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2025年云南民族中学高考数学适应性试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.在等比数列中，，是函数的极值点，则( )
A. B. C. D.
3.含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的“交替和”是；而的交替和是，则集合的所有非空子集的“交替和”的总和为( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.已知圆台存在内切球与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，若圆台的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为：，设球的体积与圆台分别为，，则( )
A. B. C. D.
6.已知直线：，圆：，为圆上任意一点，则下列说法正确的是( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 直线与圆相切时， D. 圆心到直线的距离最大为
7.已知两个不相等的正实数，满足，则下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
8.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点，及动点，若且，则点的轨迹是圆后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆简称“阿氏圆”在平面直角坐标系中，已知，直线：，直线：，若为，的交点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，为随机事件，，，则下列结论正确的有( )
A. 若，为互斥事件，则
B. 若，为互斥事件，则
C. 若，相互独立，则
D. 若，则
10.如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则( )
A. 函数和的图象对称
B. 上任意一点到原点的距离
C. 函数有两个零点，，且
D. 直线被截得弦长的最大值为
11.定义数列，满足，，其中，则( )
A. 为单调递减数列 B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，各二项式系数的和与各项系数的和之比为：，则 ______．
13.已知平面向量，，满足与的夹角为锐角，，，，且的最小值为，向量的取值范围是______．
14.已知的面积等于，若，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时， ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在锐角中，，，为角，，所对边，且．
求角；
求周长的取值范围．
16.本小题分
在平行四边形中，，为的中点，将等边沿折起，连接，，且．
求证：平面；
点在线段上，且平面与平面所成角的余弦值为，求．
17.本小题分
某运动员为了解自己的运动技能水平，记录了自己次训练情况并将成绩满分分统计如下表所示．
成绩区间
频数
求上表中成绩的平均值及上四分位数同一区间中的数据用该区间的中点值为代表；
该运动员用分层抽样的方式从的训练成绩中随机抽取了次成绩，再从这次成绩中随机选次，设成绩落在区间的次数为，求的分布列及数学期望；
对这次训练记录分析后，发现某项动作可以优化优化成功后，原低于分的成绩可以提高分，原高于分的无影响，优化失败则原成绩会降低分，已知该运动员优化动作成功的概率为在一次资格赛中，入围的成绩标准是分用样本估计总体的方法，求使得入围的可能性变大时的取值范围．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，已知椭圆：的长轴长为，离心率为．
求椭圆的方程；
设，，点是椭圆上且在第三象限内的一点．
若的面积为，求点的坐标；
记直线与轴交于点，直线与轴交于点，求四边形面积的最大值．
19.本小题分
定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，，，使得直线与曲线在点处的切线平行或重合若，，成等差数列，则称为“等差函数”；若，，成等差数列且，，均为整数，则称为“整数等差函数”．
设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论；
若为“整数等差函数”，求实数的最小值；
已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数，使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数．
参考答案
1.
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14.
15.解：根据已知，
那么可得，
所以，
因此，
所以，
可得，根据，可得，
根据，可知．
根据第一问知，，．
根据正弦定理知，，
可得，，
因此
．
又因为三角形是锐角三角形知，，，即，，
又因为，因此，所以，
，
所以，所以，
因此，
因此三角形周长的取值范围是．
16.解：证明：依题意，，，在中，，
在，中，，，
则，，
又，，平面，
所以平面．
取的中点，连接，则，
由知平面，
而平面，则，
又，，平面，
于是平面，
过作，则平面，
直线，，两两垂直，
以点为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，
，
设，
则，
设平面的法向量为，
则，则，
取，得，
而平面的一个法向量为，
设平面与平面所成角为，
则，
而，解得，则，
所以．
17.解：依题意，平均值，
因为，，所以上四分位数落在区间，
且等于．
由样本数据可知，训练成绩在，，之内的频数之比为：，由分层抽样的方法得，
从训练成绩在中随机抽取了次成绩，在，之内的次，在之内的抽取了次，
所以可取的值有：，，，，，，
分布列为：
．
设事件，，分别表示动作优化前成绩落在区间，，，
则，，相互互斥，所以动作优化前，在一次资格赛中，
入围的概率，
设事件为“动作优化成功”，则，动作优化后，在一次资格赛中，
入围事件为：且事件，，相互互斥，
所以在一次资格赛中入围的概率，
故，
由解得，又因为，所以的取值范围是．
18.解：由题意可得，解得，
所以椭圆的方程为．
由，可得，因的面积为，
故点到直线的距离为，
设过点且与直线平行的直线方程为，与椭圆联立，
消去，可得，由，解得，
而当时，直线：与直线：的距离恰为，
即点即为直线与椭圆的切点，将代入，
可得，解得，因为点在第三象限，所以，
故点坐标为．
设，其中，，则．
又因为，所以直线，
令，所以，同理．
所以四边形的面积
，
令，
所以，
令，则，故，
故当时，，即时，
也即时，四边形的面积取最大值为．
19.解：假设，，成等差数列，得，
设公差为，则，
对于：直线的斜率，
因为，
所以曲线在点处的切线斜率为．
由题意，恒成立，取，，则，，成等差数列且均为整数，故是“整数等差函数”．
对于，直线的斜率．
因为，所以曲线在点处的切线斜率为，
由题意，
若，则，，
令，，则恒成立，所以在上单调递减，
所以，即在上恒成立，
即恒成立，所以无解，
故不是“整数等差函数”．
因为为“整数等差函数”，所以，，成等差数列且，，均为整数，
设公差为，则，且，
直线的斜率，
因为，所以曲线在点处的切线斜率为，
由题意，，
因为，，
所以，
又的定义域为，有，则，可取使等号成立，故的最小值为；
证明：充分性，因为为常值函数，所以任意取等差数列，，，
则直线的斜率，曲线在点处的切线斜率为，
因为，所以为“等差函数”．
必要性，因为为“等差函数”，所以，，成等差数列，
设公差为，则，直线的斜率，
曲线在点处的切线斜率为，
由题意，，
令，，
则，
令，
则，
因为在上为增函数，所以，在上为增函数，
因为，所以，在上为增函数，
因为，所以在上恒成立，又，
由的单调性知，，
故，，，，
，，为常数，
，，
，，
，，
接下来，一方面，因为，且在上为增函数，
所以在上为增函数，故，，
由，，
可得，，
另一方面，因为所以，，可得，，
以此类推，在上恒成立，即为常值函数．命题得证
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