资源简介

2024-2025 学年江苏省徐州市高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数 = 1 + i，则 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.如图所示， △ ′ ′ ′是一平面图形的直观图，斜边 ′ ′ = 2，则这个平面图形的面积是( )
A. 22 B. 1 C. 2 D. 2 2
3.若 cos = 45， 是第三象限的角，则 sin +

4 =( )
A. 7 2 7 2 2 210 B. 10 C. 10 D. 10
4.△ 2的内角 、 、 的对边分别为 、 、 .已知 = 5， = 2， = 3，则 =( )
A. B. C. 2 D. 3
5 2.已知圆锥的底面周长为 6 ，其侧面展开图的圆心角为3 ，则该圆锥的高为( )
A. 6 2 B. 9 C. 3 D. 3 2
6.两个粒子 ， 从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为 = (1,0)， = (1, 3)，则
在 上的投影向量为( )
A. 1 14 B. 4 C. D.
7.若 sin + sin = 33 (cos cos )，且 ∈ (0, )， ∈ (0, )，则 等于( )
A. 2 3 B. 3 C. 3 D.
2
3
8.如图，在四边形 中， = 2, = 3, ∠ = 40 , ∠ = 80 . 、 分别为 、 的中点，则
的长为( )
第 1页，共 6页
A. 192 B. 3 2 C.
3 6 2
2 D. 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体可以是( )
A.四棱柱 B.四棱台 C.三棱柱 D.三棱锥
10.已知两个单位向量 ， 的夹角为 60°，则下列向量是单位向量的是( )
A. 3 ( + ) B. 1 C. + 1 D. 3 2 2
11.在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，给出下列命题，其中正确的命题为( )
A.若 > > ，则 sin > sin > sin
B.若 = 60， = 30， = 25°，则满足条件的△ 有两个
C.若 0 < tan tan < 1，则△ 是钝角三角形
D.存在角 ， ， ，使得 tan tan tan < tan + tan + tan 成立
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若复数 = 2 + ( + 1) ，其中 为虚数单位，则复数 的模为 ．
13 + .已知sin cos = 2，则 2 = ．
14.如图，矩形 中，AB = 2，AD = 1， 是矩形 内的动点，且点 到点 距离为 1，则PC PD的最
小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
第 2页，共 6页
已知 ， 为平面向量，且 = ( 2,1)．
(1)若 与 方向相同，且 = 2 5，求向量 的坐标；
(2)若 = (3,2)，且 与 + 2 垂直，求实数 值.
16.(本小题 15 分)
(1)若复数 = 2 2 + ( 2 3 4) (其中 ∈ )为纯虚数，求 的值；
(2) 1+2 已知 = 3 4 ，求 ；
(3)已知 2 3 是关于 的一元二次实系数方程 2 + + = 0 的一个根，求实数 , 的值．
17.(本小题 15 分)
2 2
已知 ∈ 2 , 0 ， ∈ 2 , ，且 sin = 10，tan = 11．
(1)求 cos 2 + 4 ；
(2)求角 + 2 的大小．
18.(本小题 17 分)
△ 3 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 = 3，sin( + 3 ) = 2 ， + = 2 6 ．
(1)求△ 外接圆的直径；
(2)求△ 的面积．
19.(本小题 17 分)
如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段 ， 和以 为直径的半圆弧 组成，其中 为 2 百米， ⊥
，∠ 为 .若在半圆弧 3 ，线段 ，线段 上各建一个观赏亭 ， ， ，再修两条栈道 ， ，使 / / ，
// . 记∠ = ，且 ∈ [ 3 , 2 )．
(1)试用 表示 的长；
(2)试确定点 的位置，使两条栈道长度之和最大．
第 3页，共 6页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 102
13.35
14.2 2 2
15.解：(1)由 与 共线同向，可设 = ( 2 , )， > 0，
∴ | | = ( 2 )2 + 2 = 2 5，
解得 = 2 或 = 2(舍);
所以 = ( 4,2);
(2) ∵ = ( 2,1), = (3,2)，
∴ = ( 2 3, 2), + 2 = (4,5)，
∵ 与 + 2 垂直，
∴ ( ) ( + 2 ) = 0 4( 2 3) + 5( 2) = 0 = 22，即 ，解得 3．
16.解：(1)因为复数 为纯虚数，
2
所以 2 = 02 所以 = 2； 3 4 ≠ 0
(2)由 = 1+2 1+2 3+4 1 2 1 23 4 = 3 4 3+4 = 5 + 5 ， 得 = 5 5 ；
(3)把 2 3 代入方程 2 + + = 0 中，得到( 5 + 2 + ) (12 + 3 ) = 0．
即 5+ 2 + = 0 且 12 + 3 = 0， 解得 = 4， = 13．
第 4页，共 6页
17.解：(1) ∵ ∈ 2 , 0
2 1
，sin = 10 > 2 = sin

6 ，∴ ∈

6 , 0
2
∴ cos = 1 2 = 1 2 7 210 = 10 ，
∴ cos2 = 1 2 2 = 1 1 = 24 sin2 = 2sin cos = 725 25， 25，
∴ cos (2 + 4 ) = cos 2 cos
31 2
4 sin 2 sin 4 = 50 ；
(2) ∈ 2 , ，tan =
2 1
11，由(1)得 tan = 7，tan = tan + =
tan +tan
1 tan tan =
211 +
1
7 1
1 2 × 1
= 3，
11 7
∵ tan = 1 > 3 = tan 5 5 3 3 6，∴ ∈ 6 , ，
2tan
2
3
由倍角公式得 tan2 = 31 2 = 1 1
= 4，
9
1 3
∴ tan + 2 = tan +tan2 = 7 41 tan tan2 = 1，1 1 37 4
(1) ∈ 5 由 得 6 , 0 ，且 ∈ 6 ,
∴ + 2 ∈ 3 2 , 2 ，
∴ + 2 = 7 4．
18.解：(1)因为在△ 中，sin( + 3 3 ) = 2 ，
3sin
所以由正弦定理得 sin( + 3 ) = 2sin ，
即 2 ( 3 +

3 ) = 3 ，
因为 = ( + )，
所以 sin sin + 3cos sin = 3sin cos + 3cos sin ，
所以 sin sin = 3sin cos ，因为 ≠ 0，
所以 tan = 3 ，因为 0 < < ，所以 = 3，
因为 = 3 3，所以由正弦定理得到△ 外接圆的直径为sin = 3 = 2 3；
2
(2)根据正弦定理得 sin = 2 3，sin = 2 3，
sin + sin = 2 6sin sin ，
∴ 2 3 + 2 3 = 2 6 2 3 2 3，
第 5页，共 6页
∴ + = 2 ;
∵ 2 = 9 = 2 + 2 2 cos = ( + )2 3 ，
所以 2( )2 3 9 = 0，(2 + 3)( 3) = 0，
解得 = 3 = 3或 2 (舍去)，
1 3 3△ = 2 sin = 4 ，
∴△ 3 3的面积为 4 ．
19.解：(1)连结 ．
在△ 中， 为 2(百米) ， ⊥ ，∠ 为3，
所以∠ = 6， = 4， = 2 3，
因为 为直径，所以∠ = 2，
所以 = = 2 3 (百米).
(2) 在△ 中，∠ = + 6，∠ = 3， = 2 3 ，

所以 ( + ) =
= ，
6 (

2 ) ∠

所以 = 4 ( 6 + )，且 = 4
2 ，
因为 / / ， / / ，
所以 = = 4 4 2 ，

所以 + = 4 4 2 + 4 ( 6 + )
= 3 2 2 + 3 = 2 sin(2 6 ) + 3，

因为3 ≤ <
5
2，所以2 ≤ 2 6 < 6，
所以当 2 6 = 2，即 = 3时， + 有最大值 5 百米，此时 与 重合．
第 6页，共 6页

展开更多......

收起↑