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2025年湖南省长沙市长郡中学高考适应性数学试卷（二）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中，最小正周期为，且在上单调递减的是( )
A. B. C. D.
2.已知双曲线：，则“的渐近线互相垂直”是“的离心率等于”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若复数、，是虚数单位在复平面上对应的点位于第二象限，则( )
A. 且 B. 且 C. 且 D. 且
4.设函数的导函数为，若函数在区间上是减函数，且函数在区间上是增函数，称在区间上是“缓减函数”，区间称为的“缓减区间”，若，下列区间是的“缓减区间”的是( )
A. B. C. D.
5.在圆锥中，已知高，底面圆的半径为，为母线的中点，图中的截面边界曲线抛物线的焦点到准线的距离为( )
A.
B.
C.
D.
6.如图所示，点为正八边形的中心，已知，点为线段，上一动点，则的范围是( )
A.
B.
C.
D.
7.已知集合，，，若，且对任意的，，均有，则中元素个数的最大值为( )
A. B. C. D.
8.春节期间，小明和弟弟玩起了一种自定义游戏，规定先由弟弟掷一颗质量均匀的骰子，若弟弟掷出的点数为，则吃颗花生；若掷出其他点数，则记下这个点数，然后由小明开始两个人轮流掷这颗骰子，直至任意一方掷出这个记下的点数或者，一次游戏结束若掷出的是这个记下的点数，则弟弟吃颗花生；若是，则小明吃颗花生任意一次游戏中弟弟能吃到颗花生的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的命题是( )
A. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于
B. 口袋中有大小相同的个红球、个蓝球和个黑球．从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量，则的数学期望
C. 若随机变量，当不变时，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖
D. 对标有不同编号的件正品和件次品的产品进行检测，从中任取件，已知其中一件为正品，则另一件也为正品的概率是
10.已知圆：，直线：，则( )
A. 直线与圆可能相切
B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于
C. 直线与直线垂直
D. 若圆与圆恰有三条公切线，则
11.对于平面内的一个有限点集由有限个点组成的集合，若该点集内的每个点都恰有三个与之距离最近的点这三个点也在点集内，则称这样的点集为“对称集”，记作，其中表示该点集内点的个数如集合不存在；集合存在，该集合内个点的一种分布方式如图所示，则使存在的还可以为( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若从的所有正约数中任取一个数，则这个数是一个完全平方数的概率为______．
13.已知三棱锥满足，，，且，，，则该三棱锥外接球的表面积为______，异面直线与所成夹角的余弦值为______．
14.若曲线只有一条过原点的切线，则的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数为常数．
讨论函数的单调性；
不等式在上恒成立，求实数的最大整数值．
16.本小题分
在四面体中，，．
若为正三角形，平面平面，求四面体体积；
若，，求二面角的大小．
17.本小题分
为弘扬中华民族传统文化、增强民族自豪感，某学校开展中华古诗词背诵比赛，分为初赛和复赛全校同学都参加了初赛，并随机抽取一个班级进行初赛成绩统计，已知该班级共有位学生，他们的初赛分数的频率分布直方图如图所示：
计算的值，并估计该校这次初赛的平均分数．
初赛分数达到及以上的同学，称为优秀参赛选手，现从班级中随机选出位同学，用代表其中的优秀参赛选手人数，求的分布；
为增加比赛的趣味性，复赛规则如下：复赛试题将从题库中随机抽取，每位参赛选手将有机会回答填空、选择和简答各题；每答对题得分，答错或不答得分，每位选手可以自行选择回答问题的顺序，若答对一题可继续答下一题，直到题全部答完；若答错或不答则比赛结束例如：选手甲可自行按“简答一填空一选择”顺序答题，甲答对第一题得分，并继续回答第二题且答错得分，结束比赛，总分为分．
小杨作为优秀参赛选手，代表班级参加复赛根据他初赛的答题正确频率，可估计他填空、选择和简答的答题正确概率分别为：
题型 填空 选择 简答
答题正确概率
若小杨每次答题的结果都相互独立，那么为尽量在比赛中获得较高分数，小杨应该采用怎样的答题顺序？请说明理由．
18.本小题分
已知函数，若曲线在处的切线交轴于点，在处的切线交轴于点，以此类推，在处的切线交轴于点，由此能得到一个数列，且．
证明：为等比数列；
设，求的前项和．
19.本小题分
设，，点、分别是椭圆：的上顶点与右焦点，且，直线：经过点与交于、两点，是坐标原点．
求椭圆的方程；
若，点是轴上的一点，且的面积为，求点的坐标；
若点在直线上，向量在直线上的投影为向量，证明．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.解：函数的定义域为，，
当时，因为，所以在上单调递增，
当时，若，则，所以在上单调递增，
若，则，所以在上单调递减，
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减．
在上恒成立等价于在上恒成立，
即恒成立，
令，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
因为，所以
故实数的最大整数值是．
16.解：由题设为等腰直角三角形，且，，
所以，又为正三角形，
故，
若为的中点，连接，则，
又平面平面，平面平面，
平面，故DE平面，
所以是的高，
则其体积；
由，且，，
又，则，
且，又，
所以二面角的平面角为，
且．
所以二面角大小为．
17.解：由频率分布直方图中小矩形的面积和为可得：，
解得；该校这次初赛的平均分数为．
初赛分数达到及以上的同学为人，
非优秀为人，由题意可得的可能取值为，，，
，
，
，所以的分布列为：
按照不同题目顺序分类讨论：填空，选择，简答：
得零分的概率：，得一分的概率：，
得两分的概率：，
得三分的概率：，
期望为分；
因为填空和简答的正确率相同，所以“简答，选择，填空”的期望与之相同；
填空，简答，选择：得零分的概率：，
得一分的概率：，
得两分的概率：，
得三分的概率：，
期望为分；
因为填空和简答的正确率相同，所以“简答，填空，选择”的期望与之相同；
选择，填空，简答：得零分的概率：，
得一分的概率：，
得两分的概率：，
得三分的概率：，
期望为分；
因为填空和简答的正确率相同，所以“选择，简答，填空”的期望与之相同；
所以小杨应采用“选择，填空，简答”或“选择，简答，填空”的顺序．
18.解：证明：因为，所以，
所以在处的切线的方程为，又其过，
所以，又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
由可得，所以，
所以，
所以，
所以，
所以．
19.解：易知，
因为直线：过，
所以椭圆的右焦点，
即，
则，
故椭圆的方程为；
当，直线，
联立，消去并整理得，
解得，，
所以，
则，
设，
此时点到直线的距离．
因为的面积为，
所以，
解得或，
即或；
证明：设，，，直线的方向向量为，
此时，，
向量在直线上的投影为向量，
所以，
即，
整理得，
解得，
即，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
因为，，
所以，
，
，
所以
．
故．
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