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2024-2025学年六年级下册数学典型培优专练通用版
专题02 差倍问题
【第一部分：知识梳理】
一、差倍问题概述
差倍问题是小学奥数中的一类重要问题，它主要考察的是学生对两个数之间差值和倍数关系的理解和应用能力。差倍问题的特点是已知两个数的差以及它们之间的倍数关系，要求求出这两个数。
二、差倍问题的解题步骤
1、理解题意：
仔细阅读题目，明确已知条件和所求问题。
识别出题目中的差与倍数关系。
2、确定“1倍量”：
在解答差倍问题时，首先要确定“1倍量”，也就是题目中提到的基准数量。
通常，“1倍量”是出现在“是”、“比”、“占”、“等于”等词语后面的那个量。
3、画线段图：
根据题目中的信息，画出线段图来表示两个数的差与倍数关系。
线段图可以帮助我们更直观地理解数量关系，并找出解题规律。
4、列式计算：
根据线段图和已知条件，列出数量关系式。
利用差倍问题的公式：差值 ÷ (倍数 - 1) = 较小的数（1倍量），求出较小的数。
再根据较小的数和倍数关系，求出较大的数。
三、差倍问题的公式
差倍问题的核心公式是：差值 ÷ (倍数 - 1) = 较小的数（1倍量）。通过这个公式，我们可以先求出较小的数，然后再根据倍数关系求出较大的数。
【第二部分：培优专练】
1．学校花坛里石榴花比月季花少56棵，月季花是石榴花的5倍，石榴花和月季花各多少棵？
2．一个两层书架，第一层有245本书，从第一层拿38本放到第二层后，第二层的书是第一层的2倍，第二层原来有多少本书？
3．小明和爸爸去摘苹果，爸爸摘的苹果的个数是小明摘的苹果的个数的5倍，如果爸爸给小明40个苹果，那么小明和爸爸摘的苹果的个数就一样多。小明和爸爸原来分别摘了多少个苹果？
4．某超市的电磁炉的价格恰好是一台豆浆机价格的4倍，电磁炉比豆浆机贵480元，一台电磁炉和一台豆浆机各多少元？
5．有甲、乙两袋盐，甲袋里有千克盐，如果从甲袋里取出千克盐放入乙袋，则两袋盐的质量相等，乙袋里原来有多少千克盐？
6．学校买来的足球的个数比篮球的个数多36个，足球的个数是篮球的1.6倍，篮球和足球各有多少个？
（1）画线段图整理题中的条件和问题。
（2）列方程解答。
7．一年一度的春季运动会即将开始。据了解，参加径赛运动员的人数是参加田赛运动员人数的1.8倍，田赛运动员人数比径赛少40人。参加田赛、径赛运动员各有多少人？
8．一个两层的书架，上层放的书是下层的3倍，如果把上层的书放90本到下层，则两层的书数量相等。原来上、下层各有书多少本？
9．一个双层书架，上层书的本数是下层的4倍，如果从上层搬60本放到下层，那么两层的本数正好相等。原来上、下两层各有图书多少本？（先画线段图表示出条件和问题，再解答）
10．商店里出售精装、平装两种集邮册，精装集邮册的售价比平装集邮册贵9.6元，是平装集邮册售价的1.8倍，这两种集邮册的售价分别是多少元？
11．甲桶油的质量是乙桶油的5倍，如果从甲桶中取出24千克倒入乙桶，那么两桶油的质量相等，原来甲、乙两桶油各重多少千克？
12．工地有两堆沙子，第一堆比第二堆多8.5吨，两堆各用去3吨后，第一堆是第二堆的2倍．原来两堆沙子各有多少吨？
13．小丁与小华去图书馆买书。小丁带的钱是小华的2倍，小华向小丁借了24元钱，两人把所有的钱都买了书。后来发现小华比小丁多用了4元钱。小华原来带了多少钱？
14．小红和爸爸一起称体重，爸爸比小红重48千克，且爸爸的体重正好是小红的3倍。小红和爸爸的体重各是多少千克？
15．书架分上下两层，下层图书本数是上层的1.8倍。如果把下层的8本移到上层，那么两层的本数同样多。原来上、下两层各有多少本？
16．少先队员参加植树活动，六年级植树的棵数是五年级的1.5倍，五年级比六年级少植树24棵，两个年级各植树多少棵？
17．花园里的玫瑰花比月季花少24盆，已知月季花的盆数是玫瑰花的4倍，问花园里的月季花和玫瑰花各有多少盆？
18．淘气的邮票张数是笑笑的3倍，笑笑的邮票张数比淘气的少90张，淘气和笑笑各有多少张邮票？
19．学校门口放有红、黄、蓝三种颜色的花。其中黄花的盆数最多，既是红花盆数的4倍，也是蓝花盆数的3倍，如果蓝花比红花多20盆，请问：学校门口一共有多少盆花？
20．甲仓库存粮是乙仓库的5倍。如果从甲仓库运12吨去乙仓库，两个仓库的存粮数就同样多。原来甲、乙两个仓库各有存粮多少吨？
21．公园里杨树的数量是柏树的4倍，杨树比柏树多210棵，杨树和柏树各有多少棵？
22．果园里的苹果树比橘树少399棵，橘树的棵数是苹果树的8倍。果园里橘树和苹果树各有多少棵？
23．2022年世界杯足球赛在卡塔尔举办，参赛的欧洲球队比非洲球队多8支，欧洲球队的数量是非洲球队的2.6倍。非洲球队有多少支？
24．学校举行义卖活动，甲班有书120本，乙班有书90本，两班卖出同样多后，甲班剩下的书刚好是乙班的4倍．两班各卖出多少本书？
25．一个篮球的价格比一个排球的价格贵69元，已知篮球的价格是排球的价格的4倍，求一个篮球和一个足球的价格。
26．六年级学生在学校科技知识竞赛中比五年级多得18分，六年级学生的得分是五年级的1.2倍。五、六年级学生各得了多少分？
27．有一个数，如果把它的小数部分扩大到原来的3倍再加上整数部分，这个数就变成了8.8；如果把它的小数部分扩大到原来的7倍再加上整数部分，这个数就变成了11.2。这个数是多少？
28．小鸡的数量是小鸭的3倍，小鸡比小鸭多24只。小鸡和小鸭分别有多少只？
29．学校体育器材室里足球的数量是篮球的一半，排球的数量是篮球的3倍。借出足球10个、篮球28个后，足球的数量与篮球的数量就相等了。学校体育器材室里原来有篮球多少个？
30．果园里种了一批苹果树和桃树，已知苹果树比桃树多1700棵，苹果树的棵数比桃树的3倍多200棵．苹果树和桃树各种了多少棵？
参考答案及试题解析
1．【答案】14棵，70棵。
【分析】根据题意，可知石榴花与月季花的差是56棵，月季花是石榴花的5倍，再根据差倍公式进一步解答即可。
【解答】解：由差倍公式可得：
石榴花有：56÷（5﹣1）
＝56÷4
＝14（棵）
月季花有：14×5＝70（棵）
答：石榴花有14棵，月季花有70棵。
【点评】根据题意，可以得出两个数的差和倍数关系，由差倍公式，差÷（倍数﹣1）＝较小数，较小数×倍数＝较大数，然后再进一步解答即可。
2．【答案】376本书。
【分析】用第一层的本数减去38本，可以计算出现在第一层的本数，再用现在第一层的本数乘2，可以计算出现在第二层的本数，最后用现在第二层的本数减去38，就可以计算出第二层原来有多少本书。
【解答】解：（245﹣38）×2﹣38
＝207×2﹣38
＝414﹣38
＝376（本）
答：第二层原来有376本书。
【点评】本题解题关键是掌握求一个数的几倍是多少用乘法计算，再利用逆推的方法计算出第二层原来有多少本书。
3．【答案】小明20个苹果，爸爸100个苹果。
【分析】爸爸摘的苹果的个数是小明摘的苹果的个数的5倍，可知爸爸摘的苹果的个数比小明摘的苹果的个数多（5﹣1）份；爸爸给小明40个苹果，那么小明和爸爸摘的苹果的个数就一样多，说明爸爸摘的苹果比小明摘的苹果多（40×2）个，用爸爸比小明摘的苹果多的个数除以爸爸比小明摘的苹果多的份数即是一份数，即小明摘的苹果的个数，然后用小明摘的苹果的个数乘5即是爸爸摘的苹果的个数。
【解答】解：40×2÷（5﹣1）
＝80÷4
＝20（个）
20×5＝100（个）
答：小明原来摘了20个苹果，爸爸原来摘了100个苹果。
【点评】本题考查了差倍问题的应用。
4．【答案】640元；160元。
【分析】把豆浆机的价钱看作1份，则电磁炉的价钱是4份，然后根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，计算出豆浆机的价钱，再用豆浆机的价钱乘4，计算出电磁炉的价钱。
【解答】解：480÷（4﹣1）
＝480÷3
＝160（元）
160×4＝640（元）
答：一台电磁炉640元，一台豆浆机160元。
【点评】本题考查差倍问题的解题方法，解题关键是找出题中的数量差和数量差所对应的倍数关系各是多少，然后根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，列式计算。
5．【答案】千克。
【分析】根据题意，从甲袋里取出千克盐放入乙袋，则两袋盐的质量相等，说明原来乙袋盐的质量比原来甲袋少2个千克，用原来甲袋盐的质量减去2个千克，即是原来乙袋盐的质量。
【解答】解：
（千克）
答：乙袋里原来有千克盐。
【点评】本题考查分数减法的意义及应用，掌握同分母分数减法的计算法则是解题的关键。
6．【答案】（1）；
（2）60个；96个。
【分析】由题可知：（1）把篮球的个数看作“1倍”的量，足球的个数相当于它的1.6倍，据此画出线段图，并标出相应的条件和问题。
（2）设篮球的个数为x个，据此按倍数关系用含有x的式子表示足球的个数，进而根据等量关系列出方程，最后再解方程即可。
【解答】解：（1）如图。
（2）设篮球有x个，则：
1.6x﹣x＝36
0.6x＝36
0.6x÷0.6＝36÷0.6
x＝60
足球：60+36＝96（个）
答：篮球有60个，足球有96个。
【点评】本题考查了用方程解决实际问题，此类问题的数量关系较为复杂，且未知数量至少两个。解答时首先要找准等量关系，再设要求的数量为未知数（用字母表示），然后按照等量关系列出方程，最后再按等式的性质求出方程的解即可。
7．【答案】50人；90人。
【分析】把参加田赛运动员人数看作1份数，再根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，求出参加田赛运动员人数，再用参加田赛运动员人数乘1.8，就可以计算出参加径赛运动员的人数。
【解答】解：40÷（1.8﹣1）
＝40÷0.8
＝50（人）
50×1.8＝90（人）
答：参加田赛运动员人数是50人，参加径赛运动员的人数是90人。
【点评】本题考查差倍问题的解题方法，解题关键是找出题中的数量差和数量差所对应的倍数关系各是多少，然后根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，列式计算。
8．【答案】270本；90本。
【分析】根据“把上层的书放90本到下层，则两层的书数量相等”，可以推算出上层的书比下层的书多2个90，再根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，列式计算。
【解答】解：（90×2）÷（3﹣1）
＝180÷2
＝90（本）
90×3＝270（本）
答：上层书有270本，下层书有90本。
【点评】本题考查差倍问题的解题方法，解题关键是找出题中的数量差和数量差所对应的倍数关系各是多少，然后根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，列式计算。
9．【答案】160本书，40本书。
【分析】由题意得等量关系式：上层原有书的数量﹣60＝下层原有书的数量+60，设出下层原有书的数量，则上层原有书的数量＝下层原有书的数量×4，列方程解答即可。
【解答】解：
设原来下层有x本书，则上层原有4x本书。
4x﹣60＝x+60
3x＝120
x＝40
上层原有书的数量为：40×4＝160（本）。
答：上层原有160本书，下层原有40本书。
【点评】解决本题的关键是找出等量关系式：上层原有书的数量﹣60＝下层原有书的数量+60，设出下层原有书的数量，用下层书的数量表示出上层书的数量，列方程解。
10．【答案】12元；21.6元。
【分析】本题考查的是差倍问题。
直接利用公式：差÷（倍数﹣1）＝较小数；较小数+差或较小数×倍数＝较大数。
【解答】解：平装：9.6÷（1.8﹣1）
＝9.6÷0.8
＝12（元）
精装：12+9.6＝21.6（元）
答：平装集邮册的售价是12元；精装集邮册的售价是21.6元。
【点评】本题考查的是差倍问题，根据差倍公式解答即可。
11．【答案】甲桶油重60千克，乙桶油重12千克。
【分析】根据题意画图理解如下：
把乙桶油的质量看作1份，甲桶油的质量看成这样的5份，甲桶油比乙桶油多5﹣1﹣4（份），甲桶油给乙桶油4÷2＝2（份），两桶油的质量相等。由题意可知2份油的质量是24千克，每份油是24÷2＝12（千克），即乙桶油是12千克，甲桶油是12×5＝60（千克）。据此解答。
【解答】解：5﹣1＝4（份）
4÷2＝2（份）
24÷2＝12（千克）
甲桶：12×5＝60（千克）
答：原来甲桶油重60千克，乙桶油重12千克。
【点评】本题考查了差倍问题的应用。
12．【答案】见试题解答内容
【分析】把第二堆剩下的吨数看做一倍的量，第一堆比第二堆多8.5吨，两堆各用去3吨后，仍然第一堆比第二堆多8.5吨，相当于第二堆剩下的2﹣1＝1倍，根据和倍公式求出第二堆剩下的吨数，再进一步解答即可．
【解答】解：8.5÷（2﹣1）+3
＝8.5+3
＝11.5（吨）
11.5+8.5＝20（吨）
答：第一堆原来有20吨，第二堆原来有11.5吨．
【点评】此题属于差倍问题，关键是求出数量差和倍数差；运用关系式：数量差÷（倍数﹣1）＝1倍数（较小数），1倍数（较小数）×倍数＝几倍数（较大数）．
13．【答案】44元。
【分析】设小华原来带了x元钱，则小丁带了2x元，根据等量关系：小华原来带的钱数+24＝小丁原来带的钱数﹣24+4，列方程解答即可。
【解答】解：设小华原来带了x元钱，则小丁带了2x元。
x+24＝2x﹣24+4
x+24＝2x﹣20
x＝44
答：小华原来带了44元钱。
【点评】本题主要考查了差倍问题，关键是根据等量关系列方程。
14．【答案】24千克；72千克。
【分析】把小红的体重看作1份，则爸爸的体重是3份，然后根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，计算出小红的体重，再用小红的体重乘3，计算出爸爸的体重。
【解答】解：48÷（3﹣1）
＝48÷2
＝24（千克）
24×3＝72（千克）
答：小红的体重是24千克，爸爸的体重是72千克。
【点评】本题考查差倍问题的解题方法，解题关键是找出题中的数量差和数量差所对应的倍数关系各是多少，然后根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，列式计算。
15．【答案】20本，36本。
【分析】把下层的8本移到上层时两层的数一样多，则下层比上层多（8×2）本；已知下层图书本数是上层的1.8倍，则两层书的数量之差是上层书的（1.8﹣1）倍，用除法计算即可得到上层书的数量；接下来，用上层书的数量乘1.8即可求出上层书的数量，据此解答。
【解答】解：8×2＝16（本）
16÷（1.8﹣1）
＝16÷0.8
＝20（本）
20×1.8＝36（本）
答：原来上层有20本，下层有36本。
【点评】找出题中数量之间的关系，根据数量之间的关系解决问题。
16．【答案】72棵，48棵。
【分析】根据题意，设五年级植树x棵，由“六年级植树的棵数是五年级的1.5倍”可知六年级植树1.5x棵，根据“五年级比六年级少植树24棵”可列等量关系式：六年级植树的棵数﹣五年级植树的棵数＝24，据此列方程解答。
【解答】解：设五年级植树x棵。
1.5x﹣x＝24
0.5x＝24
x＝48
48+24＝72（棵）
答：六年级植树72棵，五年级植48棵。
【点评】解答本题的关键是认真读题，根据已知条件和未知条件，找出等量关系式，即：六年级植树的棵数﹣五年级植树的棵数＝24。
17．【答案】32盆。8盆。
【分析】根据差倍公式：差÷（倍数﹣1）＝小数；小数+差或小数×倍数＝大数代入数值进行计算即可。
【解答】解：24÷（4﹣1）
＝24÷3
＝8（盆）
8×4＝32（盆）
答：月季花有32盆。玫瑰花有8盆。
【点评】本题考查差倍问题的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。
18．【答案】135张，45张。
【分析】根据差倍问题的计算公式可知：差÷（倍数﹣1）＝小数；小数+差或小数×倍数＝大数，代入数值进行计算即可。
【解答】解：90÷（3﹣1）
＝90÷2
＝45（张）
45×3＝135（张）
答：淘气与135张，笑笑有45张。
【点评】本题考查差倍问题的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。
19．【答案】380盆。
【分析】根据题意可知，蓝花与红花的差是20，黄花的朵数是红花的4倍，是蓝花盆数的3倍，由差倍公式解答即可。
【解答】解：根据题意和差倍公式可得：
红花的朵数是：20÷（ 4﹣3 ）×3
＝20÷1×3
＝20×3
＝60 （朵）
蓝花的朵数是：60+20＝80 （朵）
黄花的朵数是：60×4＝240 （朵）
60+80+240
＝140+240
＝380 （朵）
答：学校门口一共380盆花。
【点评】根据题意，知道黄花与红花与蓝花的差和倍数的关系，直接根据差倍公式求出黄花、红花、蓝花的朵数进而解答即可。
20．【答案】30吨，6吨。
【分析】如果从甲仓库运12吨去乙仓库，两个仓库的存粮数就一样，也就是原来甲比乙多2个12吨，即12×2＝24（吨），又因为甲仓库存粮是乙仓库的5倍，根据差倍公式进行解答。
【解答】解：（12×2）÷（5﹣1）
＝24÷4
＝6（吨）
6×5＝30（吨）
答：原来甲仓库存粮30吨，乙仓库存粮6吨。
【点评】本题考查了差倍问题，关键是得出原来甲比乙多多少吨。
21．【答案】280棵，70棵。
【分析】根据差÷（倍数﹣1）＝小数；小数×倍数＝大数，代入数值进行计算即可。
【解答】解：210÷（4﹣1）
＝210÷3
＝70（棵）
70×4＝280（棵）
答：杨树有280棵，柏树有70棵。
【点评】本题考查差倍问题的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。
22．【答案】苹果树有57棵，橘树有456棵。
【分析】因为橘树的棵数是苹果树的8倍，所以橘树的棵数比苹果树多（8﹣1）倍，多399棵，用除法计算即可得苹果树的棵数，再加399棵即可得苹果树的棵数。
【解答】解：399÷（8﹣1）
＝399÷7
＝57（棵）
57+399＝456（棵）
答：苹果树有57棵，橘树有456棵。
【点评】本题考查了差倍问题，关键是得出橘树的棵数比苹果树多（8﹣1）倍。
23．【答案】5支。
【分析】把非洲球队的支数看作“1份”，则欧洲球队的支数是“2.6份”，用欧洲球队比非洲球队多的支数除以多的份数即是非洲球队的支数，据此解答。
【解答】解：8÷（2.6﹣1）
＝8÷1.6
＝5
答：非洲球队有5支。
【点评】本题考查了简单的差倍问题以及整数小数复合运算的应用。
24．【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，两班卖出同样多后，甲班剩下的书刚好是乙班的4倍，设两班各卖出x本，由题意得：120﹣x＝（90﹣x）×4，解此方程即可．
【解答】解：设两班各卖出x本，由题意得：
120﹣x＝（90﹣x）×4
120﹣x＝360﹣4x
120﹣x+4x＝360﹣4x+4x
120+3x＝360
120+3x﹣120＝360﹣120
3x＝240
3x÷3＝240÷3
x＝80．
【点评】此题解答关键是找出等量关系，设未知数，列方程解答比较简便．
25．【答案】一个篮球92元，一个足球23元。
【分析】由“已知篮球的价格是排球的价格的4倍”把排球价钱看做1份，则篮球价格是4份，即篮球的价格比排球的价格多（4﹣1）份，用对应的数量除以对应的份数，即可求出其中的1份，进而求出篮球价格。
【解答】解：69÷（4﹣1）
＝69÷3
＝23（元）
23×4＝92（元）
答：一个篮球92元，一个足球23元。
【点评】此题属于差倍问题，明确篮球的价格比排球的价格多（4﹣1）份，多69元，是解答此题的关键。
26．【答案】90分，108分。
【分析】根据题干，设五年级学生得了x分，那么六年级得分就是1.2x分，则根据等量关系：六年级得分﹣五年级得分＝18分，列出方程解决问题。
【解答】解：设五年级学生得了x分，那么六年级得分就是1.2x分。
1.2x﹣x＝18
0.2x＝18
x＝90
1.2×90＝108（分）
答：五年级得分是90分，六年级得分是108分。
【点评】解答此题容易找出基本数量关系，由此列方程解决问题。
27．【答案】7.6。
【分析】根据题意，一个数的小数部分分别扩大到原来的7倍、3倍后，再分别加上整数部分，得到11.2和8.8，因为整数部分不变，所以（11.2﹣8.8）的差值是小数部分（7﹣3）倍的差值，用除法计算，即可求出这个数的小数部分；
已知小数部分扩大到原来的3倍后加上整数部分是8.8，用8.8减去这个数的小数部分的3倍，即是这个数的整数部分；最后合并整数部分和小数部分，得到原来的小数。
【解答】解：小数部分：
（11.2﹣8.8）÷（7﹣3）
＝2.4÷4
＝0.6
整数部分：8.8﹣0.6×3＝7
0.6+7＝7.6，即这个数是7.6。
答：这个数是7.6。
【点评】这是一道经典的差倍问题，根据题干弄清楚题意即可解答。
28．【答案】小鸡36只，小鸭12只。
【分析】设小鸭有x只，那么小鸡有3x只。则 3x﹣x＝24，求出x即可求出小鸭的只数，再求3x即可求出小鸡的只数。据此解答。
【解答】解：设小鸭有x只，那么小鸡有3x只。
3x﹣x＝24
2x＝24
2x÷2＝24÷2
x＝12
12×3＝36（只）
答：小鸡有36只，小鸭有12只。
【点评】本题考查了用列方程的方法解决差倍问题的方法。
29．【答案】36个。
【分析】根据足球的数量是篮球的一半，可知篮球的数量是足球的2倍，根据借出足球10个、篮球28个后，足球的数量与篮球的数量就相等了，可以推算出篮球比足球多的个数，然后根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，计算出足球的个数，再乘2，即可计算出篮球的个数。
【解答】解：（28﹣10）÷（2﹣1）
＝18÷1
＝18（个）
18×2＝36（个）
答：学校体育器材室里原来有篮球36个。
【点评】本题考查差倍问题的解题方法，解题关键是找出题中的数量差和数量差所对应的倍数关系各是多少，然后根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，列式计算。
30．【答案】见试题解答内容
【分析】已知苹果树的棵数比桃树的3倍多200，把桃树的棵数看作单位“1”，那么苹果树的棵数比桃树的3倍多200棵，又知道苹果树比桃树多1700棵，则桃树的2倍是（1700﹣200）棵，求出桃树的棵数就是（1700﹣200）÷2，然后再求苹果树的棵数．
【解答】解：桃树的棵数：
（1700﹣200）÷（3﹣1）
＝1500÷2
＝750（棵）
苹果树的棵数：
1700+750＝2450（棵）
答：桃树750棵，苹果树2450棵．
【点评】此题考查了整数的复合应用题，也可以列方程来解决问题，设桃树x棵，根据苹果树棵数一定即：x+1700＝3x+200，首先求出桃树750棵，然后加上1700，求出苹果树棵数，也可得解．
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