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江西省萍乡市2025届高三下学期二模考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知一组数据为：，，，，，，，，，，则这组数据的分位数是( )
A. B. C. D.
2.过点作圆的切线，记其中一个切点为，则( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列满足：，则的公差为( )
A. B. C. D.
4.在直三棱柱中，，，则直线与所成角的大小为( )
A. B. C. D.
5.已知点及抛物线上一点，若线段的垂直平分线经过的焦点，则的横坐标为( )
A. B. C. D.
6.将六个连续的整数随机排成一行，则从左到右先递增再递减的排列方式有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数满足：，且，，都有恒成立，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知全集，集合，，且满足：，，则下列说法正确的为( )
A. B.
C. 集合可能是 D.
10.已知定义在上的函数满足：，且当时，，则下列说法正确的为( )
A. 的最小正周期为
B. 在上单调递增
C. 在上单调递增
D. 对，都有
11.若数列的前项中，最大项为，最小项为，则称数列为的“极差数列”下列关于极差数列的说法正确的为( )
A. 若数列是等差数列，则它的极差数列也是等差数列
B. 若数列的极差数列是等差数列，则也是等差数列
C. 数列的极差数列可能为等比数列
D. 数列的极差数列的极差数列仍是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数满足：，其中为虚数单位，则 ．
13.若随机事件，满足：，，，则 ．
14.已知三棱锥外接球的球心为棱的中点，若，，则该三棱锥体积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
于年月日正式发布并上线，它凭借创新的功能和极富吸引力的用户体验，在社交媒体上引发了广泛的讨论和分享，形成了强大的口碑效应公司最近开发了一款新的推荐算法，为了测试该算法在不同年龄段用户群体中的效果，公司进行了一项调查，调查样本的统计结果如下表所示单位：人．
效果 岁用户人数 岁用户人数
有效
无效
总计
求出，的值，并在显著性水平为的情况下，判断推荐算法的效果是否与用户年龄段有关
以频率估计概率，在所有效果为有效的人群中抽取人，求恰有人为岁用户年龄段的概率．
附：，．
16.本小题分
如图，在几何体中，四边形与均为菱形，，且．
求证：平面平面
设点满足，直线与平面所成角的正弦值为，求实数的值．
17.本小题分
已知函数
证明：函数有且只有一个极值点
若关于的方程在区间上恰有两个实数根，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知椭圆的焦距为，离心率为，点在上
求椭圆的标准方程
若点在椭圆上，点在圆上，直线为和的公切线，求线段的长度
直线交椭圆于，两点，交轴于点为直线上一点，满足，其中为坐标原点，过点作直线的垂线交于点，问是否存在一点，使得的长度为定值若存在，求出点的坐标和该定值若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知，为正整数，对于函数，若对任意的，都有，则称为次切比雪夫函数例如：因为，所以为二次切比雪夫函数．
求
证明：对任意正整数，都有
若函数有一个绝对值不大于的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于．
参考答案
1.
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6.
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8.
9.
10.
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13.
14.
15.由题意得：，
计算，
所以在显著性水平为的情况下，认为推荐算法的效果与用户年龄段有关
样本的推荐算法有效的群体中抽到为岁用户年龄段的频率为，
以频率估计概率，即推荐算法有效的群体中抽到为岁用户年龄段的概率为，
则人中恰有人为岁用户年龄段的概率为：．
16.解：证明：连接交于点，因为为菱形，所以，
且，又，则，且，
由可知，面，又面，故平面平面
以为原点，，，方向分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，则，
解得：或，又，故．

17.证明：由题意知，，所以，
显然在上单调递增，
且，，
故在上有且只有一个零点，
且在上单调递减，在上单调递增，
即在上有且只有一个极值点
解：因为，当时，方程成立，
故只需方程在上有且只有一个实数根，
而当时，，所以只需方程在上有且只有一个实数根，
令，
则，
再令，
得，
显然在上单调递减，
所以，即，
所以在上单调递减，
所以，即，
所以在上单调递减，
当时，，所以，
即实数的取值范围为．
18.解：因为在上，则，
又离心率，且，
联立解得：，，，故椭圆的标准方程为：
设，，由对称性，不妨设直线，因为点在椭圆上，又在直线上，
所以消去得，
由于直线与椭圆相切，故，
得，，
同理，由点在圆和直线上可得，，
由两式得，，则，故线段的长度为
显然，设，，由，得为线段的中点，
联立，得，
则，从而，，所以，
所以直线，
在中令，得，因为，所以直线，
得：，即，所以存在点，使得的长度为定值．
19.解：因为，
所以
因为
两式相加得：，
即：
因为，
所以，
即，，
，当时，，，
因为有一个绝对值不大于的零点，则，即，
令，则，则，
当时，，，在上单调递增，在上单调递增，
即时，，即恒成立，即在上无零点
当时，，，在上单调递增，在上单调递减，
即时，，即恒成立，即在上无零点
综合可知，所有零点的绝对值都不大于．
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