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冲刺2025中考数学【抢分押题】
专题训练01：数与式
押题解读
猜押考向 考情分析 押题依据 难度
科学记数法 近三年必考. 2025年模拟卷延续了类似考点. 容易
实数的相关概念 基础题，相反数、绝对值，常考实际生活中的相反意义量 延续基础题考查，结合 生活场景命题. 容易
实数的运算 基础计算题，涉及零指数幂、特殊锐角三角函数、算术平方根等运算. 延续基础运算考查，可能结合负指数幂、绝对值等综合命题. 容易
数轴 数轴表示. 高频考点，需注意方向变化 容易
整式的运算 单项式乘法法则直接应用. 基础运算能力考查，注意符号与指数 容易
数的估算 常考基础题型. 数的估算问题以基础性为主，稳定中凸显变化，变化中追求创新，突出根式运算. 容易
因式分解 主要考查公式应用基本问题. 常以填空题、选择题或化简求值题的形式. 容易
分式的运算 同分母分式运算，直接运用运算法则. 代数运算基础，可能升级为异分母分式或化简求. 容易
考向一 科学记数法
1．（2025 福田区模拟）DeepSeek﹣V3是一款基于混合专家（MoE）架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，DeepSeek的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（　　）
A．6.71×1012 B．6.71×1011 C．67.1×1010 D．671×109
2．（2025 南山区校级一模）截至3月17日，动画电影《哪吒之魔童闹海》全球总票房（含港澳台及海外）突破15100000000元，位居全球影史票房第5位．数据15100000000用科学记数法表示为（　　）
A．1.51×109 B．15.1×109
C．0.151×1011 D．1.51×1010
3．（2025 福田区校级一模）2025年，深圳“智能医疗数据中心”正式投入使用，该中心每天处理的医疗影像数据量达到了4.8千万张，如果用科学记数法表示深圳“智能医疗数据中心”每天处理的医疗影像数据总量，选项正确的是（　　）
A．4.8×104 B．4.8×105 C．4.8×106 D．4.8×107
4．（2025 深圳校级模拟）宋朝 杨万里有诗曰：“只道花无十日红，此花无日不春风．一尖已剥胭脂笔，四破犹包翡翠茸”．月季被誉为“花中皇后”，月季也是南阳市的市花，具有非常高的观赏价值．某品种的月季花粉直径约为0.0000352米，则数据0.0000352用科学记数法表示为（　　）
A．3.52×10﹣5 B．0.352×10﹣5
C．3.52×10﹣6 D．35.2×10﹣6
5．（2025 惠州一模）“沉睡数千年，一醒惊天下”，三星堆遗址在5号坑提取的牙雕制品，最细微处仅为0.00005米，该数据用科学记数法表示为（　　）
A．0.5×10﹣3 B．5×10﹣4 C．5×10﹣5 D．50×10﹣6
6．（2024秋 安康期末）在科研人员的不懈努力下，我国成功制造出了“超薄钢”，打破了日德垄断．据悉，该材料的厚度仅有0.000015米，将数据0.000015用科学记数法表示为（　　）
A．1.5×10﹣5 B．1.5×10﹣4 C．15×10﹣4 D．0.15×10﹣6
7．（2025 潮南区校级三模）清代诗人袁枚创作了一首诗《苔》：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”歌颂了苔在恶劣环境下仍有自己的生命意向．若苔花的花粉粒直径约为0.0000084米，用科学记数法表示为（　　）
A．0.84×10﹣5 B．8.4×10﹣6 C．84×10﹣7 D．8.4×10﹣8
8．（2025 龙湖区校级一模）中国信息通信研究院测算，2020～2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（　　）
A．10.6×104 B．1.06×1013 C．10.6×1013 D．1.06×108
考向二：实数的相关概念
1．（2025 连州市一模）﹣2025的相反数是（　　）
A．2025 B． C．﹣2025 D．
2．（2025 惠州一模）中国古代数学著作《九章算术》最早提到了负数，的倒数是（　　）
A．2025 B．﹣2025 C． D．
3．（2025 福田区校级一模）﹣2025的绝对值是（　　）
A．﹣2025 B．2025 C． D．
4．（2025 清城区一模）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家，若零上10℃记作+10℃，则零下5℃记作（　　）
A．+5℃ B．﹣5℃ C．+15℃ D．﹣15℃
5．（2025 高州市一模）下列各数中，是负数的是（　　）
A．﹣（﹣2） B．（﹣2）2 C．|﹣2| D．﹣2
6．（2025 南山区一模）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，根据刘徽的这种表示法，图1可列式计算为（+1）+（﹣1）＝0，由此可推算图2中计算所得的结果为（　　）
A．+1 B．+7 C．﹣1 D．﹣7
7．（2025 东莞市一模）下列计算结果为0的是（　　）
A．3﹣（﹣3） B．﹣|﹣3|﹣3
C．1+（﹣1）2005 D．﹣22﹣（﹣2）2
8．（2025 坪山区模拟）在中，最小的实数是（　　）
A． B．0 C．﹣π D．﹣3
考向三：实数的运算
1．（2025 市中区二模）计算：．
2．（2025 雁塔区校级一模）计算：．
3．（2025 长沙一模）计算：．
4．（2025秋 湖北模拟）计算：．
5．（2025 坪山区模拟）计算：．
6．（2025 南山区模拟）计算：．
7．（2025 珠海一模）计算：．
8．（2025 东莞市一模）计算：．
考向四：数轴
1．（2025 广东一模）如图，数轴上的点A，B，C，D表示的数与互为相反数的是（　　）
A．A B．B C．C D．D
2．（2025 天河区校级一模）如图，点A，B在数轴上表示的数互为相反数，且AB＝4，那么点A表示的数是（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．3
3．（2025 南山区一模）如图，数轴上点A表示的数是2023，OA＝OB，则点B表示的数是（　　）
A．2023 B．﹣2023 C． D．
4．（2025 蓬江区校级一模）点O、A、B、C在数轴上的位置如图所示，点O为原点，AO＝1，CO＝2AB，若点B所表示的数为b，则点C所表示的数为（　　）
A．﹣2b+2 B．﹣2b﹣2 C．2b﹣2 D．2b+2
5．（2025 南海区校级模拟）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论成立的是（　　）
A．a＜0 B．b＞0 C．a＞0 D．a＜b
6．（2025 东莞市校级模拟）如图，点A，B为数轴上的两个点，点O为原点，若OA＝OB，则点A，B所对应的数a，b满足的数量关系不正确的是（　　）
A．a+b＝0 B．a﹣b＝0 C．a＝﹣b D．|a|＝|b|
7．（2025 罗湖区校级一模）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，这三个实数中绝对值最小的是（　　）
A．a B．b C．c D．无法确定
7．（2025 肇庆一模）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则（　　）
A．a＝b B．a﹣b＞0 C．a2＜b2 D．|a|＞|b|
考向五：整式的运算
1．（2025 尉氏县一模）下列计算正确的是（　　）
A．b2+b3＝b5 B．2a3b÷b＝2a3
C．（2a2）3＝6a6 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
2．（2025 惠州模拟）下列运算正确的是（　　）
A．x﹣2x＝x B．x（x+3）＝x2+3
C．（﹣2x2）3＝﹣8x6 D．3x2 4x2＝12x2
3．（2025 南京模拟）下列运算正确的是（　　）
A．2a3+3a2＝5a5 B．（﹣a）2+a2＝0
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．3a3b2÷a2b＝3ab
4．（2025 惠州一模）下列运算正确的是（　　）
A．2a 3a＝6a B．（a﹣2）2＝a2﹣4
C．（﹣ab）2＝﹣ab2 D．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1
5．（2025 济南模拟）下列计算正确的是（　　）
A．（a3）5＝a15 B．a3 a5＝a15
C．（a+b）2＝a2+b2 D．a3+a5＝a8
6．（2025 成都模拟）下列计算正确的是（　　）
A．x3y4÷y3＝x3y
B．（4x2y）2＝8x4y2
C．（2x+y）（2x﹣y）＝4x2+y2
D．（x+3y）2＝x2+6xy+3y2
7．（2025 江城区一模）先化简，再求值：（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b），其中a＝﹣1，b＝2．
8．（2025 南海区一模）求值：（a+1）2﹣（a﹣2）（a﹣3），其中．
考向六：数的估算
1．（2025 高州市一模）估计的值在（　　）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
2．（2025 江海区校级一模）若a﹣1a，且a为整数，则a的值是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2025 兴宁市校级一模）已知m，则实数m的范围是（　　）
A．2＜m＜3 B．3＜m＜4 C．4＜m＜5 D．5＜m＜6
4．（2025 电白区模拟）估计的值应该在（　　）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
5．（2025 东莞市一模）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（　　）
A． B． C． D．
6．若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（　　）
A． B．3 C． D．﹣3
7．（2025 香洲区校级一模）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2025 南沙区二模）实数与数轴上的点一一对应，请观察如图所示的数轴，无理数1在数轴上对应的点可能是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
考向七：因式分解
1．（2025 南京模拟）分解因式4x2﹣16的结果是 　 　 ．
2．（2025 四川模拟）分解因式：7x4﹣7x2＝　 　 ．
3．（2025 尤溪县一模）因式分解：2a2﹣18＝　 　 ．
4．（2025 滕州市一模）分解因式：4ax2﹣16ay2＝　 　 ．
5．（2025 长沙一模）将多项式ax2﹣4ax+4a分解因式为　 　 ．
6．（2025 阳新县二模）因式分解：a3﹣6a2+9a＝　 ．
7．（2025 荆州模拟）分解因式：3ax2﹣12axy+12ay2＝　 ．
8．（2025 深圳模拟）若a+b＝2，则a2+b2+2ab＝　 　 ．
9．（2025 电白区模拟）因式分解：4x2﹣4x+1＝　 　 ．
10．分解因式：（a+1）2﹣2a﹣2＝　 　．
考向八: 分式的运算
1．（2025 汇川区二模）化简的结果是（　　）
A．1 B．﹣1 C．3 D．
2．化简的结果是（　　）
A．﹣2a+b B．﹣2a﹣b C．2a+b D．2a﹣b
3．（2025 广东模拟）下列计算结果不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．计算：　 　 ．
5．化简：　 ．
6．（2025 南海区一模）化简　 　 ．
7．（2025 坪山区模拟）先化简，再求值.，其中x＝2．
8．（2025 罗湖区模拟）先化简，再求值：，其中a＝1，2，3中选取一个合适的数代入求值．
9．（2025 白云区校级模拟）化简求值：，其中a2﹣4a+3＝0．
10．（2025 增城区模拟）先化简，再求值：，其中a是方程x2﹣x﹣2＝0的根．
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冲刺2025中考数学【抢分押题】
专题训练01：数与式
押题解读
猜押考向 考情分析 押题依据 难度
科学记数法 近三年必考. 2025年模拟卷延续了类似考点. 容易
实数的相关概念 基础题，相反数、绝对值，常考实际生活中的相反意义量 延续基础题考查，结合 生活场景命题. 容易
实数的运算 基础计算题，涉及零指数幂、特殊锐角三角函数、算术平方根等运算. 延续基础运算考查，可能结合负指数幂、绝对值等综合命题. 容易
数轴 数轴表示. 高频考点，需注意方向变化 容易
整式的运算 单项式乘法法则直接应用. 基础运算能力考查，注意符号与指数 容易
数的估算 常考基础题型. 数的估算问题以基础性为主，稳定中凸显变化，变化中追求创新，突出根式运算. 容易
因式分解 主要考查公式应用基本问题. 常以填空题、选择题或化简求值题的形式. 容易
分式的运算 同分母分式运算，直接运用运算法则. 代数运算基础，可能升级为异分母分式或化简求. 容易
考向一 科学记数法
1．（2025 福田区模拟）DeepSeek﹣V3是一款基于混合专家（MoE）架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，DeepSeek的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（　　）
A．6.71×1012 B．6.71×1011 C．67.1×1010 D．671×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：6710亿＝671000000000＝6.71×1011．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（2025 南山区校级一模）截至3月17日，动画电影《哪吒之魔童闹海》全球总票房（含港澳台及海外）突破15100000000元，位居全球影史票房第5位．数据15100000000用科学记数法表示为（　　）
A．1.51×109 B．15.1×109
C．0.151×1011 D．1.51×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：15100000000＝1.51×1010．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2025 福田区校级一模）2025年，深圳“智能医疗数据中心”正式投入使用，该中心每天处理的医疗影像数据量达到了4.8千万张，如果用科学记数法表示深圳“智能医疗数据中心”每天处理的医疗影像数据总量，选项正确的是（　　）
A．4.8×104 B．4.8×105 C．4.8×106 D．4.8×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：4.8千万＝48000000＝4.8×107，
故选：D．
【点评】本题主要考查科学记数法的表示方法．熟练掌握该知识点是关键．
4．（2025 深圳校级模拟）宋朝 杨万里有诗曰：“只道花无十日红，此花无日不春风．一尖已剥胭脂笔，四破犹包翡翠茸”．月季被誉为“花中皇后”，月季也是南阳市的市花，具有非常高的观赏价值．某品种的月季花粉直径约为0.0000352米，则数据0.0000352用科学记数法表示为（　　）
A．3.52×10﹣5 B．0.352×10﹣5
C．3.52×10﹣6 D．35.2×10﹣6
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：0.0000352＝3.52×10﹣5．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（2025 惠州一模）“沉睡数千年，一醒惊天下”，三星堆遗址在5号坑提取的牙雕制品，最细微处仅为0.00005米，该数据用科学记数法表示为（　　）
A．0.5×10﹣3 B．5×10﹣4 C．5×10﹣5 D．50×10﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00005＝5×10﹣5，
故选：C．
【点评】本题主要考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
6．（2024秋 安康期末）在科研人员的不懈努力下，我国成功制造出了“超薄钢”，打破了日德垄断．据悉，该材料的厚度仅有0.000015米，将数据0.000015用科学记数法表示为（　　）
A．1.5×10﹣5 B．1.5×10﹣4 C．15×10﹣4 D．0.15×10﹣6
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：0.000015＝1.5×10﹣5．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
7．（2025 潮南区校级三模）清代诗人袁枚创作了一首诗《苔》：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”歌颂了苔在恶劣环境下仍有自己的生命意向．若苔花的花粉粒直径约为0.0000084米，用科学记数法表示为（　　）
A．0.84×10﹣5 B．8.4×10﹣6 C．84×10﹣7 D．8.4×10﹣8
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，由此即可得到答案．
【解答】解：0.0000084米＝8.4×10﹣6米．
故选：B．
【点评】本题考查科学记数法—表示较小的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．
8．（2025 龙湖区校级一模）中国信息通信研究院测算，2020～2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（　　）
A．10.6×104 B．1.06×1013 C．10.6×1013 D．1.06×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：10.6万亿＝106000 0000 0000＝1.06×1013．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
考向二：实数的相关概念
1．（2025 连州市一模）﹣2025的相反数是（　　）
A．2025 B． C．﹣2025 D．
【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．
【解答】解：﹣2025的相反数是2025．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．
2．（2025 惠州一模）中国古代数学著作《九章算术》最早提到了负数，的倒数是（　　）
A．2025 B．﹣2025 C． D．
【分析】乘积是1的两个数互为倒数，由此计算即可．
【解答】解：的倒数是﹣2025，
故选：B．
【点评】本题考查了倒数，数学常识，熟练掌握互为倒数的定义是解题的关键．
3．（2025 福田区校级一模）﹣2025的绝对值是（　　）
A．﹣2025 B．2025 C． D．
【分析】根据绝对值的定义即可解决问题．
【解答】解：由题知，
﹣2025的绝对值是2025．
故选：B．
【点评】本题主要考查了绝对值，熟知绝对值的定义是解题的关键．
4．（2025 清城区一模）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家，若零上10℃记作+10℃，则零下5℃记作（　　）
A．+5℃ B．﹣5℃ C．+15℃ D．﹣15℃
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：“正”和“负”相对，所以，若零上10℃记作+10℃，则零下5℃记作﹣5℃．
故选：B．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．
5．（2025 高州市一模）下列各数中，是负数的是（　　）
A．﹣（﹣2） B．（﹣2）2 C．|﹣2| D．﹣2
【分析】先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断．
【解答】解：A．﹣（﹣2）＝2＞0，是正数，故A选项错误；
B．（﹣2）2＝4＞0，是正数，故B选项错误；
C．|﹣2|＝2＞0，是正数，故C选项错误；
D．﹣2＜0，是负数，故D选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数．
6．（2025 南山区一模）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，根据刘徽的这种表示法，图1可列式计算为（+1）+（﹣1）＝0，由此可推算图2中计算所得的结果为（　　）
A．+1 B．+7 C．﹣1 D．﹣7
【分析】根据图示得出两个数，然后再进行求和得出答案．
【解答】解：由题意得：（+3）+（﹣4）＝﹣1，
故选：C．
【点评】本题主要考查的是有理数的加法与阅读理解型，属于基础题型．理解题意是解题的关键．
7．（2025 东莞市一模）下列计算结果为0的是（　　）
A．3﹣（﹣3） B．﹣|﹣3|﹣3
C．1+（﹣1）2005 D．﹣22﹣（﹣2）2
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：3﹣（﹣3）＝3+3＝6，故选项A不符合题意；
﹣|﹣3|﹣3＝﹣3﹣3＝﹣6，故选项B不符合题意；
1+（﹣1）2005＝1+（﹣1）＝0，故选项C符合题意；
﹣22﹣（﹣2）2＝﹣4﹣4＝﹣8，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
8．（2025 坪山区模拟）在中，最小的实数是（　　）
A． B．0 C．﹣π D．﹣3
【分析】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解答】解：∵﹣π＜﹣3＜0，
∴最小的数是：﹣π．
故选：C．
【点评】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．
考向三：实数的运算
1．（2025 市中区二模）计算：．
【分析】先根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的运算法则计算，再合并即可．
【解答】解：
＝4
＝4
＝2．
【点评】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
2．（2025 雁塔区校级一模）计算：．
【分析】先根据立方根、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值的性质计算，再合并即可．
【解答】解：
＝3﹣2
＝﹣7．
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
3．（2025 长沙一模）计算：．
【分析】先根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、零指数幂的运算法则计算，再合并即可．
【解答】解：
＝2﹣2×1
＝2﹣21+1
．
【点评】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4．（2025秋 湖北模拟）计算：．
【分析】先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值计算，再合并即可．
【解答】解：
＝3．
【点评】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，正确计算是解题的关键．
5．（2025 坪山区模拟）计算：．
【分析】先计算乘方，并把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，最后计算加减即可．
【解答】解：
＝8．
【点评】本题考查实数的混合运算，熟练掌握零指数幂与负整指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值是解题的关键．
6．（2025 南山区模拟）计算：．
【分析】先根据算术平方根、零指数幂、有理数的乘方、负整数指数幂的运算法则计算，再根据有理数加减法则计算即可．
【解答】解：
＝2+1﹣（﹣1）+9
＝2+1+1+9
＝13．
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
7．（2025 珠海一模）计算：．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：
＝21+24
＝214
＝5．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
8．（2025 东莞市一模）计算：．
【分析】利用零指数幂的意义，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值，绝对值的意义和二次根式的性质解答即可．
【解答】解：原式＝1+（﹣2）﹣222
＝1．
【点评】本题主要考查了零指数幂的意义，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值，绝对值的意义和二次根式的性质，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
考向四：数轴
1．（2025 广东一模）如图，数轴上的点A，B，C，D表示的数与互为相反数的是（　　）
A．A B．B C．C D．D
【分析】根据相反数的定义和数轴的定义即可得出答案．
【解答】解：∵的相反数是，
∴表示的数与互为相反数的是点D．
故选：D．
【点评】本题主要考查了相反数和数轴，由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
2．（2025 天河区校级一模）如图，点A，B在数轴上表示的数互为相反数，且AB＝4，那么点A表示的数是（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．3
【分析】根据数轴上的点所表示数的特征及相反数的定义即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为点A，B在数轴上表示的数互为相反数，
所以点A表示的数与点B表示的数之和为0．
又因为AB＝4，且点A在原点左侧，
所以点A表示的数为﹣2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了数轴及相反数，熟知数轴上的点所表示数的特征及相反数的定义是解题的关键．
3．（2025 南山区一模）如图，数轴上点A表示的数是2023，OA＝OB，则点B表示的数是（　　）
A．2023 B．﹣2023 C． D．
【分析】结合已知条件，根据实数与数轴的对应关系即可求得答案．
【解答】解：∵OA＝OB，点A表示的数是2023，
∴OB＝2023，
∵点B在O点左侧，
∴点B表示的数为：0﹣2023＝﹣2023，
故选：B．
【点评】本题主要考查实数与数轴的对应关系，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
4．（2025 蓬江区校级一模）点O、A、B、C在数轴上的位置如图所示，点O为原点，AO＝1，CO＝2AB，若点B所表示的数为b，则点C所表示的数为（　　）
A．﹣2b+2 B．﹣2b﹣2 C．2b﹣2 D．2b+2
【分析】根据AO＝1，得出点A表示的数为﹣1，再根据数轴上两点之间的距离公式进行计算即可．
【解答】解：因为AO＝1，所以点A表示的数为﹣1，所以AB＝b﹣（﹣1）＝b+1，所以CO＝2AB＝2b+2，所以点C表示的数为﹣（2b+2）＝﹣2b﹣2，
故选：B．
【点评】本题主要考查了数轴，根据线段的和差关系及各数的取值是解答本题的关键．
5．（2025 南海区校级模拟）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论成立的是（　　）
A．a＜0 B．b＞0 C．a＞0 D．a＜b
【分析】根据数轴上点的位置可得b＜0＜a，|b|＞|a|，据此分析判断即可．
【解答】解：由题意得：b＜0＜a，|b|＞|a|，
∴a＞0，b＜0，a＞b．
∴四个选项只有选项C符合题意，
故选：C．
【点评】本题主要考查了有理数与数轴，正确得到b＜0＜a，|b|＞|a|是解题的关键．
6．（2025 东莞市校级模拟）如图，点A，B为数轴上的两个点，点O为原点，若OA＝OB，则点A，B所对应的数a，b满足的数量关系不正确的是（　　）
A．a+b＝0 B．a﹣b＝0 C．a＝﹣b D．|a|＝|b|
【分析】由点O为原点，OA＝OB，即可得a+b＝0，a﹣b＜0，a＝﹣b，|a|＝|b|．
【解答】解：由点O为原点，OA＝OB，
得a+b＝0，a﹣b＜0，a＝﹣b，|a|＝|b|．
故选：B．
【点评】本题主要考查了数轴，解题关键是数形结合思想的正确应用．
7．（2025 罗湖区校级一模）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，这三个实数中绝对值最小的是（　　）
A．a B．b C．c D．无法确定
【分析】根据数轴得出3＜|c|＜4，1＜|b|＜2，0＜|a|＜1，由此得出绝对值最小的是a
【解答】解：∵3＜|c|＜4，1＜|b|＜2，0＜|a|＜1，
∴这三个实数中绝对值最小的是a，
故选：A．
【点评】本题考查了实数大小比较，绝对值，实数与数轴，掌握实数大小比较是解题的关键．
7．（2025 肇庆一模）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则（　　）
A．a＝b B．a﹣b＞0 C．a2＜b2 D．|a|＞|b|
【分析】根据数轴可知：﹣1＜a＜0，1＜b，由此判断各选项即可．
【解答】解：由数轴可知：﹣1＜a＜0，1＜b，
A、a≠b，故选项A不符合题意；
B、﹣b＜﹣1，∴a﹣b＜0，故选项B不符合题意；
C、1＜a2＜0，b2＞1，∴a2＜b2，故选项C符合题意；
D、0＜|a|＜1，|b|＞1，∴|a|＜|b|，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是实数与数轴，熟练掌握数轴上各点的分布特点是解题的关键．
考向五：整式的运算
1．（2025 尉氏县一模）下列计算正确的是（　　）
A．b2+b3＝b5 B．2a3b÷b＝2a3
C．（2a2）3＝6a6 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【分析】根据合并同类项的方法可以判断A；根据单项式除以单项式可以判断B；根据积的乘方可以判断C；根据完全平方公式可以判断D．
【解答】解：b2+b3不能合并，故选项A错误，不符合题意；
2a3b÷b＝2a3，故选项B正确，符合题意；
（2a2）3＝8a6，故选项C错误，不符合题意；
（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
2．（2025 惠州模拟）下列运算正确的是（　　）
A．x﹣2x＝x B．x（x+3）＝x2+3
C．（﹣2x2）3＝﹣8x6 D．3x2 4x2＝12x2
【分析】根据合并同类项的法则，单项式乘多项式，单项式乘单项式的法则，幂的乘方与积的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、x﹣2x＝﹣x，故A不符合题意；
B、x（x+3）＝x2+3x，故B不符合题意；
C、（﹣2x2）3＝﹣8x6，故C符合题意；
D、3x2 4x2＝12x4，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3．（2025 南京模拟）下列运算正确的是（　　）
A．2a3+3a2＝5a5 B．（﹣a）2+a2＝0
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．3a3b2÷a2b＝3ab
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式＝a2+a2＝2a2，不符合题意；
C、原式＝a2﹣2ab+b2，不符合题意；
D、原式＝3ab，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则及完全平方公式是解本题的关键．
4．（2025 惠州一模）下列运算正确的是（　　）
A．2a 3a＝6a B．（a﹣2）2＝a2﹣4
C．（﹣ab）2＝﹣ab2 D．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：2a 3a＝6a2，故选项A错误，不符合题意；
（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，故选项B错误，不符合题意；
（﹣ab）2＝a2b2，故选项C错误，不符合题意；
（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
5．（2025 济南模拟）下列计算正确的是（　　）
A．（a3）5＝a15 B．a3 a5＝a15
C．（a+b）2＝a2+b2 D．a3+a5＝a8
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：（a3）5＝a15，故选项A正确，符合题意；
a3 a5＝a8，故选项B错误，不符合题意；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选项C错误，不符合题意；
a3+a5不能合并，故选项D错误，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
6．（2025 成都模拟）下列计算正确的是（　　）
A．x3y4÷y3＝x3y
B．（4x2y）2＝8x4y2
C．（2x+y）（2x﹣y）＝4x2+y2
D．（x+3y）2＝x2+6xy+3y2
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：x3y4÷y3＝x3y，故选项A正确，符合题意；
（4x2y）2＝16x4y2，故选项B错误，不符合题意；
（2x+y）（2x﹣y）＝4x2﹣y2，故选项C错误，不符合题意；
（x+3y）2＝x2+6xy+9y2，故选项D错误，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
7．（2025 江城区一模）先化简，再求值：（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b），其中a＝﹣1，b＝2．
【分析】根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将a、b的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）
＝a2+2ab+b2﹣a2+b2
＝2ab+2b2，
当a＝﹣1，b＝2时，原式＝2×（﹣1）×2+2×22＝4．
【点评】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
8．（2025 南海区一模）求值：（a+1）2﹣（a﹣2）（a﹣3），其中．
【分析】根据完全平方公式和多项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将a的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：（a+1）2﹣（a﹣2）（a﹣3）
＝a2+2a+1﹣a2+3a+2a﹣6
＝7a﹣5，
当a时，原式＝7×（）﹣5＝﹣16．
【点评】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
考向六：数的估算
1．（2025 高州市一模）估计的值在（　　）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
【分析】求出的范围，即可得出答案．
【解答】解：∵，
∴34，
即在3到4之间，
故选：B．
【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，关键是确定的范围．
2．（2025 江海区校级一模）若a﹣1a，且a为整数，则a的值是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】先估算在哪两个整数之间，然后根据已知条件，求出a即可．
【解答】解：，即，
∵a﹣1a，
∴a＝4，
故选：A．
【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数的大小．
3．（2025 兴宁市校级一模）已知m，则实数m的范围是（　　）
A．2＜m＜3 B．3＜m＜4 C．4＜m＜5 D．5＜m＜6
【分析】先化简m的值，再运用算术平方根知识进行估算、求解．
【解答】解：m32，
∵，
∴34，
即实数m的范围是3＜m＜4，
故选：B．
【点评】此题考查了对无理数大小的估算能力，关键是能准确理解并运用算术平方根知识．
4．（2025 电白区模拟）估计的值应该在（　　）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【分析】先根据二次根式混合运算的法则进行计算，再运用估算无理数大小的方法进行求解即可．
【解答】解：∵原式2
2，
∵，
∴3，
∴2＜5，
∴估计的值应该在4和5之间，
故选：B．
【点评】本题考查的是估算无理数的大小和二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键．
5．（2025 东莞市一模）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】先估算出的范围，根据可得a，b的值，最后代入，利用分母有理化化简求值即可．
【解答】解：∵，
∴a＝1，，
∴，
故选：D．
【点评】本题考查了分母有理化，无理数的估算：求一个数的算术平方根在哪两个整数之间，就要看被开方数的值在哪两个相邻正整数的平方之间．
6．若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（　　）
A． B．3 C． D．﹣3
【分析】首先根据的整数部分，确定的整数部分x的值，则y即可确定，然后代入所求解析式计算即可求解．
【解答】解：∵9＜13＜16，
∴，即，
∴，即，
∴的整数部分为x＝2，小数部分为，
∴，
，
＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分x与小数部分y的值是关键．
7．（2025 香洲区校级一模）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．
【解答】解：∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，
∴大正方形的面积为：9+9＝18，
则大正方形的边长为：，
∵，
∴44.5，
∴大正方形的边长最接近的整数是4．
故选：B．
【点评】此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题关键．
8．实数与数轴上的点一一对应，请观察如图所示的数轴，无理数1在数轴上对应的点可能是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【分析】估算无理数的大小，进而得出1的取值范围，再根据数轴表示数的意义进行判断即可．
【解答】解：∵12，
∴21＜3，
而点D所表示的数大于2且小于3，
因此无理数1在数轴上对应的点可能是点D，
故选：D．
【点评】本题考查估算无理数的大小，实数与数轴，掌握算术平方根的定义，理解数轴表示数的意义是正确解答的关键．
考向七：因式分解
1．（2025 南京模拟）分解因式4x2﹣16的结果是 　 　 ．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：原式＝4（x2﹣4）
＝4（x2﹣22）
＝4（x﹣2）（x+2），
故答案为：4（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键．
2．（2025 四川模拟）分解因式：7x4﹣7x2＝　 　 ．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式提取公因式可得：
7x4﹣7x2
＝7x2（x2﹣1）
＝7x2（x+1）（x﹣1）．
故答案为：7x2（x+1）（x﹣1）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
3．（2025 尤溪县一模）因式分解：2a2﹣18＝　 　 ．
【分析】先进行提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：2a2﹣18
＝2（a2﹣9）
＝2（a+3）（a﹣3）．
故答案为：2（a+3）（a﹣3）．
【点评】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解．
4．（2025 滕州市一模）分解因式：4ax2﹣16ay2＝　 　 ．
【分析】先提取公因式4a，再根据平方差公式分解因式即可．
【解答】解：4ax2﹣16ay2
＝4a（x2﹣4y2）
＝4a（x+2y）（x﹣2y），
故答案为：4a（x+2y）（x﹣2y）．
【点评】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
5．（2025 长沙一模）将多项式ax2﹣4ax+4a分解因式为　 　 ．
【分析】原式提取a，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（x2﹣4x+4）
＝a（x﹣2）2，
故答案为：a（x﹣2）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
6．因式分解：a3﹣6a2+9a＝　 ．
【分析】先提公因式a，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2﹣6a+9）＝a（a﹣3）2，
故答案为：a（a﹣3）2．
【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
7．（2024 荆州模拟）分解因式：3ax2﹣12axy+12ay2＝　 ．
【分析】提公因式后利用完全平方公式计算即可．
【解答】解：原式＝3a（x2﹣4xy+4y2）
＝3a（x﹣2y）2，
故答案为：3a（x﹣2y）2．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
8．（2025 深圳模拟）若a+b＝2，则a2+b2+2ab＝　 　 ．
【分析】根据因式分解﹣完全平方公式，把a2+b2+2ab变形为（a+b）2，然后把a+b＝2代入计算即可．
【解答】解：∵a+b＝2，
∴a2+b2+2ab
＝（a+b）2
＝22
＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了因式分解的应用，掌握完因式分解﹣完全平方公式是解题的关键．
9．（2025 电白区模拟）因式分解：4x2﹣4x+1＝　 　 ．
【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出即可．
【解答】解：4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2．
故答案为：（2x﹣1）2．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
10．分解因式：（a+1）2﹣2a﹣2＝　 　．
【分析】将原式变形后利用提公因式法因式分解即可．
【解答】解：原式＝（a+1）2﹣2（a+1）
＝（a+1）（a+1﹣2）
＝（a+1）（a﹣1），
故答案为：（a+1）（a﹣1）．
【点评】本题考查提公因式法因式分解，将原式进行正确的变形是解题的关键．
考向八: 分式的运算
1．（2025 汇川区二模）化简的结果是（　　）
A．1 B．﹣1 C．3 D．
【分析】根据分式运算法则求解，即可获得答案．
【解答】解：．
故选：A．
【点评】本题主要考查了分式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
2．化简的结果是（　　）
A．﹣2a+b B．﹣2a﹣b C．2a+b D．2a﹣b
【分析】先将分式化成同分母，再计算分式的减法，最后化简分式即可．
【解答】解：原式
＝2a+b．
故选：C．
【点评】本题考查了分式的加减法运算，掌握分式的加减法运算法则是关键．
3．（2025 广东模拟）下列计算结果不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据分式的加减法的运算法则计算即可判断．
【解答】解：A、，原式计算正确，不符合题意；
B、，原式计算正确，不符合题意；
C、2，原式计算正确，不符合题意；
D、1，原式计算错误，符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查的是分式的加减法及分式的基本性质，同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
4．计算：　 　 ．
【分析】先把被除式的分母分解因式，再把除法化成乘法，然后进行约分即可．
【解答】解：原式
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了分式的乘除运算，解题关键是熟练掌握几种常见的分解因式的方法和分式的约分．
5．化简：　 ．
【分析】先把被除式分解因式，再把除法写成乘法运算的形式，然后约分即可．
【解答】解：原式
＝x2，
故答案为：x2．
【点评】本题主要考查了分式的乘除运算，解题关键是熟练掌握几种常见的分解因式的方法．
6．（2025 南海区一模）化简　 　 ．
【分析】先变形为，再根据同分母分式减法法则计算，再约分化简即可求解．
【解答】解：
＝m+n．
故答案为：m+n．
【点评】考查了分式的加减法，同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
7．（2025 坪山区模拟）先化简，再求值.，其中x＝2．
【分析】先化简分式，然后将x的值代入计算．
【解答】解：原式

，
当x＝2时，
原式．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键．
8．（2025 罗湖区模拟）先化简，再求值：，其中a＝1，2，3中选取一个合适的数代入求值．
【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算即可．
【解答】解：原式＝（）

，
由题意得：a≠1和2，
当a＝3时，原式．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
9．（2025 白云区校级模拟）化简求值：，其中a2﹣4a+3＝0．
【分析】先根据题意得出（a﹣2）2＝1，再代入代数式进行计算即可．
【解答】解：∵a2﹣4a+3＝0，
∴a2﹣4a+4＝1，
∴（a﹣2）2＝1，
原式＝（）

＝3．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
10．（2025 增城区模拟）先化简，再求值：，其中a是方程x2﹣x﹣2＝0的根．
【分析】先运用分式的运算法进行化简，再根据一元二次方程根的定义得到a的式子，整体代入即可求值．
【解答】解：
，
解方程x2﹣x﹣2＝0，得x1＝2，x2＝﹣1，
∵a≠±1，
∴x2＝﹣1不合题意，舍去，
∴把a＝x1＝2代入得，
原式．
【点评】本题考查了分式化简求值及解一元二次方程，熟练掌握分式运算法则是解题关键．
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