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惠州市第一中学2024-2025学年高二下学期
4月阶段考试数学试题（ B卷）
一、单选题
1．在等比数列中，，，则数列的公比为（ ）
A．3 B．2 C． D．
2．已知则（ ）
A．2 B． C．1 D．
3．琼中中学一条校道路边有7盏路灯，为了节约用电，学校决定每天晩上点亮其中的3盏路灯，但要求点亮的3盏路灯都不相邻，不同的点亮方式有（ ）种
A．5 B．10 C．15 D．20
4．函数与函数的图象在点的切线相同，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．或
5．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立，则两局比赛后结束的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数在时有极大值，则的极大值为（ ）
A．0 B．32 C．0或32 D．0或32
7．已知，则的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
8．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于同余的问题.用表示整数被整除，设且，若，则称与对模同余，记为.已知，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知，则关于其展开式的结论正确的是（ ）
A．常数项是160 B．二项式系数的和为64
C．含项的系数是－192 D．所有项的系数和为1
10．在平面直角坐标系的第一象限内随机取一个整数点，若用随机变量表示从这个点中随机取出的一个点的横、纵坐标之和，表示，同时发生的概率，则（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时，的均值为4 D．当（且）时，
11．已知函数有两个极值点，，则（ ）
A．a的取值范围为（－∞，1） B．
C． D．
三、填空题
12．若离散型随机变量X服从分布，且，则 ．
13．甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”，从这个回答分析，5人的名次排列共可能有 种不同的情况.（用数字作答）
14．甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚质地均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把乘以后再减去；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把除以后再加上；这样就可以得到一个新的实数，对实数仍按上述方法进行一次操作，又可以得到一个新的实数，当时，甲获胜，否则乙获胜，若乙获胜的概率为，则的取值范围是 ．
四、解答题
15．已知数列的前项和，数列满足 ，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
16．甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球，甲箱中有5个白球和3个黑球，乙箱中有4个白球和3个黑球．
(1)若从甲箱中任取2个小球，求这2个小球同色的概率；
(2)若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个小球，求从乙箱中取出的球是白球的概率．
17．已知函数，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
18．为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.
(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，1个为20元，其余2个均为10元，
（i）求顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；
（ii）若顾客甲和顾客乙参与活动，记事件为“甲乙两人所获的奖励额之和不低于100元”，求事件的概率；
(2)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.
19．我们把称为区间的长度．若函数是定义在区间上的函数，且存在，使得，则称为的自映射区间．已知函数，．
(1)若，任取的一个自映射区间，求其区间的长度的概率；
(2)若存在自映射区间，
①求的取值范围；
②求证：，且的长度．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B C A B A D BCD ACD
题号 11
答案 BCD
12．/
13．
14．
15．（1）当时，；
当时，，
， ，
由题可得 ，得 ，
是首项为，公比为2的等比数列，
；
（2），①，②，
①-②得：，
.
16．（1）从甲箱中任取2个小球的事件数为，
这2个小球同色的事件数为，
所以这2个小球同色的概率为．
（2）设事件A为“从乙箱中任取1个小球，取出的这个小球是白球”，
事件为“从甲箱中取出的2个小球都是白球”，
事件为“从甲箱中取出的2个小球为1个白球1个黑球”，
事件为“从甲箱中取出的2个小球都是黑球”，
则事件，，彼此互斥．
，，，
，，，
所以
，
所以取出的这个小球是白球的概率为．
17．（1）因为，所以.
当时，由，得，由，得，且，
故的单调递增区间为，单调递减区间为，；
当时，由，得，且，由，得，
故的单调递增区间为，，单调递减区间为.
综上，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；
当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为.
（2）易知，.
由，可得，
所以恒成立，即恒成立.
设，，则，所以在上单调递增.
当时，，所以恒成立等价于恒成立，
即对恒成立.
设，，.
当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，即a的取值范围是.
18．（1）（i）依题意，得的所有可能取值为20，30，60，70，
则，，
，，
即的分布列为：
20 30 60 70
所以顾客所获得奖励额的期望为（元）
（ii）根据第（i）中的分布列，
两人所获的奖励额之和为的概率为；
两人所获的奖励额之和为的概率为；
两人所获的奖励额之和为的概率为；
两人所获的奖励额之和为的概率为；
则，
所以事件的概率.
（2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，所以先寻找期望为60元的可能方案，
①对于面值由10元和50元组成的情况，
如果选择的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；
如果选择的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，
因此可能的方案是，记为方案1；
②对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除和的方案，
所以可能的方案是，记为方案2.
以下是对两个方案的分析：
对于方案1，即方案，设顾客所获的奖励额为，
则，，，
则的分布列为
20 60 100
的期望为，
的方差为，
对于方案2，即方案，设顾客所获的奖励额为，
则，，，
则的分布列为
40 60 80
的期望为，
的方差为，
由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，
所以应该选择方案2，即面值为个元和个元.
19．（1）因为恒成立，则在上单调递增，
若存在自映射区间，则，
即方程，即至少有两个不同实数解．
则的解集为，所以区间的选择共有种．
若，共有6种选择，
所以区间的长度的概率为．
（2）①因为在上单调递增，
若存在自映射区间，则，
即至少有两个零点，
因为时，单调递增；
时，单调递减；
若要存在两个零点，则，即．
此时，使得．
因为当时，，即函数单调递减，
所以，又，
所以，则，使得．
所以的取值范围为．
②因为，所以，
下证：．记，
则，
则在上单调递增，则，即，
即，所以．
所以，所以．
记，则，
时，单调递减；时，单调递增；
所以，即，
则，即，同理
因为函数的，且对称轴为，
则方程存在两根，且，
又，且，所以，
则，
所以区间的长度．

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