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虎门外语学校2024-2025学年度第二学期3月月考
高一数学试题
说明：全卷满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.C
2.C
3.C.
4.B.
5.B
6.C.
7. A.
8. B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. BC
10. AB.
11. BCD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，第小题5分，共15分．
12. 或.
13. ##
14. .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1）由题意可得，，
若向量与共线，可得，
解得.
（2）若向量与的夹角为锐角可得且与不共线，
即可得，
解得且，
即实数的取值范围为且
16. （1）因为，
所以，
因为，
所以；
（2）解：因为，，且，
所以，
所以，
所以或（舍），
当时，，
所以为直角三角形．
17. （1）
解：因为当时，＝，
所以＝ (＋)
＝ [(－)＋(＋)]
＝
＝＋
（2）因为＝(＋)
＝[(－)＋(＋)]
＝
＝
＝＋，
由于||＝2，，＝2，知||＝||＝2，
∴||2＝2＋2＋
＝＝，
因为，所以当λ＝时，||2有最小值，
即||有最小值.
18. （1）根据，由正弦定理得，
整理得，即，
又，所以；
即A的大小为.
（2）因为,
所以，又，所以；
所以
又因为，
则，所以（当且仅当时，等号成立），
可得，
即的取值范围是
19. （1）由题可得4个两两垂直的4维信号向量可以为：
；
（2）证明：假设存在14个两两垂直的14维信号向量，
任取其中两个不同向量，.
因，
则设与中，有个分量相同，则有个分向量不同.
因，则.
再取任意与和不同向量，
设在与相同分量的7个位置中，有个分量与相同，
则有个分量与相反，在与相反分量的7个位置中，有个分量与相同，
则有个分量与相反.
因，则.
由上可得在与相同分量的7个位置中，有个分量与相同，
则有个分量与相反，在与相反分量的7个位置中，有个分量与相同，则有个分量与相反.
因，则
则此时，这显然不可能，则在14维信号向量中，找不到两两垂直的3个向量，即不存在14个两两垂直的14维信号向量；
（3）取个2024维信号向量后个分量组成的向量为：
，因两两内积为0，它们的前个分量都是相同的，
则两两内积为.又注意到.
则，
注意到展开式中，形如的项有个，
则.
由题可得，则.虎门外语学校2024-2025学年度第二学期3月月考
高一数学试题
说明：全卷满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 单位向量均相等 B. 单位向量
C. 零向量与任意向量平行 D. 若向量，满足，则
2. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
3. 已知的边BC上有一点D，且满足，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知向量 ，，，若点不能构成三角形，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知 ，，若，且，则实数a值等于（ ）
A. 1或2 B. 或1 C. D.
6. 在中，，，分别是角，，的对边，的面积为，，，则的值为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
7. 为了测量一座底部不可到达的建筑物的高度，复兴中学跨学科主题学习小组设计了如下测量方案：如图，设A，B分别为建筑物的最高点和底部．选择一条水平基线HG，使得H，G，B三点在同一直线上，在G，H两点用测角仪测得A的仰角分别是和，，测角仪器的高度是h．由此可计算出建筑物的高度AB，若，则此建筑物的高度是（ ）
A. B. C. D.
8. 在中，角的对边分别为a，b，c．已知，，则角A的大小为（ ）
A B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知向量，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. 已知，若，则 D. 与夹角的余弦值为
10. 在中，角、、的对边分别为、、，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则一定是钝角三角形
B 若，则
C. 若中，则为等腰三角形
D. 若锐角三角形，则
11. 设的内角的对边分别是，若，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 的外接圆的面积是
C. 的面积的最大值是 D. 的取值范围是
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，第小题5分，共15分．
12. 已知，则与垂直的单位向量的坐标为___________.
13. 已知，，其中，的夹角为，则在上的投影为______．
14. 为锐角三角形，其三个内角的对边分别为，且，则周长的取值范围为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量.
（1）若向量与共线，求实数的值；
（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
16. 在中，分别是角所对的边，且满足．
（1）求角的大小；
（2）设向量，向量，且，判断的形状．
17. 如图，在直角梯形中，||＝2，，＝2，为直角，E为的中点，＝λ (，).
（1）当时，用向量，表示向量；
（2）求||的最小值，并指出相应的实数λ的值.
18. 已知在中，角所对的边分别是，且
（1）求的大小；
（2）若，求的取值范围．
19. 个有次序的实数所组成的有序数组称为一个维向量，其中称为该向量的第个分量.特别地，对一个维向量，若，则称为维信号向量．设，，则和的内积定义为，且．
（1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量；
（2）证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量；
（3）已知个两两垂直2024维信号向量.若它们的前个分量都是相同的，求证：．

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