 1 ∈ [ 1 1 1.已知 ，若对于 3 , + ∞)，不等式3 + ln3 ≤ + ln 恒成立，则 的取值范围为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
从装有 3 个红球、2 个白球、1 个黑球的袋中任取 3 个球，求：
(1)恰好取到 2 个红球的概率;
(2)至少取到 1 个红球的概率．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ln + 2 + ( + 1) ( ∈ )，且 ′(1) = 1．
(1)求 ( )的解析式;
(2)求函数 ( )的单调区间．
17.(本小题 15 分)
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在(3 + 2 10 2 ) 的展开式中，
(1)求有理项的个数;
(2)系数最大的项是第几项
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ln .
(1)当 = 2 时，求 = ( )在点(1, (1))处的切线方程;
(2)若对 ∈ [1, ] 1，都有 ( ) ≤ 2恒成立，求 的取值范围;
(3)已知 = 1，若存在 0 < 1 < 2，使得 ( 1) = ( 2)，求证： 1 + 2 > 2．
19.(本小题 17 分)

已知函数 ( ) = 2 2 3sin( + )，其中| | ≤ 2．
(1)若 ( )是偶函数，求 ;
(2)当 = 0 时，讨论函数 ( )在[0, + ∞)上的零点个数;
(3)若对 ≥ 0， ( ) ≥ 0，求 的取值范围．
(注：记 sin = 13， ∈ (0,

2 )， 可用含 的表达式表示)
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3
13.5
14. 3 , + ∞
15.解：(1)袋中装有 3 个红球、2 个白球、1 个黑球，现从中任取 3 个球．
2 1
恰好取到 2 9个红球的概率为： 3 33 = 20． 6
(2)至少有一个红球的方法种数为：
3
1 33 = 1
1 19
6 20
= 20
16.(1)对 ( ) = ln + 2 + ( + 1) 求导，
1
得 ′( ) = + 2 + ( + 1)，
将 = 1 代入 ′( )，由 ′(1) = 1，
有：1 + 2 + ( + 1) = 1 化简得 3 + 2 = 1，
解得 = 1，
将 = 1 代入 ( )，得 ( ) = ln 2；
(2) ( ) = ln 2的定义域为(0, + ∞)，
( ) = 1 2 = 1 2
2
求导得 ′ ，
令 ′( ) = 0，即 1 2 2 = 0( > 0)，
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解得 = 22 ，
2
当 0 < < 22 时，1 2 > 0， ′( ) > 0，
( ) 2在(0, 2 )上单调递增;
> 2当 2 时，1 2
2 < 0， ′( ) < 0，
( ) ( 2在 2 , + ∞)上单调递减，
2
综上， ( )的单调递增区间为(0, 2 )，
2
单调递减区间为( 2 , + ∞)
17. 2解：(1)(3 + 10 2 ) 展开式的通项：
10 7
= (3 +1 10 )10 (
2
2 ) = 2 · 10· 3 ， ∈ {0,1,2, , 10}，
10 7
令 3 ∈ ，
∴ = 1，4，7，10，
∴展开式中有理项共有 4 项．
(3)设第 + 1 项的系数最大，
102 ≥ 12 1则 10

，解得 6 ≤ ≤ 7，
102 ≥ +1 +110 2
故系数最大的项为第 7 项和第 8 项．
18.解：(1)当 = 2 时，函数 ( ) = 2 ln ，
将 = 1 代入 ( )，得 (1) = 2 × 1 ln1 = 2，
′( ) = 2 1 ， = ′(1) = 2 1 = 1，
可得切线方程为 2 = 1 × ( 1)，整理得 + 1 = 0．
(2)已知 ( ) = ln ≤ 12在[1, ]
1
上恒成立，移项可得 ≤ ln + 2，
ln +1
因为 ∈ [1, ]，所以 > 0，两边同时除以 ，得到 ≤ 2 在[1, ]上恒成立，
ln +1 12 (ln +
1) 1 1 ln 1 1 ln
令 ( ) = ， ∈ [1, ]，对 ( )求导：得 ′( ) =
2 = 2 = 2 2 2 2 ．
1 ln 1
令 ′( ) = 0，即2 2 = 0，则2 ln = 0，解得 = ，
当 ∈ [1, )时， ′( ) > 0， ( )单调递增;当 ∈ ( , ]时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
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ln1+12 1 ln +
1 1+1
(1) = 31 = 2， ( ) =
2 2
= = 2 ，
1 3
比较 (1)和 ( )的大小：2 = 2 ，因为 < 3，所以2 < 2 ，
1 1 1
即 ( )min = (1) = 2，所以 ≤ 2，即 的取值范围是( ∞, 2 ]。
(3)当 = 1 时， ( ) = ln ， ′( ) = 1 1 1 = ，
由 ′( )可知， ( )在(0,1)上 ′( ) < 0， ( )单调递减;
在(1, + ∞)上 ′( ) > 0， ( )单调递增．
因为 0 < 1 < 2且 ( 1) = ( 2)，不妨设 0 < 1 < 1 < 2，
要证 1 + 2 > 2，即证 2 > 2 1，因为 2 1 > 1，且 ( )在(1, + ∞)单调递增，
所以只需证 ( 2) > (2 1)，
又因为 ( 1) = ( 2)，所以只需证 ( 1) > (2 1)，
令 ( ) = ( ) (2 ) = ln (2 ) + ln(2 ) = 2 2 ln + ln(2 )，0 < < 1，
2
′( ) = 2 1 1 2 =
2( 1)
(2 ) ，
因为 0 < < 1，所以 ′( ) < 0， ( )在(0,1)上单调递减，
则 ( ) > (1) = 2 × 1 2 ln1 + ln(2 1) = 0，
即 ( ) > (2 )在(0,1)上成立，
所以 ( 1) > (2 1)，从而 1 + 2 > 2 得证．
19.解：(1)因为函数 ( )是偶函数，所以 ( ) = ( )对 ∈ 恒成立，
即 2 2 3sin + = 2 2 3sin + 对 ∈ 恒成立，
即 sin + = sin 对 ∈ 恒成立，即 2sin cos = 0 对 ∈ 恒成立，
cos = 0 因此 ，解得 = + 2 ( ∈ )，而| | ≤ 2，所以 =± 2．
(2)因为 = 0，所以 = 2 2 3sin ，
因此函数 ( )在[0, + ∞)上的零点个数等于函数 = 2 2与函数 = 3sin 图象在[0, + ∞)上的交点个数．
作函数 = 2 2与函数 = 3sin 图象在[0, + ∞)上的图象如下：
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由图象知：函数 = 2 2与函数 = 3sin 图象在[0, + ∞)上的交点数为 2，
因此函数 ( )在[0, + ∞)上的零点个数为 2．
(3)因为 = 2 2 3sin + ，所以 ′ = 4 3cos + ．
令 = ′ = 4 3cos + ，则 ′ = 4 + 3sin + > 0，因此函数 ′ 是增函数．

因为| | ≤ 2，所以 ′ 0 = 3cos 0．

当 ′ 0 = 3cos = 0 时， = + 2 ( ∈ )，而| | ≤

2，因此 =± 2，
所以：①当 = 2时， = 2
2 3cos ，因此由 0 = 3 < 0 知： ≥ 0， ( ) ≥ 0 不成立，所以 ≠ 2；

②当 = 22时， = 2 + 3cos ，因此由函数 = 2
2与函数 = 3cos 在[0, + ∞)上的图象知： ≥ 0，
( ) > 0 恒成立，
所以 = 2为所求．
③当 ∈ ( 2 ,

2 )时，则 ′ 0 = 3cos < 0．
′( 因为 ) = 3 ( + ) > 0，而函数 ′ 是增函数，所以存在唯一 0 ∈ (0,
)
4 4 4 ，使得 ′ 0 =
4 0 3cos 0 + = 0，
因此当 ∈ 0, 0 时， ′ < 0；当 ∈ 0, + ∞ 时， ′ > 0，
所以函数 在 0, 0 上单调递减，在 0, + ∞ 上单调递增，
因此函数 的最小值为 0 = 2 20 3sin
3 2
0 + = 8 3sin 0 + 8sin 0 + + 3 ，
所以要 ≥ 0， ( ) ≥ 0 成立，则 3sin2 0 + 8sin 0 + + 3 0 对 0 ∈ (0, 4 )恒成立，
即 3sin2 0 + + 8sin 0 + 3 0 对 0 ∈ (0,
) 3 sin + 14 恒成立，解得 0 3，即 sin 0 +
1
3

对 0 ∈ (0, 4 )恒成立．
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∈ (0, ) ∈ ( , ) + ∈ ( 3 因为 0 4 ， 2 2 ，所以 0 2 , 4 )．

sin = 1 < 1 ∈ (0, ) ∈ (0, ) sin + 1 + ∈ ( , 3

因为 3 2， 2 ，所以 6 ，因此由 0 3和 0 2 4 )得 2 < 0 + ，

所以 sin 0 +
1 ∈ (0, )
3对 0 4 恒成立等价于：
2 < 0 + 对 0 ∈ (0, 4 )恒成立，因此 2 < 4 ．

综上所述， 的取值范围是[ 2 , 4 ]．
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