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山西考生专项九年级数学锐角三角函数重难点突破
一、选择题
1．（2024九上·东营月考）如图，四边形是的内接四边形，，，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．2
2．（2024九下·朔州模拟）如图是一张圆心为O，半径为的圆形纸片，沿弦所在直线折叠，使得经过点O，将纸片展平后，作，则图中阴影部分的面积等于（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九下·大同模拟）如图，将等腰直角三角形的直角顶点放在上，直角边经过圆心，斜边交于点，若，，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九下·忻州模拟）如图①，边长为的正方形的顶点C，D在正六边形的内部，如图②，将正方形沿向右平移一定距离，得到正方形 （顶点A，B，C，D平移后的对应点分别为，，，），此时点恰好落在边上，连接，则的长为（　　）
A． B．4 C． D．
5．（2024九下·中阳模拟）如图，在Rt中，．以为边作正方形，延长，交边于点，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．（2024九下·南海月考）《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》，这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义，如图，为测量海岛上一座山峰AH的高度，直立两根高1米的标杆和，两杆间距为3米，D，B，H三点共线，从点B处退行到点F，观察山顶A，发现A，C，F三点共线，且仰角为；从点D处退行到点G，观察山顶A，发现A，E，G三点共线，且仰角为（点F，G都在直线上）．则山峰的高是　 　米（参考数据：，，）
7．（2024九下·运城模拟）如图，在中，，D是的中点，过点D作，垂足为E，M为上一点，点N在的延长线上，连接，交的延长线于点F，若，则的长为　 　．
8．（2024九上·凉州开学考）如图，已知在四边形中，，为边上一点，若，，，，则　 　．
9．（2024九下·阳泉模拟）四边形是一张正方形纸片，先将正方形对折，使与重合，折痕为，把这个正方形展平，连接，点为上一点，然后沿直线折叠，使得点的对应点落在上．则的值为　 　．
10．（2024九下·沁水模拟）如图，在矩形中，，，为边上一点，连接，过点作，垂足为，交边于点，连接．若，则线段的长为　 　．
三、计算题
11．（2024九下·迎泽模拟）（1）计算：．
（2）解方程：．
12．（2024九下·平遥模拟）（1）计算：；
（2）解不等式组：，并确定此不等式组的整数解．
13．（2024九下·运城模拟）（1）计算：．
（2）下面是小颖同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
．
解：去分母，得……第一步
去括号，得．……第二步
移项，得．……第三步
合并同类项，得．……第四步
系数化为1，得．……第五步
任务：
任务一：填空：①上述解题过程中，第一步是依据______进行变形的；
②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；
任务二：请直接写出该不等式的正确解集；
任务三：除了任务一中出现的错误外，请根据平时的学习经验，就解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
14．（2024九下·交城模拟）（1）计算：；
（2）解方程组：．
15．（2020九下·平定月考）
（1）计算：(－2015)0＋|1－ |－2cos45°＋ ＋(－ )－2．
（2）先化简，再求值：( － )÷ －1，其中x＝－3．
四、综合题
16．（2025九上·澧县期末）随着城镇化建设的加快，高层建筑逐渐增多了，为防患于未然，更快更有效预防火灾，开辟新的救援通道，某城市消防中队新增添一台高空消防救援车．图1是高空救援消防车实物图，图2是其侧面示意图，点O，A，C在同一直线上，可绕着点O旋转，为云梯的液压杆，点O，B，D在同一水平线上，其中可伸缩，已知套管米，且套管的长度不变，现对高空救援消防车进行调试，测得，．
（1）求此时液压杆的长度；
（2）若消防人员在云梯末端工作台点C处高空救援时，将伸长到最大长度，云梯绕着点O逆时针旋转，即，过点作，垂足为G，过点C作，垂足为E，，垂足为H．如图3，测得铅直高度升高了3米（即），求伸长到的最大长度．（参考数据：，，，，，）
17．（2025九下·柳州开学考）如图1是某城建部门利用折臂升降机正在路边检修路灯的实物图片，图2是某时刻折臂升降机工作时的平面示意图，上折臂顶端恰好接触路灯杆，点A，B，C，D，E，F，M，N都在同一竖直平面内．路灯杆和折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座，上折臂，上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，求上折臂顶端F到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质；求特殊角的三角函数值
2．【答案】A
【知识点】垂径定理；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
3．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；扇形面积的计算；解直角三角形
4．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；正方形的性质；平移的性质；锐角三角函数的定义
5．【答案】A
【知识点】扇形面积的计算；解直角三角形
6．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
7．【答案】
【知识点】解直角三角形；三角形的中位线定理
8．【答案】
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；解直角三角形
9．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；解直角三角形
10．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；同角三角函数的关系
11．【答案】（1）；（2）．
【知识点】解分式方程；求特殊角的三角函数值
12．【答案】（1）；（2）
【知识点】负整数指数幂；解一元一次不等式组；求特殊角的三角函数值
13．【答案】（1）；（2）①不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；②二；去括号时，括号前面是“-”，去掉括号后括号内的第二项没有变号；；注意去分母时不要漏乘不含分母的项
【知识点】负整数指数幂；解一元一次不等式；求特殊角的三角函数值
14．【答案】（1）（2）
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；代入消元法解二元一次方程组
15．【答案】（1）解：原式＝1－(1－ )－2× ＋2 ＋9
＝1－1＋ － ＋2 ＋9
＝2 ＋9．
（2）解：原式＝[ － ]÷ －1
＝ ÷ －1
＝ ÷ －1
＝ －1
＝－ ，
将x＝－3代入，得：
原式＝1．
【知识点】分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据零指数幂，绝对值，特殊角的锐角三角函数值，负整数指数幂进行计算求解即可；
（2）先化简得到 － ，再将 x＝－3 代入计算求解即可。
16．【答案】（1）3米
（2）伸长到的最大长度为6米
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；旋转的性质
17．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：45分
分值分布 客观题（占比） 10.0(22.2%)
主观题（占比） 35.0(77.8%)
题量分布 客观题（占比） 5(29.4%)
主观题（占比） 12(70.6%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
选择题 5(29.4%) 10.0(22.2%)
填空题 5(29.4%) 10.0(22.2%)
计算题 5(29.4%) 20.0(44.4%)
综合题 2(11.8%) 5.0(11.1%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (88.2%)
2 容易 (11.8%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题 7.0(15.6%) 6,17
2 含30°角的直角三角形 2.0(4.4%) 8
3 三角形的中位线定理 2.0(4.4%) 7
4 解一元一次不等式组 5.0(11.1%) 12
5 圆内接四边形的性质 2.0(4.4%) 1
6 矩形的性质 2.0(4.4%) 10
7 解直角三角形的其他实际应用 0.0(0.0%) 16
8 平移的性质 2.0(4.4%) 4
9 解直角三角形 12.0(26.7%) 2,3,5,7,8,9
10 多边形内角与外角 2.0(4.4%) 4
11 解分式方程 5.0(11.1%) 11
12 垂径定理 2.0(4.4%) 2
13 角平分线的性质 2.0(4.4%) 8
14 翻折变换（折叠问题） 2.0(4.4%) 2
15 相似三角形的判定与性质 2.0(4.4%) 10
16 同角三角函数的关系 2.0(4.4%) 10
17 负整数指数幂 15.0(33.3%) 12,13,14,15
18 等腰三角形的判定与性质 2.0(4.4%) 3
19 勾股定理 6.0(13.3%) 8,9,10
20 解一元一次不等式 5.0(11.1%) 13
21 分式的化简求值 0.0(0.0%) 15
22 旋转的性质 0.0(0.0%) 16
23 代入消元法解二元一次方程组 5.0(11.1%) 14
24 正方形的性质 4.0(8.9%) 4,9
25 求特殊角的三角函数值 22.0(48.9%) 1,11,12,13,14,15
26 扇形面积的计算 6.0(13.3%) 2,3,5
27 零指数幂 0.0(0.0%) 15
28 锐角三角函数的定义 2.0(4.4%) 4
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