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2024--2025学年初中数学中考复习备考综合模拟试卷一
一、单选题
1．的相反数是（　　）
A． B．2025 C． D．
2．国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．根据计划，我国将在2030年前实现中国人首次登陆月球，开展月球科学考察及相关技术试验等．地球与月球的距离大约为380000千米，用科学记数法可表示为（　　）千米．
A． B． C． D．
4．米斗是我国古代粮仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器，如图（1）是一种无盈米斗，其示图（不计厚度）如图所示（2），则其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
5．下列计算中，正确的是（）
A． B．
C． D．
6．某展览大厅有2个入口和2个出口，其示意图如图所示，参观者可从任意一个入口进入，参观结束后可从任意一个出口离开．小明从入口1进入并从出口A离开的概率是(　　)

A． B． C． D．
7．如图，在中，是切线，切点是B，直线交于点D，A，点E为上的一点，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，其中点，，，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，再把线段绕点逆时针旋转得到线段，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多，通车道的宽度都相等，设停车位的宽为，那么x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图1，在矩形中，，E，F分别为，的中点，G是线段上一动点，设，的周长为y，图2是y关于x的函数关系图象，其中P是图象上的最低点，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．4的算术平方根是 ．
12．3月29日据网络平台数据，电影《哪吒之魔童闹海》总票房已突破15 400 000 000元，位列全球影史票房榜第5名．数据15400000000用科学记数法可表示为 ．
13．如图，转盘中个扇形的面积都相等．任意转动转盘次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率为 ．
14．因式分解： ．
15．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ．

16．如图，点A，B，C，D，E在上，D是的中点，．若，，则 °．

17．二次函数（其中a，b，c为常数，且）的图象过点，其中m为常数，且，则方程的解为 ．
18．如图，在中，，，，先将沿翻折到处，再将沿翻折到处，过点作交于点，则的长是 ．
三、解答题
19．计算：．
20．老师所留的作业中有这样一个分式计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下．
甲同学： 第一步 第二步 ．第三步 乙同学： 第一步 第二步 ．第三步
老师发现这两位同学的解答都有错误．
(1)请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析从第几步开始出错，并写出错误的原因；
(2)请重新写出此题完整的正确解答过程．
21．百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：
A：，B：，C：，D：），
下面给出了部分信息：
甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．
乙款评分数据中C组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．
甲、乙款评分统计表：
设备 平均数 中位数 众数
甲 86 85.5 b
乙 86 a 87
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中______，______，______．
(2)在此次测验中，有280人对甲款进行评分、300人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数．
(3)DeepSeek（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率．
22．如图，以等腰三角形的一腰为直径作，分别交另一腰和底于点M，N，连接并延长交的切线于点P，连接．
(1)求证：．
(2)延长交于点D，求证：．
23．近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注，下面是价格相同的燃油车与纯电动汽车的部分相关信息对比：
燃油车 油箱容积：40升 油价：7.5元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 纯电动汽车 电池容量：80千瓦时 电价：0.55元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：_____元
(1)用含的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用________元；
(2)若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元：
①分别求出这两款车的每千米行驶费用；
②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为3600元和6800元．小明家要购置新车，他们家每年行驶里程为6000千米，则他们购买哪一款汽车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）
24．【项目主题】合理设计，实用便民
【项目背景】为了提升交通安全，南山某城市隧道入口进行道路设施规划，计划安装车道指示灯．现需要对隧道入口隔音屏顶部的装灯位置进行合理设计．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动：
素材1 图1是隧道入口隔音屏，其顶部轮廓可近似的看成抛物线，其截面如图2所示．以地面为轴，以左侧墙面为轴，建立平面直角坐标系，则抛物线符合．最高点离地面，照明灯安装轴右侧的点，距轴．
素材2 为测量素材1的点到地面的距离的长度，小组参考《海岛算经》中的测量方法，使用两根标杆进行测量，具体测量方法如图3所示．经测量，标杆（标杆垂直于地面），两杆相距15步，从退行10步到点，从退行15步到点．（共线，共线）
素材3 为提高通行效率，需在隔音屏顶部加装灯架，为每个车道增设指示灯．按要求，指示灯需距离地面．如图2所示，灯架，，均平行于轴，共线，且所在直线平行于轴，，的坐标为．为加强稳固性，还需在每个灯架上端加装两个长度为的支架．记灯架和支架总长．
根据提供素材，完成下列问题：
(1)数学小组计算出的长度，具体如下：
解：设，步， ， ， ______①， 又， ， ， ， ______②， ______③．
请补全上述求解过程中①②③所缺的内容：
(2)根据已知条件，求出抛物线的解析式（不需要写出x的取值范围）．
(3)求出素材3中l的值，并判断长的材料能否完成灯架和支架的安装．
25．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“比中项妙点”．如图1，中，点D是边上一点，连接，若，则称点D是中边上的“比中项妙点”．
(1)①在中，，于点D，则点D______（填“是”或“不是”）中边上的“比中项妙点”；
②如图2，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“比中项妙点”点M（的中点除外）．
(2)如图3，平行四边形中，点E为边上一点，连接交对角线于点F，点F恰好是中边上的“比中项妙点”．
①求证：点F也是中边上的“比中项妙点”；
②连接并延长交于点G，若点F是中边上的“比中项妙点”，且，求的值．
参考答案
1．B
本题考查了相反数的定义，绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数．
解：的相反数是，
故选：B．
2．C
本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义逐项判断即可得．
解：A、不是轴对称图形，则此项不符合题意；
B、不是轴对称图形，则此项不符合题意；
C、是轴对称图形，则此项符合题意；
D、不是轴对称图形，则此项不符合题意；
故选：C．
3．B
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
解：地球与月球的距离大约为380000千米，用科学记数法可表示为千米，
故选：B．
4．B
本题考查了三种视图，熟知三视图的观察方向是解题的关键．在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图，在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到由左向右观察物体的视图，叫做左视图．理解看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线是解题关键．仔细观察图中几何体摆放的位置，根据三种视角观察到的图形判定则可．
解：俯视图是在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，其图形为：
故选：B．
5．D
本题考查了整式的加减，同底数幂相除，积的乘方，根据合并同类项法则，同底数幂相除法则，积的乘方法则，幂的乘方法则逐项判断即可．
解：A．与不是同类项，不可以合并，故原计算错误；
B．，故原计算错误；
C．，故原计算错误；
D．，故原计算正确；
故选：D．
6．C
解：画树状图得：

所有等可能的情况有4种，其中从入口1进入并从出口A离开的情况有1种，则P=．
故选：C．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7．B
考查切线的性质、直角三角形锐角互余、圆周角定理及推论，如图所示，连接，首先由切线得到，然后求出，最后利用圆周角定理求解即可．
如图所示，连接，
是的切线，切点是
在中，
圆周角与圆心角所对的弧是，
．
故选：B．
8．A
本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形、平行四边形的性质、旋转的性质，延长交轴于点，过点作轴于点，证明，得出，，即可得解．
解：如图，延长交轴于点，过点作轴于点，
由题意可得，轴，，，
由旋转的性质可得，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴点的坐标为，
故选：A．
9．C
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解本题的关键．设停车位的宽为，则长为，通车道的宽度为，根据图形，结合矩形面积为，列出关于的一元二次方程即可．
解：设停车位的宽为，则长为，通车道的宽度为，
根据题意，可得：，
故选：C．
10．C
先由图象得，再由勾股定理得，由中位线的性质得，作点E关于的对称点P，连接交于G，连接交于Q，连接，此时，最小，即，根据对称的性质得，，再由已知得出，进而得，，再得，得，即，进而可得，最后由勾股定理得，即可得出结论．
解：∵图象右端点的横坐标为，
∴，
∵为矩形，
∴，
∴在中，，
∵E，F分别为，的中点，
∴是的中位线，
∴，
的周长，
∴取最小值时，y最小，即为a，
如图，作点E关于的对称点P，连接交于G，连接交于Q，连接，此时，最小，即，
∵点E，点P关于对称，
∴，，
∴，
∵E，F分别为，的中点，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴在中，，
∴．
故选：C．
本题考查了动点问题的函数图象，矩形的性质，对称的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键．
11．2
本题主要考查了算术平方根，算术平方根是正的平方根．根据算术平方根的定义求解即可．
解：4的算术平方根是．
故答案为：2．
12．
本题主要考查科学记数法．用科学记数法表示较大数时的形式为，其中，n为正整数，确定a的值时，把小数点放在原数从左起第一个不是0的数字后面即可，确定n的值时，n比这个数的整数位数小1．
解：数据15400000000用科学记数法可表示为．
故答案为：．
13．
根据古典概型的概率的求法，求指针落在阴影部分的概率.
一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的中结果，那么事件发生的概率为. 图中，因为6个扇形的面积都相等，阴影部分的有3个扇形，所以指针落在阴影部分的概率是．
本题考查古典概型的概率的求法.
14．
本题主要考查提公因式法和公式法分解因式．先提公因式，再运用平方差公式继续分解即可．
解：．
故答案为：．
15．3
本题主要考查反比例函数的应用；由题意易得该函数的解析式为，然后问题可求解．
解：设该反比例函数的解析式为，
由题意得：，
∴，
∴当时，则；
故答案为：3．
16．85
本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，三角形内角和定理，等腰三角形的性质．连接，由三角形内角和定理与等腰三角形的性质得，由圆心角、弧、弦的关系求出的度数，根据圆周角定理求出的度数，从而求出的度数即可．
解：如图，连接．

∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：85．
17．
本题考查二次函数与一元二次方程，待定系数法求出二次函数的解析式，进而确定一元二次方程，进行求解即可．
解：把，代入，得：
，解得：，
∴方程化为：，
∵，
∴，
解得：；
故答案为：．
18．
过点A作于点E，过点作，交的延长线于点G，交于点M，则，证明，设，则，根据勾股定理，得，解得，，利用三角函数解答即可．
解：过点A作于点E，过点作，交的延长线于点G，交于点M，
则，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，，将沿翻折到处，再将沿翻折到处，
∴，，，
∴，
∴
∴三点共线，
∴，
根据题意，得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
根据勾股定理，得，
解得，，
∴，
∴
解得，
∴，
∴
解得，
∴，
∵，
∴
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
19．2
本题考查了含特殊锐角三角函数值的实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先分别利用零指数幂、二次根式、绝对值、负整数指数幂的性质，及特殊锐角三角函数值进行计算，再合并同类项即可．
解：原式
．
20．(1)见解析
(2)见解析
（1）根据分式的混合运算顺序和运算法则即可判断；
（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则重新计算可得．
本题考查了分式的异分母的加法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）解：选择甲同学的解答过程进行分析：
该同学的解答从第一步开始出现错误，错误的原因是在通分时，第一个分式没有按分式的基本性质运算；
或选择乙同学的解答过程进行分析：
该同学的解答从第二步开始出现错误，错误的原因是在计算过程把分式的分母丢了．
（2）解：
．
21．(1)，，
(2)
(3)
本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键；
（1）根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值，用1分别减去其他三个等级所占百分比可得的值；
（2）由A、B两款的非常满意的人数之和即可得出答案；
（3）用列表法或树状图法求解即可．
（1）解：根据乙款扇形统计图可得，A组B组共有人，第十个和第十一个评分分别为86、87，所以中位数．
根据众数的定义可得，，
．
（2）解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比，
对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数．
（3）解：列表如下：
小红小明 甲 乙 丙
甲 甲、甲 甲、乙 甲、丙
乙 乙、甲 乙、乙 乙、丙
丙 丙、甲 丙、乙 丙、丙
两人都选择同款聊天机器人的概率．
22．(1)见解析
(2)见解析
（1）连接，先由圆周角定理得，结合得，因为半径相等，所以，利用三角形的中位线定理即可解决问题；
（2）连接，先得，因为，结合角的等量代换得，证明，即，结合是的切线，则，证明是的切线，然后结合证明，通过角的等量代换得，因为，证明，即可作答．
（1）证明：连接．
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
是的中位线，
∴，
即；
（2）证明：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线，
∵，，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
23．(1)
(2)①燃油车每千米行驶费用为0.75元，纯电动车的每千米行驶费用为0.11元；②购买纯电动车年费用更低
此题考查了分式方程的应用，有理数四则混合运算的应用，列代数式等知识，根据题意准确列分式方程是解题的关键．
（1）根据题意列出代数式即可；
（2）①纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元，据此列出分式方程，解方程并检验即可；②分别计算燃油车年费用和纯电动车年费用，计算后即可得到答案．
（1）纯电动汽车的每千米行驶费用为：（元）
（2）①由题意得：
经检验：是该分式方程的根；
燃油车每千米行驶费用为：（元）；
纯电动车的每千米行驶费用为：（元）
答：燃油车每千米行驶费用为元，纯电动车的每千米行驶费用为元．
②当行驶里程为时，
燃油车年费用为：（元）
纯电动车年费用为：（元）

选纯电动车年费用更低．
答：它们家每年行驶里程为6000千米，则他们购买纯电动车年费用更低．
24．(1)①，②，③；
(2)
(3)，长的材料能完成灯架和支架的安装
本题考查了相似三角形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据相似三角形的判定和性质即可得到答案；
（2）根据题意得到，将代入解析式求出，即可得到答案；
（3）根据题意得到的横坐标依次为，得到的横坐标依次为，设的坐标依次为
求出的值，得到的值，求出，即可得到答案．
（1）解：设，步，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
故答案为：①，②，③；
（2）解：抛物线：的最高点离地面，
，
把代入得，
解得：，
抛物线的解析式为；
（3）解：的坐标为，，
的横坐标依次为，
的横坐标依次为，
设的坐标依次为
把代入得，
解得：，
，
同理可得，，；
，；
，
，
，
长的材料能完成灯架和支架的安装．
25．(1)①是；②
(2)①见解析；②
（1）①证明，根据相似三角形的性质可得出，然后根据“比中项妙点”的定义判断即可；
②取格点D，连接交于M即可；
（2）①根据“比中项妙点”的定义可得出，证明，可得出，则，，然后据“比中项妙点”的定义即可得证；
②首先证明,再得到即可解题．
（1）解：①∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点D是中边上的“比中项妙点”，
故答案为：是；
②如图2，点M即为所求，
理由：
由网格知：，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴由①知：点M是中边上的“比中项妙点”；
（2）①证明：∵点F恰好是中边上的“比中项妙点”
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点F也是中边上的“比中项妙点”；
②解：如图3，
∵四边形是平行四边形，
∴,
∵,
∴,
，
，
，
∵点是中边上的“比中项妙点”，
∴，即，
又∵，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，即，
，
∴,
，
，
∵,
∴,
∵,
∴,
．
本题考查了新定义，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，格点作图等知识，正确找出相似三角形探究线段间的关系是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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