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(共37张PPT)
1.1　集合的概念
第一章　集合与常用逻辑用语
数学
学习目标
①通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系,提升数学抽象核心素养．
②了解集合中元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题,强化数学运算核心素养．
③会用集合语言表示有关数学对象,常用的表示方法有描述法、列举法,提升数学抽象核心素养．
学习重难点
重点：
集合的基本概念,集合中元素的三个特性,元素与集合的关系,集合的表示方法．
难点：
元素与集合的关系,选择适当的方法表示具体问题中的集合．
课堂导入
情境1
在小学和初中我们已经接触过集合,只是没有给出定义,例如所有整数的集合,高一(7)班全体学生,物以类聚、人以群分这些都给我们以集合的影响,那到底什么是集合呢 元素又是什么
课堂探究
问题1
(1)观察“章引言”中的非洲大草原图片,列举你看到的集合．
课堂探究
问题1
(2)在有理数范围内方程2=2有解吗 在实数范围内呢
在有理数范围内无解；
在实数范围内解为±
结论：不同范围内方程的解不同．
课堂探究
问题1
(3)到定点的距离等于定长的点组成的图形一定是圆吗
在同一平面内,所有到定点的距离等于定长的点组成的图形为圆；
在空间中,所有到定点的距离等于定长的点组成的图形为球面．
结论：不同范围内动点的轨迹不同．
课堂探究
问题2
在小学和初中我们已经接触过一些集合,你能举出一些集合的例子吗
自然数集
实数集
整数集
不等式的解集
探究一　元素和集合的含义
课堂探究
问题3
下面6个例子都能组成集合吗 你能概括出它们具有的共同特征吗
(1)1~10之间的所有偶数；
(2)立德中学今年入学的全体高一学生；
(3)所有的正方形；
(4)到直线的距离等于定长d的所有点；
(5)方程23+2=0的所有实数根；
(6)地球上的四大洋．
　　一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．
探究一　元素和集合的含义
课堂探究
问题4
判断下列元素的全体是否组成集合．如果是,指出该集合的元素；如果不能组成集合,请说明理由．
(1)我国的直辖市；
(2)高一(1)班的高个子同学；
(3)较小的数；
(4)单词“ settee” 中的字母．
探究一　元素和集合的含义
课堂探究
追问1　你能举出一些集合的例子吗
追问2　集合中的元素具有哪些特征 如何解释这些特征
集合中元素的性质：
确定性
(“怎样才算高个子同学 ”,“怎样才算较小的数” ,“高的标准是什么”)
互异性
(由(4)中字母组成的集合中含有3个元素)
无序性
(集合中的元素不需要考虑排列顺序)
探究一　元素和集合的含义
课堂探究
追问3　类比实数相等,两个集合相等应满足什么条件
探究二　元素、集合及其关系的表示
课堂探究
阅读教材第2页倒数第4行“我们通常用大写拉丁字母······”至第3页的“则有4∈A,3 A,等等”,并回答：
(1)元素与集合如何表示
集合与元素的符号表示：
用大写拉丁字母A,B,C, ···表示集合,
用小写拉丁字母a,b,c, ···表示集合中的元素．
问题5
探究二　元素、集合及其关系的表示
课堂探究
(2)元素与集合之间存在着什么关系 请举例说明．
元素与集合的属于关系
如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作a∈A；
如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A,记作a A．
探究二　元素、集合及其关系的表示
课堂探究
(3)常用的数集有哪些 分别用什么字母表示
常用数集及其记法：
【自然数集】全体自然数组成的集合,包括0,1,2,···等,记作N,也叫非负整数集．
【正整数集】全体正整数组成的集合,记作N*或N+；
【整数集】全体整数组成的集合,记作Z；
【有理数集】全体有理数组成的集合,记作Q；
【实数集】全体实数组成的集合,记作R；
注意写法
探究三　集合的表示
课堂探究
除此之外,我们还可以用什么方式表示集合呢
你会用符号来表示问题4中(1)和(4)相应的集合吗
={北京,上海,天津,重庆}
={s,e,t}
问题6
探究三　集合的表示
课堂探究
你能概括出上述表示方法的特点吗
列举法:
把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{　}”括起来表示集合的
方法．
探究三　集合的表示
课堂探究
用列举法表示集合需要注意哪些问题 哪些类型的集合用列举法表示较适合
列举法表示集合需要注意的问题：
①各元素间用“,”隔开；
②集合中的元素不能遗漏,更不能重复；
③元素之间不用考虑先后顺序；
④所有元素都必须置于花括号“{　}”内；
列举法一般应用于集合中元素的个数较少的情况．
集合中元素的性质
确定性
互异性
无序性
互异性
无序性
探究三　集合的表示
课堂探究
问题7
(1)你能用自然语言表示集合{0,3,6,9}吗
小于10且能被3整除的自然数,既大于等于0又小于等于9的被3整除的数．
(2)你能用列举法表示不等式7<3的解集吗
不等式7<3的解是<10,满足<10的实数有无数个,不能一一列举．
探究三　集合的表示
课堂探究
这个解集中的元素具有什么样的共同特征 怎样表示不等式x 7<3的解集
这个集合可以通过描述其元素性质的方法来表示,
写作：{∈R|<10}．
探究三　集合的表示
课堂探究
所有奇数的集合怎么表示 偶数的集合怎么表示 有理数集怎么表示呢
所有奇数的集合：{x∈Z|x=2k+1,k∈ Z},或{x∈ Z |x=2k 1,k∈ Z}；
所有偶数的集合：{x∈Z|x=2k,k∈ Z}；
所有有理数的集合：Q= {x∈R．
探究三　集合的表示
课堂探究
你能概括出上述表示方法的特点吗
描述法：
一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}．
　其中x是这个集合的元素的代表形式,A是元素的取值(或变化)范围,P(x)是集合中元素所具有的共同特征．
探究三　集合的表示
课堂探究
在描述法中,竖线前后各表示什么内容
代表元素x与元素x的性质P(x)间须用“|”隔开：
竖线前：集合元素的代表符号及取值(或变化)范围,
竖线后：集合元素具有的共同特征即集合中元素的性质．
探究三　集合的表示
课堂探究
描述法表示集合需要注意哪些问题
用描述法表示集合时需要注意的问题:
①写清该集合中元素的代表符号；
②新字母要说明它的含义或指出它的取值范围；
③所有描述集合的内容均需置于花括号“{　}”内；
④可用冒号或分号代替竖线,写成{x∈A:P(x)}或{x∈A;P(x)}；
⑤元素的取值(或范围)从上下文来看,若是明确的可省略不写；
⑥多层描述时,应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语．
探究三　集合的表示
课堂探究
哪些类型的集合用描述法表示较适合
适用于集合元素有无限多个的情况．
课堂探究
【例题1】
用列举法表示下列集合：
(1)小于10的所有自然数组成的集合；
(2)方程2=的所有实数根组成的集合．
解 (1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
(2)设方程 2= 的所有实数根组成的集合为B,那么B={0,1}．
课堂探究
【例题2】
试分别用描述法和列举法表示下列集合：
(1)方程x22=0的所有实数根组成的集合；
(2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合．
解 (1)设x∈A,则x是一个实数,且x22=0．
因此,用描述法表示为A={x∈R|x22=0}．
方程x22=0有两个实数根,,
因此,用列举法表示为A={,}．
课堂探究
【例题2】
试分别用描述法和列举法表示下列集合：
(1)方程x22=0的所有实数根组成的集合；
(2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合．
解 (2)设x∈B,则x是一个整数,即x∈Z,且10因此,用描述法表示为B={x∈Z|10大于10且小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19,
因此,用列举法表示为B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}．
课堂探究
问题8
举例说明,用自然语言、列举法和描述法表示集合时各自的特点.
方法 自然语言 列举法 描述法
特点 　　自然语言是最基本的语言形式,使用范围广,但是具有多义性,有时难于表达． 　　列举法直观地体现了元素的个体,但是有局限性,多适用于元素个数较少的有限集． 　　描述法具有抽象概括、普遍性的特点,适用于元素共同特征明显的集合,有些集合元素没有明显的共同特征,则不能用描述法．
举例 {1}
评价反馈
1. 下列说法正确的是(　　)
A.0与{0}的意义相同
B.某市比较文明的市民可以组成一个集合
C.集合A={(x,y)|3x+y=2,x∈N}是有限集
D.方程x2+2x+1=0的解集只含有一个元素
解析 A:0是元素,{0}表示集合,故意义不同,错误；
B:“比较文明的市民”的描述不够明确,不符合集合中元素的确定性,不能组成集合,错误；
C:3x+y=2且x∈N在平面直角坐标系中有无数个对应点,不是有限集,错误；
D:x2+2x+1=(x+1)2=0,其解集为{1},只有一个元素,正确．故选D．
D
评价反馈
2. 设集合A={1,a2 2a+5},若4∈A,则a=(　　)
A.1 B.0 C.1 D.3
解析 因为4∈A,所以a2 2a+5=4,解得a=1．故选C．
C
评价反馈
3. 若集合A={x∈R|x2 3x+a>0},且2 A,则实数a的取值范围是(　　)
A.{a|a≤2} B.{a|a≥2}
C.{a|a≤ 2} D.{a|a≥ 2}
解析 由题意可得223×2+a≤0,解得a≤2．故选A．
A
评价反馈
4. (多选题)若x,y,z为非零实数,代数式的值所组成的集合是M,则下列结论正确的是 (　　)
A.0 M B.2∈M C.4∈M D.4∈M
解析 当x,y,z均为负数时,= 4；
当x,y,z两负一正时,=0；
当x,y,z两正一负时,=0；
当x,y,z均为正数时,=4．
综上,M={4,0,4},A,B错误,C,D正确．
CD
评价反馈
5. 若集合M={0,2,5},N={1,2,6},定义集合A={a+b|a∈M,b∈N},则A中元素的个数是　　　．
解析 由题意,集合M={0,2,5},N={1,2,6},
故集合A={a+b|a∈M,b∈N}={1,2,3,4,6,7,8,11},
共有8个元素．
8
课堂小结
问题思考
我们今天都讲了哪些知识
1.什么是集合 集合中元素有哪些特性 两个集合相等应满足什么条件
2.元素与集合之间存在什么关系 如何用符号表示
3.常用的数集有哪些 分别用什么字母表示
4.集合的表示方法有哪些 各自的优点及适用对象是什么 使用时应该注意哪些问题
布置作业
完成教材第5~6页习题1.1第1,2,3,4题．
谢谢大家

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