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2025年山东省名校大联考高考数学模拟试卷（4月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，且，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则的虚部是( )
A. B. C. D.
3.某新能源车型的续航里程单位：公里服从正态分布若该车型中的车续航里程介于公里与公里之间，则续航里程超过公里的车在该车型中的占比约为参考公式：，，，
A. B. C. D.
4.若向量在向量上的投影向量为，且，则( )
A. B. C. D.
5.二项式的展开式中，常数项为( )
A. B. C. D.
6.已知函数，其导函数记为，则( )
A. B. C. D.
7.已知数列满足：，若数列满足，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
8.已知抛物线：的焦点为，，是抛物线上两点，且，弦的中点在的准线的射影为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的图象如图所示，，为曲线与轴的交点，的面积为，则( )
A. B.
C. D.
10.已知某型号书立为一张圆角矩形铁片沿曲线切割后翻折制成，其中，折线，，，为矩形，为半圆，翻折后，平面，则( )
A. 该圆角矩形铁皮可选用面积为的铁皮原料
B. 切割的图形绕旋转所形成的旋转体不能看成一个圆柱体和一个球体拼接成的简单组合体
C. 在，，，，，中任取个点组成一个直角三角形的概率是
D. 将书立放倒即，，，触底包装，可设计出比体积更小的长方体包装盒
11.已知曲线是平面内到定点与到定直线距离之和等于的点的轨迹点是曲线上一点，则( )
A. 曲线是中心对称图形
B.
C. 曲线围成的面积大于
D. 曲线任意一点到原点的距离不小于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线：的一条渐近线过点，则的离心率为 ．
13.已知两个正四棱锥组合成的简单几何体中，顶点，分别位于平面的两侧其中正方形的边长为，两个正四棱锥的侧棱长均为则四棱锥的外接球的表面积为______．
14.已知的内角，，所对的边分别为，，，其中，，，则能覆盖的正方形的最小边长为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
若是曲线的切线，求实数的值；
若函数有两个零点，求实数的取值范围．
16.本小题分
某大模型想象力引擎处理用户问题分为“深度思考”模式和“联网搜索”模式，用户可根据需求在提问时自由选择据统计，人们在使用该大模型时，有的问题选择“深度思考”模式，的问题选择“联网搜索”模式而在选择“深度思考”模式的问题中被检测到包含“科幻”关键词，在选择“联网搜索”模式的问题中被检测到包含“科幻”关键词以下记录了次该大模型回答用户问题的处理时间单位：分钟、问题字数单位：百字和需求模式的相关数据：
问题 字数百字 需求模式 处理时间分钟
深度思考
联网搜索
深度思考
联网搜索
深度思考
用频率估计概率．
求问题被检测到包含“科幻”关键词的概率；
当问题被检测到包含“科幻”关键词时，求用户选择“深度思考”模式的概率；
假设在“深度思考”模式下，处理时间关于字数呈线性相关请预测“深度思考”模式下，处理一个字用户问题的时间．
参考公式，
17.本小题分
如图，在扇形中，，点在上，且当时，．
证明：为等边三角形；
当时，沿将折起到位置，使得平面平面，连接．
求三棱锥的体积；
求二面角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆的离心率是，，分别是的上、下顶点，且．
求的方程；
已知直线与交于，两点异于点，，若直线与的斜率分别为，，且，证明：直线过定点；
点在上且位于轴左侧，点在直线上，为的右焦点，若，且，求的面积．
19.本小题分
全集，，，若中存在两个非空子集，，满足，，则称，是的一个“组合分拆”，用表示集合的所有元素的和．
若．
若，，求；
若为偶数，证明：；
若，为给定的偶数，关于的方程存在有理数解，求的最小值，并写出取得最小值时的一个集合．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意可得，
设曲线与相切于点，
因为是曲线的切线，
所以，即，解得；
由知，，易知，
则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故，
又无限趋向于正无穷大时，无限趋向于正无穷大，
无限趋向于负无穷大时，，，
若函数有两个零点，则，所以，
所以，即，
故实数的取值范围为．
16.解：记事件“选择深度思考模式”，事件“被检测到包含科幻关键词”，
则，，
由全概率公式得，
所以问题被检测到包含“科幻”关键词的概率为；
由得，
所以用户选择“深度思考”模式的概率为；
依题意，，
，
则，，
因此处理时间关于字数的回归方程为，
当时，分钟，
所以处理一个字用户问题的时间约为分钟．
17.解：证明：由题意，
当时，，所以，，
在中，由余弦定理得，
即，
即，
解得，
在中，由余弦定理得，
解得，
所以，
所以为等边三角形．
当时，，所以，
所以，，即，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
即为三棱锥的高，
所以；
由知，，，两两互相垂直，
故以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立如图坐标系．
则，，，，
所以，．
设平面的法向量为，
则，则，
令得，，
所以．
又平面的法向量．
设二面角为，又由图可知二面角的平面角为锐二面角，
所以，
所以二面角的余弦值为．
18.解：依题意有，设椭圆的半焦距为，
因为椭圆的离心率为，所以，即，
所以，解得，
所以椭圆的方程为．
证明：由题意直线的斜率存在，设的方程为，
联立，消去得，
，即，
设，，则，
又，故，
所以，
所以，化简得，
即，
当时，直线过定点，不合题意；
当时，，直线的方程为，
所以直线恒过点．
综上，直线恒过点．
对于椭圆，其右焦点，设，
因为点在上且位于轴左侧，所以，
又点在直线上，故设，
因为，所以，即，
又，所以，
又，所以，所以，
所以，所以，
由消去得，
所以，解得或舍去或舍去，
所以，所以，
所以．
19.解：根据题目全集，，，若中存在两个非空子集，，
满足，，则称，是的一个“组合分拆”，用表示集合的所有元素的和．
此时，，
由题可得，则；
证明：由题可得，
，．
若，则．
当为偶数，设，，则．
注意到
，其中，
则不为整数，这与题意不合，故．
由题：，为给定的偶数，关于的方程存在有理数解，
此时，，，
则．
则，
要使方程存在有理数解，则方程判别式，．
注意到，
则，
因，，则，
则，其中，，，
则，
注意到，若，，为正实数，
则，当且仅当时取等号，
且在单调递减，在时单调递增．
则当，，为正整数时，取离最近的整数，
即或时取最小值，则．
的最小值为．
，
又，
则，
即取得最小值时的一个集合可以为：
．
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