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2025年普通高等学校招生全国统一考试
高考模拟调研卷数学 (五)
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题
卡上。用 2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用
橡皮擦干净后，再填涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置
上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答
案无效。
一、选择题:本题共 8小题,每小题 5分,共 40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。
1. 已知复数 z满足 z2+ z+ 1= 0 ,则
A. z=- 1 ± 3 i B. z= 1 ± 32 2 2 2 i C. z=-
3 ± 12 2 i D. z=
3 1
2 ± 2 i
2. 函数 f x = 2x+ x 的值域为
A. 0,1 B. [0, +∞) C. 1,+∞ D. [1, +∞)
3. 设 a,b,c为均不为零的实数,且 a-c < b ,则
A. a- c< b B. a+ b> c C. a < b + c D. a + c < b
4. 在平面直角坐标系中,圆 O:x2+ y2= 1与圆 O1:x2+ y2- 6x= 0相交于 P,Q两点,则四边形 OPO1Q的
周长为
A. 4 B. 7 C. 8 D. 10
5. π下列四个函数中,以 π为最小正周期,且在 2 ,π 上是减函数的是
A. y= cosx B. y= sinxcosx C. y= sin2x- cos2x D. y= tanx
6. 将一个半径为 2 cm的金属球熔化后,先浇铸成 6个半径为 1 cm的小球,再把剩余材料铸成 1个正方
体,则该正方体的棱长大约为
A. 1.5 cm B. 2 cm C. 2.5 cm D. 3 cm
7. 用数字 1,2,3,4,5组成没有重复数字的三位数组成集合M ,现从集合M 中任取一个数,它能被 3整除
的条件下,这个数能被 5整除的概率为
A. 115 B.
1
6 C.
1
4 D.
2
5
8. a , b n S ,T , Sn = n已知等差数列 n n 的前 项和分别为 n n 若 T 2n+3 ,对 n∈N , M> 0,
an n bn
则M 的最小值为
A. 15 B.
1 C. 14 2 D. 1
数学试题 第 1 页 共 7 页
二、选择题:本题共 3小题,每小题 6分,共 18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部 选
对的得 6分,部分选对的得部分分,有选错的得 0分。
9. 关于双曲线 C:x2- y2= 1 ,下列说法正确的是
A. 离心率 e= 2 B. 两条渐近线互相垂直
C. 焦距为 2 D. 实轴长与虚轴长相等
8n n+2
10. 已知数列 an 的通项公式为 an= n ,则9
A. n∈N ,an+1≥ an B. m∈N , n∈N ,an≤ am
C. m∈N , n∈N ,an≥ am D. m,n∈N ,m≠n,an= am
11. 已知函数 f x ,g x 定义域为 R ,其中 f x+2 为偶函数, g x + g 3-x = 0 ,且 f x = g x+1 - 3 ,
g 1 = 2 ,则
A. f 2025 =-5 B. g x 为奇函数
2025
C. f x + f 1-x =-6 D. g k = 0
k=1
三、填空题:本题共 3小题,每小题 5分,共 15分。
12. 若 a,b ∪ c,d = a,d ,则 b,c满足的条件可以为 .(写出一个符合条件即可)
13. 2sin220° +sin130° = .
14. 在 120°的二面角 α- l- β中, A∈ α,B∈ β,A到棱 l的距离为 1,B到棱 l的距离为 4 ,AB= 2 7 ,则直
线 AB与棱 l夹角的正弦值为 .
四、解答题:本题共 5小题,共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13分)
已知 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , a+b+c a+b-c = 3ab .
(1)求 C ；
(2) π若 A= 4 , b= 3+ 1 ,求 a .
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16. (15分)
在独立重复试验中,记每次试验中事件 A发生的概率为 p ,如果随机变量 X 为事件 A首次出现时试验
次数,则 X 的可能取值为 1,2, ,称 X 服从几何分布,其分布列为
P X=k = 1-p k -1p,k= 1,2, ,且 E X = 1p .
(1)有三个朋友去喝茶,他们决定用抛硬币的方式决定谁付账:每人抛一枚硬币,如果有人抛出的结果与
其他两人不一样,那么就由他来付账;如果三个人抛出的结果是一样的,那么就重新抛,一直进行下去,
直到确定由谁付账.求以下事件的概率:
①进行到了第 2轮确定由谁来付账；
②进行了 3轮还没有确定付账人；
(2) 1若随机变量 Y服从分布列 p Y=k =
2k+1
,k= 0,1,2, ,求 Y的期望.
17. (15分)
如图, ABCD-A1B1C1D1 是平行六面体,底面 ABCD是边长为 1的正方形, AA1= 2 , ∠A1AB=

∠A1AD= 60° ,点 E , F 满足 BE= 2DF = 23 AA1 .
(1)求证: A,E,C1,F 四点共面；
( 2 )求平面 AEC1F 与平面 ABB1A1 夹角的余弦值.
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18. (17分)
已知函数 f x = x+ ax - a-1 lnx a∈R .
(1)若 a= 1 , 5求不等式 f x ≤ 2 的解集；
(2)讨论函数 f x 的单调性；
(3)若不等式 f x ≤ 0在区间 1,e 上有解,求 a的取值范围.
19. (17分)
已知点 A 4,4 在抛物线 C:y2= 2px p>0 上,直线 l过点 A与 C 的焦点 F ,交 C 于点 B .
(1)求抛物线 C 的方程与点 B的坐标；
(2)若动点 P x0,y0 在 C 上,且 -1< y0< 4 .
①求 △PAB面积的最大值；
1
②若 0≤ x0< 4 ,直线 PA交直线 x=-1于点M ,直线 PB交直线 x=-1于点 N ,求使得 △PAB
与 △PMN 面积相等的点 P的坐标.
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参考答案
一、选择题：
1~4 ADCC 5~8 DBBC
二、选择题：
9．ABD 10．BD 11．AC
三、填空题：
12． b= c(a< c< b< d，答案合理即可) 13． 1 314． 2
12题解析：由题意则有，集合 [a,b]与 [c,d]有交集，且有a< b，c< d，a< d，所以可以是 b= c或a<
c< b< d，合理即可．
13题解析：2sin220° +sin130° = 1- cos40° +sin(90° +40°) = 1- cos40° +cos40° = 1．
14题解析：如图，过A做AC⊥ l，过B做BD⊥ l，过C做CE BD，
过B做BE l，CE,BE交于点E，所以AC= 1，CE⊥CD，
CE= 4，∠ACE= 120°，在△AEC中，
AE 2=AC2+EC2- 2AC ECcos120° = 21，AE= 21，
BE⊥面ACE，则BE⊥AE，所以AB与棱 l的夹角即为
AB与BE的夹角，即∠ABE，所以 sin∠ABE= AE = 21 = 3
AB 2 7 2
．
四、解答题：
15． ( 13分)
解：(1)由 (a+ b+ c) (a+ b- c) = 3ab a2+ b2- c2= ab，
a2+b2cosC= -c
2
= ab = 1 π由余弦定理 2 ，所以C=2ab 2ab 3 ． 6分
(2)sinB= sin(A+C) = sinAcosC+ cosAsinC= 2+ 64 ，
a b
由正弦定理 = sinB a= 2． 13分sinA
16． ( 15分)
3
解：(1)设X 1为所抛轮数，则X服从几何分布，且每一轮能决定付账的概率 p= 1- 2 × 2=
3
4 ，
1 3 3
①进行到了第 2轮确定由谁来付账的概率为：P(X= 2) = 4 × 4 = 16 ， 3分
②进行了 3轮还没有确定付账人的概率为
2
P(X≥ 4) = 1-P(X= 1) -P(X= 2) -P(X= 3) = 1- 34 -
1 × 3 - 1 × 34 4 4 4 =
1
64 ． 7分
( ) Z=Y+ 1 P(Z= k) = 1 = 1- 1
k-1
2 设 ，则
2k 2
1
2 ，
1
所以Z服从几何分布，且事件发生的概率为 2 ，且E(Z) = 2，
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则E(Z) =E(Y+ 1) =E(Y) + 1= 2，所以E(Y) = 1． 15分
17． ( 15分)
1
解：(1)AF =AD+DF =AD+ 3 AA1，AE=AB+BE=AB+
2 AA1
3
所以AF +AE=AB+AD+AA1=AC1，所以A,E,C1,F四点共面． 5分
(2)设AB= a,AD= b,AA1= c，|a| = |b| = 1,|c| = 2，a b= 0,a c= b c= 1
设n= x1a+ y1b+ z1c为平面AEC1F的法向量，
n A E =0 5x1+2y1+11z1=0 ，有 + + = ，令 z1=-3，有x1= 5,y1= 4n AF=0 x1 4y1 7z1 0
所以n= 5a+ 4b- 3c，|n| = 23 9分
设m= x2a+ y2b+ z2c为平面ABB1A1的法向量，
n A B =0 x2+z2=0 ，有 + + = ，令 z2=-1，有x = 1,y = 3n AA1=0 x2 y2 4z 0 2 22
所以m= a+ 3b- c，|m| = 6
|n m|
AEC F ABB A = 4 138所以平面 1 与平面 1 1夹角的余弦值为 |n||m| 69 ． 15分
18． ( 17分)
解：(1)f(x) = x+ ax - (a- 1)lnx的定义域为 (0, +∞)
1
；若a= 1，则 f(x) = x+ x (x> 0)；
5 1 5 1
故解不等式 f(x)≤ 2 得x∈

2 ,2 ，即不等式 f(x)≤ 2 的解集为

2 ,2 ． 4分
(2)f(x) = x+ ax - (a- 1)lnx的定义域为 (0, +∞)；f
(x) = 1- a a-1
x2
- x =
x2-(a-1)x-a = (x+1)(x-a)
x2 x2
；
①a> 0时：在 0,a 上 f (x)< 0，在 a,+∞ 上 f (x)> 0，
所以 f(x)在 0,a 上单调递减，在 a,+∞ 上单调递增；
②当a≤ 0：在 0,+∞ 上 f (x)> 0，所以函数 f(x)在 0,+∞ 上单调递增．
综上所述：当a> 0时，函数 f(x)在 0,a 上单调递减，在 a,+∞ 上单调递增；
当a≤ 0时，函数 f(x)在 0,+∞ 上单调递增． 10分
( a3)由题意：函数 f(x) = x+ x - (a- 1)lnx在 [1,e]上的最小值 fmin x ≤ 0；
由 (2)知：①当a≥ e时：f(x)在 [1,e]上单调递减，
2
故 fmin x = f e = e+ ae - (a- 1)≤ 0
e +e
，解得a≥ e-1 ；
②当a≤ 1时：f(x)在 [1,e]上单调递增，故 fmin x = f 1 = 1+ a≤ 0，解得a≤-1；
③当 1< a< e时：fmin x = f a = a+ 1- (a- 1)lna≤ 0；
而当 1< a< e时a+ 1- (a- 1)lna> 0是显然的，故此时无解；
数学试题 第 6 页 共 7 页
2
综上所述：实数a的取值范围是 (-∞,-1]∪ e +e e-1 ,+∞ ． 17分
19． (17分)
解：(1)由题意，42= 2p× 4，得 p= 2，所以C:y2= 4x， 2分
F(1,0) l:y= 4，直线 3 (x- 1)，
1
与抛物线方程联立，解得B 4 ,-1 ， 4分
(2)由 (1)设点P(x0,y0)，-1< y0< 4，y20= 4x0，
|AB| = 1+ 3
2
4 |4+ 1| =
25
4 ，
= |4x0-3y0-4|
2
点P到直线 l的距离d 5 =
1 |y2 1 3 25 55 0- 3y0- 4| = 5 y0- 2 - 4 ≤ 4 ，
△PAB 1 25 5 125从而 面积的最大值为 2 × 4 × 4 = 32 ， 10分
1
=- - ,- 8 |QB|
+1
( ) l x 1 Q Q 1 = 4 = 13 设直线 与直线 交于点 ，可得 3 ，从而 |QA| 4+1 4 ，
因为S△AMQ=S△PAB+S四边形MQBP，S△BNQ=S△PMN+S四边形MQBP，
由△PAB与△PMN面积相等，从而△AMQ与△BNQ的面积相等，有
1 |QB||QN | |QB| |QM |sin∠AQM= 1 |QA||QM |sin∠BQN = = 12 2 ，有 | ，QA| |QN | 4
y
AP:y- 4= 0-4由 x (x-
y +1
4) 0 1，BP:y+ 1= x-
0-4 - 1 x 4
，
0 4
M -1,4-5× 4得 y +4 ，N -1,-1-5×
1
0 y0-1 ，
|QM | 4-5×
4
y +4 +
8
1 0 3
有 4 = | | = ，解得 y = 0，QN 0-1-5× 1 8y +0-1 3
所以使得△PAB与△PMN面积相等的点P的坐标为 (0,0)． 17分
数学试题 第 7 页 共 7 页

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