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武安一中2024—2025学年第二学期4月期中考试
高二 数学
时间：120分钟 满分：150分
单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1.设 ＝－6，则f′(3)＝(　　) A.－12 B．－3 C．3 D．12
2.在(x－)4的展开式中，x3的系数为(　　)
A．6 B．－6 C．12 D．－12
3.有8栋大楼排成一排，某电信公司要选择其中3栋楼的楼顶建设基站，基站不能建在相邻2栋大楼上，以免信号互相干扰，则这3座基站相邻2座之间至少有2栋大楼的概率是(　　)
A． B． C． D．
4．将5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、中山大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有(　　)
A．150种 B．180种 C．240种 D．540种
5. 已知函数的高阶导数为，即对函数连续求阶导数.例如，则，，若，则的展开式中的系数是（ ）
A. 210 B. 255 C. 280 D. 360
6. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1：发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，已知接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为（ ）
A. B. C. D.
已知函数恰有一个极值点，则的取值范围是（ ）
8.已知函数有两个零点，且，则下列命题正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分)
9．(多选)已知(n∈N*)展开式中共有7项，则该展开式中(　　)
A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为1
C．二项式系数最大项为第4项 D．有理项共有4项
10．(多选)下列结果正确的是(　　)
A．若随机变量X服从两点分布，P(X＝1)＝，则D(X)＝
B．若随机变量Y的方差D(Y)＝2，则D(3Y＋2)＝8
C．若随机变量ξ服从二项分布B，则P(ξ＝3)＝
D．若随机变量η服从正态分布N(5，σ2)，P(η<2)＝0.1，则P(2<η<8)＝0.8
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 若在上单调递减，则的最大值为1 B. 当时，
C. 当时， D. 存在直线，使得与的图象有4个交点
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12.现有一组数据按照从小到大的顺序排列如下:4，6，7，7，8，9，11，14，15，19,则这组数据的上四分位数为
13.已知是导函数，且，则= （写出一个符合条件的即可）
14. 已知集合，是集合的含两个元素的子集，且，则中两元素之差的绝对值等于中两元素之差的绝对值的概率为
解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
15．（13分）为了了解某种新型药物对治疗某种疾病的疗效，某机构日前联合医院，进行了小规模的调查，结果显示，相当多的受访者担心使用新药后会有副作用．为了了解使用该种新型药品后是否会引起疲乏症状，该机构随机抽取了某地患有这种疾病的275人进行调查，得到统计数据如表：
无疲乏症状 有疲乏症状 合计
未使用新药 150 25 t
使用新药 x y 100
合计 225 m 275
(1)求2×2列联表中的数据x，y，m，t的值，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否以此推断有疲乏症状与使用该新药有关？
(2)从使用该新药的100人中按是否有疲乏症状，采用分层随机抽样的方法抽出4人，再从这4人中随机抽取2人做进一步调查，求这2人中恰有1人有疲乏症状的概率．
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
16．（15分）2022年2月4日至20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京成功举办．这场冰雪盛会是运动健儿奋力拼搏的舞台，也是中外文明交流互鉴的舞台，折射出我国更加坚实的文化自信，诠释着新时代中国的从容姿态，传递出中华儿女与世界人民“一起向未来”的共同心声．某学校统计了全校学生观看北京冬奥会开幕式和闭幕式的时长情况(单位：分钟)，并根据样本数据绘制得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值，并估计样本数据的85%分位数；
(2)采用样本量比例分配的分层随机抽样方式，从观看时长在[200,280]的学生中抽取6人．若从这6人中随机抽取3人在全校交流观看体会，设抽取的3人中观看时长在[200,240)的人数为X，求X的分布列和数学期望．
17. （15分）已知函数.
（1）讨论的极值点个数；（2）若存在实数使得轴为的切线，求的最大值.
18.（17分）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束,经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空,设每场比赛双方获胜的概率都为
(1)求甲连胜四场的概率;(2)求需要进行第五场比赛的概率;(3)求丙最终获胜的概率
19.（17分） 已知数列，其中.
（1）若，集合表示集合的非空子集个数.集合的第个非空子集中的所有元素之和记为，设.
（i）直接写出；
（ii）计算的前项相和；
（2）取，在数列中至少有一项为负值，且，将数列各项依次放在正五边形各顶点上，每个顶点一项.任意相邻三个顶点的三项为，若中间项，则进行如下交换，将变换为，直到正五边形各顶点上的数均为非负时变换终止.求证：对任何符合条件的，上述变换终止只需进行有限多次.

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