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圆综合解答题100题
1.如图3.1所示,在⊙O 中,点C 在优弧 上，将弧 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点 D.若⊙O 的半径为 求 BC 的长.
2. 如图3.2所示,⊙O 的直径 弦 且 将⊙O 沿弦BF 折叠，弧BF恰好与CD 相切于点E，求弦 BF 的长.
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3. 如图3.3所示,将⊙O 上的弧BC沿弦BC 翻折交半径OA 于点D，再将弧 沿BD 翻折交弦 BC于点E,连接 DE.若 AB=10,OD=1,求线段 DE 的长.
4.如图3.4所示，抛物线 (a为常数,a>0)与x轴交于O、A 两点,点 B为抛物线的顶点,点 D 的坐标为(t,0)(-3(1)求点 A 的坐标.
(2) 过点 C作⊙P 的切线CE交x轴于点E.
①如图(a)所示,求证:CE=DE.
② 如图(b)所示,连接AC、BE、BO,当 时，求 的值.
5.如图3.5所示,PA 是⊙O 的切线,A 是切点,AC 是直径,AB 是弦,连接PB、PC,PC交AB于点E,且.
(1) 求证:PB 是⊙O 的切线.
(2) 若 求 的值.
6. 如图3.6所示,⊙O的半径为5,点 P 在⊙O上,点A 在⊙O 内,且. 过点 A作AP 的垂线交⊙O 于点B、C.设 ，则y与x的函数表达式为 .
7. 如图3.7所示, 连接AD 交BC 于点E,过点 E 作 于点F.若 ,求 AD的长.
8. 如图3.8所示,AB 为⊙O 的切线, 作 求证：
9.如图3.9所示,AB 为半圆O的直径, 且 ，射线 BD 交半圆O的切线于点E、交半圆O 于点D，连接CD， 交AB于点F.若 求⊙O 的半径.
10. 如图3.10所示,四边形 ABCD 内接于⊙O,AC平分 过点 A 作 交 CD 于点E,连接 BE.已知
(1) 求证:
(2) 若 ,求 CF 的长.
11. 如图3.11所示,在 中， 构造 的外接圆,点 D 在劣弧BC上, 求 AD 的长度.
12. 如图3.12所示,点 E 在 的边AB上,过点 B、C、E的⊙O 切AC 于点C,直径CD 交BE 于点F,连接 BD、DE.已知 求 BF.
13.如图3.13所示,点 A、D 在以BC为直径的半圆上,D 是弧 的中点，AC与BD交于点 E.若 求 BC 的长.
14.如图3.14所示,以正六边形 ABCDEF 的对角线AC的中点O 为圆心、OB 为半径作⊙O,AQ 与⊙O 切于点P,交 DE 于点Q.若 求⊙O 的半径.
15. 如图3.15 所示,在 中， E 为AB 上一点,以点 A 为圆心、AE 为半径的圆交 的直角边于点G，过点 E 作. 交⊙A 于点F、交 BC 于点D,连接CE.若 求 的值.
16. 如图3.16所示,圆O在矩形ABCD 内,且与AB、BC边都相切,E 是边BC上一点,将 沿DE 翻折，点C 的对称点F 恰好落在圆O上.已知. 则圆O的半径为 .
17. 如图3.17所示,锐角. 内接于( 于点D， 于点E,AD、BE 交于点F.
(1) 如图(a)所示,若⊙O 的半径为5,AC=8,求 BF 的长.
(2) 如图(b)所示,连接OA,若( 求∠OAD 的大小.
18. 如图3.18所示,AB 是⊙O 的直径, C为AB 延长线上一点，且. 直线 垂足为 C,P 为⊙O 上异于A、B 的动点,直线 AP、PB 分别交直线l 于M、N两点.
(1)当 时,MN的长为 .
(2)在 P 点移动的过程中,以 MN 为直径作⊙P交AC 于点Q,求 AQ.
(3)MN 是否存在最大值或最小值 若存在，求出相应的最值；若不存在，请说明理由.
19. 如图3.19(a)所示,⊙O经过等边三角形ABC 的顶点A、C(圆心O在 内),分别与 AB、CB 的延长线交于点D、E,连接DE, 交AE 于点F.
(1) 求证:
(2)当 AF:EF=3:2,AC=6时,求 AE 的长.
(3) 设
①求y关于x的函数表达式.
②如图3.19(b)所示,连接 OF、OB,若 面积是 面积的10倍，求 y的值.
20. 如图3.20所示,⊙O 的半径为4,A、B、C、D 是⊙O上的四点,∠ADB=∠CBD=30°.点 P 在弦 BD 上,PE∥AB交 AD 于点 E,PF∥CD 交 BC 于点 F,则 PE+ PF 的值是 .
21. 如图3.21所示,已知线段 AB=2,MN⊥AB 于点M,且 AM=BM,P 是射线MN上一动点,E、D 分别是PA、PB的中点,过点 A、M、D 的圆与BP 交于另一点C(点 C 在线段BD上),连接AC、DE.
(1) 当∠APB=28°时,求∠B 和弧( 的度数.
(2)求证:AC=AB.
(3)① 当MP=4时，取四边形 ACDE 一边的两端点和线段MP 上一点Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q 为锐角的顶点，求所有满足条件的 MQ 的值.
②记 AP 与圆的另一个交点为F，将点 F 绕点D 旋转90°得到点 G，当点 G 恰好落在MN上时,连接AG、CG、DG、EG,直接写出△ACG 和△DEG 的面积之比.
22.如图3.22所示,已知 P 为锐角∠MAN内部一动点,过点 P 作 于点B，PC⊥AN 于点C,以 PB 为直径作⊙O,交直线 CP 于点D,连接AP、BD,AP 交⊙O 于点E.
(1)求证:∠BPD=∠BAC.
(2) 连接EB、ED,当 时，在点 P 的整个运动过程中：
① 若∠BDE=45°,求 PD 的长.
② 若△BED 为等腰三角形，求所有满足条件的 BD 的长.
(3) 连接OC、EC,OC 交AP 于点F,当tan∠MAN=1,OC∥BE时,记 的面积为S ,△CFE的面积为S ,请写出 的值.
23. 如图3.23所示,在 中， ⊙O(圆心 O 在 内部)经过B、C两点,交线段AC 于点D,直径 BH交AC 于点E,点 A 关于直线BD 的对称点F 落在⊙O 上,连接 BF.
(1)求证:
(2)在圆心 O 运动的过程中：
①若 求 CE 的长.
② 若点 F 关于AC 的对称点Q落在△BFE 边上,求 的值.
(3)令⊙O 与边AB 的另一个交点为P,连接 PC 交BD 于点Q,若 垂足为点G,求证:BD=AD+CE.
24. 如图3.24(a)所示,在矩形 ABCD 中,AD=2AB,延长 DC 至点E,使得( ⊙O 经过B、D、E 三点交AD 于点F,设 AB=x.
(1)连接OB、OD,请直接写出∠BOD 的度数和⊙O 的半径(用含 x 的代数式表示).
(2) 证明:F是AD 的中点.
(3) 如图3.24(b)所示,延长 AD 至点G,使得 连接GE 交弧 于点H.
①连接BD，当DH 与四边形BDHE 其他三边中的一边相等时，请求出所有满足条件的x值.
②若点 G 关于直线DH 的对称点P 恰好落在⊙O 上，连接BP、EP，请求出 的值.
25. 如图3.25所示,AB 是⊙O 的直径,AB=6,点 P 在半径OA 上(不与端点重合),过点 P 作弦CD⊥AB,DO的延长线交⊙O 于点E,作弦 EF⊥AB 于点Q,连接CQ 交OE 于点M,连接PM、PF、MF,MF交AB 于点N.设AP=x.
(1) 求证:(
(2)当△MFP 为直角三角形时,求 x 的值.
(3)当x为何值时，△MPQ的面积取得最大值 求出这个最大值.
26. 如图3.26所示,在平面直角坐标系中,A(3,4),B(5,0),连接AO、AB,点 C 是线段AO上的动点(不与点 A、O重合),连接 BC,以 BC 为直径作⊙P 交x轴于点D、交 AB于点E,连接CD、CE,过点 E 作 轴于点F、交 BC于点G.
(1) AO 的长为 ,AB 的长为 .
(2)求证:
(3) 若圆心 P 落在EF 上,求 BC 的长.
(4) 若 为等腰三角形，求点 C的坐标.
27. 如图3.27所示,在△ABC 中,. 作点 B 关于直线AC的对称点D,点 P 在射线AB 上运动,连接PD 与射线AC 交于点Q,连接BQ,过P、Q、B 三点作⊙O,与射线 AC 的另一个交点为E,延长QO 交⊙O 于点F,连接BF、EF.
(1) 当AP=AQ时,求∠BQE 和PQ 的度数.
(2)当点 P 在线段AB(不包括A、B 两点)上时,设( 求y关于x的函数表达式.
(3)①在点 P 的运动过程中，若以 B、Q、F为顶点的直角三角形满足两条直角边之比为1:2,求⊙O的半径.
②将点 P 绕点B 逆时针旋转90°得点 G，当点 G 恰好落在QF 上时，求 FG 的长(直接写出答案).
28. 如图3.28所示,在矩形 ABCD 中,AB=8,BC=6,点 E 是射线AB上的一个动点,经过B、C、E 三点的⊙O交线段DB于点G，EC 所在的直线交射线DB 于点F.
(1) 求证:若 CG 平分∠DCE,则△DCG 是等腰三角形.
(2)当点 E 在线段AB 上时.
① 如图(a)所示,若CG=CF,求 BE 的长.
②如图(b)所示,连接GE、OB,当GE∥OB时,取四边形 GEBC 的一边的两个端点和射线DB上一点P，若以这三个点为顶点的三角形是直角三角形，且P为锐角的顶点，求所有满足条件的 BP 的值.
(3)如图(c)所示,在点 E 的运动过程中,当 GC=GF 时,记 的面积为S ，△EBF 的面积为S ，请直接写出 的值.
29. 如图3.29所示,△ABC 内接于⊙O,OC=10.过点 C作CD⊥AB 于点E,交⊙O于点D,延长AC 和DB 交于点F,连接AO、CO. CO 与AB 相交于点G,
(1) 求证:AB平分∠CAO.
(2) 已知
① 求 BD 的长;
② 将圆心O 绕着点B 旋转得到点P，若点 P 恰好落在△ADF 的某边上,求 OP 的长.
(3) 若 AC=CD,求∠CAD 的正弦值.
30. 如图3.30所示,正方形ABCD的边长为6,点 P 是AC上的动点,射线 DP 交边AB于点 E.过点 P、E、B作⊙F,分别交 AC、BC 于点G、H.
(1) 若 E 是AB 的中点,求 PE 的长.
(2) 连接EG,求证:∠PGE=∠ADE.
(3)①取点 P、E、G中的两点和点H，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且两直角边之比为2：3，求所有满足条件的 AP 的值.
② 设 PF 交GE 于点Q,若 GQ=2QE,记 的面积为S ,△CGB 的面积为S ,求 的值.
31. 如图3.31所示,在△ABC中, 过点 B 作 BD⊥AC于点 D,点 P 是线段 AD 上一动点,过三点 B、P、D 作⊙O 交AB 于点F,过点 F作EF∥BP交CB 的延长线于点E，交⊙O 于点Q.
(1)求证：四边形 FEBP 为平行四边形.
(2) 当 PF=2时,求 PD 的长.
(3)① 若满足 FQ、FP、PD 中某两条线段相等,求所有满足条件的 PF 的长度.
② 当 Q、O、D 三点共线时,QD 交AB 于点 M,记△FQM 的面积为S ,△BDM 的面积为S ,求 的值.
32. 如图3.32 所示,已知矩形 ABCD, E 为BC 上一动点,连接 AE、DE,以 DE 为直径作⊙O 分别交AE、AD 于点F、G,连接 DF、CF.
(1) 若 F 是弧 的中点，证明：
(2) 若 为等腰三角形，求CE 的长度.
(3)作点 B 关于直线AE 的对称点P.
① 若点 P 落在线段DE 上,设线段 DE、CF 交于点H,求 与 的面积之比.
② 在点 E 的运动过程中，若点 P 落在 内(不包括边界)，则CE 的取值范围是 (直接写出答案).
33. 如图3.33(a)所示,在△AOB 中,∠AOB=90°,OB=3,AB=9,以点O为圆心、OB为半径的⊙O 交AB 于点C,延长 BO 交⊙O 于点D,E 为弧( 的中点，直线 DE 分别交AO、AB 于点F、G.
(1) 求证:BD=BG.
(2) 求 FG 的长.
(3)① 如图3.33(b)所示,连接CE,取四边形 BCED 的一边的两端点和线段AO 上一点P，以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且P 为锐角顶点，求所有满足条件的 OP的长；
②如图3.33(c)所示,设EC 交OA 于点H,连接 AE,则 的面积之比依次为 (直接写出答案).
34. 如图3.34所示,在矩形 ABCD 中, 点 F 是AB 边上一动点(不与点 B 重合), 的外接圆交对角线BD 于点E，连接 CF 交BD 于点G.
(1) 求证:
(2)当 AB=6时,在点 F 的运动过程中:
①若 求 CE 的长.
② 当 为等腰三角形时，求所有满足条件的 BE 的长.
(3) 过点 E 作 外接圆的切线交AD 于点 P.若 且 记△DEP的面积为 的面积为 求 的值.
35. 如图3.35(a)所示,在△ABC 中,. ,D 是AB的中点,点P 是射线CD上的一个动点，点Q 是射线BC 上的一个动点，且满足 作⊙O 过C、P、Q三点.
(1)当点 Q 落在BC 边上时,若 为100°,求∠BPQ 的度数.
(2)设⊙O与AC 交于点E,若EC=EP,求证:BP⊥CD.
(3) 当点 O 落在CB或CD边上时,求⊙O 的半径r.
(4)如图3.35(b)所示,设⊙O与直线 AC 交于点 E,当 时，PQ的长度为 (直接写出答案).
36. 如图3.36所示,在 Rt△ABC 中,. 点 P 是边 AC 上的一个动点,连接 BP,以 BP 为直径作⊙O,⊙O与边AB交于点D,连接 CD,过点 P 作EF∥CD 交边AB 于点E、交射线 BC 于点F.
(1)求证:∠APE=∠DBP.
(2)若 求⊙O 的直径BP 的长.
(3) ①当 为等腰三角形时，求所有满足条件的AP 的长;
② 当 BP 平分∠ABC 时,记 的面积为 △DPM 的面积为S ,则 的值为 .
37. 如图3.37所示, 动点 B 在射线CL 上, 于点H，以点 H 为圆心、HB 为半径作圆交射线BA 于点D、交直线 CD 于点F、交直线 BC 于点E.设
(1) 当 时，求 的度数.
(2) 当 时，求BE 的长度.
(3)在点 B 的运动过程中.
①当 时，求出所有符合条件的 m 的值.
② 连接 EH、FH,当 时，求 与 的面积比.
38.如图3.38所示,AB 是半圆O的直径,半径 D 是OB的中点，点E 是 上一动点,连接AE、DE.
(1) 当 E 是BC 的中点时,求△ADE 的面积.
(2) 若 求 AE 的长.
(3)点 F 是半径OC 上一动点,设点 E 到直线OC 的距离为m.
① 当△DEF 是等腰直角三角形时，求 m 的值；
②延长DF 交半圆弧于点G，若 求 DE 的长.
39.如图3.39所示，在直角坐标系中，直线 分别交x、y轴于点. B(0,6),C(m,0)是射线 AO上一动点,⊙P过B、O、C三点,交直线 AB 于点D(点 B、D不重合).
(1)求直线 AB 的函数表达式.
(2)若点 D 在第一象限，且 求点 D的坐标.
(3)当△ODC 为等腰三角形时，求出所有符合条件的 m 的值.
(4)点 P、Q 关于OD 成轴对称,当点 Q 恰好落在直线AB上时,求 BQ的长.
40. 如图3.40所示, 动点 P 在射线AO 上，以PA 为半径的半圆P 交射线AO 于另一点C,CD∥BP 交半圆P 于另一点D, 交射线PD于点E， AO 于点F,连接 BD.设AP=m.
(1) 求证:
(2) 若m=4,求 BE 的长.
(3)在点 P 的运动过程中：
①当AF=3CF 时，求出所有符合条件的 m 的值；
②当 时，求 与 的面积比.
41.如图3.41所示，在平面直角坐标系中，直线 交x轴的负半轴于点A、交y轴的正半轴于点B，P为线段AO 上一动点(不与点 A 重合)， 于点C，以PC为直径的⊙D 分别交AP 和BP 于点E、F,连接CE.设.
(1)求证:
(2)设
① 用含 m 的代数式表示AC 的长；
② 若 为等腰三角形，求所有满足条件的 m 的值.
(3)设 ,连接OD 交BP 于点G,记 的面积为 的面积为 当OD∥CF 时,求 的值.
42. 如图3.42所示,在 Rt△ABC 中, 过点 B 作 点 C、D 都在AB 上方,AD 交△BCD 的外接圆⊙O 于点E.
(1)求证:∠CAB=∠AEC.
(2)设 BC=3.
①若EC∥BD,求 AE 的长;
②若△BDC 为直角三角形，求所有满足条件的 BD的长.
(3)若. 则 (直接写出答案即可).
43.如图3.43所示，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点A 的坐标为( 点 B 的坐标为(2，0)，在y轴正半轴上有一动点C， 的外接圆与y轴的另一交点为D,过点 A 作直线BC 的垂线,垂足为 E,直线 AE 交y轴于点F.
(1) 求证:OF=OD.
(2)随着点 C 的运动，当∠ACB 是钝角时，是否存在( 的情况 若存在，试求OD 的长；若不存在，请说明理由.
(3)将点 B 绕点F 顺时针旋转90°得到点 G.在点 C 的运动过程中：
① 当点 G 恰好落在△ABC 的边AC 或BC 所在直线上时，求满足条件的点 C 的坐标.
②若CG∥AB,则△ABC 的面积是 (直接写出结果).
44. 如图3.44(a)所示,AB 是⊙O 的直径,点 C 是半圆上任意一点,连接AC、BC,过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D.取 BD 的中点G，连接CG；取 BG的中点E，连接AE 交BC于点F.
(1)当 时，求弧 的度数.
(2)当 时，连接 GF，请判断四边形 AFGC 的形状，并说明理由.
(3)如图3.44(b)所示,设 AE 交⊙O 于点H,连接 BH、CH.设AB=6.
① 在点 C 的运动过程中，当AC 与 中的一边相等时，求出所有满足条件的 BE的长；
② 作点 H 关于BC 的对称点P，当点 P 恰好落在AB 上时，求
45. 如图3.45所示,在平面直角坐标系中,点 O 是坐标原点,A(0,4),B(3,4),C(m，0)是x轴正半轴上一动点，以OC为直径的⊙P与线段 OB的另一个交点为 D，直线 BC 与⊙P 的另一交点为 E.
(1)当点 E 是BC 的中点时,求 m 的值.
(2)连接 AD,当△AOD 是以OD 为腰的等腰三角形时，求点 D 的坐标.
(3)将线段 DP 绕点 D 逆时针旋转 得到线段 DQ.
①连接DC,当 BQ∥DC 时,求 m 的值;
② 当点 Q 落在线段BC 上时,求tan∠OBC 的值.
46. 如图3.46 所示,在矩形 ABCD 中, ，E是边CD 上一点，且满足DE=5,P是射线AD 上一动点,过A、P、E 三点的⊙O 交直线AB 于点F,连接PE、EF、PF.设AP=m.
(1)当m=6时,求 AF.
(2)①在点 P 的运动过程中， 的值是否改变 若改变，求出它的取值范围；若不改变，求出它的值.
② 当矩形 ABCD 恰好有两个顶点落在⊙O 上时，求 m 的值.
(3)若点 A、H 关于点O 成中心对称,连接 EH、CH,当△CEH 是等腰三角形时,求 m 的值.
47.如图3.47所示，在直角坐标系中，O为坐标原点，点 B 的坐标为(0，8)，A为x轴正半轴上一动点，点M 是线段AB 的中点，以OM 为直径的⊙P 交x轴于点C、交y轴于点D、交直线 AB 于点E,直线 DE 交直线OM 于点F.设(
(1) 求证:
(2)若 ,求tan∠EDM 的值.
(3) 连接CE,当 时，求m 的值.
(4)当m 为何值时, 请写出所有符合条件的 m 的值.
48. 如图3.48所示,AB 是⊙O 的直径,且. AD 绕点A 逆时针旋转至AE，其中旋转角. 满足( 连接CE,与AB交于点M,与⊙O交于点 N,连接AN、DN.
(1)证明:
(2)当 时,求 DN 的长.
(3)当 为等腰三角形时，求DN的长.
49. 如图3.49所示, 是⊙O的内接三角形， 点 D 为弧 上一动点， 于点 E,当点 D 从点 B 沿弧 运动到点 C 时，点E 经过的路径长为 .
50.如图3.50所示，在给定的 中， G 为BC 的中点,点 D 在边BC上,直线 AD 交 外接圆⊙O于另一点E， 于点F，当点 D 在边CG上运动(不包含两端点)时，求证：2
51. 如图3.51所示,已知 是边长为4的等边三角形，取AC 的中点D， 绕点D 旋转任意角度得到 直线 BN、PC 相交于点H, 绕点D 旋转的过程中线段AH 的最大值是 .
52. 如图3.52所示,在矩形 ABCD 中, E是 AB上一点,O是 CD上一点,以OC为半径作⊙O，将 折叠至 点 在⊙O 上，延长 交 BC 的延长线于点 F，且恰好过点 O，过点 D 作⊙O 的切线交 BC的延长线于点 G.若 则 ⊙O 的半径为 .
53. 如图3.53所示,在 中， ,D 为线段AC 上一动点，将 沿着BD 翻折，点C的对应点为F，E为AC的中点，在点 D 从点C到点A的运动过程中，当EF 最短时，CD 的值为 .
54. 如图3.54所示,在 中， D 为边AB的中点,E、F分别为边AC、BC 上的点，且满足 若 则AB 的长为 .
55. 如图3.55所示, 交于点A，且满足 将 绕点A 顺时针旋转得到 连接 BN、CM 交于点P,当点 M 落在AC 上时,点 P 经过的路径长为 .
56.如图3.56所示,点 B、C是线段AD 的三等分点,以 BC为直径作⊙O,P 是圆上异于 B、C的任意一点,连接 PA、PB、PC、PD.当 P 是半圆 BC上异于 B、C的任意一点时， 的值为 .
57. 如图3.57所示,已知 D 为等边. 内一点，且满足 求 的最小值.
58. 如图3.58所示,矩形 ABCD 的对角线AC、BD 交于点O,( 交AB于点E.若 的面积为5，求
59. 如图3.59所示,B 是⊙O 上的动点,以 OA、AB 为边构造平行四边形OABC, 求在点 B 移动的过程中当CD 取最大值时， 的度数.
60. 如图3.60所示,在扇形 AOB 中, P 为弧 上一动点，求PA+PB的最大值.
61. 如图3.61所示, 为等边三角形， 于点E， 于点 F, ,则线段 BE 的长为 .
62. 如图3.62所示,在 中， ,AD 是BC 边上的高,E 是AC 的中点,DE、BA 的延长线交于点F,连接CF,求证:
63.如图3.63(a)所示，正方形 ABCD 的对角线交于点O，P为正方形内一点，且满足
(1)若 求 PB-PA 的值.
(2)连接PD,过点C作( 于点H 交AP 的延长线于点E,如图3.63(b)所示,判断 PD 与CE 的数量关系，并说明理由.
64. 如图3.64所示,在 中， 以 AC 为斜边向内作 点E 在边AB 上，且满足 连接BD.若( 求DE 的长.
65. 如图3.65所示,在 中， ，P为AD上方一点，连接BP、CP,BP 交AC 于点E, =60°,求 的最大值.
66. 如图3.66所示, 于点B，且. 点 C 为直线l 上一动点，满足 过点 D 作. 于点E，求证：
67.如图3.67所示,在四边形 ABCD 中,对角线交于点 E,且. CD,求
68. 如图3.68所示,在 中， 点 D 在 BC 边上, 求 AD.
69. 如图3.69所示,在 中， ,求 BC 的值.
70. 如图3.70所示,在四边形 ABCD 中,已知 求对角线 BD 的最大值.
71. 如图3.71 所示, ,延长 BD 至点A,使得 BD,分别以 AB、DE 为边作等边 和等边 点 F 在 的内部，连接CF，求CF 的长.
72. 如图3.72所示, 是等腰直角三角形， 是等边三角形，连接OD.若 ,求 OB.
73. 如图3.73所示,⊙O 为 的外接圆，点I 为 的内心，AI 的延长线交⊙O 于点D.若⊙O 的半径为5,内切圆的半径为2,求 AI·ID 的值.
74. 如图3.74所示,AB 是⊙O 的直径,M、N 是弧 (异于点 A、B)上两点，C是弧 上一动点， 的角平分线交⊙O 于点D， 的角平分线交CD 于点E，当点 C从点M 运动到点N 时，求C、E两点的运动轨迹长度之比.
75. 如图3.75所示, 内接于⊙O，其内切圆的半径为4，与AB 相切于点D，过点D 作AB 的垂线交⊙O 于点E，以 DE 为一边作正方形，其面积为128，求⊙O 的半径.
76. 如图3.76 所示, 为⊙O 的内接三角形， BD 平分 交⊙O于点D,连接AD、CD,作 于点E.若. 求 的面积.
77. 如图3.77所示,AB 为⊙O 的直径, 求 外接圆的直径.
78. 如图3.78所示,已知 的内切圆与三边的切点分别为 D、E、F，过点 F作 于点 H，作 于点 M，作 于点 N.若 求 FM·FN的值.
79. 已知AB 为⊙O 的直径,CD 为⊙O 的弦,连接AD、BC 相交于点E,连接OE 并延长交CD 于点F.
(1)如图3.79(a)所示,当AB∥CD,且OE=3,EF=2时,求⊙O的半径.
(2)如图3.79(b)所示,当AB与CD 不平行时,取CD的中点G,连接EG.
①求证:∠BEO=∠DEG.
②若OE=4,EF=3,求⊙O 的半径.
(3) 在(2)中②的条件下,连接AC、BD.若 求四边形 ACDB 的面积.
80.如图3.80所示，AB为半圆的直径，C为弧 的中点，点D 在半圆上，. 点 E 在 DC 的延长线上, 求 BE.
81. 如图3.81所示,在 AOBC中,OA、OB 是⊙O 的半径,⊙O 交AC 于点E,连接BE.若 求
82. 如图3.82所示,AB 为⊙O的直径,DA、DC分别切⊙O于点A、C,且.
(1) 求 的值.
(2) AC 与OD 交于点E,连接BE.
①求 的度数.
②连接BD 交⊙O 于点H.若 求CH 的长.
83. 如图3.83 所示,四边形 ABCD 内接于⊙O,AB 为直径, 过点 D 作 AB 于点E.连接 AC 交DE 于点F.若 求 BC 的长.
84. 如图3.84所示,⊙O 内切于正方形ABCD,边 BC、CD 上分别有点M、N,且MN是⊙O的切线，当 的面积为4时，求⊙O的半径.
85. 如图3.85所示,已知 AB是⊙O的直径,CD 是⊙O 的弦,且( AE、BF垂直于CD 分别交于点E、F.
(1) 求证:CE=DF.
(2)若AB=10,CD=8,AE86.如图3.86所示，长方形 OAPB 内接于一个面积为 的四分之一圆中，以AB 为边作正方形 ABCD,连接CP、DP.若△CDP 的面积为 ,求五边形 OBCDA 的周长.
87. 如图3.87所示,在 中， D 为 BC 边上一点，且满足 ,过A、B、D三点的圆交 AC 于点E,F为劣弧 的中点,连接 AF、EF,求
88. 如图3.88所示,AB 为⊙O的直径,C、D为圆上两点,满足 连接 AC、BD 交于点E,满足 连接 OE,求 OE 的长.
89. 如图3.89所示,AB是⊙O的直径,C是半圆的中点,连接AC,D 为⊙O 上一点,连接CD.已知 E 为CD 上一点，满足 连接 OE,求 OE的长.
90.如图3.90所示,以线段 AB 为直径的半圆上有点C、D,且 D 为弧. 的中点，作 于点E交AC的延长线于点F，弦 BC、AD 交于点H.若 求 DF的长.
91. 如图3.91所示,在矩形 ABCD 中,点E、F分别在边AD、CD 上,且 BE, 的外接圆⊙O 恰好切BC于点G,BF 交⊙O 于点H,连接 DH.若 则
92. 如图3.92所示,AB为⊙O的直径,C为⊙O 上一点,D为 的内心， 若 求 AD的长.
93. 如图3.93 所示,在扇形 AOB 中, 弧 上有两动点C、D，满足 ∠ODC=90°.若 求 S阴·
94.已知四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AC 是⊙O 的直径, 垂足为点 E.
(1) 延长DE 交⊙O 于点F,延长 DC、FB 交于点P,如图3.94(a)所示.求证:
(2)过点 B 作BG⊥AD,垂足为点 G,BG交DE 于点H,且点 O 和点A 都在DE 的左侧,如图3.94(b)所示.若 求 的大小.
95. 如图3.95所示,△ABC 是⊙O 的内接三角形,点 D 在弧 上,点 E 在弦AB 上(点E 不与点A 重合),且四边形 BDCE 为菱形.
(1) 求证:AC=CE.
(2)求证:
(3)已知⊙O的半径为3.
①若 求 BC 的长.
②当 为何值时，AB·AC 的值最大
96.有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫作半对角四边形.
(1) 如图3.96(a)所示,在半对角四边形 ABCD 中, 求∠B与 的度数之和.
(2) 如图3.96(b)所示,锐角 内接于⊙O，若边 AB 上存在一点D，使得 BO, 的平分线交OA 于点E，连接DE并延长交AC于点F，满足 求证：四边形 DBCF 是半对角四边形.
(3)如图3.96(c)所示,在(2)的条件下,过点 D 作. 于点H 交BC于点G，当DH=BG时,求 与 的面积之比.
97. 如图3.97(a)所示,以Rt△ABC的直角边BC 为直径作⊙O 交斜边AB 于点D,作弦 DF 交BC 于点E.
(1) 求证:∠A=∠F.
(2) 如图3.97(b)所示,连接CF.若∠FCB=2∠CBA,求证:
(3)如图3.97(c)所示,在(2)的条件下,H 为线段CF 上一点,满足 连接 BH,恰有 BH⊥DF.若 AD=1,求△BEF 的面积.
165
98. 如图3.98所示,四边形 ABCD 内接于⊙O,AB=AD,点E为BD 的中点,连接CE并延长使
(1) 如图3.98(a)所示,求证:DF∥BC.
(2) 如图3.98(b)所示,若点 F 恰好为线段AD 的中点,求cos∠DAB.
(3) 如图3.98(c)所示,若⊙O 的半径为 D 为弧 上的动点.
① 连接 OF,求 OF 的最小值.
②当 时，求证：
166
99. 如图3.99所示,在 中， 于点D,E是AC的中点,⊙O过B、D、E 三点,分别交 AC、AB 于点F、G.
(1) 连接 BF,求证:
(2) 连接EG,作 交AD 于点H,取AB 的中点P,连接PE.若 求证:EP 平分
(3) 在(2)的条件下,连接 BE.若 求 的面积.
100. 如图3.100(a)所示,已知⊙O 是△ADB的外接圆, 的平分线DC交AB 于点M、交⊙O 于点C,连接 AC、BC.
(1)求证:AC=BC.
(2) 如图3.100(b)所示,在图(a)的基础上作⊙O 的直径CF交AB 于点E,连接AF,过点 A 作⊙O 的切线AH.若 AH∥BC,求∠ACF 的度数.
(3) 在(2)的条件下,若△ABD 的面积为( 与△ABC 的面积之比为2∶9,求CD 的长.
1. 如图4.1所示,连接CA、CD、OB、OD、OC,过点 C作 CM⊥AB 于点M,过点 O 作ON⊥CM 于点N.
∵ CA、CD 分别是∠CBA、∠CBD 所对的弦,
∴ CA=CD,
∴ AM=MD=1=ON.
∴ CM=BM=3,
思路点拨
圆的折叠问题一般有两种处理方式：一种是从“相等的圆周角所对的弧或者弦相等”入手(例如本题的CA=CD)；另一种是找到圆心的对称点，即圆心O 关于BC 的对称点，这样可以利用新的圆心解题.本题由条件中的中点可想到垂径定理，结合等腰△CAD 三线合一定理，易得△BCM 是等腰直角三角形，进而求出 BC.
2.如图4.2所示，作点 O 关于BF 的对称点Q，连接QE 交AB 于点M,过点O 作OH⊥CD,连接OC、AF、OQ,OQ交BF于点P.
易知QE⊥CD,QE=QB=OC=5,CH=HD=
∴ QM=3,
∴ BM=4,
∴ OM=1,
思路点拨
本题属于圆折叠问题.对于圆折叠问题，一般利用圆心的对称点或者“等圆周角所对的弦相等”来解题.此题不易从弦入手，且涉及相切问题，故采用对称圆心法.利用勾股定理解三角形可得QM、BM、OQ，再根据对称的性质可得OP=PQ且OQ⊥BF,结合垂径定理可得 BF=2BP.
3. 如图4.3所示,CA=CD,过点 C 作CH⊥AB 于点H.
∵ AC、CD、DE 均为∠ABC 所对的弦,
∴ AC=CD=DE,
∴ AH=DH=2,
∴ BH=8.
∵ △ACH∽△CBH,
∴ CH=4,
思路点拨
本题属于圆翻折问题.根据同圆或等圆中相等的圆周角所对的弦相等，可得 AC=CD=DE，此题即转换为求AC或CD.根据△CAD 为等腰三角形，结合勾股定理或相似三角形的性质，构造“三线合一”并求出 CH，进而求出 DE.
与x轴交于点A，∴ A(-6,0).
(2) ①如图4.4 所示,连接 PC,连接 BP 并延长交x轴于点F.
∵ ⊙P 过O、A、B 三点,B 为抛物线的顶点,
∴ PF⊥OA,∠PBC+∠BDF=90°.
∵ PC=PB,
∴ ∠PCB=∠PBC.
∵ CE 为⊙P 的切线,
∴ ∠PCB+∠ECD=90°.
又∠BDF=∠CDE,
∴ ∠ECD=∠CDE,
∴ CE=DE.
②解法1 如图4.5所示,连接AB、OC.
当 时， 3
∴ ∠BOA=60°,OB=OA=6,
∴ △OAB 是等边三角形.
∵ ∠ECD=∠BCO+∠OCE,∠CDE=∠BOD+∠OBD,又∠BCO=∠BOD=60°,
∴ ∠OCE=∠OBC=∠CAE=∠OBE.
又∠CEO=∠AEC,∠BOE=∠ACO=120°,
∴ △OCE∽△CAE,△CAO∽△OBE,
∴ CE=OB=OA=DE=6,
∴ OE=AD.
∵ CE = OE·AE,AE = 2OE + OD,CE = DE =OD+OE,
OD·DE,
解法2 由解法1知
思路点拨
(1)很容易求得点 A 的坐标.
(2)① 要证明 CE=DE，容易想到从角度入手，只需证明∠ECD=∠CDE.这样要从切线开始考虑，连接CP，结合二次函数图像的对称性可知 BP⊥OA，利用直角三角形和切线的性质可直接推导出∠ECD=∠CDE，难度不大.②求 的难度上升很多.新给的条件∠CAE=∠OBE 是解决问题的突破口.由边角关系可知△OAB 为等边三角形，结合前面的结论∠BCE =∠CDE 和外角的性质,得到∠OCE=∠OBC=∠CAE=∠OBE，从而发现隐藏的相似三角形.根据相似三角形的
性质得到线段的比例关系，从而推出 OE·AE,解得OE、OD 的值,而解法2利用通分、约分法是非常巧妙的.
5.(1) 如图4.6所示,连接OB、OP.
∵ OA=OB,PA=PB,OP=OP,
∴△OAP≌△OBP(SSS),
∴ ∠OBP=∠OAP=90°,
∴ PB 是⊙O 的切线.
(2)连接 BC,OP 交AB于点H,设OH=x,PH=a.
∵ OA=OB,PA=PB,
∴ HA=HB,PO⊥AB,
∴ BC=2OH=2x,∠APO=∠BPO.
∵ ∠APC=3∠BPC,
∴ ∠OPC=∠BPC.
∵ OP∥BC,
∴ ∠PCB=∠BPC,
∴ BP=BC=AP=2x.
∵ △PAH∽△POA,
∴ 由求根公式可得
思路点拨
(1)根据全等三角形的性质可知 PB 是切线.
(2)题目未给出任何数据，故采用设参法.根据∠APC=3∠BPC,结合前面结论可得 PC 平分∠OPB,再由平行关系可得△BPC 为等腰三角形，故 BP=2x.结合直角三角形内的相似关系得到关于x与a的方程，利用一元二次方程求根公式得到 x 与a的数量关系，从而求得 的值.
6.如图4.7所示，连接BO并延长交⊙O 于点D，连接PD.
∵∠D=∠C,∠BPD=∠PAC,
∴ △BPD∽△PAC,
思路点拨
通过构造直径转换角，进而利用相似关系来解题.在圆中添加直径是常规辅助线构造方法.
7. 如图4.8所示,延长CD 至点H,使得∠CBH=45°,过点 F 作FM⊥BD 于点M,将△ABD 绕点A 逆时针旋转90°至△ACN 处.
∵ ∠BAC=∠BDC=90°,
∴ A、B、D、C 四点在以BC 为直径的⊙O 上,
∴ ∠BAE=∠BCH.
又∠ABE=∠CBH=45°,
∴ △ABE∽△CBH,
∵ ∠ABH=∠ABC+∠CBH=90°,
∴ ∠FBM+∠DBH=∠DBH+∠H=90°.
又∠FMB=∠BDH=90°,
∴ △FBM∽△BHD,
∵ △BEF 为等腰直角三角形，
∴ BD=4(BD=-4舍).
∵ ∠ABD+∠ACD=180°,∠ABD=∠ACH,
∴∠ACD+∠ACN=180°,
∴ D、C、N三点共线.
又AD=AN,∠DAN=90°,
∴ △AND 为等腰直角三角形.
∵ DN=DC+CN=DC+BD=7,
思路点拨
根据四边形 ABDC 对角互补可知A、B、D、C 四点共圆,结合 AB=AC,将△ABD 绕点A 旋转至△ACN,则可得△AND 为等腰直角三角形，即可将分散的 BD 和DC 拼凑成DN，进而求得 AD 的长度.此方法是对角互补的常规处理技巧，本题的难度不在于此，而在于如何求出 BD 的长度.不难发现△BEF 是等腰直角三角形，下面要运用这个隐藏条件.过点 F作FM⊥BD，关键是将 BD 与 FM 联系起来.通过巧妙地构造△FBM∽△BHD,结合△ABE∽△CBH,将等腰Rt△BEF的作用发挥到极致,得到△FBM∽△BHD 的相似比为1∶2,从而求出 BD 的值，便很容易得到 AD 的值.
8. 如图4.9所示,延长 DA 至点H,使得 AH=AE,连接OB、OE.
∵ AC 是⊙O 的切线,
∴ ∠ABE+∠EBO=90°.
又∠OBE=∠OEB,∠OBE+∠OEB+∠BOE=180°,
∴ ∠BOE=2∠ABE,
∴∠ADB=∠ABE.
∵ AH=AE,AB⊥HE,
∴∠HBA=∠ABE=α.
∵∠ADB+∠ABD=90°,
∴ ∠ADB+∠ABE+∠EBD=90°,
∴ ∠DBH=∠DBE+∠ABE+∠HBA=90°.
∵ BE∥CD,
∴ △AEB∽△ADC,△BEF∽△DCF,
又AH=AE,
∴ AF∥BH,
∴∠AFB=∠HBD=90°.
∵ A 为EH 的中点,AG∥BH,
∴ G 为BE 的中点,
∴ BG=EG.
思路点拨
此题的核心条件为 BE∥CD，结合图形很容易发现基本相似图形中的A字形和8字形.暂时没有明确的思路证明 AF⊥BD，我们先来看看如何求证 BG=EG，即求证 G为BE的中点.一般可利用平行关系构造8字形全等或者利用中位线逆定理来证明中点.本题中，我们先构造 A 为 EH 的中点，反过来证明BH∥AF.观察到在基本相似图形的 A字形和8字形中， 可以作为桥梁使得 结合 AH= AE,可转换为 即可得到 BH∥AF,则 G 为 BE 的中点得证.
9. 如图4.10所示,连接AD、CF.设 BF=x,AF=y,则AE=2x,AB=BC=x+y.
∵ ∠DAB+∠ABD=∠ABD+∠DBC=90°,
∴ ∠DAB=∠DBC.
又∠ADF+∠BDF=∠BDF+∠BDC=90°,
∴ ∠ADF=∠BDC,
∴ △ADF∽△BDC,
又
∴ y=2x,
解得
即⊙O的半径为
思路点拨
根据 AB 为半圆的直径,连接 AD,得到∠ADB =90°,这样就产生了几组相似关系,如△ADF∽△BDC,△ABD∽△EBA，从而得到线段的比例关系.再利用三角函数,结合 AB = BC,以 为桥梁得到 从而得到x与y的关系，最后利用勾股定理即可求出⊙O的半径.
10. (1) 如图4.11所示,连接 BD.
∵ AC 平分∠BCD,
∴∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB.
又AE∥BC,
∴∠ACB=∠CAE.
∵ 在△ABD 中,∠ABD+∠ADB+∠BAC+∠CAE+∠DAE=180°,
又在△CEF 中,∠FCE + ∠CFE + ∠CEF = 180°,∠BAC+∠DAE=∠AFB,∠AFB=∠CFE,
∴ ∠ABD +∠ADB +∠BAC +∠CAE+∠DAE =∠FCE+∠BAC+∠DAE +∠CEF,
∴ ∠CEF=∠ADB+∠CAE =2∠ACE=∠BCE,
∴ BC=BE.
(2)如图4.12所示,将△ADE 绕点A 顺时针旋转至△ABP,延长 PA、CD 交于点Q,过点 B 作BM⊥CE 于点M,过点 F作FN⊥CE 于点N,设CE=x.
∴ ∠ABC+∠ADE=∠ABC+∠ABP=180°,
∴ C、B、P 三点共线,
∴ PC=PB+BC=BC+DE=21.
∵ ∠CAE=∠ACE,
∴ AE=CE=x.
∵ AE∥BC,
∴ ∠AEQ=∠BCE=∠P=∠QAE,△QAE∽△QPC.
∵∠QAE=∠BCE,AE=CE,∠QEA=∠BEC,
∴ △QAE≌△BCE(ASA).
∴ QE=BC=16.
又
∴ x=12(x=-28舍),
∴ MC=ME=6,
又△AEF∽△CBF,
又FN∥BM,
∴ △EFN∽△EBM,
思路点拨
(1)要证明 BC=BE,即证明∠BCE=∠BEC.根据题目可发现，三个条件均与角度有关，故可从导角入手.条件涉及∠AFB，可以利用三角形内角和来进行推导.利用圆周角定理和平行线的性质可以得到很多相等的角，再结合三角形内角和，不难证得 BC=BE.
(2)根据圆内接四边形 ABCD 对角互补且 AB=AD，易想到利用旋转法，旋转后∠P=∠BCE，可延长PA、CD 构造等腰△QPC,再由 AE∥BC 得△QAE∽△QPC,从而有 易发现△QAE≌△BCE,这样等腰△BCE的三边已知，便可以通过解△CFN 求出CF.
11. 如图4.13所示,延长 AB 至点P,使得 BP=2AC,连接 PD,过点 P 作PH⊥AD 于点H.
∵ ∠ACD+∠ABD=∠ABD+∠DBP=180°,
∴∠ACD=∠DBP.
又BD=2CD,BP=2AC,
∴ △ACD∽△PBD,
∴∠CDB=∠ADP.
∵ ∠CDB+∠CAB=∠ADP+∠HDP=180°,
∴ ∠HDP=∠CAB,
设DP=4x,则DH=x,AD=2x,AH=3x.
又2AC+AB=8,
∴ AB+BP=AP=8.
∵ 在 Rt△AHP 中有
解得 舍),
思路点拨
此题难度升级，没有相等的边，但是有DB=2CD 和2AC+AB=8这两个关键条件，故不能用全等旋转的处理方式，而要采用相似旋转法，即将△DCA 绕点A 旋转的同时扩大两倍，使得 DC 可与DB 重合.本题添加辅助线的时候不是从旋转角度来说明的，但本质上就是旋转，只是旋转后需要证明A、B、P三点共线.接下来通过导角可得∠HDP=∠CAB,)从而 派上了用场，最后解三角形即可.
12. 如图4.14所示,过点 F 作FH⊥CF 交BC 于点H,设 BH=x.
∵ ∠EBC=∠EDC=∠A,
∵∠ACF=∠CFH=90°,
∴ AC∥FH,
∴∠HFB=∠A=∠HBF,
∴ HF=HB=x,
∵ △CFH∽△CBD,
解得
∴ CF=2,
∵ FH∥AC,
思路点拨
本题难度不大，易得 这样△BCD的三边均已知.构造 FH∥AC，利用相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理计算 BF.本题还有另一种解法.通过导角得到∠DFB=∠DBF，则DF=DB=1,从而易得 CF=2,进而得 过点 C 作 AF 的垂线，通过解三角形和作差法可求出BF.
13. 如图4.15所示,连接OD交AC 于点 H,设EH=x.
∵ D 为弧AC的中点,
∴ OD⊥AC 且AH=CH=3+x.
∵ BC 为⊙O的直径,
∴∠EDC=∠DHC=90°,
∴ △CDH∽△CED,
即(
,即(2x+11)(x-1)=0,解得x=1 舍),
∴ CE=5,
∵ ∠DCE=∠ABD=∠CBD,
∴ BC=10.
思路点拨
D 为弧 的中点是此题的突破口，可以得到 BD平分∠ABC，DA=DC 等.一般情况下，由圆弧的中点首先想到的是垂径定理，同时会使用勾股定理，与本题问题求线段长度吻合.连接OD 得到△CDH∽△CED,此时需要巧设EH 的长度，利用垂径定理表示CH 的长度，接着利用相似三角形的性质求出 EH，再根据勾股定理求出 DE，从而得到∠DCE 的三角函数值，然后导角，再利用三角函数计算BC.
14. 如图4.16 所示,连接 OB、OP,过点 Q 作QH⊥AC 于点H,延长ED、AC 交于点M,设OB=r.
∴ AB=2r,OA= r,
∵△AOP∽△AQH,
∵∠CDM=60°,
∴∠M=30°,
∴ AM= AH + MH = AC + CM,即
思路点拨
设⊙O 的半径,则 AB、OA、AP 均可用半径表示,从而∠QAC 的三角函数值可求.由于 AC⊥CD，延长ED、AC 交于点M,可以构造特殊角∠M =30°.利用∠QAM、∠M 的三角函数值并构造线段长度和的方程即可解得半径.
15. 如图4.17 所示,过点 A 作AH⊥EF 于点H,设EH=FH=a.
∵ AH=CD,△DBE∽△HAE,
∴ DE=2EH=2a,
∴ DF=4a.
∵ ∠AEF = ∠AFE = ∠BED,∠AFE + ∠BFD =∠BED+∠DBE=90°,
∴∠DBE=∠BFD,
∴ △DBE∽△DFB,
即 解得
思路点拨
由 可联想到此题需要用到相似的知识；由DE∥AC 形成了基本相似的 A字形;由 AH⊥EF 想到垂径定理；利用8字形相似得到 DE 与EF 的关系.利用 和∠BDE = 90°通过导角可得△DBE∽△DFB，利用线段的比例关系求出 BD、CD，从而求得AG 的值.
16. 如图4.18 所示,过点 F 作MN⊥BC 于点N,交AD 于点M,连接OP、OQ,延长PO 交MN 于点H.设圆 O的半径为r.
∵ △CDE≌△FDE,
∴ CE=EF=10,CD=DF=20,∠DFE=90°,
∴ ∠MFD+∠MDF=∠MFD+∠EFN=90°,
∴ ∠MDF=∠EFN,
∴ △DMF∽△FNE,
设NE=x,则 MF=2x,FN=20-2x,MD=40-4x.
∴ CN=MD=x+10=40-4x,解得x=6,
∴ BN=9,FN=8,
∴ FH=FN-r=8-r,OH=BN-r=9-r.
解得r=5(r=29舍).
思路点拨
Rt△DCE 的折叠产生K 字形相似，已知的直角边长提供相似比，利用相似比可求出相应的线段。结合BN、FN 的长度，圆O 与矩形两边相切，构造直角三角形，利用勾股定理即可求解.
17. (1) 如图4.19所示,延长 AO 交⊙O 于点P,连接BP、CP.
∵ AP=10,
∵ ∠ABD=∠APC,
∴ △ABD∽△APC,
∵ ∠ACD+∠CAD=∠ACD+∠CBE=90°,
∴ ∠CAD=∠CBE,
∴ △BFD∽△ACD,
∴ BF=6.
(2)如图4.20所示,延长 AO 交⊙O 于点 P,连接BP、CP.
∵ ∠DBF=∠DAC,∠BDF=∠ADC,BF=AC,
∴△BDF≌△ADC(AAS),
∴ BD=AD,
∴∠ABD=∠APC=45°.
∵ ∠AFE+∠CAD=∠CAD+∠ACD=90°,
∴∠AFE=∠ACD=∠APB,
∴△ABP∽△AEF,
又△ABE 为直角三角形，
∴ ∠ABE=30°,∠BAC=60°,
∴∠BPC=120°,
∴∠APB=75°,
∴ ∠BAP=∠CAD=15°,
∴ ∠OAD=30°.
思路点拨
(1) 根据⊙O的直径为10,AC=8,可想到边长分别为6，8，10的直角三角形，故延长 AO 构造直径，得到Rt△ACP, 然后利用△ABD ∽△APC, △BFD ∽△ACD,得到线段比4∶3,从而求得 BF.
(2)借鉴前面的方法，首先延长直径，从而出现△BDF≌△ADC,△ABP∽△AEF,由题目中 AO=AF这个条件得到相似比 从而得到∠ABE=30°.再利用由△BFD≌△ACD 得到的等腰Rt△ABD,求出∠APB=75°,进而求得∠OAD.
18. (1) ∵ ∠APB=∠BCN=90°,
∴ ∠A=∠BNC=30°,
(2) 如图4.21所示,连接QM、QN.
∵∠A=∠BNC,
∴ △AMC∽△NBC,
∴ CM·CN=5.
∵ ∠NQM=∠QCN=90°,
∴ △NQC∽△QMC,
得
(3) 解法1(代数法——均值不等式) 设 MC=x,NC= y.
解法2(几何法——斜边大于直角边) 如图4.22 所示,连接PQ.
由(2)可得
∵ PQ≥QC(在Rt△PQC 中,PQ>QC,当 PQ与QC重合时取等号)，
思路点拨
(1)通过等量代换可得∠BNC=30°，然后通过解直角三角形得到 CM 和CN 的值，最后根据线段之和求得 MN.
(2)当P 点为动点时求 AQ 的值，是典型的“在变化中寻找不变”的问题.由△AMC∽△NBC 得到CM·CN=5，这是不变的，然后根据直角三角形的射影定理得到 从而求出AQ.
(3)利用均值不等式或斜边与直角边的关系可求出MN 的最值.
19. (1) ∵∠DEC=∠DAC=60°,∠EDA=∠ECA=60°,
∴ △BDE 是等边三角形,
∴ BD=BE.
(2) 如图4.23所示,过点 A 作AH⊥BC 于点H.
∵ △ABC 为等边三角形,
∴∠BAH=30°,BH=CH=3,
∵ BF∥AH,
∴ BE=2,
(3)①如图4.24所示,过点 A 作AH⊥BC 于点H,过点 E 作EM⊥AD 于点M,设 BM=a.
∵ △BDE 为等边三角形,
∴ BM=DM=a,
∵ AH∥BF,
∴ BH=2ax,
∴ AB=2BH=4ax,
② 如图4.25 所示,过点 A 作AH⊥BC 于点H,过点O作ON⊥BC于点N,设 BE=2.
∵ AH∥BF,
∴ BH=CH=2x,
∴ CE=4x+2,
∴ NE=NC=2x+1,
∴ BN=2x-1.
∵ AH=2 x,△EFB∽△EAH,
∴ (2x-3)(x-2)=0,
又
或
思路点拨
(1)利用圆周角定理推导角度关系，得到△BDE 为等边三角形，即可证明 BD=BE.
(2) 由条件 AF:EF=3:2可想到利用相似关系.根据等边三角形的“三线合一”定理，过点 A 作AH⊥BC，形成A字形相似。本题利用平行线分线段成比例定理，通过计算求出 BE，最后利用勾股定理求得 AE.
(3)①由于△BDE 为等边三角形，根据“三线合一”定理,过点 E 作 EM⊥AD,设 BM=a,则 BE、EM 的长度可表示出来.再利用平分线分线段成比例定理和三角函数，即可得到 y关于x的函数表达式.②设BE=2，利用A字形相似、“三线合一”定理及垂径定理，结合 分别求出两个三角形的底和高，利用面积的倍数关系得到等式，从而解出x，最后利用①中得到的函数关系式求出 y.
20. 解法1 如图4.26所示,连接AO、BO、CO、DO.
∵∠ADB=∠CBD=30°,
∴∠AOB=∠COD=60°,
∴ AB=CD=4.
∵ PE∥AB ,
∴ △DPE∽△DBA,
①
∵ △BPF∽△BDC,
②
∴ ①+②得
∴ PE+PF=4.
解法2 如图4.27 所示,连接OC、OD,将 DE 沿BD对称得DG,连接 PG,则 PE=PG.
∵∠ADB=∠CBD=30°,
∴∠COD=60°,
∴ △OCD 为等边三角形,CD=4.
又∠A=∠BCD,
∴ ∠ABD=∠BDC.
又 PE∥AB,PF∥CD,
∴∠ABD=∠EPD=∠GPD=∠BDC=∠BPF,
∴ F、P、G 三点共线.
∵ ∠GDP=∠CBD=30°,
∴ CF∥DG,
∴ 四边形 CFGD 为平行四边形 ,
∴ FG=CD=4,
∴ PE+PF=PG+PF=FG=4.
思路点拨
解法1：从多组平行线入手，发现两组 A字形相似，结合这两组相似得到线段的比例关系，利用等比性质可得到 PE+PF的值.
解法2：从问题来看，有点像“将军饮马”模型，利用平行线得到角度的等量关系，从而可知 PE 的对称线段PG 与PF 拼成了一条线段FG，根据平行四边形的知识可将 FG 转化为CD.
21. (1) 如图4.28所示,连接 MD.
∵ MN⊥AB,AM=BM,
∴ PA=PB,
∴∠PAB=∠B.
∵∠APB=28°,
∵ MD 为△PAB 的中位线,
∴ MD∥AP,
∴∠MDB=∠APB=28°,
(2) 如图4.29所示,连接 MD,设∠APB=2α.
∵ 由(1)可得∠MDB=∠APB=∠BAC=2α,∠APM=∠BPM=α,
∴∠ACB=∠B,
∴ AC=AB.
(3)①如图4.30 所示，MP 与圆的另一个交点记为R,连接CR、AR、MD.
∵ 由(2)可得∠MDC = ∠APB = ∠MRC = 2α,∠BPM=α,
∴∠PCR=∠RPC=α,
∴ RC=PR.
∵∠ACR=∠AMR=90°,
又由(2)可得AC=AB=2,
解得
Ⅰ. 当∠ACQ=90°时,AQ 为圆的直径,则 Q 与R 重合，有
Ⅱ. 当∠QCD=90°时,如图4.31所示.
∵∠QCP=90°,∠RCP+∠QCR =∠CPQ+∠CQP =90°,∠RCP=∠CPQ,
∴∠QCR=∠CQP,
Ⅲ. 当∠QDC=90°时,如图4.32所示.
Ⅳ. 当∠AEQ=90°时,如图4.33 所示. MN 为AB 的垂直平分线，结合对称性和情况Ⅲ可知此时点 Q 与情况Ⅲ重合，则
综上所述，MQ的值为
② 如图4.34所示,过点 C 作CH⊥AB 于点H.
∵ ED 为△ABP 的中位线,
∵ ∠DFA+∠AMD=∠AMD+∠BMD=180°,
∴ ∠DFA=∠BMD.
又 DM=DB,
∴ ∠BMD=∠B=∠BAP=∠DFA,
∴ DF=DE=1.
∵ 由对称性可得 GE=GD,
∴ △DEG 是等边三角形,
∴ ∠DEF=∠BMD=75°,
∴ ∠GMD=90°-∠BMD=15°.
又∠PGD=30°,
∴ ∠GMD=∠GDM,
∴ GM=GD=1.
∵ 由(2)可得∠B=∠ACB,
∴ ∠BAC=30°,
思路点拨
(1)利用垂直平分线发现等腰△PBA，从而易求出∠B的度数.由中点想到了中位线，根据平行线的性质，易求出∠MDB，从而得到 的度数.
(2)在(1)问的基础上，将特殊角变成一般角α.根据三角形内角和,易推出∠ACB=∠B,从而证明AC=AB.
(3)①此问是典型的分类讨论问题.根据90°的圆周角所对的弦为直径，连接AR，则AR 为圆的直径.通过角度关系推导，可得△CPR 为等腰三角形.再根据题目条件和勾股定理，可计算出 RP 的长度，这为后面分类讨论情况中的计算做好准备.②此问同样需要用到前面的一些结论，如等腰三角形、中位线等.通过导角发现△DEF 为等腰三角形，通过对称发现△DEG 为等边三角形，进而得到特殊角60°、30°.接下来将特殊角放入直角三角形，通过解三角形求出线段的长度，然后计算出两个三角形的面积.此处用了一个教材未给出的公式，即等边三角形的面积公式 (a为等边三角形的边长).
22.(1) ∵ PB⊥AM,PC⊥AN,
∴ ∠ABP=∠ACP=90°,
∴ ∠BAC+∠BPC=180°.
又∠BPD+∠BPC=180°,
∴∠BPD=∠BAC.
(2) ① ∵ 如图 4.35 所示,∠APB =∠BDE = 45°,∠ABP=90°,
∵ ∠BPD=∠BAC,
∴ tan∠BPD=tan∠BAC,
∴ PD=2.
② Ⅰ. BD=BE.
∵ ∠BED=∠BDE,
∴∠BPD=∠BPE=∠BAC,
∴ tan∠BPE=2.
∴ BD=2.
Ⅱ. 当 BE=DE 时,∠EBD=∠EDB.
如图4.36所示,过点 B 作BH⊥AC 于点H,则四边形BHCD 是矩形.
∵ ∠APB=∠BDE,∠DBE=∠APC,
∴∠APB=∠APC,
∴ AC=AB=2
∴ AH=2,
Ⅲ. 当 BD=DE时,设 PD=x,则 BD=2x.
∵ ∠DEB=∠DBE=∠APC,∠DEB=∠DPB=∠BAC,
∴ ∠APC=∠BAC,
∴ BD=2x=3.
综上所述，当 时,△BDE 为等腰三角形.
(3)如图4.37所示,延长 AB、CP 交于点 G,设PC=1.
∵ BE∥OC且BO=PO,
∴ OF 为△PBE 的中位线,OC⊥AP,EF=PF.
∵△PFC∽△PCA,△PBE∽△PAB,
又 PE=2PF,
∴ CA=CG=CP+GP=3,AG=3
∴ △EFQ 为等腰直角三角形，
∴∠FEA=∠AEQ=45°,
∴ EQ∥BC,
∴∠QBE=∠CBH=∠BEQ.
又∠FQE=∠QBE+∠BEQ,
∴∠CBH=∠FBH=22.5°.
又∠ABD=∠FBD,∠ABC=90°,
∴ ∠FBD=∠FBE=22.5°.
又 BF⊥AC,
∴ △BDE 为等腰三角形,
∴ BD=BE.
∵∠DBO=45°,OB=OD,
∴ △OBD 为等腰直角三角形，
Ⅱ. 当点 Q落在BE 上时,如图4.39所示,连接OD.
∴ EQ⊥AC,∠FEA=∠AEQ.
又∠BEC=∠BEF=2∠AEB,
∴ ∠AEB+∠BEC=3∠AEB=180°,
∴ ∠AEB=60°.
∵ ∠ABD=∠FBD,∠FBH=∠CBH,
∴ ∠DBH=45°.
又OD=OB,
∴ △OBD 为等腰直角三角形.
∵ 由对称性可得∠DFE=∠DQE=90°,
∴ 点 Q 与点O 重合.
(3)如图4.40所示,在BD 上取点M,使得DA=DM,连接AM,设AD=DF=x.
∵ ∠PBC=90°,
∴ PC 为⊙O 直径,点 O 在PC 上.
∵ OG⊥BF,
∴ ∠BCG=30°,
∴ ∠ABD=∠FBD=15°,∠FBH=∠CBH=30°,
得
∴(2x-5)(x+5)=0,
舍).
时，同情况Ⅰ.
得
∴(7x-10)(x+2)=0,
舍).
Ⅲ. HE=HD时,如图4.43所示,连接OH、OE,OH交DE于点M.
又
解得
②如图4.44所示,连接DB、PG、BH,PG 交DH 于点M,过点 H 作HN⊥DE 于点N.
∵ ∠DHG+∠EHD=∠EHD+∠EBD=180°,
∴ ∠DHG=∠EBD=∠PHD,
∴ DE=DP=DG(等角对等弦),
∴ △EDG 是等腰直角三角形，
∴ ∠BED=∠DEH=45°,
∴ BD=DH,
∴ △BDH 为等腰直角三角形，
∴ △DNH≌△BCD,
∴ DN=BC=2x,HN=EN=CD=x.
∵ HN∥DG,
∴ ab≤1,
∴ 当 a = 2b 时S△MPQ 取最大值 ,此时 PD =
又 PQ=3a=6-2x,
思路点拨
(1) 求证ON=NQ,即求证 N 为OQ的中点.根据题目条件可知OP=OQ,若能证明 PN=3QN,即可得证.△EMQ∽△DMC 这个8 字形相似提供了 CM 与MQ 的比值,便于求出△MQN 与△FPN 的相似比.
(2)此问需要分类讨论.∠PFM 不可能为直角，故只需讨论其他两种情况.此处需要用到(1)中相似的线段比值，利用K 字形相似和勾股定理即可求解.
(3)此问需要使用(1)、(2)中已经得到的线段比，利用三角形的面积公式得到 结合 =1，利用均值不等式即可求出最大值.
26. (1) 如图4.46所示,过点 A 作AH⊥OB 于点H.
∵ A(3,4),B(5,0),
∴ OH=3,AH=4,BH=2,
(2) ∵ BC 为⊙P 的直径,
∴ ∠CEB=90°.
∵ OA=OB,
∴ ∠CAE=∠EBF,
∴ △ACE∽△BEF.
(3)如图4.47所示,设OD=3a,则BD=OB--OD=5--3a.
∴ PQE的度数为45°.
(2) 连接OP,如图4.50所示.设∠PBQ=α.
∴ AB∥QF,
∴ ∠FQE=∠A=45°,
∴△EFQ为等腰直角三角形，
(3)①解法1 Ⅰ. 当 BQ=2BF时,如图4.51所示,过点 Q 作QM⊥AB 于点M,过点 F 作FN⊥AB 于点N.设BN=a.
∵ ∠NFB+∠NBF=∠NBF+∠MBQ=90°,
∴ ∠NFB=∠MBQ,
∴ △FNB∽△BMQ,
∴ MQ=NF=2BN=2a,
∴ BM=2NF=4a,
∴ QF=MN=BM+BN=5a,AM=MQ=2a,
Ⅱ. 当 BF =2BQ 时,如图 4.52 所示,过点 Q 作QM⊥AB 于点 M,过点 F 作 FN⊥AB 于点 N.设BM= b.
∵ ∠NFB+∠NBF=∠NBF+∠MBQ=90°,
∴ ∠NFB=∠MBQ,
∴ △FNB∽△BMQ,
∴ NF=MQ=2BM=2b,
∴ BN=2MQ=4b.
∴ QF=MN=BM+BN=5b,AM=MQ=2b,
第四部分 圆100题解析
思路点拨
(1)根据同弧所对的圆周角相等，平行线内错角相等，即可证明△DCG 是等腰三角形.
(2)①通过角度关系的推导得出△DCF 为等腰三角形，进而可得△BEF 为等腰三角形.②先解固定的三角形，再对动点进行研究、分类，这样可以减少计算量，以免重复计算.△OBG 是隐藏的等腰三角形，结合口诀“等腰三角形+平行=角平分线”可以快速推出 GB 平分∠OGH.由∠EBG=∠ECG=∠ABD 可得 tan∠ECG= 再由 tan∠EGB=tan∠BCE= 算出BE，从而推算出各线段的值.然后通过角度关系推算出BG=6.接下来进行分类讨论，充分利用正切值研究线段的长度关系，从而求解.
(3)先设参数a、b，再通过角度关系的推导得到正切值，从而获得线段的长度关系，进而求出a 与b的关系，最后根据面积公式得到面积比.
29.(1) ∵∠CGE=∠CAG+∠ACG=3∠CAG,
∴∠ACG=∠OAC=2∠CAG,
∴∠CAG=∠OAG,即AB平分∠CAO.
(2) ①如图4.61所示,连接OB、OD,延长 AO 交DF于点H.设∠CAG=α,BH=x.
∴∠CAO=2α,∠CGE=3α,
∴ ∠OCD=∠ODC=90°-3α,
∴∠COD=6α,
∴∠CAD=3α,
∴∠OAD=α,
∴ AH 平分∠BAD,
∴ ∠BOH=∠DOH=2∠OAB=2∠OAD=2α,
∴ OH⊥BD,
∴ BH=DH=x,
∵ ∠BOH=∠FAH,
∴ OB∥AF,
解得x=6(x=-6舍),
∴ BD=2BH=12.
② Ⅰ. 当点 P 落在BD 上时,如图4.62 所示.
∴ BO=BP=10,
∴ HP=4,
Ⅱ.当点 P 落在AC 上时,如图4.63所示.过点 B 作BQ⊥AF 于点Q,过点 O 作OM⊥AF 于点M.
∵ AB 平分∠FAH,
∴ BQ=BH=6,AQ=AH=18.
又
∴ AP=AQ-PQ=10.
∵ OM=BQ=BH=6,
∴ MP=AP-AM=2,
(3)如图4.64所示,延长CO 交AD 于点H,在 AC 上取点 M 使得AM=AO=10,连接OM 交AB 于点N,连接OD.设CM=x.
由(2)可知∠CAD=3α,∠OAD=∠ODA=α.
∵ CA=CD,
∴∠CDA=∠CAD=3α,
∴∠ODC=∠OCD=2α,
∴ ∠ACD=2∠OCD=4α.
∵ ∠ACD+∠CAD+∠CDA=180°,
∴ α=18°,
∴∠OAM=36°,
∴ ∠AMO=∠AOM=72°,
∴∠OCM=∠COM=36°,
∴ MO=MC=x,△MOC∽△OAC,
解得
∵ AN 平分∠OAM,
∴ AN⊥OM 且NM=NO.
∵ CA=CD,OA=OD,
∴ CH⊥AD.
又 AO 平分∠NAH,
思路点拨
(1)利用三角形外角的性质，结合圆中等腰△OAC即可得证.
(2)①此问难度很大，需要充分利用题中条件，通过构造辅助线进行角度关系的推导以挖掘隐含信息——AH平分∠BAD,进而可得 OH⊥BD,但是这样还不能够与条件中的 BF 联系起来.根据圆内垂径定理和勾股定理可以列出含未知数的式子.此时需要继续深挖角度条件，发现隐藏极深的 OB∥AF，根据平行线分线段成比例定理，找到联系 BF 的桥梁，问题也就迎刃而解.②此问是典型的分类讨论问题，继续求线段的长度，依然利用勾股定理或者相似的性质来处理.
(3)在最后一问中，虽然无法使用 BF的长度，但是可以沿用(2)问中的所有思路及挖掘出的角度信息，结合新给的条件 AC=CD，继续挖掘出36°、72°角.根据黄金三角形的特征，通过构造母子型相似来得到黄金三角形的黄金分割比，最后利用角平分线的性质计算CH 的长度，即可得解.
30. (1) ∵ E 为AB的中点,
∵△APE∽△CPD,
(2) 如图4.65所示,连接 BP.
∵ AD=AB,∠DAP=∠BAP,AP=AP,
∴△ADP≌△ABP(SAS),
∴ ∠ADP=∠ABP.
又∠ABP=∠PGE,
∴ ∠PGE=∠ADE.
(3) ① Ⅰ. 当 时,如图4.66所示.
∵ ∠PHE=∠PBE=∠ADE,
∵△APE∽△CPD,
Ⅱ.当 时,如图4.67所示.
过点 G 作 GM⊥AB 于点 M,过点 G 作 GN⊥BC 于点 N.
∵ 由(2)可得∠ADP=∠PGE=∠ABP,
又∠APD=∠GPE,
∴ ∠DAP=∠PEG=∠PBG=45°,
∴ ∠ABG=∠ABP+∠PBG=45°+∠ABP.
∵ ∠DEB=∠DAE+∠ADE=∠DEG+∠GEB,
∴ GE=GB,EM=MB=GN.
∵ ∠GBN=∠GEH,
又GN=CN,
∴ CN=2.4,BN=3.6,
∴ BE=2GN=4.8,
∴ AE=1.2.
∵ △APE∽△CPD,

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