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2025 年湖北省高考数学调研试卷（4 月份）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 2 + 2 3 > 0}， = { |0 < < 2}，则 ∩ =( )
A. ( ∞, 3) B. ( 3,2)
C. (1,2) D. ( ∞, 3) ∪ (1,2)

2.已知复数 满足 + 2 = 3 + ，则 =( )
A. 1 + B. 1 C. 2 + D. 2
3 1.已知函数 ( ) = cos(2 + )，若 ( 1) = ( 2) = 2，则| 1 2|的最小值为( )
A. B. 6 4 C.

3 D.

2
4.一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱 1 = 18，底面△ 边 上的高为 .当底面 水平放置时水面
高度为 16(如图①).当侧面 1 1 水平放置时(如图②)，水面高度为( )
A. 13 B.
1
2 C.
2
2 D.
2
3
5.已知向量 ， 满足| | = | |，且 在 上的投影向量为单位向量，则| | =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
2 2
6 .已知 为坐标原点， 为双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的右焦点， 1， 2为 的左右顶点， 为 上
一点， ⊥ 轴，过 1的直线分别交 轴和线段 于 ， 两点，直线 2 交 轴于 点，且 2 + = 0，
则双曲线的渐近线方程为( )
A. =± 24 B. =± 2 2 C. =± 2 D. =±
7.已知函数 ( ) = + 1 ，若 ( ) + ( ) = 0，则
2 + 2的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 2
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8.如图，半径为 1 的⊙ 1与半径为 2 的⊙ 2内切于点 ，⊙ 1沿⊙ 2的圆弧无滑动的滚动一周.若⊙ 1
上一定点 从 点出发随着⊙ 1的滚动而运动，设点 的轨迹为 ，则( )
A. 1是半径为2的圆
B. 是半径为 1 的圆
C. 是长度为 2 的线段
D. 是长度为 4 的线段
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 1， 2， 3， ， 12是一组样本数据，去掉其中的最大数和最小数后，剩下 10 个数的中位数小于原样
本的中位数
B.若事件 ， 相互独立，且 ( ) > 0， ( ) > 0，则事件 ， 不互斥
C.若随机变量 ～ (0, 22)， ～ (0, 32)，则 (| | ≤ 2) = (| | ≤ 3)
D.若随机变量 的方差 ( ) = 10，期望 ( ) = 4，则随机变量 = 2的期望 ( ) = 26
10.已知 ， △ cos2 1， 分别为 的内角 ， ， 所对的边， 2 = 2 +
1
2，则下列说法正确的是( )
A. = 2 B. = +
C. < 3 D. > ， >
11.已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ，点 1( 1, 1)在抛物线上，| 1 | = 1 + 1，设直线 为抛物
线 在点 ( , )( ∈ )处的切线，过点 作 的垂线交抛物线于另一点 +1( +1, +1)，若 1 = 2，
则下列说法正确的是( )
A. = 1 B. 2直线 +1的斜率为
C. 8 +1 = D. | | ≥ 4 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 cos( ) = 7 , = 1.已知 12 3，则 2 2 = ______．
13.已知函数 ( ) = 12
2 恰有 2 个极值点，则实数 的取值范围为______．
14.甲乙丙三个班级共同分配 9 个三好学生名额，每班至少 1 个名额，用 表示这三个班级中分配的最少名
额数，则 的数学期望 ( ) = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
已知{ }是无穷正整数数列，定义操作 ( , )为删除数列{ }中除以 余数为 的项，剩下的项按原先后顺序
不变得到新数列{ }.若 1 = 3 ， ∈ ，进行操作 (3,1)后剩余项组成新数列{ }，设数列{log3( + )}
的前 项和为 ．
(1)求 ；
(2) 1设数列{ }满足 = log3 2 1，求数列{ }的前 项和． +1
16.(本小题 15 分)
设函数 ( ) = ( )( )2， ， ∈ ．
(1)当 = 0， ≥ 0 时，讨论 ( )的单调性；
(2)若 ≠ ，且 ( )和 ′( )( ′( )为 ( )的导函数)的零点均在集合{2,1, 1}中，求 ( )的极小值．
17.(本小题 15 分)
2
在平面直角坐标系中， 为坐标原点， ， 分别是椭圆 ： + 2 2 = 1( > 1)的左焦点，右顶点，过 的直
3线交椭圆 于 ， 两点，当 ⊥ 轴时，△ 的面积为 1 + 2 ．
(1)求 ；
(2) 1若斜率为2的直线 交椭圆 于 ， 两点， 为以线段 为直径的圆上一点，求| |的最大值．
18.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中， 为矩形，且 = 2 = 2， = 3，∠ = ∠ = 60°．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)若 // ( 1在 的左侧)，设三棱锥 体积为 1，四棱锥 体积为 2，且 1 = 2 2．
(Ⅰ)求点 到平面 的距离；
(Ⅱ)求平面 与平面 所成夹角的正弦值．
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19.(本小题 17 分)
一电动玩具汽车需放入电池才能启动.现抽屉中备有 6 块规格相同的电池，其中 3 块为一次性电池，另外 3
块为可反复使用的充电电池.每次使用时随机取一块电池，若取出的是一次性电池，则使用后作废品回收，
若取出的是可充电电池，则使用后充满电再放回抽屉．
(1)在已知第 2 次取出一次性电池的条件下，求第 1 次取出的是可充电电池的概率；
(2)设 ， 是离散型随机变量， 在给定事件 = 条件下的期望定义为
( | = ) = =1 ( = | = ) =

=1
( = , = )
( = )
其中{ 1, 2, …, }为 的所有可能取值的集合， ( = , = )表示事件“ = ”与“ = ”均发生的概
率.设 表示玩具汽车前 4 次使用中取出一次性电池的块数， 表示前 2 次使用中取出可充电电池的块数，求
( | = 1)；
(3)若已用完一块一次性电池后，记剩下电池再使用 ( = 2,3,4, …)次后，所有一次性电池恰好全部用完的概
率为 ，求数列{ }的通项公式．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.13
13.(0, 1 )
14.3928
15.解：(1)因为 = 3 1 ，可知 1 = 1(满足除以 3 余数为 1)，当 ≥ 2 时， 为 3 的倍数，
进行操作 (3,1)，即删除 1，剩余 2， 3， 4， 5， ，
则 = = 3 ，可得 ( + ) = (3 1 +1 3 3 + 3 ) = 13(4 3 ) = + 34 1，
= ( +1)所以 2 + ( 34 1) ；
(2)由(1)可知 = = 32 1 3 2 1 3 = 2 1，
1 1 1 1 1
则 = = ( )， +1 (2 1)(2 +1) 2 2 1 2 +1
{ 1 1所以数列 }的前 项和 = 2 (1
1 + 13 3
1
5+ +
1 1
2 1 2 +1 ) =
1 (1 1
+1 2 2 +1
) = 2 +1．
16.解：(1)当 = 0 时， ( ) = ( )2，
所以 ′( ) = ( )2 + 2 ( ) = ( )(3 )，
当 = 0 时， ′( ) = 3 2 ≥ 0， ( )在 上单增，
当 > 0 时，令 ′( ) = ( )(3 ) = 0 ， = 或 = 3，
∈ ( ∞, 3 )时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
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∈ ( 3 , )时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
∈ ( , + ∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
综上所述：当 = 0 时， ( )在 上单增；
当 > 0 时， ( )在( ∞, 3 ) ( , + ∞) (

和 上单调递增，在 3 , )上单调递减．
(2) ′( ) = ( )(3 2 ) ( ) = 0 = = 2 + ，令 ′ ，所以 或 3 ，
( ) = 0 = = 2 + ∈ {2,1, 1} 2 + 令 ， 或 ，又 ， ， 3 ，且 ， ， 3 互不相等，
+ + 2 + 所以 3 = 2，所以 5 + 4 = 6，
5 + 4 = 6 5 + 4 = 6 5 + 4 = 6
所以 2 + + = 0 或 + 3 = 0
或 + 2 + ，3 = 0
经检验 = 2， = 1 符合，
所以 ( ) = ( 2)( + 1)2， ′( ) = ( + 1)(3 3)，
令 ′( ) = 0， = 1 或 = 1，
当 ∈ ( ∞, 1)， ′( ) > 0， ∈ ( 1,1)， ′( ) < 0， ∈ (1, + ∞)， ′( ) > 0，
所以 = 1 时， ( )取得极小值 (1) = 4．
2
17.解：(1)依题意有 = 1，当 ⊥ 轴时，在椭圆方程中，令 = ，解得 = ，
2
则| | = 2 2. = 1 × 2
2
2 × ( + ) = 1 +
3，又 2 = 1 + 2，解得 = 2，
2 = 3；
(2) 1设直线 ： = 2 + 设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
2
= 1 = 16 + 32 > 0
联立 2
+
，得 2 2 + 4 + 4 2 4 = 0，所以 1 + 2 = 2 ，
2 + 4 2 = 4 21 2 = 2 2
所以 2 < < 2. 1所以 1 + 2 = ，所以 的中点为 ( , 2 )，
所以| | = 1 + 1 2 5 2 24 × ( 1 + 2) 4 1 2 = 2 8 4 = 5(2 )．
1又 的轨迹是以 ( , 2 )为圆心，半径 =
5 2的圆，
2 2
所以| | ≤ | | + = 5 5 2 5 2 ，2 | | + 2 2 = 2 (| | + 2 )
令| | = 2 ， ∈ (0, 2 ],记 ( ) =
5
2 ( 2 + 2 ) =
10
2 × 2sin( +

4 ) = 5sin( +

4 ),又 +

4 ∈ (
3
4 , 4 ],
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所以 = 4 , | | = 1 时, | | = 5．
18.解：(1)证明：在△ 中， = 3， = 1，∠ = 60°，
由余弦定理得 = 2，
所以 2 + 2 = 2，
所以 ⊥ ，
又矩形 中， ⊥ ， ∩ = ，
所以 ⊥平面 ；
(2)由(1)知， ⊥平面 ， // ，
所以 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，又在三角形 中可求得 = 2，
在直角三角形 中可求得 = 3 = ，
1 = 1 1又2 2 2 = = ，又2 2 = 1 = ，
所以 = ，又 // ，
所以 = = 1，
(Ⅰ)取 中点 ，建立如图所示空间直角坐标系 ，
则 ( 1,0,0)， (1,0,0)， (1,1,0)， ( 1,1,0)， (0,0, 2)， (0, 1, 2)，
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所以 = (0, 1,0)， = (1,1, 2)，
设平面 的法向量 = ( , , )，
则 = 0 + 2 = 0，所以 ，
= 0 = 0
取 = ( 2, 0,1)，
又 = (1,0, 2)，
= |
|
所以 到平面 的距离
| | =
2 6
3 ．
(Ⅱ)因为 = (2,0,0)， = (1, 1, 2)，
设平面 的法向量 = ( , , )，
所以 = 0 2 = 0

，所以 ，
= 0 + 2 = 0
取 = (0, 2, 1)，
|cos < > | = | | = 1所以 ， | || | 3，
所以平面 与平面 所成夹角的正弦值为2 2．
3
19.解：(1)设事件 1表示第一次取出时为可充电池，事件 2表示第一次取出时为一次性电池，事件 表示第
二次取出时为一次性电池，
则 ( ) = ( 1) ( | 1) + ( 2) ( | ) =
3 3 3 2 9
2 6 × 6 + 6 × 5 = 20 , ( 1 ) =
3 3 1
6 × 6 = 4，
1
所以 ( 1| ) =
( 1 ) 4 5
( ) = 9 = 9；
20
(2)由题意， 的可能取值为 1，2，3，
( = 1| = 1) = 3 × 3 = 9 3 2 25 5 25 , ( = 2| = 1) = 5 × 5+ 5 ×
3
4 =
27 2 1
50 , ( = 3| = 1) = 5 × 4 =
1
10，
所以 ( | = 1) = 1 × 925 + 2 ×
27 + 3 × 1 = 8750 10 50；
(3)由题意，现有 3 块可充电池和 2 块一次性电池可使用，
经分析可得 2 =
2 × 15 4 , =
3 2 1 2 3 1
3 5 × 5 × 4 + 5 × 4 × 4，
≥ 2 时， = [ 2 × ( 3 ) 2 + 3 × 2 × ( 3 ) 3 + + ( 3 ) 2 2 5 4 5 5 4 5 × 5 ] ×
1
4
4
2 1 3 4 4 4 1 3 1 ( ) 1
= 5 × 4 × (4 )
2[1 + 5 + ( 5 )
2 + ( 25 ) ] = 10 × (
2 5
4 ) × 1 45
= 1 ( 3 ) 22 4 [1 (
4 ) 1] = 25 3 [(
3 ) 14 (
3 1
5 ) ]．
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