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黑龙江省教育学会示范性高中专业委员会高三学年第一次模拟考试
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题
卡上。用 2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用
橡皮擦干净后，再填涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置
上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答
案无效。
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 若 zi=-1- 5 i，则复数 z的虚部为 ( )
A -1 B. 1 C . - 5 D. 5
2. 设集合A= x∈Z x2-7x<0 ,B= x 2x∈A ，则A∩B= ( )
A. 4,5,6 B. 2,4,6 C. 1,3,5 D. 1,2,3
3. 在高三某次调研考试时，某学习小组对本组 6名同学的考试成绩进行统计，其中数学试卷上有一道满分
为 12分的解答题，6名同学的得分按从低到高的顺序排列为 4,5,6,m,10,12，若该组数据的中位数是这组
数据极差，则该组数据的第 60百分位数是 ( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
4. 正项等比数列 an 中，Sn是其前n项和，若 a2= a3+ 2a4,S2= 32，则S6= ( )
A. 63 B. 56 C. 52 D. 42
5. 已知 sin α-β =- 13 ，且 sinαcosβ=
1
6 ，则 cos 2α+2β = ( )
A. 5 B. - 19 9 C.
1
9 D.
4
9
6. 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，E为棱DD1的中点，点P在面对角线BC1上运动 (P点异于B,
C1点)，以下说法错误的是 ( )
A. BD1 平面AEC
B. A1P⊥B1D
C. 2直线B1E与平面CDD1C1所成角的余弦值为 3
D. 1三棱锥P-ACD1的体积为 6
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7. 已知函数 f x = ln e2x+1 + kx k∈R 是偶函数，则 ( )
A. f log50.3 < f k < f log0.50.3 B. f k < f log0.50.3 < f log50.3
C. f log0.50.3 < f k < f log50.3 D. f log50.3 < f log0.50.3 < f k
8. 若不等式 bx+ 1≤ ex- ax2对一切 x∈R恒成立，其中 a,b∈R，e为自然对数的底数，则 a- b的可能取
值为 ( )
A. - 2 B. - 12 C. 1 D. 2
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9. 坐位体前屈 (Sit And Reach)是一种体育锻炼项目，也是大中小学体质健康测试项目，通常使用电动测
试仪进行测试，为鼓励和推动学生积极参加体育锻炼，增强学生体质，我国于 2002年开始在全国试行《学
生体质健康标准》，坐位体前屈属于该标准规定的测试内容之一，已知某地区进行体育达标测试，统计得
到高三女生坐位体前屈的成绩 ξ(单位：cm)服从正态分布N 20,σ2 ，且P ξ≥22 = 0.1，现从该地区高
三女生中随机抽取 3人，记 ξ在区间 18,22 的人数为X，则正确的有 ( )
A P(18< ξ< 22) = 0.8 B. E 3X+1 = 8.2
C . D 2X = 0.96 D. P X≥1 = 0.488
10. 已知函数 f(x) = sin(ωx+ φ) (ω> 0)，如图A,B,C是直线 y= a(0< a< 1)与曲线 y= f(x)的三个交点，
其横坐标分别是 x1,x2,x3，则正确的有 ( )
A. 若 |AB| +|BC| = π，则ω= 2
B. 若 x1= 2,x2= 4,x3= 8，则 f(x)的单调减区间为 [6k- 3,6k] (k∈ Z)
C. 3 π若 a= 2 ,φ=- 3 ,0≤ x1< x2< x3≤ π
8
，则 3 ≤ω< 3
D. a= 3若 2 ，且 |BC| -|AB| =
π π 9π 1
3 ，点D的横坐标为- 12 ，则 f 8 =- 2
y y
11. 已知曲线C:x x - 4 = 1,P x0,y0 为C上一点，则以下说法正确的有 ( )
A. 存在点P x0,y0 ，使得 2x0- y0=-1
B. 2x0-y0+ 5 的取值范围为 5,2 2+ 5
C. 若 2x0-y0+m + 2x0-y0+n 的值与 x0,y0无关，且m> 0,n< 0，则n取值范围为 -∞,-2 2
D. 若 2x0-y0+m + 2x0-y0+n 的值与 x0,y0无关，则其最小值为 2 2．
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分
12. 已知抛物线C:y2= 4x的焦点为F，点M在C MF = 8上，且 3 ，则M到 y轴的距离为 ．
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13. a ,b,c a + b=-c

已知平面向量 满足 , a = b = 2, c = 2 3，则 cos a,b = ．
14. 三棱锥 S - ABC 中，SC ⊥ 平面 ABC ,SC = AB = 6，平面 ABC 内动点 D 的轨迹是集合 M =
D DA =2 DB ，已知C,Di∈M，且Di在AB所在直线上，i= 1,2．则三棱锥 S-D1D2C外接球的表
面积为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15. 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为 a,b,c，且 1- sin2A- sin2B= cos2C+ 2sinAsinB．
(1)求角C；
(2)若 c= 2 10 ,D为BC的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度．
条件①：△ABC的面积S= 4，且 b> a，
条件②：cosB= 2 55
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
16. 已知函数 f x = lnx+ ax - a．
(1)当 a= 12 时，求曲线 y= f x 在点 1,f 1 处的切线方程；
(2)若函数 f x 有极小值，且 f x 的极小值小于 1- a2，求实数 a的取值范围．
17. 第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨圆满落下帷幕．在这场盛大的亚洲冰雪盛会中，奖牌榜见证了各国运
动员的荣耀与拼搏．中国队以 32金 27银 26铜，总计 85枚奖牌的傲人成绩，强势登顶奖牌榜，成为最大
赢家．这一成绩不仅创造了中国队亚冬会历史最佳，更是追平了单届金牌数纪录，书写了中国冰雪运动
的崭新篇章．冰球深受广大球迷的喜爱，每支球队都有一个或几个主力队员，现有一支冰球队，其中甲
球员是其主力队员，经统计该球队在某阶段所有比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如表：
甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计
胜 负
上场 38 45
未上场 3
合计 40
(1)完成 2× 2列联表，并判断根据小概率值 α= 0.025的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否
上场有关联？
(2)由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打边锋，中
锋，后卫的概率分别为 0.4，0.5，0.1，相应球队赢球的概率分别为 0.7，0.9，0.5．
(ⅰ)当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率；
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(ⅱ)当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求甲球员打中锋的概率．
n(ad-bc)2
附：χ2= ,n= a+ b+ c+ d．
a+b c+d a+c b+d
α 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
xα 2.072 2.706 3.741 5.024 6.635 10.728
x2 y218. 已知椭圆C : 4 + 3 = 1的左，右焦点分别为 F1、F2，经过 F1且倾斜角为 θ 0<θ<
π
2 的直线 l与椭圆
交于A、B两点 (其中点A在 x轴上方)．
(1)A为椭圆上顶点时求△ABF2的面积；
(2)如图，将平面 xoy沿 x轴折叠，使 y轴正半轴和 x轴所确定的半平面 (平面AF1F2)与 y轴负半轴和 x
轴所确定的半平面 (平面BF1F2)互相垂直．
(ⅰ)若 θ= π3 ，求异面直线AF1和BF2所成角的余弦值；
(ⅱ) θ 0<θ< π A B A B 5 2是否存在 2 ，使得折叠后 与 距离与折叠前 与 距离之比为 8 ？若存在，求
tanθ的值，若不存在，请说明理由．
19. 已知正项数列 an 满足：对任意的正整数n，都有 a2 - a2n+1 n= d，其中 d为非零常数．
(1)若 a2= 2,d= 3，求数列 an 的通项公式；
n
(2) 1 = an+1-a证明： 1 ；
i=1 ai+ai+1 d
n
(3) 1 n若 a +a = 且 a1= d，从 a1,a2,a3, ,a(m+1)2(m≥ 2且m∈N )中任取两个数，记事件i=1 i i+1 n+1+1
A：“ 4取出的两个数是无理数且中间仅包含一个整数”，其概率为Pm，若Pm≤ 35 ，求正整数m的最小值．
公式：12+ 22
n n+1+
2n+1
32+ +n2= 6 (其中n为正整数)．
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参考答案
1. B
【分析】由复数的除法得到代数形式，即可求解；
zi=-1- 5 i z= -1- 5i由 ，可得： i =- 5+ i，
所以复数 z的虚部为 1.
故选：B
2. D
【分析】根据一元二次不等式求出集合A，再应用交集定义计算求解.
集合A= x∈Z x2-7x<0 = x∈Z 0B= 1 3 5 x 2x∈A = 2 ,1, 2 ,2, 2 ,3 ，
则A∩B= 1,2,3 .
故选：D.
3. D
【分析】根据中位数是极差求出m的值，再计算第 60百分位数即可.
已知数据 4，5，6，m，10，12，数据个数n= 6为偶数，所以中位数是中间两个数 6和m 平均数，即中位
6+m
数为 2 .
极差是最大值 12减去最小值 4，即极差为 12- 4= 8.
6+m
因为该组数据的中位数是这组数据的极差，所以 2 = 8.可得：m= 10.
此时这组数据为 4，5，6，10，10，12.
计算 6× 60%= 3.6，所以第 60百分位数是第 4个数，即 10.
故选：D.
4. D
【分析】根据等比数列的通项公式基本量运算求出通项，再应用等比数列求和即可.
正项等比数列 an 中，Sn是其前n项和，
若 a2= a3+ 2a ，则 2q24 + q- 1= 0 1，所以 q= 2 或 q=-1，
1
因为 an> 0，所以 q> 0，所以 q= 2 ，
1 3 64
又因为S2= a1+ a2= a1+ a1× 2 = 2 a1= 32，所以 a1= 3 ，
64
3 1- 126 64 1 64 63
则S6= 1 = 2× 3 1- 6 = 2× × = 42.1- 2 3 642
故选：D.
5. C
【分析】应用两角和差正弦公式计算，再结合二倍角余弦公式计算即可.
已知 sin α-β = sinαcosβ- cosαsinβ=- 13 ，且 sinαcosβ=
1
6 ，
则 cosαsinβ= 1 22 ，所以 sin α+β = sinαcosβ+ cosαsinβ= 3 ，
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2
则 cos 2α+2β = 1- 2sin2 2 8 1 α+β = 1- 2× 3 = 1- 9 = 9 .
故选：C.
6. C
【分析】根据线面平行判定定理证明A，应用空间向量法计算数量积判断B，计算线面角判断C，应用点到
平面距离空间向量法求解再结合三棱锥体积公式计算判断D.
连接BD,BD∩AC=O，因为O,E分别是BD,DD1中点，所以OE BD1,OE 平面AEC，BD1 平面
AEC，所以BD1 平面AEC，A选项正确；
如图建系，设P 1-t,1,t ,A1 1,0,1 ,B 1
1,1,1 ,D 0,0,0 ，

所以A1P= -t,1,t-1 ,DB1= 1,1,1 ,A1P DB1=-t+ 1+ t- 1= 0，
所以A1P⊥B1D，B选项正确；

设B1 1,1,1 ,E 0,0, 1 2 ，设平面CDD1C1法向量为n= 1,0,0 ，B1E= -1,-1,-
1
2 ，
设直线B1E与平面CDD1C1所成角为 θ，

n B1E
所以 sinθ= =
1 = 2 ，
n B E 9 31
4
所以 cosθ= 1-sin2θ= 1- 49 =
5
3 ，C选项错误；
ACD m 设平面 1法向量为 = x,y,z ，
因为P 1-t,1,t ,A 1,0,0 ,C 0,1,0 ,D1 0,0,1 ，所以AP= -t,1,t ,AC = -1,1,0 ,CD1= 0,-1,1 ，

AC m

所以 =-x+ y= 0,CD1 m
=-y+ z= 0，令 x= 1 m ，则 = 1,1,1 ，
因为AC=AD1=CD1= 2 1 3 3，所以S△ACD = × 2 × 2 × =1
2 2 2
，
AP m
P ACD -t+1+t 1所以点 到平面 1的距离为 d= = = ， m 1+1+1 3
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P-ACD V= 1 S d= 1 × 1 × 3 = 1所以三棱锥 1的体积为 3 △ACD 3 ，D选项正确.1 3 2 6
故选：C.
7. A
【分析】利用偶函数的性质求解参数，结合导数判断单调性，再利用对数的运算性质将所有数转化到同一
单调区间内，比较大小即可.
因为函数 f x = ln e2x+1 + kx k∈R 是偶函数，
且 f 1 = ln e2+1 + k，f -1 = ln e-2+1 - k，
所以 f 1 = f -1 ，即 ln e2+1 + k= ln e-2+1 - k，
解得 k=-1，得到 f x = ln e2x+1 - x，其定义域关于原点对称，
2x
此时 f -x = ln e-2x+1 + x= ln e +1 + x= ln e2x2x +1 - lne2x+ x，e
= ln e2x+1 - 2x+ x= ln e2x+1 - x= f x ，
故 f x = ln e2x+1 - x是偶函数，符合题意，
2x
f x = 2e - 1= 2e
2x e2x+1 e2x-1
而
e2x+1 e2x
-
+1 e2x
= ，
+1 e2x+1
令 f x < 0，x∈ (-∞,0)，令 f x > 0，x∈ (0, +∞)，
故 f x 在 (-∞,0)上单调递减，在 (0, +∞)上单调递增，
而 log50.3> log 5-15 =-1，且 f k = f -1 ，得到 f log50.3 < f k ，
3
而由偶函数性质得 f log0.50.3 = f -log0.50.3 = f -log0.5 10 = f log
10
0.5 3 ，
log 10而 0.5 3 < log
-1
0.50.5 =-1，则 f log 100.5 3 > f k ，
得到 f log50.3 < f k < f log0.50.3 成立，故A正确.
故选：A
8. A
【分析】先把不等式化简转化，再构造函数令 f x = ax2+ bx+ 1，再求导函数得出切线计算化简转化求
解.
不等式 bx+ 1≤ ex- ax2可化为 ax2+ bx+ 1≤ ex，
令 f x = ax2+ bx+ 1,g x = ex，
当 a= 0时，f x = ax2+ bx+ 1= bx+ 1，此时，直线 f x 恒过点 0,1 ，
故只需直线 f x = bx+ 1为曲线 g x = ex在点 0,1 处的切线即可，b= g 0 = 1，此时 a- b=-1．
当 a≠ 0时，曲线 f x 亦恒过点 0,1 ，为使 ax2+ bx+ 1≤ ex，对一切 x∈R恒成立，
需曲线 f x = ax2+ bx+ 1开口向下，且在点 0,1 处与曲线 g x = ex有公切线即可，
a<0故 = = ，此时 a- b<-1．f 0 b 1
综上，a- b的取值范围是 -∞,-1 ，所以 a- b的可能取值为-2.
故选：A.
9. AB
【分析】利用正态分布的性质计算判断A；利用二项分布的期望、方差公式计算判断BC；利用对立事件的
概率公式计算判断D.
对于A，由 ξ N (20,σ2)，得P(ξ≤ 18) =P(ξ≥ 22) = 0.1，
则P(18< ξ< 22) = 1- 0.1- 0.1= 0.8，A正确；
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对于B，由A知，ξ在区间 (18,22)的概率为 0.8，X B(3,0.8)，E(X) = 2.4，
因此E(3X+ 1) = 3E(X) + 1= 8.2，B正确；
对于C，由B知，D(X) = 3× 0.2× 0.8= 0.48，因此D(2X) = 4D(X) = 1.92，C错误；
对于D，P X≥1 = 1-P X=0 = 1- 0.23= 0.992，D错误.
故选：AB
10. ABD
【分析】求出周期判断A；求出最值点判断B；举例说明判断C；利用图象，结合给定条件求出解析式计算
判断D.
2π
对于A，观察图象知，函数 f(x)的最小正周期 ω = |AC| = π，因此ω= 2，A正确；
x +x x +x
对于B，函数 f(x)的一个最大值点为 1 22 = 3，右侧相邻最小值点
2 3
2 = 6，
则函数 f(x)的最小正周期为 2(6- 3) = 6，单调减区间为 [6k- 3,6k] (k∈ Z)，B正确；
C π 3 π 3对于 ，f(x) = sin ωx- 3 ，当ω= 3时，由 f(x) = 2 ，得 sin 3x- 3 = 2 ，
由 3x- π3 =
π
3 或 3x-
π = 2π3 3 或 3x-
π = 7π 2π3 3 ，得 x= 9 或 x=
π
3 或 x=
8π
9 ，
2π π 8π
而 9 , 3 , 9 均在区间 [0,π]内，C错误；
对于D，由 |BC| -|AB| = π3 ，得 x1+ x3- 2x2=
π
3 ，由 sin(ωx+ φ) =
3
2 并结合图象得
ωx1+φ=
π
3
ωx2+φ=
2π
3 ，则ω(x1+ x3- 2x ) =
4π
2 3 ，解得ω= 4，f(x) = sin(4x+ φ)，
ωx3+φ= 7π3
π π π
又 f - 12 = 0，且- 12 在 f(x)的一个减区间内，则 4× - 12 + φ=-π，解得 φ=-
2π
3 ，
因此 f(x) = sin 4x- 2π f 9π3 ， 8 = sin 4×
9π - 2π = sin - π8 3 6 =-
1
2 ，D正确.
故选：ABD
11. BCD
【分析】首先对曲线进行化简，分类讨论点的位置判断A，利用点到直线的距离公式结合余弦函数的性质
判断B，利用平行线间的距离公式结合直线与椭圆的位置关系判断C，D即可.
2
x2-
y
4 =1,x≥0,y≥0
y2
我们首先对曲线C的方程化简，得到 x2+ 4 =1,x≥0,y<0 ，
2
- yx2+ 4 =1,x<0,y<0
y2
对于A，若点P在曲线C:x2+ 4 = 1,(x≥ 0,y< 0)上时，
y20
有 x20+ 4 = 1，此时 2x0- y0> 0，不可能有 2x0- y0=-1；
y2
当点P在曲线C:x2- 4 = 1, x≥0,y≥0 上时，曲线C的渐近线方程 y= 2x，
y2
当点P在-x2+ 4 = 1,(x< 0,y< 0)上时，曲线C的渐近线方程 y= 2x，
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如图，因为直线 2x- y=-1与渐近线方程 y= 2x平行，
则不存在点P x0,y0 ，使得 2x0- y0=-1，故A错误；
对于B，因为 2x0-y0+ 5 可看作P x0,y0 到
直线 2x- y+ 5= 0的距离的 5倍，
因为直线 2x- y+ 5= 0与 y= 2x平行，
且之间的距离为 1，故 2x0-y0+ 5 ≥ 1，
y2
由图可知，当点P x0,y0 在曲线C:x2+ 4 = 1,(x≥ 0,y< 0)上时，
点P到直线 2x- y+ 5= 0的距离有最大值，
设 x= cosθ,y= 2sinθ,(cosθ≥ 0,sinθ< 0)，
π
2cosθ-2sinθ+ 5 2 2cos θ+ 4 + 5
点P到直线 2x- y+ 5= 0的距离为 = ，
5 5
2 2cos θ+ π4 + 5 2 2+ 5
结合余弦函数有界性可得 ≤ ，
5 5
当且仅当 cos θ+ π4 = 1等号成立，即 x0-2y0+ 5 ≤ 2 2+ 5，
则 2x0-y0+ 5 的取值范围为 5,2 2+ 5 ，故B正确．
对于C，设 l1:2x- y+m= 0,l2:2x- y+n= 0
2x-y+m 2x-y+n
由 2x-y+m + 2x-y+n = 5 + 5 5
得 2x-y+m + 2x-y+n 表示点P到直线 l1和 l2的距离之和的 5倍，
2x-y+m + 2x-y+n 的值与 x0,y0无关，则该曲线在两平行线 l1和 l2之间，
当 l2:2x- y+n= 0与曲线椭圆部分相切时，
2x-y+n=0联立得 2+ 2= ，且Δ= 16n
2- 32 n2-4 = 0，解得n=-2 2或n= 2 2，4x y 4
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所以n的范围为 -∞,-2 2 ，故C正确；
对于D，当 l1为渐近线 2x- y= 0,l2为 2x- y+n= 0
与曲线椭圆部分相切的直线 2x- y- 2 2= 0时，
2x-y+m + 2x-y+n 的值最小，
由平行线间距离公式得 2x- y= 0与 2x- y- 2 2= 0的距离 d= 2 2 ，
5
2x-y+m 2x-y+n则 2x-y+ m + 2x-y+n = 5 + ，5 5
2x-y+m 2x-y+n
且 5 + ≥ 5 × 2 2 = 2 2，故D正确．5 5 5
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：解题关键是判断 2x-y+m + 2x-y+n 取值最小的情况，然后结合平行线间距离
公式得到所要求的结果即可．
12. 53 ##1
2
3
【分析】根据抛物线的定义，先求出抛物线的准线方程，再结合抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的
距离，进而求出点M到 y轴的距离.
在抛物线C:y2= 4x中，2p= 4，则 p= 2 2，所以准线方程为 x=- 2 =-1.
设点M的坐标为 (x0,y0)，由抛物线的定义，已知 |MF| = 83 ，即点M到焦点F
8
的距离为 3 ，那么点M到
8
准线 x=-1的距离也为 3 .
8
点M到准线 x=-1的距离为 x0- (-1) = x0+ 1，所以 x0+ 1= 3 .
8 8 5
解方程 x0+ 1= 3 ，可得 x0= 3 - 1= 3 .
点M 5到 y轴的距离就是点M横坐标的绝对值，因为 x0= 3 > 0，所以点M到 y
5
轴的距离为 3 .
5
故答案为：3 .
13. 12 ##0.5
【分析】利用平面向量数量积的定义结合给定条件得到方程，求解夹角即可.
a
2 2 2
因为 + b=-c ，所以 (a+ b)2= (-c )2 a ，得到 + 2a b+ b = c ，
2 2 2
即 a + 2 a b cos a ,b + b = c ，而 a = b = 2, c = 2 3，

故 4+ 8cos a ,b + 4= 12，解得 cos
1
a,b = 2 .
1
故答案为：2
14. 100π
【分析】以AB中点为原点建立直角坐标系，设D x,y ，利用题设等式化简计算得到点C的轨迹方程，从
而得出△D1D2C的外接圆半径为 4，结合对应图形借助于直角三角形即可求解.
以AB中点为原点建立直角坐标系，不妨设A -3,0 ,B 3,0 ，
数学试题 第 10 页 共 16 页
设D x,y ，由 DA = 2 DB 可得， (x+3)2+y2= 2 (x-3)2+y2，
化简得：(x- 5)2+ y2= 16，此即点C的轨迹方程，其中D1(1,0),D2(9,0)，
CD1⊥CD2，故△D1D2C外接圆半径为 4，
设三棱锥S-D1D2C的外接球半径为R，球心为O，取D1D2的中点M，
点M即△D1D2C的外接圆圆心，连接OC,OM ,CM ,OD1，作OH⊥SC于点H，
则OM⊥平面D D 1 21 2C，在Rt△OD1M中，D1M= 2 DD1= 4,OM= R -16，
则SH= 6- R2-16 ,OH=CM= 12 DD1= 4，
在Rt△SOH中，可得：R2= (6- R2-16 )2+ 16，解得R= 5，
所以S 2球= 4πR = 100π
故答案为：100π.
【点睛】关键点点睛：由动点D x,y 的轨迹方程确定△D1D2C外接圆的半径是解题的关键.
15. (1)C= 3π4
(2)AD= 26
【分析】(1)由正弦定理边角转化，再应用余弦定理求解即可；
(2)选条件①先应用面积公式计算得出 ab= 8 2，再应用余弦定理计算求解；选条件②先应用同角三角
函数关系得出 sinB= 55 ，再应用正弦定理结合余弦定理计算求解.
【小问 1详解】
由题意得 sin2C- sin2A- sin2B= 2sinAsinB，
a = b = c由正弦定理 sinB 得 c
2- a2- b2= 2ab，
sinA sinC
∵ c2- a2- b2=-2abcosC, ∴ cosC=- 22 ，
∵C∈ 0,π , ∴C= 3π4 ．
【小问 2详解】
数学试题 第 11 页 共 16 页
若选条件①：
∵△ABC的面积S= 4 ∴ 1， 2 absin
3π
4 = 4，∴ ab= 8 2，
∵ c2= a2+ b2- 2abcosC,c= 2 10 , ∴ c2= a2+ b2+ 2ab= 40，
∵ b> a, ∴ a= 2 2 ,b= 4，
∵D为BC的中点，∴CD= 2，
在△ACD中，AD2=AC2+CD2- 2AC CD cosC= 16+ 2- 2× 4× 2 × - 22 = 26，
∴AD= 26．
若选条件②：
∵ cosB= 2 55 ,B∈ 0,π , ∴ sinB=
5
5 ，
b c c
由正弦定理得，sinB = ,∴ b= sinB= 4，sinC sinC
∵ c2= a2+ b2- 2abcosC, ∴ a2+ 4 2a- 24= 0，解得 a= 2 2或 a=-6 2 (舍)，
∵D为BC的中点，∴CD= 2，
在△ACD中，AD2=AC2+CD2- 2AC CD cosC= 16+ 2- 2× 4× 2 × - 22 = 26，
∴AD= 26．
16. (1)x- 2y- 1= 0
(2) 0,1
【分析】(1)根据题意计算 f 1 和 f 1 ，得切线方程为 y- f 1 = f 1 x-1 ；
(2) x-a先求导得 f x = ，分 a> 0和 a≤ 0讨论，求出极小值 f(x) = f a = lna+ 1- a，再由 lna
x2 极小值
+ 1- a< 1- a2整理有 a2+ lna- a< 0，构造新函数 g a = a2+ lna- a(a> 0)，利用导数求解 g a < 0
即可
【小问 1详解】
当 a= 1 1 1时，f x = lnx+ - ，则 f x = 1 - 12 2x 2 x ，所以 f
1 = 1
2x2 2
，
因为 f 1 = 0，所以 f x 在 x= 1处的切线方程为 x- 2y- 1= 0．
【小问 2详解】
因为 f x = lnx+ ax - a，其中 x> 0，
f x = 1 - a = x-a则 x 2 ，x x2
①当 a≤ 0时，f x > 0恒成立，此时函数 f x 在 0,+∞ 上单调递增，无极小值，
②当 a> 0时，令 f x = 0，可得 x= a，列表如下：
x 0,a a a,+∞
f x - 0 +
f x 递减 极小值 递增
所以 f(x)极小值= f a = lna+ 1- a，
由题意可得 lna+ 1- a< 1- a2，即 a2+ lna- a< 0，
令 g a = a2+ lna- a(a> 0)，则 g 1 = 0．
数学试题 第 12 页 共 16 页
因为 g 1 a = 2a+ a - 1≥ 2 2- 1> 0，当 2a=
1
a a=
2
2 等号成立，
所以函数 g a 在 0,+∞ 单调递增，
所以由 g a < g 1 = 0，得 0< a< 1，
所以实数 a的取值范围是 0,1 ．
17. (1)列联表见解析，有关
(2) (ⅰ)0.78 ( ) 15；ⅱ 26
【分析】(1)先补全表格再计算卡方，最后根据临界值判断即可；
(2) (ⅰ)先应用条件概率及全概率公式计算；(ⅱ)再应用贝叶斯公式计算求解.
【小问 1详解】
根据题意，可得 2× 2的列联表：
甲球员是否上 球队的胜负情 合
场 况 计
胜 负
上场 38 7 45
未上场 2 3 5
合计 40 10 50
零假设H0：球队胜负与甲球员是否上场无关
50×(38×3-2×7)2
根据列联表中的数据，经计算得到 χ2= 5040×10×5×45 = 9 ≈ 5.556> χ0.025
根据小概率值 α= 0.025的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为球队胜负与甲球员是否上场有关，此
推断犯错误的概率不大于 0.025．
【小问 2详解】
甲球员上场时，打边锋，中锋，后卫的概率分别为 0.4，0.5，0.1，相应球队赢的概率分别为 0.7，0.9，0.5
(ⅰ)设事件A：“甲球员上场打边锋”，事件B：“甲球员上场打中锋”
事件C：“甲球员上场打后卫”，事件D：“球队赢球”
则P A = 0.4,P B = 0.5,P C = 0.1
P(D|A) = 0.7,P(D|B) = 0.9,P(D|C) = 0.5
所以当甲球员上场参加比赛时，球队赢球的概率
P D =P A P D A)+P B P(D B +P C P(D|C) = 0.4× 0.7+ 0.5× 0.9+ 0.1× 0.5= 0.78
当甲球员上场参加比赛时，求球队胜的概率 0.78
(ⅱ)当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，甲球员打中锋的概率
P B P(D|B)
P(B|D) = = 0.45 15
P D 0.78
= 26 ．
15
当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，甲球员打中锋的概率 26
18. (1) 8 35
(2) (ⅰ) 1328 ；(ⅱ)存在，tanθ= 1
数学试题 第 13 页 共 16 页
【分析】(1)根据点斜式求解直线方程，即可联立直线与题意方程，得交点坐标，即可利用面积公式求解，
(2) (ⅰ)建立空间直角坐标系，根据向量的坐标运算，结合夹角公式即可求解，(ⅱ)联立直线与椭圆方
A B 5 2
程，得韦达定理，根据两点距离公式可得 AB , A B ,根据 = 8 即可求解. AB
【小问 1详解】
x2 y2
由椭圆方程 4 + 3 = 1知 a= 2,b= 3 ,c= 1
当A为椭圆上顶点时A 0, 3 ，又F1 -1,0 ，直线AF1的方程为 y= 3 x+1
x2 y2 8+ =1 x=- 5 8 3 3
由 4 3 知 ，∴B - ,-y= 3 x+1 y=- 3 3 5 5 5
S 1 1 3 3 8 3△ABF = 2 F1F2 yA-y2 B = 2 × 2× 3- - 5 = 5 ．
【小问 2详解】
(ⅰ)θ= π3 时在折叠前图中，直线AB方程为 y= 3 x+1 ，
由 (1) 8 3 3可知此时A 0, 3 ，B - 5 ,- 5
折叠后仍以 x轴为 x轴，y轴原位置仍为 y轴，折叠后 y轴的正方向为 z轴正方向，建立空间直角坐标系，
则A 0,0, 3 8 B - 5 ,-
3 3
5 ,0 F1 -1,0,0 F2 1,0,0

AF1= -1,0,- 3 ,BF2= 13 3 35 5 ,0
13
, = A F 1 BF
-
cosAF BF 2 = 5 =- 131 2
AF BF 14 28
，
1 2 2× 5
所以异面直线AF1和BF
13
2所成角的余弦值为 28 ；
(ⅱ)折叠前设A x1,y1 ,B x2,y2 ，直线AB:x=my- 1(m> 0)
2 y2 y 6m x + 1+y2= 2由 4 3
=1
知 3m2+4 y2- 6my- 9= 0，∴ 3m +4
x=my-1 y y 91 2=- 3m2+4
12 m2+1
AB = 1+m2 y1+y 22 -4y1y2= 3m2+4
折叠后按 (ⅰ)中坐标系A x1,0,y1 ,B x2,y2,0
A B = x2-x 21 +y2 22+ -y1 = m2 y2-y 21 +y21+y22
= m2 y1+y 22 -4y1y2 + y +y 21 2 -2y y 2 21 2= m +1 y1+y2 - 4m2+2 y1y2
数学试题 第 14 页 共 16 页
36m2= m2+1 + 4m2+2 9 = 144m
4+234m2+72

3m2+4 2 3m2+4 3m2+4
A B 5 2 144m4+234m2+72 5 2
由 = 知 =
AB 8 12 m2+1 8
∴ 7m4+ 2m2- 9= 0, ∴m2= 1或m2=- 97 (舍去) ∵m> 0, ∴m= 1
∴ tanθ= 1m = 1，故存在
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法，若题目的条件能明显体现几何特
征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首
先建立目标函数，再求这个函数的最值．
19. (1)an= 3n-2
(2)证明见解析 (3)19
【分析】(1)利用递推关系以及等差数列定义可求得 a2n= 3n- 2，可求得通项公式；
(2)由 a2 2n+1- an= d并根据裂项相消求和即可证明得出结论；
(3)依题意利用递推关系可求得 d= 1，且 an+1= n+1，易知数列中共有m m+1 个无理数，符合条件
的无序对为相邻区间 k,k+1 和 k+1,k+2 中的无理数对，分别求得总对数和从 a1,a2,a3, ,a(m+1)2
(m≥ 2且m∈N )中任取两个数的组数，由古典概型公式求得Pm，解不等式可求正整数m的最小值．
【小问 1详解】
由 a2n+1- a2= d知 a2n n 为等差数列，a22= 4,d= 3
∴ a2n= a22+ n-2 d= 3n- 2
∵ an> 0, ∴ an= 3n-2
【小问 2详解】
2 - 2= 1 = ai+1-a根据递推关系 an+1 a d可得： in ai+ai+1 d
n 1 n= a所以 i+1
-ai = a2-a1 + a3-a2 + + an+1-an
i=1 ai+ai+1 i=1 d d d d
= 1 a -a ad 2-a1+a3-a2+ +an+1-an =
n+1 1 ，
d
n
1
an+1-a因此 1
i=1 ai+a
=
i+1 d
【小问 3详解】
n n
由 ( ) 1 = an+1-a2 1 a 1
a -d
中结论 n+1a +a 且d 1= d可得 = ；i=1 i i+1 i=1 ai+ai+1 d
n 1 n a
又 n+1
-d n
i=1 ai+a
= ，即可得 = ，
i+1 n+1+1 d n+1+1
a2-d = 1因此 ，即可得 a
d 2+1 2
= 2d；
又 a2- a22 1= d，即 2d2- d2= d2= d，即可知 d= 1；
an+1-1 = n所以 1 ，即 an+1= n+1，n+1+1
因此此时 an= n；
数列中无理数项对应的为非平方数项，符合条件的无序对为相邻区间 k,k+1 和 k+1,k+2 中的无理
数项对，
数学试题 第 15 页 共 16 页
即在区间 k2, k+1 2 和 k+1 2 , k+2 2 上分别任取一个无理数构成无理数项对，
相邻两区间上符合题意的无理数项对为 k+1 2 -k2+1-2 k+2 2 - k+1 2 +1-2 = 2k 2k+2 =
4k k+1 = 4k2+ 4k；
m-1
因此总对数共有 4k2+4k = 4 12+22+32+ + m-1 2 + 4 1+2+3+ + m-1
k=1
= ×
m-1 m 2m-1 + ×
m-1 m 2m 2m-1 4m m-1= - + =
m+1
4 6 4 2 m 1 3 2m 3 ；
m+1 2 m+1 2 -1
从 a ,a 21 2,a3, ,a(m+1)2(m≥ 2且m∈N )中任取两个数共有C m+1 2 = 2 =
m+1 2 m2+2m
2 ，
4m m-1 m+1
3 4
因此 ≤ ，
m+1 2 m2+2m 35
2
即 3m2- 61m+ 76≥ 0，
解得m≥ 19 4或m≤ 3 ，又m≥ 2，
所以m≥ 19
因此正整数m的最小值为 19.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键在于求出数列 an 的通项，确定无理数对应的非平方数的个数为
m-1 4
相邻区间内的两个无理数的组合共有 4k k+1 种，再求和 4k2+4k ，得出Pm≤
k=1 35
的不等式即可解
得m.
数学试题 第 16 页 共 16 页

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