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2024-2025学年六年级下册数学典型培优专练通用版
专题05 筛选与枚举问题
【第一部分：知识梳理】
一、筛选法
1、概念：筛选法是一种通过根据题目的条件，先求出所有可能的答案（或范围），然后进行检验，排除所有不正确的答案，从而找到题目的正确答案的解题方法。
2、适用场景：筛选法适用于可能答案为有限个或可以确定答案范围的数学问题。
3、解题步骤：
（1）先根据一部分条件求出所有可能的答案（或范围）。
（2）然后根据另一部分条件检验，排除不合适的答案。
二、枚举法
1、概念：枚举法（或穷举法）是一种将问题中所有可能的情况全部列举出来，逐个进行讨论的方法。
2、注意事项：
（1）枚举时，应注意考虑要全面，不要遗漏。
（2）枚举时，还应注意分类。分类的标准不同，情况也不一定相同，讨论的过程也会有差异。
3、解题技巧：
（1）在用枚举法时，一定要出问题的本质，按照一定的规律去设计枚举的形式。
（2）可以采用逆向思维，把复杂的正面枚举改为简单的反面枚举。
【第二部分：培优专练】
1．小美准备把16元零花钱全部用来买圆珠笔和笔记本，每支圆珠笔3元，每本笔记本2元，她有哪几种可能的购买方法？（用列表法进行解答）
2．商店里有三种茶杯，价钱分别是15元、18元、20元；有2种茶盘，价钱分别是10元、20元。如果买一个茶杯配一个茶盘，可能会花多少元钱？写出所有的可能。
3．小白兔去旅游，兔妈妈为它准备了一些水果。现有桃、梨和苹果3种水果，要求最少带一种，最多带3种，共有多少种不同的带法？请一一列举。
4．李老师买下面的文具用了48元，有几种可能的购买方法？
5．巧巧有5元和10元面值的人民币各6张。她要买这样的书包，有几种恰好35元的付法？
6．王老师和李老师带领36名学生去东台市素质教育实践基地参加实践活动，晚上住宿有6人间和4人间，如果规定每间都住满，先在表中列举出所有不同的可能，再填空。
6人/间
　 　
　 　
　 　
4人/间
　 　
　 　
　 　
一共有 　 　种住宿方法。
7．一种巧克力有4块装和6块装两种不同包装，刘老师要买50块巧克力，一共有多少种不同的买法？请用列举法进行说明。
8．3个老师带27个同学去乘船游玩，规定每条大船可坐7人，每条小船可坐4人，怎样租船可以使每条所租的船刚好坐满？
9．乐乐妈妈有10元和5元面值的人民币各10张，如果买一条60元的裙子，你能帮乐乐妈妈想出两种以上的付钱方案吗？
10．超市现有4节装和6节装两种不同包装的电池。要购买26节这种电池，可以有多少种不同的买法？请你用合适的方式把所有不同的买法都列举出来吧。
11．李老师准备了一架天平，有1克，2克，5克的砝码各1个。他能用这些砝码称出多少种质量不同的物品？（只能在天平右边放砝码）
12．如图是食堂为同学们准备的早餐，如果选一种饮品和两种点心，有多少种不同的搭配？把每种搭配方案写出来。（用序号表示）
13．一种钢笔有6支/盒和8支/盒两种不同的包装，王老师要买56支钢笔，有多少种不同的买法？用表格方式记录所有买法。
14．仓库有10吨大米要运往灾区，如果每次每辆车都装满，怎么样派车能恰好把这10吨大米运完？（大货车载重量4吨，小货车载重量2吨）
方案 大货车（4吨） 小货车（2吨） 运米吨数
① 0辆
②
③
④
15．强强和红红一起分吃了8块巧克力。强强说：“我们都吃了，我吃得比红红多。”红红说：“我们每人吃的块数不同。”你知道他俩共有几种不同的吃法吗？
16．小刚和朋友一起做套圈游戏，地上放了许多小狗、小鹿和小猴玩具，套中小狗得8分，套中小鹿得6分，套中小猴得4分。小刚套中两次可能得多少分？（可重复套中）
17．夏明有如图所示的4枚邮票，用这些邮票能付多少种不同的邮资？
18．有人民币10元、5元、1元、2角各一张，每次取两张人民币，取出的钱共有哪几种情况？请写出来。
19．王可家一共摘了30千克枣子，可以用下面两种规格的盒子装。如果每个盒子都装满，那么可以怎样装才刚好装完？
20．一种钢笔有6支装和8支装两种不同的包装。张老师要买46支钢笔作为学生奖品，一共有多少种不同的买法？用表格记录。
21．小丽有4张10元面值的人民币和8张5元面值的人民币，如果要买一个40元的玩具，有几种恰好付给40元的方案？
22．把5个相同的毛绒小熊全部分给芳芳、媛媛、玲玲三个小朋友，每人至少分1个，可以怎么分？列表解答。
23．有一个1元硬币、2个5角硬币和10个1角硬币，要买一本1元的练习本，一共有多少种付钱方法？请你一一列举出来再回答。
口答：一共有 　 　种付钱方法。
24．育才小学三年一班28名同学准备租船游湖，小船限坐4人，大船限坐6人，如果每条船都坐满。可以怎样租船？
25．二年级（2）班有24名同学去学校图书馆看书，长凳每张坐6人，短凳每张坐3人，你怎么准备凳子？
26．
27．有1元、5角、2角和5元的纸币各一张，小亮瑶从中取出两张，可以取出多少种不同的钱币？请你写出来。
28．56名同学去动物园，怎样租车呢？
小车/辆 大车/辆
方案一
方案二
方案三
29．37名同学每人答2道题，规定答对一道得2分，不答得1分，答错得0分．至少有几名同学的成绩相同？
参考答案及试题解析
1．【答案】她有买4支圆珠笔，2本笔记本或买2支圆珠笔，5本笔记本或买8本笔记本这三种可能的购买方法。
【分析】根据零花钱总数，结合圆珠笔和笔记本的单价及购买数量，把可能的方案列举出来，选择恰好花费16元的方案即可。
【解答】解：列表如下：
方案 圆珠笔 笔记本 总钱数
1 6支 0本 18元
2 5支 1本 17元
3 4支 2本 16元
4 3支 4本 17元
5 2支 5本 16元
6 1支 7本 17元
7 0支 8本 16元
答：她有买4支圆珠笔，2本笔记本或买2支圆珠笔，5本笔记本或买8本笔记本这三种可能的购买方法。
【点评】本题考查了整数的拆分问题。
2．【答案】25元、28元、30元、35元、38元、40元。
【分析】由于茶杯的价格共有3种，茶盘的价格共有2种，则每种茶杯的价格都与茶盘的价格有2种不同的搭配方式，据此列举所有可能的情况即可。
【解答】解：15+10＝25（元）
18+10＝28（元）
20+10＝30（元）
15+20＝35（元）
18+20＝38（元）
20+20＝40（元）
答：可能会花25元、28元、30元、35元、38元、40元。
【点评】本题主要考查了简单的枚举，关键是根据题目要求一一列举所有可能的情况。
3．【答案】7种。
【分析】本题分三种情况考虑：①带一种；②带两种；③带三种；据此解答即可。
【解答】解：
带一种 带两种 带三种
桃 √ √ √ √
梨 √ √ √ √
苹果 √ √ √ √
由上表可知：共有7种不同的带法。
答：一共有7种不同的带法。
【点评】分类枚举是一种很重要的解决计数问题的方法，按一定的规则恰当分类是关键，做到既不重复，也不遗漏。注意本题分三种情况考虑。
4．【答案】2种。
【分析】从买1盒彩笔开始假设，再用减法计算出剩下的钱数，然后用除法计算剩下的钱数是不是钢笔的整倍数，是的话这种购买方法就可以，不是整倍数则不可以；据此解答。
【解答】解：（1）48﹣8×1
＝48﹣8
＝40（元）
40÷5＝8（支）
买1盒彩笔和8支钢笔可行。
（2）48﹣8×2
＝48﹣16
＝32（元）
32÷5＝6（支）……2（元）
买2盒彩笔和6支钢笔不可行。
（3）48﹣8×3
＝48﹣24
＝24（元）
24÷5＝4（支）……4（元）
买3盒彩笔和4支钢笔不可行。
（4）48﹣8×4
＝48﹣32
＝16（元）
16÷5＝3（支）……1（元）
买4盒彩笔和3支钢笔不可行。
（5）48﹣8×5
＝48﹣40
＝8（元）
8÷5＝1（支）……3（元）
买5盒彩笔和1支钢笔不可行。
（6）48﹣8×6
＝48﹣48
＝0（元）
0÷5＝0（支）
买6盒彩笔和0支钢笔可行。
答：可以买1盒彩笔和8支钢笔或者买6盒彩笔，共2种方法。
【点评】本题考查了优化问题的灵活运用。
5．【答案】3种。
【分析】书包的单价是35元，10元面值的人民币最多有3张，据此列举即可。
【解答】解：10元面值的人民币3张，5元面值的人民币1张；
10元面值的人民币2张，5元面值的人民币3张；
10元面值的人民币1张，5元面值的人民币5张；
共有3种。
答：她要买这样的书包，有3种恰好35元的付法。
【点评】本题考查了列举问题，要注意按顺序列举，关键是确定10元面值的人民币有多少张。
6．【答案】1、3、5；8、5、2；3。
【分析】总人数是38人，然后把38拆分为几个6与几个4的和即可。
【解答】解：36+2＝38（人）
38＝6+4×8＝6×3+5×4＝5×6+4×2
6人/间 1 3 5
4人/间 8 5 2
所以一共有3种住宿方法。
故答案为：1、3、5；8、5、2；3。
【点评】本题考查了整数的拆分，关键是明确拆分方法。
7．【答案】4
【分析】假设6块装的买x包，4块装的买y包，则根据题意，得到不定方程6x+4y＝50，然后根据数的奇偶性讨论，只要x、y是自然数，即可得解。
【解答】解：假设6块装的买x包，4块装的买y包，根据题意可得，
6x+4y＝50
y
要使y的值为自然数，25﹣3x为偶数，即x的值必须是奇数，
当x＝1时，y＝（25﹣3×1）÷2＝11；
当x＝3时，y＝（25﹣3×3）÷2＝8；
当x＝5时，y＝（25﹣3×5）÷2＝5；
当x＝7时，y＝（25﹣3×7）÷2＝2；
当x＝9时，y＝（25﹣3×9）÷2为负数（不符合要求）；
综合上述可得：6块装的买1包，4块装的买11包；或6块装的买3包，4块装的买8包；或6块装的买5包，4块装的买5包；或6块装的买7包，4块装的买2包；
共有4种不同的买法。
答：共有4种不同的买法。
【点评】此题考查了学生用解方程的方法解决问题的能力。
8．【答案】租2条大船、4条小船。
【分析】一共有27+3＝30（人），由于30÷7＝4（条）……2（人），要足够坐，最多租5条大船就可坐下，据此列表把不同的方案列出来即可。
【解答】解：27+3＝30（人）
　大船（7人） 　小船（4人） 　可乘坐的人数
　5 　0 　35
　4 　1 　32
　3 　3 　33
　2 　4 　30
　1 　6 　31
　0 　8 　32
根据上表可以看出，租2条大船、4条小船可以使每条所租的船刚好坐满。
【点评】本题考查了运用列表法解决不定方程问题的。
9．【答案】见试题解答内容
【分析】60元的裙子刚好用6张10元的人民币；也可以用3张10元的人民币加上6张5元的人民币，据此解答即可．
【解答】解：因为60＝6×10＝3×10+6×5
所以，买一条60元的裙子，可以用6张10元的人民币；也可以用3张10元的人民币加上6张5元的人民币．
答：买一条60元的裙子，可以用6张10元的人民币；也可以用3张10元的人民币加上6张5元的人民币．
【点评】此题主要考查了筛选和枚举问题的应用，解答此题的关键是要明确：1张10元＝2张5元．
10．【答案】2种。
【分析】利用列举法找到符合题意的购买方法即可。
【解答】解：
要购买26节这种电池，可以买5袋4节装的和1袋6节装或2袋4节装和3袋6节装，共2种不同的买法。
答：可以有2种不同的买法。
【点评】本题主要考查最优惠问题，关键利用列举法解答。
11．【答案】7种。
【分析】天平右边有放1个砝码、2个砝码、3个砝码共三类情况，据此可以找出所有可以称的质量。
【解答】解：天平右边放1个砝码，可以称1克、2克、5克三种质量；
天平右边放2个砝码，可以称1克+2克＝3克、1克+5克＝6克、2克+5克＝7克三种质量；
天平右边放3个砝码，可以称1克+2克+5克＝8克一种质量；
综上所述，他能用这三个砝码称1克、2克、3克、5克、6克、7克、8克共7种质量不同的物品。
【点评】本题考查搭配问题。列举时做到有序列举才能不重不漏。
12．【答案】9种；
①④⑤、①④⑥、①⑤⑥；
②④⑤、②④⑥、②⑤⑥；
③④⑤、③④⑥、③⑤⑥。
【分析】根据同学们的早餐选一种饮品和两种点心，按顺序列举即可。
【解答】解：①④⑤、①④⑥、①⑤⑥；
②④⑤、②④⑥、②⑤⑥；
③④⑤、③④⑥、③⑤⑥。
答：有9种不同的搭配。
【点评】本题考查了利用列举法解决排列组合知识。
13．【答案】3种。
【分析】把56拆分为几个6与几个8的和即可。
【解答】解：56＝8×7＝6×4+8×4＝6×8+8×1
6支/盒 0 4 8
8支/盒 7 4 1
答：有3种不同的买法。
【点评】解答本题关键是明确56的拆分方法。
14．【答案】派5辆小货车或1辆大货车和3辆小货车或2辆大货车和1辆小货车。
【分析】根据两种车每次运的吨数，利用列举法找到合适的派车方法。
【解答】解：
方案 大货车（4吨） 小货车（2吨） 运米吨数
① 0辆 5辆 10吨
② 1辆 3辆 10吨
③ 2辆 1辆 10吨
④ 3辆 0辆 12吨
答：派5辆小货车或1辆大货车和3辆小货车或2辆大货车和1辆小货车都恰好把10吨大米运完。
【点评】本题主要考查最优化问题，关键利用列举法找到符合题意的租车方案。
15．【答案】强强吃了7块，红红吃了1块；强强吃了6块，红红吃了2块；强强吃了5块，红红吃了3块。
【分析】根据8的分成可知：8可以分成7和1，6和2，5和3，4和4，又根据强强比红红吃得多，所以强强吃了7块，红红吃了1块；强强吃了6块，红红吃了2块；强强吃了5块，红红吃了3块，由此进行解答即可。
【解答】解：根据分析可得：
8可以分成7和1，6和2，5和3，4和4
可知：强强吃了7块，红红吃了1块；强强吃了6块，红红吃了2块；强强吃了5块，红红吃了3块。
【点评】本题主要考查了8的分成，关键是理解每人吃的块数不同的概念。
16．【答案】8分，10分，12分，14分，16分。
【分析】套中两次，且不重复，得分：10，12，14。套中两次，都是重复，得分：8，12，16。
合计：5种。
【解答】解：4+6＝10，4+8＝12，6+8＝14，4+4＝8，6+6＝12，8+8＝16。答：小刚套中两次可能得到8分，10分，12分，14分，16分。
【点评】本题的关键是看清题目要求，是套中两次并且可重复套中，再去除重复的情况。
17．【答案】10种。
【分析】分别按取1枚、2枚、3枚、4枚列举即可。
【解答】解：取1枚可以付：20分、10分、50分，3种；
取2枚可以付：20+20＝40（分）、20+10＝30（分）、20+50＝70（分）、50+10＝60（分），4种；
取3枚可以付：20+10+50＝80（分）、20+20+50＝90（分），2种；
取4枚可以付：20+20+10+50＝100（分），1种；
共有：3+4+2+1＝10（种）
答：用这些邮票能付10种不同的邮资。
【点评】本题考查了排列组合问题，可以运用列举法求解，注意不要重复或者漏写。
18．【答案】15元、11元、10元2角、6元、5元2角、1元2角；6种。
【分析】将任意取出2张组成的币值列举出来即可，据此解题。
【解答】解：10元+5元＝15元
10元+1元＝11元
10元+2角＝10元2角
5元+1元＝6元
5元+2角＝5元2角
2角+1元＝1元2角
共有6种情况。
【点评】解答此题的关键是，根据题意，能利用所给的币值，找出组成的不同情况时，一定不要重复和遗漏。
19．【答案】1个6千克的盒子和3个8千克或者5个6千克的盒子。
【分析】根据两种规格的盒子，用算式列举出即可，如：30＝6×1+8×3，30＝6×5+8×0，然后解答。
【解答】解：30＝6×1+8×3，
即1个6千克的盒子和3个8千克的盒子。
30＝6×5+8×0，
即5个6千克的盒子。
答：如果每个盒子都装满，那么用1个6千克的盒子和3个8千克或者5个6千克的盒子可以刚好装完。
【点评】用列举法是解答本题的关键。
20．【答案】
总数 46 46
6支装 1 5
8支装 5 2
2种.
【分析】6支装和8支装的一共46支，先列出6支装的盒数，用48减去6支装的总支数，再除以8，算出8支装的盒数，找出所有符合要求的数量后，用表格表示出来。
【解答】解：
总数 46 46
6支装 1 5
8支装 5 2
答：一共有2种不同的买法。
【点评】本题考查用列举的方法解决搭配问题，要根据题目的数量关系，找出符合要求的方案。
21．【答案】5种。
【分析】可用列表法分别求出10元人民币分别为4、3、2、1、0张时，5元人民币的张数，据此解答。
【解答】解：
付钱方案 10元 5元 总钱数
张数 4 0 40
张数 3 2 40
张数 2 4 40
张数 1 6 40
张数 0 8 40
答：有5种恰好付给40元的方案。
【点评】本题考查了钱币问题，利用列表法解决此类问题是常用的方法之一。
22．【答案】芳芳、媛媛、玲玲分别分得1个、1个、3个；1个、2个；1个、3个、1个；2个、1个、2个；2个、2个、1个；3个、1个、1个。
【分析】题意就是把5拆成3个数，3个数中最小是1，题干明确了列表解答，故列表求解即可。
【解答】解：如下表所示：
序号 芳芳 媛媛 玲玲 小计
1 1 1 3 5
2 1 2 2 5
3 1 3 1 5
4 2 1 2 5
5 2 2 1 5
6 3 1 1 5
答：共有6种分法，芳芳、媛媛、玲玲分别分得1个、1个、3个；1个、2个；1个、3个、1个；2个、1个、2个；2个、2个、1个；3个、1个、1个。
【点评】本题考查了列表法解决有序枚举的问题。
23．【答案】4。
【分析】根据三种比值和硬币的数量列举即可。
【解答】解：（1）1元硬币；
（2）2个5角硬币；
（3）10个1角硬币；
（4）1个5角硬币和5个1角硬币；
共有4种。
答：一共有4种付钱方法。
故答案为：4。
【点评】列举时要按顺序列举，做到不重复，不遗漏。
24．【答案】租7条小船或租4条小船和2条大船或租1条小船和4条大船。
【分析】根据坐船的总人数与大船和小船可以乘坐的人数，确定坐船的方案：28＝4×7；28＝4×4+6×2；28＝4×1+6×4，据此确定方案即可。
【解答】解：方案一：28＝4×7，租7条小船；
方案二：28＝4×4+6×2，租4条小船和2条大船；
方案三：28＝4×1+6×4，租1条小船和4条大船；
答：租7条小船或租4条小船和2条大船或租1条小船和4条大船。
【点评】抓住题干中的大小两个船的人数不同，把28进行拆分，即可解决此类问题。
25．【答案】可以准备2张长凳，4张短凳。（答案不唯一）
【分析】因为6×2+3×4＝24（人），所以可以准备2张长凳，4张短凳，由此解答即可（答案不唯一）。
【解答】解：6×2+3×4＝24（人），所以可以准备2张长凳，4张短凳。
答：可以准备2张长凳，4张短凳。（答案不唯一）
【点评】本题主要考查了筛选与枚举，根据长凳和短凳坐的人数和刚好能整除学生的人数来简化问题是本题解题的关键，也可采用枚举法，一一列举出所有的方案，找到刚好能都坐满的方案。
26．【答案】11种。
【分析】变速自行车是通过前后不同齿轮齿数的多种组合实现变速的，判断这辆自行车能变化出多少种速度，就是看它的2个前齿轮和6个后齿轮的齿数有多少种不同的组合；分别计算出前齿轮齿数与后齿轮齿数的比，计入表格中；分析表格得出结论。
【解答】解：如下表：
由上表可知，前后齿轮的齿数有12种组合，组成了12种比，其中有两个比相同，因此这种变速自行车能变出11种速度。因为蹬一圈自行车行走的距离＝车轮的周长，车轮的周长一定（同一辆自行车），所以的比值越大，自行车走的距离越远。
【点评】解答本题的关键是列举出前齿轮齿数与后齿轮齿数的比的情况。
27．【答案】6种；1元5角，1元2角，6元，7角，5元5角，5元2角。
【分析】根据题意知道，两两组合，列举出所有情况即可。
【解答】解：1元+5角＝1元5角
1元+2角＝1元2角
1元+5元＝6元
5角+2角＝7角
5角+5元＝5元5角
2角+5元＝5元2角
答：可以取出6种不同的钱币，分别是：1元5角，1元2角，6元，7角，5元5角，5元2角。
【点评】本题考查了排列组合知识的灵活应用，关键是列举出所有情况。
28．【答案】
小车/辆 大车/辆
方案一 7 0
方案二 1 2
方案三 4 1
【分析】根据人数和每车限乘的人数，可以租不同的车，我们采用画表一一列举的方法。
【解答】解：
小车/辆 大车/辆
方案一 7 0
方案二 1 2
方案三 4 1
【点评】本题属于实际应用类问题，我们选择的方案应该是最合理的，既要能够合理安排车辆，不浪费座位，又要能够使费用最低。
29．【答案】见试题解答内容
【分析】先枚举分类：①都答对的，得4分；②都答错的，得0分；③答对一道，另一道答错，得2分；④答对一道，另一道不答，得3分；⑤两道都不答，得2分；⑥一道不答，另一道答错，得1分；共有5种情况，然后把它看作5个抽屉，把37名同学看作37个元素，再根据抽屉原理解答即可．
【解答】解：根据分析可得，
①都答对的，得4分；
②都答错的，得0分；
③答对一道，另一道答错，得2分；
④答对一道，另一道不答，得3分；
⑤两道都不答，得2分；
⑥一道不答，另一道答错，得1分；
共有5种情况；
37÷5＝7（名）…2（名）
7+1＝8（名）
答：至少有8名同学的成绩相同．
【点评】本题考查了筛选与枚举以及抽屉原理的综合应用，关键是求出有几种得分；至少数＝商+1（在有余数的情况下）．
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