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2025年广东省佛山市高考数学二模试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若，则实数( )
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中，曲线的周长为( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.学校举办篮球赛，将支球队平均分成甲、乙两组，则两支最强的球队被分在不同组的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，命题：是奇函数，命题：在上是减函数，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知球的表面积为，球面上有，，，四点，，，与平面所成的角均为，若是正三角形，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 最小正周期为 B. 是奇函数
C. 在上单调递增 D. 最大值为
10.市场监督管理局对家工厂生产的甲、乙产品进行抽查评分，且得分的平均数分别为、，其中工厂生产的产品得分如下表：
分数 名次按高分到低分排名
甲产品
乙产品
则在此次抽查评分中( )
A. 家工厂甲产品得分的中位数一定小于平均数
B. 家工厂乙产品得分的中位数一定大于平均数
C. 家工厂甲产品得分中一定存在极端高分数高于平均数分以上
D. 家工厂乙产品得分中一定存在极端低分数低于平均数分以上
11.圆过抛物线：上的两点、，则( )
A. 圆面积的最小值为
B. 圆与抛物线Ⅰ的公共点个数为或
C. 若圆与抛物线Ⅰ还有另外两个交点、，则、的纵坐标之和为
D. 若圆与抛物线Ⅰ还有另外两个交点、，则直线的斜率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.焦点为，，且经过点的双曲线的标准方程为______．
13.已知的面积为，，则 ______．
14.已知函数，若有三个零点，，，则实数的取值范围为______；若，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，．
若曲线在点处的切线与曲线也相切，求；
若图象恒在图象的上方，求的取值范围．
16.本小题分
如图，将一个棱长为的正方体沿相邻三个面的对角线截出多面体，是的中点过点，，的平面与该多面体的面相交，交线围成一个多边形．
在图中画出该多边形说明作法和理由，并求其面积；
求平面与平面的夹角的余弦值．
17.本小题分
因部分乘客可能误机，航空公司为减少座位空置损失，会对热门航班售卖超过实际座位数的机票，简称“超售”已知某次热门航班的信息如下：
票价元，有个座位，航空公司超售了张票；
每一位乘客准时乘机的概率为，航空公司对误机乘客不予以退费；
对于在超售情况下，如出现满座导致个别旅客不能按原定航班成行，航空公司会让受到影响的乘客
乘坐下一趟非热门航班，并赔偿每人元．
求该次航班不会发生赔偿事件的概率；
航空公司在该次航班的收入记为，求．
参考数据：若，则的分布列部分数据的近似值如下：
18.本小题分
在等差数列和等比数列中，和是下表第行中的数，且，，中的任何两个数不在同一列，，，中的任何两个数也不在同一列．
第一列 第二列 第三列 第四列
第一行
第二行
第三行
请问满足题意的数列和各有多少个？写出它们的通项公式无需说明理由；
若的公比为整数，且，数列满足，求的前项和．
19.本小题分
对于椭圆：上的任意两点，，定义“”运算满足：过点作直线直线规定当和相同时，直线就是在点处的切线，若与有异于的交点，则；否则已知“”满足交换律和结合律，记．
若，，求，以及；
对于上的四点，，，，求证：的充要条件是；
是否存在异于的点，使得？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，所以，，
所以曲线在点处的切线方程为，
设该切线与切于点，
因为，且切点在切线上，所以有，解得，
故；
若图象恒在图象的上方，则恒成立，
即恒成立，
设，则，
令，得，令，得，
所以在上递增，在上递减，
故，
所以的取值范围为．
16.解：若为的中点，连接，，，，
显然，
所以，，，共面，即交线围成的多边形为，
由题意，为等腰梯形，且，，
所以，
由正方体的结构特征，易知，，
由平面，平面，
则平面，
同理得平面，，且都在平面内，
所以平面平面，
故平面与平面的夹角，即为平面与平面的夹角，
而是棱长为的正四面体，
所以．
17.解：由每一位乘客准时乘机的概率为，得每一位乘客误机的概率为，航班不会发生赔偿事件，
即实际乘机人数不超过人，也就是误机的乘客至少人，设误机人数为，则，
所以该次航班不会发生赔偿事件的概率为；
设实际乘机人数为，则，
当误机人数时，该次航班的收入元，其概率为；
当误机人数时，有人乘机，需要赔偿人，
该次航班的收入元，其概率为；
当误机人数时，有人乘机，需要赔偿人，
该次航班的收入元，其概率为；
当误机人数时，有人乘机，需要赔偿人，
该次航班的收入元，其概率为；
当误机人数时，有人乘机，需要赔偿人，
该次航班的收入元，其概率为；
当误机人数时，有人乘机，需要赔偿人，
该次航班的收入元，其概率为；
所以元．
18.解：对于等差数列，设公差为，
当，，时，则，所以，
当，，时，则，所，
当，，时，则，所以，
当，，时，则，所以，
满足题意的数列有个，分别为，，，；
对于等比数列，设公比为，
当，，时，则，所以，
当，，时，则，所以，
满足题意的数列有个，分别为，；
因为的公比为整数，由知，则，所以，
所以，所以，
所以，
所以的前项和．
19.解：由题设，直线的斜率为，
则过且平行于直线的直线方程，
联立，
可得，
解得舍或，则，
所以，
过且平行于椭圆在点处切线的直线方程为，
联立，可得舍或，
故，
过且平行于的直线方程为，
联立，可得舍或，
故，
所以，
过且平行于的直线方程为，
联立，可得舍或，
故，
过且平行于的直线方程为，
联立，可得，
故，
又对于椭圆上任意一点，都有，故，，
所以；
证明：由，
，
，
所以，
同理，
故，当且仅当，
所以，，
即，，得证；
设，，
由，点处的切线平行于，
由知，，则，
由，所以，则，
由，所以，则，
若，则，则，
所以存在异于的点，使得，坐标为或或．
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