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2024级“贵百河”3月高一年级新高考月考测试
数 学 参考答案
一、选择题
1．由，则，故其对应点为．故选：C
2．因为，，，所以．
故选：．
3．中，已知，，，由正弦定理，可得：，解得：，又，可得：或．当时，，，是直角三角形．当时，，，是等腰三角形．故是直角三角形或等腰三角形，故选：．
4．解：因为向量，，可得，因为，所以，解得：，故选：B．
5．根据斜二测画法得到三角形为直角三角形，底边长，高，所以直角三角形的面积为．故选：C
6．点P在线段AB的延长线上，且，即，，
，取点，则，
即
故P的坐标为．故选：A．
7．由于，即，所以上式的几何意义为以点为圆心，以为半径的圆；则的最大值为．
故选：D
8．如图，连接交于点，则是中点且，由题意可得
．
故选：．
9．解：若可满足“，”，但不一定成立，错；根据向量减法几何意义可知 对；若可满足，但不满足存在唯一实数使得，错；如图所示：
，
对．故选
10．如图，对于A，根据题意，为正四棱锥，记中点为O，则为正 四棱锥的高，，并且为正方形，所以，则 ．几何体为高相等的正四棱柱和正四棱锥组成，所以几何 体的高为；对于B，根据题意，该几何体的 表面积为4个的面积， 四个矩形面积，以及正方形之和； ；； ;该几何体的表面积为
，对于C，因为正四棱柱的高为，
所以印章摆件的体积．
对于D，如图所示，最短距离为SE，因为
利用余弦定理，，
所以最短距离为．故选：ACD
11．解：对于，由题意可知，利用余弦定理得，， 因为，所以，故 A正确；对于，由上述可知，的面积， 且易知，解出，当且仅当时取等号，
此时，故 B错误；
对于，在和中，对和利用余弦定理，，化 简后有，由知，的最大值为，因此最大为，故C正确；对于，利用 正弦定理，，则，
于是的周长，
由于是锐角三角形，因此即解出，则则 ，则，故 D正确．故选：．
12．，故复数z的虚部为．故答案为：
13．【解答】解：因为所以=0,因为，，
所以得=，
所以=150°
14．解：设米，则米，米，米．在中，由余弦定理可得
，即，
即．在中，同理可得，则，
解得．
15．（1）因为复数为纯虚数，所以，……………………2分
解的，……………………4分
解得……6分
（2）因为是关于x的方程的一个根，所以是方程的另一个 根…………8分
所以…………10分
解得，…………12分
所以。………13分
16．（1）
3分
， ……
6分
由（1）及题设，，…………8分
即，…………10分
则。所以，…………14分
所以周长为6．…………15分
17．（1）令陀螺外接球半径为，则，可得，．
由题意，圆柱的矩形轴截面对角线长为，又圆柱的高为，所以圆柱底面直径 ，则底面半径，．
综上，圆锥的高为，母线长为，
所以陀螺的体积为，
陀螺表面积为 ．．
（2）令圆柱的高为，．
由（1）知陀螺外接球半径，所以圆柱底面直径为，
圆锥的高为，所以陀螺的高为，．
由圆柱体侧面积，．
当且仅当时取等号，14分
所以陀螺的高是()时，圆柱体侧面积最大．
18．依题意，得是单位向量，且夹角为，
所以 ……………………2分
而，
，……4分
则．………………………………………………………………5分
因为，所以，，
所以，则四边形是平行四边形，所以， 因为分别是的中点，所以，
所以，，……………………7分
因为
， 则，
所以，；…………………………11分
由知，，因为点在线段上运动，
所以可设，其中，………12分
因为，
所以，所以，
………………14分
因为不共线，则，解得
所以，……16分
因为，所以当时，取得最大值．……17分
19．(1)因为为等边三角形，三个内角均小于，故费马点在三角形内， 满足，且，…………1分
如图： 过作于，则，
故，…………2分
所以该三角形的费马点到各顶点的距离之和为；………3分
(2)因为，由正弦定理，且，
所以得，………5分
所以的三个角都小于，由费马点定义可知，，
设，，由
得，………6分
整理，………7分
则；
…………9分
由知，所以点在内部，且， 设，
所以+n，………10分
由余弦定理得，，
，
，………11分
由勾股定理得，，
即，
所以，………12分
即，………13分
，……14分
即,当且仅当，即时，
等号成立，………15分
设，则，
解得或舍去，………16分
故，最小值为．……17分2024级“贵百河”3月高一年级新高考月考测试
数 学
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在复平面中，复数的共轭复数所对应的点的坐标为（ ）
A．（i，1） B．（1，i） C．（1，1） D．（1，-1）
2．已知向量，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．在中，三个内角，，的对边分别是，，，已知，，，那 么这个三角形是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
4．已知向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，△O’A’B’是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积为（ ）
A．6 B．9
C．12 D．15
6．已知A（2，3），B（4，-3），点P在线段AB的延长线上，且，则点P的坐标是（ ）
A．（8，-15） B．（-8，15）
C．（15，-8） D．（-15，8）
7．已知，则最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如 图所示的正五角星ABCDE中，AB=8，O是该正五角星的中心，
则（ ）
A．32 B． C．64 D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法中正确的是（ ）
A．若，，则
B．两个非零向量，，若，则与共线且反向
C．若，则存在唯一实数使得
D．若是三角形的重心，则
10．如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正 四棱锥的侧棱长均为10cm，则下列选项中正确的是（ ）
A．该几何体的高为
B．该几何体的表面积为
C．该几何体的体积为
D．一只小蚂蚁从点E爬行到点S，所经过的最短路程为cm
11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，且，则 下列说法正确的是（ ）
A．
B．面积的最大值为
C．若D为边BC的中点，则AD的最大值为3
D．若为锐角三角形，则其周长的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若复数z满足（为虚数单位），则复数z的虚部为 ．
13．已知向量，满足，，且，则，的夹角是 ．
14．如图1，这是清风楼，位于河北省邢台市，始建于唐、宋年间，是邢台市地标性建筑之一，也 是邢台历史人文的一个缩影某数学兴趣小组成员为测量清风楼的高度，在与楼底O位于同一 水平面上共线的A，B，C三处进行测量，如图2已知在A处测得塔顶P的仰角为30°，在 处测得塔顶P的仰角为45°，在C处测得塔顶P的仰角为60°，BC=AB=22米，则清风楼的 高度OP= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知复数
（1）若复数z为纯虚数，求实数m的值；
（2）已知是关于x的方程的一个根，其中p，，求p＋q的值．
16．（15分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2sinBsinC=2sinAcosC．
（1）求A；
（2）若a=2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
17．（15分）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）．已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，球心在O1O2的中点上，并且圆柱的两个底面为球的两个截面（O1O2为两个截面圆的圆心），圆锥的顶点S在该球的球面上．
（1）若圆柱的高为2cm，求该陀螺的体积及表面积；
（2）规定陀螺圆锥的顶点S到圆柱中离它远的底面DC距离为陀螺的高，要使陀螺的圆柱的侧 面积最大．此时陀螺的高是多少呢？
18．（17分）如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序实数对（x，y）叫做向量在坐标系Oxy中的坐标，记作在此坐标系Oxy中，若，E，F分别是OB，BP的中点，AE，AF分别与OP交于R，T两点．
（1）求；
（2）求的坐标；
（3）若点M在线段AF上运动，设，求xy的最大值．
19．（17分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面的问题：
（1）若△ABC是边长为的6等边三角形，求该三角形的费马点O到各顶点的距离之和；
（2）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点P为△ABC的费马点．
若，求；
求的最小值．

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