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六年级下册数学鸽巢问题重难点突破
本专题是第五单元数学广角——鸽巢问题。本部分内容考察鸽巢原理（抽屉原理）及最不利原则的应用，内容偏于理解，稍有难度，建议作为本章核心内容进行讲解，
一、单选题
1．箱子里有12个红球、15个白球和20个黄球，至少一次要摸出.(　　)个球才能保证有三种颜色。
A．3 B．28 C．33 D．36
2． 一次检测有2道题，每题答对得2分，答错扣1分，不答得0分，至少(　　)人参加这次检测，才能保证至少有3人得分相同。
A．17 B．12 C．18 D．13
3．体育课上8个小朋友进行投篮练习，他们一共投进65个球，至少有一个小朋友投进的球不低于(　　)个。
A．6 B．7 C．8 D．9
4．若把A×B+C(1≤CA．A+C B．A+1 C．A+B D．B+C
5． 九龙坡今年5月份的天气情况如下图所示，至少有(　　)天是同一种天气。
A．6 B．7 C．8 D．9
6．下面问题可以运用“鸽巢原理”解决的是(　　)。
A．从A到B有2条路，从B到C有4条路，从A到C有几种不同的走法
B．19个玩具分给4个小孩，总有1个小孩至少分得多少个玩具
C．12个零件中1个质量略轻(次品)，其余质量相同，至少称几次能保证找到次品
D．抽屉里有4本数学书、3本语文书，拿出什么书的可能性更大
二、填空题
7． 9只兔子装入若干个笼子，要保证每个笼子中都有，且要保证至少有一个笼子中的兔子数不少于3只，则笼子数最少是　 　个，最多是　 　个。
8． 一副扑克牌去掉所有的花牌(包括大王、小王和J、Q、K)后一共有40张。现在把这些牌打乱，随机抽取一些。(“对子”指2张数字相同的牌，不分花色)
（1）至少取　 　张牌，才能保证至少有2张牌上的数都是奇数(或都是偶数)。
（2）至少取　 　张牌，才能保证至少有2张相同花色的牌。
（3）至少取　 　张牌，才能保证至少有1张红桃。
（4）至少取　 　张牌，才能保证至少有1个对子。
9．某志愿小队有25名队员，他们中至少有　 　人是同一个月出生的，从他们中选择5人担任小组长，那么至少有　 　人的性别是相同的。
10．给一个正方体木块的6个面分别涂上红、黄两种颜色，则不论如何涂都至少有　 　个面的颜色相同。
11．在367个同一年出生的人中，至少有　 　个人是同一天出生的。
12．随意找13位老师，他们中至少有2人的生肖相同。这是经典的“鸽巢问题”，题中　 　是“鸽”，　 　是“巢”。
13．一副扑克牌去掉大王和小王后共有52张，这些扑克牌有四种花色，每种花色有13张。
①一次至少要拿出　 　张牌，才能保证至少有两张牌是同花色的；
②一次至少要拿出　 　张牌，才能保证有4张牌是同一种花色；
③一次至少要拿出　 　张牌，才能保证四种花色都有；
④一次至少要拿出　 　张牌，才能保证至少有两张牌的数字是一样的。
三、操作题
14．先涂色，再填空。在下列方格中，将每一个方格涂上红色或黄色。
我发现：不论怎么涂，至少有（　　）列的涂色方法是完全相同的。
15．如下图① ， 、 、 、 四只小盘拼成一个环形，每只小盘中放若干糖果，每次可取出1只、或3只、或4只盘中的全部糖果，也可取出2只相邻盘中的全部糖果.要使1至13粒糖果全能取到，四只盘中应各有多少粒糖果.把各只盘中糖果的粒数填在下图②中.
四、解决问题
16．弘扬书法艺术，宣扬中国传统文化。某小学开设了书法兴趣课，参加书法兴趣课的学生中最大的13岁，最小的7岁，最少从中挑选多少名学生，才能保证有3名学生年龄相同
想：在解决这个问题时，是把（　　）看作抽屉，共有（　　）个抽屉。
我的解答：
17．食堂有5种不同的菜和3种不同的主食，每人只买一种菜和一种主食。菜和主食有多少种搭配方式 在16名同学中，至少有2名同学所买的菜和主食都是相同的。为什么
18．我国古代君子六艺中的“五射”包括“白矢(shǐ)”“参连”“剡(yǎn)注”“襄尺”和“井仪”五种射法。其中“参连”是发了第一箭后，以后三箭要连续射出，俗称连珠箭。王叔叔练习“参连”射法，连发四箭，成绩是33环。则王叔叔总有一箭至少射中了几环
19．[教材改编]今年植树节时，有50名志愿者参加义务植树活动，共植树302棵。
小轩：“这50名志愿者至少有5人在同一个月过生日。”
小文：“总有1名志愿者至少植树7棵。”
他们说得对吗 为什么
20．在下面的方格里写“好”或“卷”这两个字(每个方格中写一个字)，仔细观察每一列。无论怎么写，至少有几列的写法相同？
五、解答题
21．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】鸽巢问题（抽屉原理）
【解析】【解答】解：15＋20＋1=36（个）。
故答案为：D。
【分析】保证有三种颜色最坏的情况下，摸出15个白球、20个黄球=35个，才两种颜色，再摸1个求保证有三种颜色。
2．【答案】D
【知识点】鸽巢问题（抽屉原理）
【解析】【解答】解： 第一题可能得分：-1，0，2
第二题同上，所以总共有3×3=9种组合，总分分别为：
(-1，-1)： -2
(-1，0)： -1
(-1，2)：1
(0，-1)：-1
(0，0)：0
(0，2)：2
(2，-1)：1
(2，0)：2
(2，2)：4
每个组合的总分可能重复，但不同的组合可能得到相同的总分，所以总分可能的取值是：-2， -1， 0， 1， 2， 4。共有6种不同的得分。
故答案为：D
【分析】 本题属于极值问题中的抽屉原理应用。需要确定在保证至少有3人得分相同的情况下，最少需要多少人参加检测。首先应计算所有可能的得分情况，然后利用抽屉原理公式计算所需人数。
3．【答案】D
【知识点】鸽巢问题（抽屉原理）
【解析】【解答】解： 65 ÷ 8 = 8余1
由于存在一个无法分配的球，这意味着至少有一个小朋友将获得比平均数更多的球。
具体来说，这个小朋友将获得8个球（平均数）加上额外的1个球，即至少有9个球。
故答案为：D
【分析】 此题主要考查了“抽屉原理”的应用。抽屉原理是指，如果有n个抽屉，n+1个物品，那么至少有一个抽屉里面有两个物品。在这个问题中，可以把8个小朋友看作是8个“抽屉”，而65个球则是“物品”。因此可以通过计算每个抽屉（小朋友）平均可以放入的物品（球）的数量，来确定至少有一个小朋友投进的球数
4．【答案】B
【知识点】鸽巢问题（抽屉原理）
【解析】【解答】解： 足球的总数为 A × B ，即正好可以被篓子的数量B整除，那么每个篓子里面都会有A个足球
足球总数为 A × B + C ( 1 ≤ C < B ) ，这意味着除了上述的 A × B 个足球之外，还有C个足球需要放入篓子中。
由于C的值至少为1，即使每次只在一个篓子里多加一个足球，仍然至少会有一个篓子因此而多出一个足球。
综上所述，至少有一个篓子会放入 A + 1 个或更多的足球。
故答案为：B
【分析】 首先通过抽屉原理的基本概念，理解题目的核心要求：在将一定数量的足球放入有限个篓子时，找出至少有一个篓子里放入的足球数量。然后确定基本情况，即当足球数量可以被篓子数量整除时，每个篓子里放入的足球数量。最后处理剩余的足球，利用抽屉原理的“剩余物品必定会落入某个已存在的抽屉中”的特性，确定至少有一个篓子里的足球数量。
5．【答案】C
【知识点】鸽巢问题（抽屉原理）
【解析】【解答】解： 31÷4=7余3，因此至少有8天（7+1）
故答案为：8
【分析】 题目要求找出九龙坡5月份至少有多少天是同一种天气。根据抽屉原理，需要计算天气类型数量和总天数，然后确定最少重复天数。
6．【答案】B
【知识点】乘法原理；鸽巢问题（抽屉原理）；最优策略：找次品问题
【解析】【解答】解： A：是一个乘法原理问题，即从A到B有2条路，从B到C有4条路，从A到C的走法。这个问题并不涉及将多个物体分配到较少的分类中，因此不能用鸽巢原理来解决。
B：将19个玩具看作是物体，将4个小孩看作是分类。如果每个小孩都能分得相同数量的玩具，即每人4个，那么一共只能分发16个玩具。由于我们要分配19个玩具，剩下的3个玩具必然会使至少一个小孩的玩具数多于4个。因此，至少有一个小孩会分得5个玩具。这个问题正是鸽巢原理的典型应用。
C：这个问题涉及到的是称重，而不是分配。因此，鸽巢原理并不适用于这个问题。
D：这个问题关注的是概率，而不是分配。因此，鸽巢原理也不适用于这个问题。
故答案为：B。
【分析】理解鸽巢原理的基本思想，即如果有更多的物体被分配到较少的分类中，至少有一个分类里会包含多个物体。然后将这一原理应用于题目中的四个选项，分析哪些问题可以通过鸽巢原理来解决。
7．【答案】1；7
【知识点】鸽巢问题（抽屉原理）
【解析】【解答】解： 根据题意，每个笼子中至少有1只兔子，且至少有一个笼子中的兔子数不少于3只。
因此，最少需要1个笼子，这个笼子中可以放入所有的9只兔子
1 × ( x 1 ) + 3 ≤ 9
解得：x ≤ 7
故答案为：1，7
【分析】 首先，考虑笼子数的最小值。根据题意，每个笼子中至少有1只兔子，且至少有一个笼子中的兔子数不少于3只。因此，最少需要1个笼子，这个笼子中可以放入所有的9只兔子。
接着，考虑笼子数的最大值。为了保证每个笼子中都有兔子，且至少有一个笼子中的兔子数不少于3只，可以将9只兔子尽可能均匀地分配到更多的笼子中。
由于每个笼子至少需要1只兔子，可以先为每个笼子分配1只兔子，这样就需要至少9个笼子。但是，根据题意，至少有一个笼子中的兔子数不少于3只，因此需要减少笼子的数量。
假设使用x个笼子，那么为了满足题意，至少有一个笼子中需要有3只兔子，其余的笼子中每个笼子至少需要有1只兔子。因此有：1 × ( x 1 ) + 3 ≤ 9
得到：x ≤ 7，因此，笼子数的最大值是7个。
8．【答案】（1）3
（2）5
（3）31
（4）11
【知识点】鸽巢问题（抽屉原理）；奇数和偶数
【解析】【解答】解：（1）至少取3张牌可以保证至少有2张牌上的数是奇数
（2）至少取5张牌能保证至少有2张相同花色的牌
（3）至少取31张牌可以保证有1张红桃
（4） 至少取 11张 牌，才能保证至少有1个对子
故答案为：（1）3
（2）5
（3）31
（4）11
【分析】（1） 最坏的情况是前两张牌分别是一个奇数和一个偶数，第三张牌必然与前两张牌中的一张的奇偶性相同，从而保证至少有2张牌上的数都是奇数（或都是偶数）。
（2） 最坏的情况是前四张牌分别是四种不同的花色，第五张牌必然与前四张牌中的一张的花色相同，从而保证至少有2张相同花色的牌。
（3） 一副扑克牌去掉所有的花牌后一共有40张，其中红桃的牌有10张。根据抽屉原理，需要取出31张牌，即最坏的情况是前30张牌中都没有红桃的牌，第31张牌必然有红桃的牌，从而保证至少有1张红桃。
（4）最坏的情况是前10张牌分别是10个不同的数字，第11张牌必然与前10张牌中的一张的数字相同，从而保证至少有1个对子。
9．【答案】3；3
【知识点】鸽巢问题（抽屉原理）
【解析】【解答】解： 25 ÷ 12 = 2（商）……1（余数）
至少有一个容器（月）中至少有2+1=3个人（物体）
5 ÷ 2 = 2（商）……1（余数）
至少有一个容器（性别）中至少有2+1=3个人（物体）
故答案为：3，3
【分析】 鸽巢原理是一种用于解决分配问题的数学原理，其基本思想是：如果n个物体要放入m个容器中，且n>m，那么至少有一个容器中包含了多于一个物体。本题中，我们将鸽巢原理应用于计算至少有多少人是同一个月出生的，以及至少有多少人的性别是相同的。
10．【答案】3
【知识点】鸽巢问题（抽屉原理）；染色问题
【解析】【解答】解： 如果有6个苹果要放入2个抽屉中，那么至少有一个抽屉会包含至少3个苹果。这是因为6除以2等于3，也就是说，平均每个抽屉至少会有3个苹果。因此，不论正方体的6个面如何涂上红、黄两种颜色，都至少会有3个面的颜色相同。
故答案为：3
【分析】 将正方体的6个面看作“苹果”，红黄两种颜色看作“抽屉”。根据抽屉原理，如果将6个苹果（面）放入2个抽屉（颜色）中，那么至少有一个抽屉中会有至少3个苹果（面），即至少有3个面的颜色相同。
11．【答案】2
【知识点】鸽巢问题（抽屉原理）
【解析】【解答】解： 将一年的365天看作365个“抽屉”。
将367个人看作367个“苹果”。
根据抽屉原理，当苹果的数量超过抽屉的数量时，至少有一个抽屉里会有两个或两个以上的苹果。
因此，在367个人中，至少有两个人是在同一天出生的。
故答案为：2
【分析】 本题利用抽屉原理，通过最差情况进行分析。一年有365天（假设为平年），将这365天看作365个“抽屉”，而367个人则看作367个“苹果”。根据抽屉原理，当苹果的数量超过抽屉的数量时，至少有一个抽屉里会有两个或两个以上的苹果。这个原理同样适用于本题，即在367个人中，至少有两个人是在同一天出生的。
12．【答案】13位老师；12个生肖
【知识点】鸽巢问题（抽屉原理）
【解析】【解答】解： 将13位老师与12个生肖进行匹配
由于有13位老师，但只有12个生肖，
根据抽屉原理，必然存在至少一个生肖被两位老师所拥有，至少有2人的生肖相同
故答案为：13位老师，12个生肖
【分析】 抽屉原理，也称为鸽巢原理，指出如果把多于n个的物品放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里的物品不少于两件。在本题中，12个生肖相当于12个巢，而13位老师则相当于13个鸽。
13．【答案】5；13；40；14
【知识点】鸽巢问题（抽屉原理）
【解析】【解答】
（1）4×1+1=5
故答案为：5。
（2）4×3+1=13
故答案为：13.
（3）13×3+1=40.
故答案为：40.
（4）13+1=14
故答案为：14.
【分析】 本题考查的是抽屉原理的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据最不利原则，解答问题。
（1） 为了保证至少有两张牌是同花色的，最坏的情况是每种花色各抽一张，这时再抽一张，无论这张牌是什么花色，都至少有两张牌是同花色的。
（2） 为了保证有4张牌是同一种花色，最坏的情况是，先抽出12张牌，每种花色各3张，再抽出1张牌，无论这张牌的花色是什么，都能保证有4张牌是同一种花色的。
（3） 为了保证四种花色都有，最坏的情况是，先抽出39张牌，每种花色各13张，再抽出1张牌，无论这张牌的花色是什么，都能保证四种花色都有。
（4） 为了保证至少有两张牌的数字是一样的，最坏的情况是，先抽出13张牌，每张牌的数字都不同，再抽出1张牌，无论这张牌的数字是多少，都能保证至少有两张牌的数字是一样的。
14．【答案】解：如图：
不论怎么涂，至少有3列的涂色方法是完全相同的。
【知识点】鸽巢问题（抽屉原理）
【解析】【分析】将9列看作9个物体，四种不同的涂法(红黄、红红、黄红、黄黄)看作4个抽屉，9÷4=2(列)……1(列)，即每种涂色的方法各涂出2列后，还剩下1列，所以至少有2+1=3(列)的涂色方法是相同的。
15．【答案】解：有两种方法（填出一种即可），如下图
【知识点】鸽巢问题（抽屉原理）
【解析】【分析】根据13以内数的加减法作答即可，其中有2个盘子中的数分别是1和2。
16．【答案】解：学生的年龄情况，7
7×(3-1)+1=15(名)
答：最少从中挑选15名学生，才能保证有3名学生年龄相同。
【知识点】鸽巢问题（抽屉原理）
【解析】【分析】 首先需要确定“抽屉”和“物品”。在这个情况下可以将学生的年龄视为“抽屉”，将学生本身视为“物品”。由于年龄范围从7岁到13岁，一共有7个不同的年龄，也就是7个抽屉。接下来应用抽屉原理来确定最少需要挑选多少名学生，才能保证有至少3名学生年龄相同。
17．【答案】解：菜和主食共有5×3=15(种)搭配方式。
16÷15=1(名)……1(名)
1+1=2(名)
答：所以至少有2名同学所买的菜和主食都是相同的。
【知识点】鸽巢问题（抽屉原理）；组合
【解析】【分析】 由题意知，有5种不同的菜和3种不同的主食，每人只买一种菜和一种主食。因此，菜和主食的搭配方式总数为5种菜 × 3种主食 = 15种搭配方式
由题意知，有16名同学，每种菜和每种主食的搭配方式共有15种。按照“最不利情况”考虑，假设前15名同学各自选择了一种不同的菜和主食的搭配方式，那么第16名同学无论选择哪种菜和主食的搭配方式，都会与前15名同学中的至少一名同学所选的菜和主食的搭配方式相同。因此，在16名同学中，至少有2名同学所买的菜和主食都是相同的。
18．【答案】解：33÷4=8(环)……1(环)
8+1=9(环)
答：王叔叔总有一箭至少射中了9环。
【知识点】鸽巢问题（抽屉原理）
【解析】【分析】 首先计算平均环数及余数 ， 再应用抽屉原理确定最大值即可得出答案
19．【答案】解：他们说得对。
因为50÷12=4(名)……2(名)，4+1=5(名)，
即至少有5人在同一个月过生日。
302÷50=6(棵)……2(棵)
6+1=7(棵)
即总有1名志愿者至少植树7棵
答：他们说得对
【知识点】鸽巢问题（抽屉原理）
【解析】【分析】 小轩的论点涉及鸽巢原理，即50名志愿者的生日分布在12个月中，是否存在至少5人同月；小文的论点则涉及植树数量的分配，302棵树由50人完成，是否存在某人至少种7棵。需分别应用鸽巢原理进行验证。
20．【答案】解：9÷4＝2……1
2＋1＝3(列)
答：至少有3列的写法相同。
【知识点】鸽巢问题（抽屉原理）
【解析】【分析】根据题意可知，每个方格中写一个字，每列的写法有4种情况：①好，好；②卷，卷；③好，卷；④卷，好；相当于有4个抽屉，根据抽屉原理的解题方法：a个物体放入n个抽屉，如果a÷n=b……c，那么有一个抽屉至少放（b+1）个物体，据此解答.
21．【答案】解：因为要使两个数的和是11，可以考虑先将1~10这10个数按“两个数的和是11”进行分组，一共分成5个组。我们把这5个组看成5双不同颜色的袜子，把任选的6个数看成6只袜子，这样就一定有2只袜子的颜色是同色的，也就是一双的，这也说明了它们中一定有两个数的和是11。
【知识点】鸽巢问题（抽屉原理）
【解析】【分析】此题主要考查了抽屉原理的应用，通过将数进行分组来分析，可以将1到10这10个数按“两个数的和是11”进行分组，一共分成5个组：（1，10）、（2， 9）、（3，8）、（4，7）、（5，6），按照抽屉原理，任意选6个数，一定会有两个数的和是11，据此解答。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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